最新通用版人教版中考数学一轮复习方程与不等式讲义同步练习含详解
人教版中考数学一轮复习课件第2章 第8讲 一次不等式(组)及其应用
2.不等式的基本性质
(1)若a>b，则a±c>b±c；
(2)若 a>b，c>0，则 ac>bc，ac>bc；
(3)若 a>b，c<0，则 ac<bc，ac<bc.
2.(2022宿迁)如果x＜y，那么下列不等式正确的是( A )
A.2x＜2y
B.－2x＜－2y
C.x－1＞y－1
D.x＋1＞y＋1
3.解一元一次不等式的一般步骤
3.(2020 广州)解不等式组：2xx＋－51<>4xx＋ －21， .
解：解不等式2x－1＞x＋2，得x ＞ 3. 解不等式x＋5＜4x－1，得x ＞ 2. 所以该不等式组的解集为x ＞ 3.
2x－4>3(x－2)，
4.(2021 广东)解不等式组： x－7
4x>
2
.
解：解不等式2x－4>3(x－2)，得x<2.
∵a为整数， ∴a的值可以是6，7，8. 即共有三种运方案二：有7辆大货车，5辆小货车； 方案三：有8辆大货车，4辆小货车． ∵大货车的数量最少时，费用最少， ∴当有6辆大货车，6辆小货车时，费用最少，最少费用为5 000×6＋3 000×6＝48 000(元)．
依题意，得86xx＋ ＋3y＝ y＝61000，00，解得xy＝ ＝18200，.
答：每台A型早餐机80元，每台B型早餐机120元．
(2)某商家欲购进A，B两种型号早餐机共20台，但总费用不超过2 200 元，那么至少要购进A型早餐机多少台？ 解：(2)设购进A型早餐机n台，则购进B型早餐机(20－n)台． 依题意，得80n＋120(20－n)≤2 200， 解得n≥5. 答：至少要购进5台A型早餐机．
中考数学一轮复习 基础过关 第二章 方程(组)与不等式(组) 第3讲 分式方程精讲课件精品
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墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张•兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地位的 愿望， 他的认 识观点 是唯物 的。但 他一方 面批判 唯心的 宿命论 ，一方 面又提 出同样 是唯心 的“天 志”说 ，认为 天有意 志，并 且相信 鬼神。 墨于的 学说在 当时影 响很大 ，与儒 家并称 为•显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。 公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称 鲁班， 山东人 ，是我 国古代 传说中 的能工 巧匠。 现在， 鲁班被 人们尊 称为建 筑业的 鼻祖， 其实这 远远不 够．鲁 班不光 在建筑 业，而 且在其 他领域 也颇有 建树。 他发明 了飞鸢 ，是人 类征服 太空的 第一人 ，他发 明了云 梯(重武 器)，钩 钜(现 在还用) 以及其 他攻城 武器， 是一位 伟大的 军事科 学家， 在机械 方面， 很早被 人称为 “机械 圣人” ，此外 还有许 多民用 、工艺 等方面 的成就 。鲁班 对人类 的贡献 可以说 是前无 古人， 后无来 者，是 我国当 之无愧 的科技 发明之 父。
最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组技巧及练习题附答案解析(1)
最新初中数学方程与不等式之不等式与不等式组技巧及练习题附答案解析(1)一、选择题1．若关于x 的分式方程11144ax x x -+=--有整数解，其中a 为整数，且关于x 的不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩有且只有3个整数解，则满足条件的所有a 的和为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．12 【答案】C【解析】【分析】分别解分式方程和不等式组，根据题目要求分别求出a 的取值范围，再综合分析即可得出a 的值，最后求和即可．【详解】 解：解分式方程11144ax x x -+=--， 得4x 1a=-． 又∵4x ≠，解得0a ≠．又∵方程有整数解，∴11a -=±，2±，4±，解得：2,3a =，1-，5，3-．解不等式组2(1)43,50x x x a +≤+⎧⎨-<⎩， 得，25a x -<…． 又不等式组有且只有3个整数解，可求得：05a <≤．综上所述，a 的值为2，3，5，其和为10．故选：C ．【点睛】本题主要考查分式方程与不等式组的综合运用，掌握解分式方程的方法，会求不等式组的整数解是解此题的关键．2．某商品的标价比成本价高%a ，根据市场需要，该商品需降价%b ．为了不亏本，b 应满足（ ）A ．b a ≤B ．100100a b a ≤+C ．100a b a ≤+D ．100100a b a≤- 【答案】B【分析】根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．【详解】解：设成本为x 元，由题意可得：()()1%1%x a b x +-?，整理得：100100b ab a +?， ∴100100a b a≤+， 故选：B ．【点睛】 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．3．若关于x ，y 的方程组3,25x y m x y m -=+⎧⎨+=⎩的解满足x ＞y ＞0，则m 的取值范围是( )． A ．m ＞2 B ．m ＞－3 C ．－3＜m ＜2 D ．m ＜3或m ＞2【答案】A【解析】【分析】先解方程组用含m 的代数式表示出x 、y 的值，再根据x ＞y ＞0列不等式组求解即可.【详解】解325x y m x y m-=+⎧⎨+=⎩，得 212x m y m =+⎧⎨=-⎩. ∵x ＞y ＞0，∴21220m m m +>-⎧⎨->⎩， 解之得m ＞2.故选A.【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，用含m 的代数式表示出x 、y 的值是解答本题的关键.4．若不等式24x <的解都能使关于x 的一次不等式2(1)x x a ++<成立，则a 的取值范围是( )A ．8a ≥B ．8a ≤C ．8a >D ．8a <【解析】【分析】先求出不等式24x <的解集，再求出不等式2(1)x x a ++<的解集，即可得出关于a 的不等式并求解即可．【详解】解：由24x <可得：x ＜2；由2(1)x x a ++<可得：x ＜23a -； 由题意得：23a -≥2，解得：a≥8； 故答案为A ．【点睛】本题主要对解一元一次不等式组、不等式的解集等知识，根据题意得到关于a 的不等式是解答本题的关键．5．若m n >,则下列不等式中成立的是( )A ．m+a<n+bB ．ma>nbC ．ma 2>na 2D ．a-m<a-n【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质判断．【详解】A. 不等式两边加的数不同，错误；B. 不等式两边乘的数不同，错误；C. 当a =0时，错误；D. 不等式两边都乘−1，不等号的方向改变，都加a ，不等号的方向不变，正确； 故选D.点睛：不等式的性质：(1)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；(2)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.6．关于x 的不等式组()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<-B ．21m -<<C ．1m <-D ．2m ≥-【答案】A【解析】【分析】先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围．【详解】解：()02332x m x x ->⎧⎨-≥-⎩解不等式①，得：x m >，解不等式②，得：3x ≤，∴不等式组的解集为：3m x <≤，∵不等式组恰有五个整数解，∴整数解分别为：3、2、1、0、1-；∴m 的取值范围为21m -≤<-；故选：A ．【点睛】本题考查了解不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，解题的关键是正确求出不等式组的解集，从而求出m 的取值范围．7．从4-，1-，0，2，5，8这六个数中，随机抽一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩无解，且关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解，则符合条件的a 的值的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由不等式组无解确定出a 的一个取值范围、由分式方程其解为非负数确定a 的一个取值范围，综上可确定a 的最终取值范围，根据其取值范围即可判定出满足题意的值．【详解】 解：0331016x a x -⎧<⎪⎨⎪+≥⎩①②解①得，x a <解②得，2x ≥∵不等式组无解∴2a ≤ ∵2233y a y y-+=-- ∴83a y -=∵关于y 的分式方程2233y a y y -+=--有非负数解 ∴803a y -=≥且833a -≠ ∴8a ≤且a≠-1∴综上所述，2a ≤且1a ≠-∴符合条件的a 的值有4-、0、2共三个．故选：C【点睛】本题考查了不等式（组）的解法、分式方程的解法，能根据已知条件确定a 的取值范围是解决问题的关键．8．如图，用长为40米的铁丝一边靠墙围成两个长方形，墙的长度为30米，要使靠墙的一边不小于25米，那么与墙垂直的一边的长度x 的取值范围为（ ）A ．0米5x <≤米B ．103x ≥米C ．0米103x <≤米 D ．