石景山区2011-2012学年第一学期期末考试试卷

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．设集合{}4,3,2,1=U ，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃)(B A C U （ ）
A ． }3{
B ． }2{
C ．}4,2,1{
D ．}4,1{
2．已知复数i
1i
1z -+=
，则复数z 的模为（ ） A ． 2
B ．2
C ．1
D ． 0
3．在极坐标系中，圆θρcos 2-=的圆心的极坐标是（ ）
A ． )2
,
1(π B ． )2
,1(π-
C ．)0,1(
D ．),1(π
4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图 为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长为2，那么这个几何体的体积为（ ）
A ．
3
8 B ．
3
4 C ．4
D ．2
5．执行右面的框图，若输出结果为
2
1， 则输入的实数x 的值是（ ）
A ．
2
3 B ．
4
1 正视图
侧视图
俯视图
C ．2
2 D ．2
6.设抛物线x y 82
=上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线准线的距离为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
7.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若0232
=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则0232
≠+-x x ”； ②若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题；
③命题p ：存在R x ∈,使得012<++x x ，则p ⌝：任意R x ∈,都有012
≥++x x ；④在ABC
∆中,B A <是B A sin sin <的充分不必要条件. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8.对于使M x x ≤+-22
成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做22x x -+的 上确界,若+
∈R b a 、，且1=+b a ，则12
2a b
--的上确界为（ ） A ．92
B ．92-
C ．
4
1 D ．-4
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． 9．在ABC ∆中，若32,120,2=︒=∠=a A c ，则=∠B ． 10．如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和
割线PBC
，已知
PA =4PC =，
圆心O 到BC 的距
O 的
半径为 ．
P
A
B
C
O
•
11．已知向量)1,3(=a ，)1,0(=b ，)3,(k c =
，若b a 2+与c 垂直，则=k ．
12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = ． 13．若把英语单词“good ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种． 14.已知函数)1,0(log )(≠>+-=a a b x x x f a 且，当
2
1
31<<a 且43<<b 时， 函数)(x f 的零点*0),1,(N n n n x ∈+∈，则=n ．
三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
已知函数x x x f 2sin 2
1
cos 3)(2+=
．
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-46ππ，上的最大值和最小值．
16．（本小题满分13分）
甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：
甲 乙 1 8 6 0 0
2 4 4 2
3
（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；
（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y 的分布列和数学期望．
（注：方差[]
222212
)()()(1
x x x x x x n
s n -++-+-=
其中x 为1x ，2x ，⋯n x 的平均数）
F
C
B
A
17．（本小题满分14分）
如图，矩形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，AD CD ⊥，AB ∥CD ，2AB AD ==，
4CD =，M 为CE 的中点．
（Ⅰ）求证：BM ∥平面ADEF ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BEC ；
（Ⅲ）若3=DE ，求平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角的余弦值．
18．（本小题满分14分） 已知.,ln )(R a x ax x f ∈-=
（Ⅰ）当2=a 时，求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）若)(x f 在1=x 处有极值，求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅲ）是否存在实数a ，使()f x 在区间(]e ,0的最小值是3，若存在，求出a 的值； 若不存在，说明理由.
19．（本小题满分13分）
已知椭圆122
22=+b
y a x （0>>b a ）过点M （0，2），离心率36=e .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点N （2，0）的直线l 与椭圆相交于B A 、两点，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点),
求直线l 倾斜角的取值范围.
20．（本小题满分13分）
对于给定数列{}n c ，如果存在实常数q p 、,使得1n n c pc q
+=+对于任意*
n N ∈都成立，我们称数
列{}n c 是 “
κ类数列”．
（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*
n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“
κ类数列”？若是，指出它对应
的实常数
q p 、，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“
κ类数列”，则数列}{1++n n a a 也是“κ类数列”；
（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2012项的和．并
判断{}n a 是否为“
κ类数列”，说明理由．
石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷
高三数学（理科）参考答案
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
三、解答题：
本大题共6
个小题，共80
分． 15．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）x x x f 2sin 21
22cos 13
)(++=
2
3
2sin 212cos 23+
+=x x 2
3
)32sin(++=πx ……………5分
π=T ……………7分
（Ⅱ）因为46
ππ
≤
≤-
x ，所以ππ
6
5
320≤+
≤x …………9分
当23
2ππ
=+
x 时，即12π=x 时，)(x f 的最大值为23
1+,………11分
当03
2=+
π
x 时，即6π-=
x 时，)(x f 的最小值为2
3
. ………13分
16．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数
24430
242418=+++=
x ； ……………………2分
[]
18)2430()2424()2424()2418(4
12
2222=-+-+-+-=s ……5分
（Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有16
种情况：
（18，20）（18，20）（18，26）（18，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32） （24，20）（24，20）（24，26）（24，32）
（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） …………8分 得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 …………9分 得分和Y 的分布列为：