103米5x ≤≤米 【答案】D【解析】【分析】 设与墙垂直的一边的长为x 米，根据铁丝长40米，墙的长度30米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出x 的取值范围即可．【详解】解：设与墙垂直的一边的长为x 米，根据题意得：4032540330x x -≥⎧⎨-≤⎩， 解得：103≤x≤5； 故选：D ．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．9．如果不等式(2)25a x a ->-的解集是4x <，则不等式251a y ->的解集是（ ）．A ．52y < B ．25y < C ．52y > D ．25y > 【答案】B【分析】根据不等式的性质得出20a -<，2542a a -=-，解得32a =，则2a=3，再解不等式251a y ->即可．【详解】解：∵不等式（a-2）x ＞2a-5的解集是x ＜4，∴20a -<， ∴2542a a -=-， 解得32a =， ∴2a=3， ∴不等式2a-5y ＞1整理为351y ->， 解得：25y <． 故选：B ．【点睛】本题考查了含字母系数的不等式的解法，有一定难度，注意不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．10．若3x ＞﹣3y ，则下列不等式中一定成立的是 （ ）A ．0x y +>B ．0x y ->C ．0x y +<D ．0x y -<【答案】A【解析】两边都除以3，得x ＞﹣y ，两边都加y ，得：x +y ＞0，故选A ．11．在直角坐标系中，若点P(2x －6，x －5)在第四象限，则x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜5B ．－5＜x ＜3C ．－3＜x ＜5D ．－5＜x ＜－3【答案】A【解析】【分析】点在第四象限的条件是：横坐标是正数，纵坐标是负数．【详解】解：∵点P （2x-6，x-5）在第四象限， ∴260{50x x －＞－＜， 解得：3＜x ＜5．【点睛】主要考查了平面直角坐标系中第四象限的点的坐标的符号特点．12．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由（1）得x ＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B ．13．不等式组222x x >⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可．【详解】 222x x ①②>⎧⎨-≥-⎩由①，得x ＞1，由②，得x ≤2，∴不等式组的解集为1＜x ≤2，故选C ．【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键．14．根据不等式的性质，下列变形正确的是（ ）A ．由a ＞b 得ac 2＞bc 2B ．由ac 2＞bc 2得a ＞bC ．由–12a ＞2得a<2 D ．由2x+1＞x 得x<–1 【答案】B【解析】根据不等式的性质，逐一判定即可得出答案.【详解】解：A、a＞b，c=0时，ac2=bc2，故A错误；B、不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变，故B正确；C、不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，而且式子右边没乘以﹣2，故C错误；D、不等式两边同时加或减同一个整式，不等号的方向不变，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练应用不等式的性质进行推断是解题的关键.15．不等式组3433122xx x-≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．【详解】3433122xx x-≥⎧⎪⎨-<+⎪⎩①②解①，得1x≤-解②，得5x>-所以不等式组的解集是51x-<≤-在数轴表示为故选：A【点睛】不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．16．不等式组2131xx+≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】分别求出各不等式的解集，并在数轴上表示出来，找出符合条件的选项即可．【详解】解不等式2x+1≥﹣3得：x≥﹣2，不等式组的解集为﹣2≤x＜1，不等式组的解集在数轴上表示如图：故选：D．【点睛】本题考查了在数轴上表示一元一次不等式组的解集及解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答本题的关键．17．不等式x﹣2＞的解集是（）A．x＜﹣5 B．x＞﹣5 C．x＞5 D．x＜5【答案】A【解析】【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【详解】去分母得：4x﹣8＞6x+2，移项、合并同类项，得：﹣2x＞10，系数化为1，得：x＜﹣5．故选A．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．18．如图，不等式组315215xx--⎧⎨-<⎩„的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据解一元一次不等式组的步骤：先解第一个不等式，再解第二个不等式，然后在数轴上表示出两个解集找公共部分即可.【详解】由题意可知：不等式组315215xx①②--⎧⎨-<⎩„，不等式①的解集为2x≥-，不等式②的解集为3x<，不等式组的解集为23x-≤<，在数轴上表示应为.故选C.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，熟知和掌握不等式组解法的步骤和在数轴上表示解集是解题关键.19．若关于x的不等式x＜a恰有2个正整数解，则a的取值范围为（）A．2＜a≤3B．2≤a＜3 C．0＜a＜3 D．0＜a≤2【答案】A【解析】【分析】结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a的取值范围【详解】由于x<a恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a≤3故正确答案为A【点睛】此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键20．已知关于x 的不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围为（ ） A ．12a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．12a ≤≤【答案】A【解析】【分析】先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组只有三个整数解，求出实数a 的取值范围即可.【详解】 3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩①②， 解不等式①得：x≥-1，解不等式②得：x<a ， ∵不等式组3211230x x x a --⎧≤-⎪⎨⎪-<⎩有解， ∴-1≤x<a ，∵不等式组只有三个整数解，∴不等式的整数解为：-1、0、1，∴1<a≤2，故选：A【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．。
中考数学一轮复习 专题二：方程(组)与不等式(组)(4)一元一次不等式(组)(有答案)
中考数学一轮复习 专题二方程（组）与不等式（组）（4）一元一次不等式（组）一、单选题1.不等式组13224x x ->⎧⎨-<⎩的解集是( ) A.4x > B.1x >- C.14x -<< D.1x <-2.不等式5131x x +≥-的解集在数轴上表示正确的是( )A. B.C. D.3.若不等式组0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩有解，则a 的取值范围是( ) A.1a >- B.1a ≥- C.1a ≤ D.1a <4.关于x 的不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <，则k 的取值范围为( ) A.1k >B.1k <C.1k ≥D.1k ≤ 5.不等式122123x x ++>-的正整数解的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.46.不等式组43128164x x x +>⎧⎨-≤-⎩的最小整数解是( ) A.0 B.1- C.1 D.27.已知点()126P a a -+，在第四象限，则a 的取值范围是( ) A.3a <- B.31a -<< C.3a >- D.1a >8.若关于x 的一元一次不等式组63(1)9,1x x x m -+<-⎧⎨->-⎩的解集是3x >，则m 的取值范围是( ) A.4m > B.4m ≥ C.4m < D.4m ≤9.已知关于x 的不等式组23,23(2)5x a x x >-⎧⎨-+⎩仅有三个整数解，则a 的取值范围是( ) A.112a < B.112a C.112a < D.1a <10.小明去商店购买,A B 两种玩具，共用了10 元钱，A 种玩具每件1 元，B 种玩具每件2 元.若每种玩具至少买1件，且A 种玩具的数量多于B 种玩具的数量，则小明的购买方案有( )A.5 种B.4 种C.3 种D.2 种二、填空题11.若关于x y 、的二元一次方程组的2133x y m x y -=+⎧⎨+=⎩解满足0x y +>，则m 的取值范围是 .12.