…………11分 数学期望16
1621635616550165448138⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
=EY 5.48= ………………13分
17．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）证明：取DE 中点N ，连结,MN AN ．
在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点， 所以MN ∥CD ，且1
2
MN CD =． 由已知AB ∥CD ，1
2
AB CD =
， 所以MN ∥AB ，且MN AB =．
所以四边形ABMN 为平行四边形． ………2分
所以BM ∥AN ．
又因为AN ⊂平面ADEF ，且BM ⊄平面ADEF ，
所以BM ∥平面ADEF ． ………………………………4分 （Ⅱ）证明：在矩形ADEF 中，ED AD ⊥．
又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，
且平面ADEF
平面ABCD AD =，
所以ED ⊥平面ABCD ．
所以ED BC ⊥． ………………………………5分
在直角梯形ABCD 中，2AB AD ==，4CD =，可得BC =
在△BCD 中，4BD BC CD ===， 因为2
2
2
BD BC CD +=，所以BC BD ⊥．
因为BD DE D ⋂=,所以BC ⊥平面BDE ．………………………7分 又因为BC ⊂平面BCE ，
所以平面BDE ⊥平面BEC ．…………………………………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED ⊥平面ABCD ，且AD CD ⊥．
以D 为原点，,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系．
(2,2,0),(0,4,0),(0,0,3)B C E ． …………………………………9分
易知平面DEC 的一个法向量为m )0,0,1(=．…………………………10分 设(,,)x y z =n 为平面BEC 的一个法向量， 因为(2,2,0),BC =-(0,4,3)CE =- 所以220
430
x y y z -+=⎧⎨
-+=⎩，
令1x =，得41,3
y z ==
． 所以4(1,1,)3
=n 为平面BEC 的一个法向量． …………………………12分 设平面BEC 与平面DEC 所成锐二面角为θ．
则cos ||||
||
θ⋅=
=
=
⋅m n m n ． 所以平面BEC 与平面DEC
14分
3．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知得)(x f 的定义域为(0)+∞，
， 因为()ln f x ax x =-，所以'
1
()f x a x =-
当2a =时，()2ln f x x x =-，所以(1)2f =
因为'
1 ()2f x x =-
，所以'
1 (1)211f =-=
……………………2分 所以曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为
2(1)(1)y f x '-=-，即10x y -+= …………………………4分 （Ⅱ）因为)(x f 在1=x 处有极值，所以(1)0f '=， 由（Ⅰ）知(1)1f a '=-，所以1a =
经检验，1a =时)(x f 在1=x 处有极值． …………………………6分 所以()ln f x x x =-，令'
1
()10f x x
=-
>解得10x x ><或； 因为)(x f 的定义域为(0)+∞，
，所以'
()0f x >的解集为(1)+∞，， 即)(x f 的单调递增区间为(1)+∞，
. …………………………………………8分
（Ⅲ）假设存在实数a ，使x ax x f ln )(-=（],0(e x ∈）有最小值3， ① 当0≤a 时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，
31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=，舍去. …………………………10分 ②当e a <<
10时，)(x f 在)1,0(a 上单调递减，在],1
(e a
上单调递增，
3ln 1)1
()(min =+==a a f x f ，2e a =，满足条件. ………………………12分
③ 当
e a
≥1
时，因为(]e x ,0∈，所以0)('<x f ， 所以)(x f 在],0(e 上单调递减，31)()(min =-==ae e f x f ，e
a 4
=
，舍去. 综上，存在实数2
e a =，使得当],0(e x ∈时()
f x 有最小值3. ……………14分
19．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意得3
6
,
2==a c b 结合2
2
2
c b a +=，解得122
=a
所以，椭圆的方程为
14
122
2=+y x . ………………4分 （Ⅱ） 设),(),,(2211y x B y x A ，则),(),,(2211y x y x ==. ①当221==x x 时，不妨令)3
6
2,2(OB ),362,
2(OA -== 03
4
384>=-=⋅，当斜率不存在时，AOB ∠为锐角成立 ………………6分
②当21x x ≠时，设直线l 的方程为：)2(-=x k y
由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+)
2(14122
2x k y y x 得12)2(3222=-+x k x 即0121212)31(2222=-+-+k x k x k .
所以2
22122213112
12,3112k
k x x k k x x +-=⋅+=+， ………………8分 ]4)(2[()2)(2(2121221221++-=--=⋅x x x x k x x k y y
2
2
424224314123124311212k
k k k k k k k ++++-+-= 2
2
318k k +-= ………………10分
2121y y x x +=⋅
0311242
2>+-=k
k 解得33-<>
k k 或. ……………………12分
综上，直线l 倾斜角的取值范围是)3
2,3(
π
π . …………………13分
20．（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈
故数列{}n a 是“κ类数列”，对应的实常数分别为1,
2 …………… 1分 因为32n n b =⋅，则有12n n b b +=，*n N ∈.
故数列{}n b 是“κ类数列”，对应的实常数分别为2,0. …………… 3分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“κ类数列”，则存在实常数q p 、，
使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，
且有21n n a pa q ++=+对于任意*
n N ∈都成立，
因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 故数列{}1n n a a ++也是“κ类数列”．
对应的实常数分别为,2p q ． ……………6分
（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈ 则有1232a a t +=⋅，33432a a t +=⋅，
20092009201032a a t +=⋅20112011201232a a t +=⋅
故数列{}n a 前2012项的和
2012S =()12a a ++()34a a ++
+()20092010a a ++()20112012a a + ()3200920112012323
23232221t t t t t =⋅+⋅++⋅+⋅=- ……………9分 若数列{}n a 是“κ类数列”， 则存在实常数q p 、
使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立，
且有21n n a pa q ++=+对于任意*
n N ∈都成立，
因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立， 而*132()n n n a a t n N ++=⋅∈，且)(2
3*121N n t a a n n n ∈⋅=++++， 则有132322n n t t p q +⋅=⋅+对于任意*n N ∈都成立，可以得到
(2)0,0t p q -==，
当2,0p q ==时，12n n a a +=，2n n a =，1t =，经检验满足条件. 当0,0t q == 时，1n n a a +=-，12(1)n n a -=-，1p =-经检验满足条件. 因此当且仅当1t =或0t =时，数列{}n a 是“κ类数列”.
对应的实常数分别为2,0或1,0-． ………………… 13分
注：若有其它解法，请酌情给分．。