已知4x =是不等式310ax a --<的解，2x =不是不等式310ax a --<的解，则实数a 的取值范围是取值范围是______.13.2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过115 cm.某厂家生产符合该规定的行李箱.已知行李箱的宽为20 cm ，长与高的比为8:11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为_______cm.三、解答题14.解不等式组:()2324325323x x x x ⎧+-<⎪⎨+-<+⎪⎩①②，并把解集在数轴上表示出来. 15.为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有,A B 两种型号的挖掘机，已知3 台A 型和5台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165 立方米；4 台A 型和7 台 B 型挖掘机同时施工一小时挖土225 立方米.每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元.（1）分别求每台A 型、 B 型挖掘机一小时挖土多少立方米；（2）若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费用不超过12960 元问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？参考答案1.答案：A解不等式13x ->，得4x >，解不等式224x -<，得1x >-，所以原不等式组的解集为4x >，故选A.2.答案：B5131x x +≥-， 5311x x ∴-≥--，22x ∴≥-，1x ∴≥-.故选B.3.答案：A0122x a x x +≥⎧⎨->-⎩①②， 由①得x a ≥-，由②得1x <，不等式组有解，∴不等式组的解集为1a x -≤<，1a ∴-<，即1a >-.a ∴的取值范围是1a >-，故选A.4.答案：C解关于x 的不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩得21x x k <⎧⎨<+⎩. 关于x 的不等式组29611x x x k +>+⎧⎨-<⎩的解集为2x <， 12k ∴+≥，解得1k ≥.故选C.5.答案：D去分母得()()312226x x +>+-，去括号得33446x x +>+-，移项得34463x x ->--，合并同类项得5x ->-系数化为1得5x <，故不等式的正整数解有1，2，3，4，共4个，故选D6.答案：A 不等式组整理得124x x ⎧>-⎪⎨⎪≤⎩， 解得142x -<≤，则不等式组的最小整数解是0，故选A. 7.答案：A因为点P 在第四象限，则其横坐标为正，纵坐标为负，所以可列不等式组10,260,a a ->⎧⎨+<⎩解得3a <-.故选A.8.答案：D63(1)9,1,x x x m -+<-⎧⎨->-⎩①② 解不等式①，得3x >；解不等式②，得1x m >-.关于x 的一元一次不等式组的解集是3x >，∴13m -≤，解得4m ≤.故选D.9.答案：A不等式23(2)5x x -+，得1x ≤，所以不等式组的解集为231a x -<≤，因为不等式组23,23(2)5x a x x >-⎧⎨-+⎩仅有三个整数解，所以这三个整数解为1，0，-1，所以2231a -≤-<-，解得112a <.故选A. 10.答案：C设小明购买了A 种玩具x 件，则购买了B 种玩具102x -件. 根据题意，得11012102x x x x ⎧⎪⎪-⎪⎨⎪-⎪<⎪⎩，解得1383x <. x 为整数，102x -也为整数，∴ 4x =或6或8，∴有3 种购买方案.故选C. 11.答案：2m >-2133xy m x y =+⎧⎨+=⎩①②， +①②得2224x y m +=+，则2x y m +=+，根据题意得20m +>，解得2m >-.12.答案：1a -4x =是不等式310ax a --<的解，∴4310a a --<，解得1a <.2x =不是不等式310ax a --<的解，∴2310a a --，解得1a -，∴1,1,a a <⎧⎨-⎩∴1a -. 13.答案：55设该行李箱的长为8x cm ，则高为11x cm.根据题意得81120115x x ++，解得5x .∴行李箱的高的最大值为11555⨯=（cm ）.14.答案：解不等式①得2x <，解不等式②得1x >，∴不等式组的解集是12x <<，不等式组的解集在数轴上表示为15.答案：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，根据题意，得35165,47225,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得30,15.x y =⎧⎨=⎩所以每台A 型挖掘机一小时挖土30 立方米，每台B 型挖掘机小时挖土15 立方米.（2）设A 型挖掘机有m 台，总费用为W 元，则B 型挖掘机有()12m -台。
人教版中考数学复习机构一对一讲义：方程和不等式的综合应用
一、方程与不等式应用题【知识框架】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧的应用一元一次不等式（组）分式方程的应用应用二元一次方程（组）的一元一次方程的应用题型1：一元一次方程例1、铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A.B.C. D.举一反三1、方程的解是（ ）.A.7B.C.3D.7或32、一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20℅，则这件服装进价是 （ ） A.100元 B.105元 C.108元 D.118元3、儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？)1(6)121(5-=-+x x )1(6)21(5-=+x x x x 6)121(5=-+x x 6)21(5=+x -=52±7精讲精练知识梳理方程和不等式的应用4、已知关于的方程5x +3a=2x +6，小刚在解这个方程时，把方程右端的+6抄成了-6，解得的结果为x =2.求原方程的解。
题型2：二元一次方程组例2、李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x ，y 分钟，列出的方程是（ ）A ．B ．C ．D ． 举一反三1、一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为X ，十位数字为Y ，所列方程组正确的是 （ ）A ．⎩⎪⎨⎪⎧X ＋Y ＝8，XY ＋18＝YX ．B ．⎩⎪⎨⎪⎧X ＋Y ＝8，X ＋10Y ＋18＝10X ＋Y ．C ．⎩⎪⎨⎪⎧X ＋Y ＝8，10X ＋Y ＋18＝YX ．D ．⎩⎪⎨⎪⎧X ＋Y ＝8，10(X ＋Y)＋18＝YX ． 2、如图，长青化工厂与A 、B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B 地．已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元． 求：该工厂从A 地购买了多少吨原料？制成运往B 地的产品多少吨？x 14250802900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩158********x y x y +=+=⎧⎨⎩14802502900x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩152********x y xy +=+=⎧⎨⎩题型3：分式方程例3、某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产X个，可列方程为（）A.400X－10＝500XB.400X＝500X＋10C.400X＋10＝500XD.400X＝500X－10举一反三1、某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕．问第二次购进了多少件文具？2、一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏。
中考数学第一轮复习-第2单元方程与不等式-人教新课标版24014市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
第6课时 │ 浙考探究
► 类型之三 二元一次方程(组)旳有关概念
命题角度： 1．二元一次方程(组)的概念 2．二元一次方程(组)的解的概念
[2011·河北] 已知yx＝＝2，3 是关于 x、y 的二元一次方 程 3x＝y＋a 的解．求(a＋1)(a－1)＋7 的值．
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第6课时 │ 浙考探究
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第7课时 │考点聚焦
公式法解方程的步骤：(1)将方程化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形 式；(2)确定 a、b、c 的值；(3)若 b2－4ac≥0，则代入求根公式，得 x1、x2；若 b2－4ac<0，则方程无实数解．
配方法：通过配成完全平方的形式解一元二次方程． 配方法解方程的步骤：化二次项系数为 1→把常数项移到方程的另
次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项
系数的比．(2)利用一元二次方程的根与系数的关系时，要注意根的
判别式 Δ≥0.
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第7课时 │考点聚焦
考点5 一元二次方程旳应用
1．增长率中的等量关系 (1)增长率＝增量÷基础量．
(2)设 a 为原来的量，m 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量， 则 a(1＋m)n＝b；当 m 为平均下降率时，有 a(1－m)n＝b.
[解析] 将 x＝2，y＝ 3代入 3x＝y＋a 中求 a. 解：将 x＝2，y＝ 3代入 3x＝y＋a，得 a＝ 3. ∴(a＋1)(a－1)＋7＝a2－1＋7＝a2＋6＝9.
(1)根据方程组解的概念，代入原方程组可以判定给出的一组值是 不是二元一次方程组的解．
(2)适合二元一次方程的一对未知数的值叫做二元一次方程的一 个解，故把解代入方程即可求出待求字母的值．
备战九年级中考数学一轮复习第9课 方程与不等式的综合应用(全国通用)
类型三 一元二次方程与不等式(组)的应用 (1)先列一元二次方程； (2)再根据(1)的结果列不等式(组)．
3．【例3】(永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次 降价后的价格为324元/件，并且两次降价的百分率相同． (1)求该种商品每次降价的百分率； (2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100 件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降 价后至少要售出该种商品多少件？
类型四 方程、不等式与最优方案 (1)先列方程； (2)再列不等式，得最优方案．
4．【例4】(202X·连云港)甲、乙两公司全体员工积极参与 “携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款100 000元， 乙公司共捐款140 000.下面是甲、乙两公司员工的一段对话．
(1)甲、乙两公司各有多少人？ (2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A 种防疫物资每箱15 000元，B种防疫物资每箱12 000元．若购买B 种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？ 请设计出来(注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送)．
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%， 依题意得：400×(1－x%)2＝324， 解得x＝10或x＝190(舍去)． 答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件， 则第二次降价后售出该种商品(100－m)件， 第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元)； 第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元)．依题意得： 60m＋24(100－m)＝36m＋2 400≥3 210， 解得m≥22.5，∴m≥23. 答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价 后至少要售出该种商品23件．
第二章方程(组)与不等式(组)(解析版)-简单数学2021年中考一轮复习宝典(全国通用)
第二章 方程（组）与不等式（组）一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．（2020·辽宁沈阳市·九年级期末）用配方法解一元二次方程29190x x -+=，配方后的方程为（）A ．29524x æö-=ç÷èøB ．29524x æö+=ç÷èøC ．()2962x -=D ．()2962x +=【答案】A 【详解】∵29190x x -+=，∴2919x x -=-，则2818191944x x -+=-+，即29524x æö-=ç÷èø，故选：A.2．（2020·古蔺县实验学校七年级期末）在解方程123123x x -+-=时，去分母正确的是（）A ．3(1)431x x --+=B ．31436x x --+=C ．31431x x --+=D ．3(1)2(23)6x x --+=【答案】D 【详解】去分母得：3（x−1）−2（2x ＋3）＝6，故选：D ．3．（2020·肃南裕固族自治县第一中学七年级期末）如果两个角互为补角，而其中一个角是另一个角的5倍，那么这两个角是( )A ．15o ，75oB ．20o ，100oC ．10o ，50oD ．30o ，150o【答案】D 【详解】解：设较小的角为x ，则较大的角5x ，根据题意得：x+5x=180°，解得：x=30°，5×30°=150°；所以这两个角是：30°，150°．故选：D ．4．（2020·辽宁阜新蒙古族自治县第四中学八年级期末）已知2-14-237m n x y +=是关于x ，y 的二元一次方程，则m ，n 的值为（ ）．A ．m=2，n=1B ．m=1，n=32-C ．m=1，n=52D ．m=1，n=32【答案】D 【详解】∵2-14-237m n x y +=是关于x ，y 的二元一次方程，∴2m-1=1,4-2n=1解得m=1，n=32故选D ．5．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）与方程529x y +=-构成的方程组，其解为33x y =-ìí=î的是（ ）A ．21x y +=B ．328x y +=-C ．348x y -=-D ．543x y +=-【答案】D 【详解】解：A ．33x y =-ìí=î不是方程21x y +=的解，该项不符合题意；B ．33x y =-ìí=î不是方程328x y +=-的解，该项不符合题意；C ．33x y =-ìí=î不是方程348x y -=-的解，该项不符合题意；D ．33x y =-ìí=î是方程543x y +=-的解，该项符合题意；故选：D ．6．（2019·四川成都市·九年级期末）若关于x 的一元二次方程x 2＋x －3m ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＞14B ．m ＜14C ．m ≥14D ．m ≤14【答案】C 【详解】∵ 关于x 的一元二次方程2310x x m +-+=有两个实数根，∴ ()214131m D =-´´-+≥0，解得：m≥14，故选：C ．7．（2020·浙江杭州市·八年级其他模拟）某年级举行篮球比赛，赛制为单循环赛，即每一个球队都和其它的球队进行一场比赛，已知共举行了21场比赛，那么共有（ ）支队伍参加了比赛．A ．7B ．6C ．12D ．14【答案】A 【详解】解：设有x 个队，每个队都要赛（x ﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，12x （x ﹣1）＝21，解得x ＝7或x ＝﹣6（舍去）．故应邀请7支队伍参加比赛．故选：A ．8．（2020·贵州黔西南布依族苗族自治州·八年级期末）为祝福祖国70周年华诞，兴义市中等职业学校全体师生开展了以“我和我的祖国、牢记初心和使命”为主题的演讲比骞，为奖励获奖学生，学校购买了一些钢笔和毛笔，钢笔单价是毛笔单价的1.5倍，购买钢笔用了1200元，购买毛笔用了1500元，购买的钢笔数比毛笔少35支，钢笔、毛笔的单价分别是多少元？如果设毛笔的单价为x 元/支，那么下面所列方程正确的是（ ）A ．12001500351.5x x -=B ．15001200351.5x x -=C ．1500120035 1.5x x=-D ．12001500351.5x x-=【答案】B 【详解】解：设毛笔单价x 元/支，由题意得：15001200351.5x x-=，故选：B ．9．（2020·宜昌市第二十六中学八年级期末）分式方程312x =-的解是 ( )A ．5x =B ．1x =C ．1x =-D ．2x =【答案】A 【详解】解：方程两边都乘x−2，得3＝x−2，解得x ＝5，检验：当x ＝5时，x−2≠0，∴x ＝5是原方程的解．故选：A ．10．（2020·广西南宁市·七年级期末）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出y ，则x 的取值范围是（ ）A ．21x -<£-B ．21x -££-C ．21x -<<-D ．21x -£<-【答案】D 【详解】由输入两次，才能计算出y 的值得：2312(23)31x x +<ìí++î≥，解得-2≤x ＜-1．故选：D11．（2020·江苏镇江市·八年级期末）如果点P （m ，1﹣2m ）在第一象限，那么m 的取值范围是（ ）A ．102m <<B ．102m -<<C ．0m <D ．12m >【答案】A 【详解】∵点P （m ，1﹣2m ）在第一象限，0120m m >ì\í->î，解得102m <<，故选：A ．12．（2019·浙江台州市·八年级期末）对于实数p ，q ，我们用符号{}min ,p q 表示p ，q 两数中较小的数，若1min ,1ìüíý-îþx x 1=，则x 的值为（ ）．A ．1，1-，2B ．1-，2C ．1-D ．2【答案】D 【详解】若111x =-，则11x -=∴2x =∴2x =∴{}1min ,min 1,211ìü==íý-îþx x ，符合题意；若1x =，则1x =±当1x =时，11x -无意义当1x =-时，1111112x ==----∴111min ,min ,1122ìüìü=-=-íýíý-îþîþx x ，故不合题意∴2x =故选：D ．13．（2020·四川攀枝花市·八年级期末）已知关于x 的方程2x 3m3x 22x-+=--会产生增根，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．-2【答案】A 【详解】解：方程两边都乘（x−2），得2x−（3−m ）＝3（x−2），∵原方程有增根，∴最简公分母x−2＝0，即增根为x ＝2，把x ＝2代入整式方程，得m ＝−1．故选：A14．（2020·河北唐山市·七年级期末）已知关于x ，y 的方程组343x y ax y a +=-ìí-=î，其中31a -££，下列结论：①当2a =-时，x ，y 的值互为相反数；②51x y =ìí=-î是方程组的解；③当1a =-时，方程组的解也是方程1x y +=的解；④若14y ££，则30a -££．其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②③④D ．①③④【答案】D 【详解】由343x y a x y a +=-ìí-=î，解得121x ay a=+ìí=-î∵31a -££∴53x -££，04y ££①当2a =-时，解得33x y =-ìí=î，故①正确；②51x y =ìí=-î不是方程组的解，故②错误；③当1a =-时，解得12x y =-ìí=î，此时1x y +=，故③正确；④若14y ££，即114a £-£，解得30a -££，故④正确；故选D ．二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）15．（2019·四川成都市·九年级期末）若m 是方程x 2＋2x －1＝0的一个根，则m 2＋2m －4＝______．【答案】－3【详解】∵2210x x +-=，∴ 221x x +=，∵ m 是2210x x +-=的一个根，∴ 221m m +=，∴ 224143m m +-=-=- ，故答案为：-3．16．（2020·河南周口市·七年级期末）不等式组3121213x x +>-ìïí-³ïî的最大整数解为______．【答案】3【详解】解不等式312x +>-得1x >-，解不等式1213-³x 得3x £，∴不等式组的解集是13x -<£，故不等式组的整数解为0，1，2，3，故答案为：3.17．（2020·古蔺县实验学校七年级期末）如图，两人沿着边长为70米的正方形，按A→B→C→D→A…的方向行走．甲从点A 以65米/分的速度、乙从点B 以72米/分的速度行走，甲、乙两人同时出发，当乙第一次追上甲时，将在正方形的______边上．【答案】AD 【详解】设乙第一次追上甲用了x 分钟，由题意得：72x−65x ＝70×3，解得：x ＝30，而72×30＝2160＝70×30＋60，30÷4＝7…2，所以乙走到D 点，再走60米即可追上甲，即在AD 边上．故答案为：AD ．18．（2020·云南昆明市·八年级期末）若关于x 的分式方程232x mx +=-的解是正数，则实数m 的取值范围是_________【答案】6m >-且m ¹-4【详解】232x mx +=-2x+m=3（x-2）x=m+6，∵该方程的解是正数，且x-2¹0，∴60620m m +>ìí+-¹î，解得6m >-且x ¹-4，故答案为：6m >-且m ¹-4.三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）19．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）解方程或方程组（1）234311x y x y -=ìí+=î（2）2242242x x x x +=--+【答案】（1）21x y =ìí=î；（2）无解【详解】（1）234311x y x y -=ìí+=îL L ①②①×3+②得：1020x =解得：2x =把2x =代入方程①得：1y =∴方程组的解为21x y =ìí=î（2）2242242x x x x +=--+方程两边同时乘以24x -得：2(2)42(2)x x x ++=-解得2x =-检验：当2x =-时240x -=∴原分式方程无解20．（2020·河北石家庄市·九年级其他模拟）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程260x x -+=．（1）若“”表示常数7-，请你用配方法解方程：2670x x --=；（2）若“”表示一个字母，且一元二次方程260x x -+=有实数根．求“”的最大值．【答案】（1）17x =，21x =-；（2）9【详解】解：（1）2670x x --=，22223373x x -´+=+，()2316x -=，解得17x =，21x =-；（2）设中为m ，260x x m -+=，240b ac D =-³，()26410m --´´³，解得9m £，∴的最大的值为9．21．（2020·江苏扬州市·七年级期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组354538x y mx y -=ìí-=î，（1）若方程组的解满足6-=x y ，求m 的值；（2）若方程组的解满足x y <-，求m 的取值范围．【答案】（1）10；（2）2m >【详解】354538x y m x y -=ìí-=î①②（1）①+②可得：112x y m -=+，6x y -=Q ，1162m \+=，10m \=．（2）②-①可得：42x y m +=-，x y <-Q ，420m \-<，2m \>．22．（2020·浙江七年级其他模拟）我们规定，若关于x 的一元一次方程ax b =的解为x b a =-，则称该方程为“奇异方程”．例如：24=x 的解为242x ==-，则该方程24=x 是“奇异方程”．请根据上述规定解答下列问题：（1）判断方程58x =-________（回答“是”或“不是”）“奇异方程”；（2）若3a =，有符合要求的“奇异方程”吗？若有，求b 的值；若没有，请说明理由．（3）若关于x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是“奇异方程”，求代数式2212(11)43()()22m n mn m m mn n n éùéù-++++--+-ëûëû的值．【答案】（1）不是；（2）有，92；（3）149-【详解】解：（1）58x =-的解是85x =-不等于85--，∴方程58x =-不是“奇异方程”，故答案是：不是；（2）若3a =，则方程3x b =的解是3bx =，要使它是“奇异方程”，则33b b =-，解得92b =；（3）∵2x mn m =+是“奇异方程”，∴22mn mmn m +=+-，化简得4mn m +=，∵2x mn n -=+是“奇异方程”，∴22mn n mn n +=++-，化简得43mn n +=-，两式相减得163m n -=，原式()2214222434223m n m n éùæö=--++----êúç÷èøêúëû824224839m n m n=-+-+--+855269m n =-++-16852639=-´+-149=-．23．（2020·河北保定市·九年级其他模拟）有若干个只有颜色不同的红球和黑球，现在往一个不透明的袋子里装进2个红球和4个黑球．（1）随机从不透明的袋子里摸出一个球，求摸到红球的概率；（2）若先从不透明的袋子里取出m 个黑球，不放回，再从不透明的袋子里随机摸出一个球，将“摸到红球”记为事件A ，若事件A 为必然事件，求m 的值；（3）若先从不透明的袋子里取出m 个黑球，再放入24m +个红球，若随机从不透明的袋子里摸出一个球是红球的概率是56，求m 的值．【答案】（1）13；（2）4m =；（3）2m =．【详解】（1）由题意，摸到红球概率为21243P ==+；（2）若事件A 为必然事件，则取出m 个黑球后，袋子中全部为红球，所以4m =；（3）由题意，不透明的袋子里红球的个数为22426m m ++=+个，黑球的个数为4m -个，则不透明的袋子里红球和黑球的总个数为26410m m m ++-=+（个），因为随机从不透明的袋子里摸出一个球是红球的概率是56，所以265106m m +=+，解得2m =，经检验，2m =是所列分式方程的解，故2m =．24．（2020·黑龙江佳木斯市·七年级期末）某公司有A ，B 两种型号的客车共15辆，它们的载客量、每天的租金和车辆数如下表所示，已知在15辆客车都坐满的情况下，共载客570人A 型号客车B 型号客车载客量（人/辆）4530租金（人/辆）400280车辆数（辆）a b（1）求表中a ，b 的值；（2）某中学计划租用A ，B 两种型号的客车共5辆，同时送七年级师生到基地参加社会实践活动，已知该中学租车的总费用不超过1900元①求最多能租用多少辆A 型客车？②若七年级的师生共有195人，请写出所有可能的租车方案【答案】（1）8,7a b ==；（2）①最多能租用4辆A 型客车；②所有的租车方案为：方案一：租用A 种型号的客车3辆，租用B 种型号的客车2辆；方案二：租用A 种型号的客车4辆，租用B 种型号的客车1辆【详解】解：（1）由题意得：154530570a b a b +=ìí+=î，解得：87a b =ìí=î，即8,7a b ==；（2）①设计划租用A 种型号客车x 辆，则计划租用B 种型号客车（5﹣x ）辆，根据题意得：400x+280（5﹣x ）≤1900，解得：x≤146，∵x 为正整数，∴x 最大取4，故最多能租用4辆A 型客车；②根据题意得：45x+30(5﹣x)≥195，解得：x≥3，∵x 取正整数，∴x=3、4，故所有的租车方案为方案一：租用A 种型号的客车3辆，租用B 种型号的客车2辆；方案二：租用A 种型号的客车4辆，租用B 种型号的客车1辆．25．（2020·重庆北碚区·西南大学附中八年级期末）每年农历五月初五，是中国民间传统节日——端午节．今年端午节，某蛋糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元，白粽的销售单价为每千克20元．5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元．（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？（2）为迎接端午节的到来，6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了0013a ，其销量在5月份的基础上增加了0043a ；白粽的销售单价保持不变，其销量在5月份的基础上增加了0012a ．6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了00913a ，求a 的值．【答案】(1) 5月份蛋黄肉粽的销售数量是60千克；(2) a =50【详解】解：(1)设5月份，蛋黄肉粽的销售数量是x 千克，白粽的销售数量是y 千克，依题意，得：10030202600x y x y +=ìí+=î，解得6040x y =ìí=î，故5月份，蛋黄肉粽的销售数量是60千克；(2) 依题意得:141930(1%)60(1%)2040(1%)2600(1%)33213a a a a -´++´+=+，整理后得到：2500a a -=，解得：a =0(舍去)或a =50，故答案为：50．26．（2019·浙江台州市·七年级期末）疫情期间，某蛋糕店响应政府号召，采用非接触性销售，头天下单，第二天送达．并且为了吸引顾客，对A ，B 两种蛋糕在送达当天，采用返利的方式给顾客意外惊喜，返利方式有两种，返利后，A ，B 两种蛋糕的实际利润如下表：方式一方式二A 种蛋糕每盒利润914B 种蛋糕每盒利润1511每日限定销售A ，B 两种蛋糕共四十盒，且都能售完，一天只推出一种返利方式．（1）若采用方式一，销售A ，B 两种蛋糕共盈利420元，求A ，B 两种蛋糕各售出多少盒？（2）下完订单的当晚，店员甲说：“明天无论采取哪种返利方式，蛋糕店销售A ，B 两种蛋糕的总利润相同”，你觉得他的说法有可能对吗？说明理由．（3）蛋糕店在下完订单的当晚采用一种盈利多的那种方式，问蛋糕店销售A ，B 两种蛋糕一天的总利润至少有多少元？【答案】（1）A 蛋糕售出30盒，B 蛋糕售出10盒；（2）没有可能对，理由见解析；（3）总利润至少有494元．【详解】解：设A 蛋糕售出x 盒，B 蛋糕售出40-x 盒，（1）根据题意915(40)420x x +-= ，解得30x =，故A 蛋糕售出30盒，B 蛋糕售出10盒；（2）没有可能，理由如下：若销售A ，B 两种蛋糕的总利润相同，则915(40)1411(40)x x x x +-=+-，解得1609x =，因为蛋糕的盒数取整，所以他的说法没有可能对；（3）若采用方式一，总利润为：915(40)6006x x x +-=-，若采用方式二，总利润为：1411(40)4403x x x +-=+，。
人教版数学中考一轮复习考点精讲精练7分式方程及应用课件
13．(202X·泰安)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗． 某商场在端午节来临之际用3000元购进A，B两种粽子1100个，购买A种粽 子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍． (1)求A，B两种粽子的单价各是多少？ (2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A，B两种粽子共2600个， 已知A，B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？
5．(2019·黄石)分式方程：x2－4 4x－x－1 4＝1的解为_x_＝__－__1_．
6．(2019·襄阳)定义：a*b＝ba，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为_x_＝__1．
7．(2019·绵阳)一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h， 它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间， 与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同，则江水的流速为_1_0__km/h.
方法归纳
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程， 再按照解整式方程的步骤解题，不同的是解分式方程需要验根．
【对应训练1】(1)(2018·张家界)若关于x的分式方程mx－－13＝1的解 为x＝2，则m的值为( B ) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)(2019·南京)解方程：x－x 1－1＝x2－3 1.
【备考202X】人教版数学中考一轮复习
考点精讲精炼课件（共32节）
【例1】(1)(2018·株洲)关于x的分式方程2x＋x－3 a＝0的解为x＝4， 则常数a的值为( D ) A．a＝1 B．a＝2 C．a＝4 D．a＝10
(2)(2019·随州)解关于x的分式方程： 3＋9 x＝3－6 x.
中考数学一轮综合复习同步讲义(第4课方程与不等式)一元一次不等式不等式组
中考数学一轮复习第04 课 方程与不等式（一元一次不等式、不等式组）知识点：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<>>>>⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧不等式组的解集。
的公共部分，作为整个利用数轴求出这些解集个不等式的解集；分别求出不等式组中每解不等式组步骤：。
；；；）（法：不等式组解集的确定方式组的解集。
叫做这个一元一次不等几个不等式解集的组中解集：一元一次不等式。
叫做一元一次不等式组不等式组的几个不等式所组成的定义：含有相同未知数一元一次不等式组解法步骤：定义：一元一次不等式那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质那么，公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质，那么公式表示：若，，不等号的方向不等式两边性质不等式的性质。
，小向大向圆圈；再确定方向：则是原点；不好喊边界点，若解集包含边界点，是界点。
体表示方法是先确定边上直观的表示出来，具以在注意：不等式的解集可解集。
的全体，叫做不等式的有未知数的不等式的解不等式的解集：一个含，叫做不等式的解。
成立的不等式的解：使不等式等式，常见的不等号有连接起来的式子叫做不不等式定义：用不等式)2()1()4()3()2(1,,,,0.3,0.2.1c b a c b a b a 同步练习：1.根据下图甲、乙所示，对a ，b,c 三种物体的重量判断不正确的是 ( )A.a<cB.a<bC.a>cD.b<c2.如果关于x 的不等式1)1(+>+a x a 的解集为1<x ,那么a 的取值范围是( ) A.a>0 B.a<0 C.a>-1 D.a<-13.已知方程组21321x y mx y m+=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，则( )A.m >-1B.m >1C.m <-lD.m <14.已知关于x 的不等式52->+m x 的解集如图所示，则m 的值为（ ）A.1B.0C.-1D.-25.不等式组⎩⎨⎧-<++≤14242x x xx 的正整数解有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知a ，b ，c 均为实数，若a ＞b ，c ≠0，下列结论不一定正确的是( )A.a ＋c ＞b ＋cB.c －a ＜c －bC.a c 2＞b c2D.a 2＞ab ＞b 27.已知关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--=+a y x a y x 343，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论：①⎩⎨⎧-==15y x 是方程组的解；②当a=-2时,x,y 的值互为相反数；③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4-a 的解； ④若x ≤1,则1≤y ≤4．其中正确的是（ ） A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④8.函数y x 的取值范围是_____________9.若y x y y x y x >-->+,，那么（1）x ＋y>0;（2）y －x<0;（3）xy ≤0;（4）yx<0中，正确结论的序号为________。
2019年人教版中考一轮复习《方程与不等式讲义》同步练习含答案
中考第一轮复习方程与不等式,一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．二、根的情况对于形如20ax bx c ++=的形式应判断a ，b ，c 的情况而定： ⑴当0a =且0b ≠方程有唯一解．⑵当0a =且0b =，0c =时，方程有无数解． ⑶当0a =且0b =且0c ≠时，方程无解． ⑷当0a ≠时，方程为一元二次方程．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根； 当0∆=时，方程有两个相等的实数根； 当0∆<时，方程无实数根．三、特殊根对于关于x 的方程20ax bx c ++=()0a >⑴当方程有一根为1时，则0a b c ++=． ⑵当方程有一根为1-时，则0a b c -+=． ⑶当方程有一根为0时，则0c =．⑷当方程两根互为相反数时，则0b =．⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则0c <． ⑹当方程两根都大于零时，则0b <且0c >． ⑺当方程两根都小于零时，则0b >且0c >．⑻当方程有一根1x 大于1，一根2x 小于1，则()()12110x x --<．四、整数根思路一：20ax bx c ++=()0a ≠有整数根必须具备的前提条件：①有实数根：240b ac -≥；②有有理数根：24b ac -是完全平方数；②有整数根：b -2a 的整数倍．思路二：能分解因式的用分离系数法．【编写思路】 本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次. 第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例1复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C 要求部分.常见方法如下：①、加减消元；1、消元 Ⅰ、部分代入； ②、代入消元Ⅱ、整体代入； ①、直接开方； ②、配方：A 2 + B 2 = 0； 2、降次 ③、因式分解：A ·B = 0或A ·B = c （c 为常整数，且A 、B 均等于整数）； Ⅰ、条件为一元二次方程20ax bx c ++=：转化为 2ax bx c =--，然后进行降次；④、利用题设条件 Ⅱ、条件()n m n=、为常数，转化为a n -=，然后两边平方得222a na m n -=-，然后进行降次；3、换元（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。
中考数学一轮综合复习同步讲义(第6课方程与不等式)一元二次方程
中考数学一轮复习第06课 方程与不等式（一元二次方程）知识点：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧利润问题：面积问题：传播问题：贺卡问题：握手问题：增长率问题：应用题类型：根的判别式：根与系数的关系解法：表达式：定义：一元二次方程)2(;)1(:)4(;)3(;)2(;)1( 课堂同步：1.一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根2.已知关于x 的一元二次方程22x m x -=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A.1m >-B.2m <-C.m ≥0D.0m <3.某工厂计划经过两年时间将某种产品产量从每年144万台提高到169万台,则每年平均约增长（ ）A.5%B.8%C.10%D.15%4.已知函数xy 1=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a,c ），点B （b,c+1）在该函数图象的另外一支上,则关于一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1，x 2判断正确的是（ ）A.x 1+x 2>1，x 1•x 2>0B.x 1+x 2<0，x 1•x 2>0C.0<x 1+x 2<1,x 1•x 2>0D.x 1+x 2与x 1•x 2的符号都不确定5.若正数a 是方程x 2﹣5x+m=0的一个根,-a 是方程x 2+5x-m=0的一个根,则a 的值是6.已知x 1、x 2是方程0362=++x x 的两实数根，则2112x x x x +的值为7.若直角三角形的两边a ，b 是方程01272=+-x x 的两根，则此三角形第三边长为8.三角形两边的长是4和5，第三边的长是方程048142=+-x x 的根,则该三角形的周长为9.已知a ，b 是方程032=--x x 的两个根，则代数式51132223+--++b a a b a 的值为 ．10.已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC 的形状,并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由；(3)如果△ABC 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根．11.商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.12.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两次比赛，共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？13.如图,在□ABCD 中,AE ⊥BC 于E,AE=EB=EC=a,且a 是方程0322=-+x x 的根,求□ABCD 的周长.14.某商店如果将进货价8元的商品按每件10元出售,每天可销售200件,现采用提高售价,减少进货量的方法增加利润,已知这种商品每涨0.5元,其销售量就可以减少10元,问应将售价定为多少时,才能使所赚利润最大,并求出最大利润。
中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第9讲 一元一次不等式(组
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1 / 1 第一部分 第二章 第9讲
1．不等式组⎩⎨⎧ 3x －1<2
x ＋1，x ＋32≥1的解集为__－1≤x <3__.
2．某小区为更好的提高业主垃圾分类的意识，管理处决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱．若购买3个温馨提示牌和4个垃圾箱共需580元，且每个温馨提示牌比垃圾箱便宜40元．
(1)问：购买1个温馨提示牌和1个垃圾箱各需多少元？
(2)如果需要购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，费用不超过8 000元，问：最多购买垃圾箱多少个？
解：(1)设购买1个温馨提示牌需要x 元，购买1个垃圾箱需要y 元，依题意， 得⎩⎨⎧ 3x ＋4y ＝580，x ＝y －40，解得⎩
⎨⎧
x ＝60，y ＝100. 答：购买1个温馨提示牌需要60元，购买1个垃圾箱需要100元．
(2)设购买垃圾箱m 个，则购买温馨提示牌(100－m )个，依题意得，60(100－m )＋100m ≤8 000，
解得m ≤50.
答：最多购买垃圾箱50个． 【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】。
中考数学一轮复习第二章方程与不等式第1讲方程与方程组无答案新人教版
第二章方程与不等式 第1讲 方程与方程组1．(2012年山东枣庄)“五一”节期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折(标价的80%)销售，售价为2 080元．设该电器的成本价为x 元，根据题意，下面所列方程正确的是( )A ．x (1＋30%)×80%＝2 080B ．x ×30%×80%＝2 080C ．2 080×30%×80%＝xD ．x ×30%＝2 080×80%2．(2012年广西桂林)二元一次方程组 3.24x y x +=⎧⎨=⎩的解是( )A. 3,0x y =⎧⎨=⎩B.1,2x y =⎧⎨=⎩C. 5,2x y =⎧⎨=-⎩D.2,1x y =⎧⎨=⎩3．(2012年湖南衡阳)为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍．若设每副羽毛球拍为x 元，每副乒乓球拍为y 元，列二元一次方程组得( )A. 50,6()320x y x y +=⎧⎨+=⎩B.50,610320x y x y +=⎧⎨+=⎩C.50,6320x y x y +=⎧⎨+=⎩D.50,106320x y x y +=⎧⎨+=⎩4．(2012年贵州铜仁)铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x 棵，则根据题意列出方程正确的是( )A ．5(x ＋21－1)＝6(x －1)B ．5(x ＋21)＝6(x －1)C ．5(x ＋21－1)＝6xD ．5(x ＋21)＝6x5．已知关于x 的方程3x －2m ＝4的解是x ＝m ，则m 的值是________．6．方程组2,21x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是__________．w W w .x K b 1.c o M7．(2012年湖南湘潭)湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20 000元．设每人向旅行社缴纳x 元费用后，共剩5 000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为__________________．8．(2012年江苏苏州)我国是一个淡水资源严重缺乏的国家．有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的15，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13 800 m 3.问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少(单位：m 3)?B 级 中等题9．(2012年贵州黔西南)已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项，那么(n －m )2 012＝______.10．(2012年山东菏泽)已知2,1x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组的解8,1,mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩则2m －n 的算术平方根为( )A ．± 2 B. 2 C ．2 D ．411．(2012年湖北咸宁)某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1 020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需____________元．12．(2011年内蒙古呼和浩特)解方程组： 4(1)3(1)2,2.23x y y x y--=--⎧⎪⎨+=⎪⎩C 级 拔尖题13．如图X2－1－1，直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1，b )． (1)求b 的值．(2)不解关于x ，y 的方程组1,,y x y mx n =+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．图X2－1－114．(2012年江西南昌)小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”； 爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；小明说：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？” 请你通过列方程(组)求解这天萝卜、排骨的单价(单位：元/斤)．选做题15．(2011年上海)解方程组：222,230.x y x xy y -=⎧⎨--=⎩16．若关于x ，y 的二元一次方程组5,9x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程2x ＋3y ＝6的解，则k 的值为( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43第2课时 分式方程A 级 基础题1．(2012年广西北海)分式方程7x －8＝1的解是( )A ．－1B ．1C ．8D ．152．(2012年浙江丽水)把分式方程2x ＋4＝1x化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A ．xB ．2xC ．x ＋4D ．x (x ＋4)3．(2012年湖北随州)分式方程10020＋v ＝6020－v的解是( )A ．v ＝－20B ．v ＝5C ．v ＝－5D ．v ＝204．(2012年四川成都)分式方程32x ＝1x －1的解为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝3D ．x ＝45．(2012年四川内江)甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用的时间相同．已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x 千米/时，依题意列方程正确的是( )A.30x ＝40x －15 B.30x －15＝40xC.30x ＝40x ＋15D.30x ＋15＝40x6．方程 x 2－1x ＋1＝0的解是________．7．(2012年江苏连云港)今年6月1日起，国家实施了《中央财政补贴条例》，支持高效节能电器的推广使用．某款定速空调在条列实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用1万元所购买的此款空调台数，条例实施后比条例实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为 __________元．8．(2012年山东德州)解方程：2x 2－1＋1x ＋1＝1.9．(2012年江苏泰州)当x 为何值时，分式3－x 2－x 的值比分式1x －2的值大3?10．(2012年北京)据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1 000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同．求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．B 级 中等题11．(2012年山东莱芜)对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1b －1a.若2⊕(2x －1)＝1，则x的 值为( )A.56B.54C.32 D ．－1612．(2012年四川巴中)若关于x 的方程2x －2＋x ＋m2－x＝2有增根，则m 的值是________． 13．(2012年山东菏泽改编)我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12 000元购进的科普书与用8 000元购进的文学书的本数相等．C级拔尖题15．(2012年江苏无锡)某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购．投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%；方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．(1)请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么(注：投资收益率＝投资收益实际投资额×100%)?(2)对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？选做题14．(2012年山东日照)某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1 936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1 936元．请问该学校九年级学生有多少人？15．(2012年湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8 800 件投入市场，服装厂有A ，B 两个制衣车间，A 车间每天加工的数量是B 车间的1.2 倍，A ，B 两车间共同完成一半后，A 车间出现故障停产，剩下全部由B 车间单独完成，结果前后共用20 天完成，求A ，B 两车间每天分别能加工多少件．第3课时 一元二次方程A 级 基础题1．(2011年江苏泰州)一元二次方程x 2＝2x 的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝0C ．x 1＝0，x 2＝2D ．x 1＝0，x 2＝－22．方程x 2－4＝0的根是( ) A ．x ＝2 B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝43．(2011年安徽)一元二次方程x (x －2)＝2－x 的根是( ) A ．－1 B ．2C ．1和2D ．－1和24．(2012年贵州安顺)已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )A ．1B ．－1C ．0D ．无法确定5．(2012年湖北武汉)若x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是( )A ．－2B ．2C ．3D ．16．(2012年湖南常德)若一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0有实数解，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．m ≤1C ．m ≤4 D．m ≤127．(2012年江西南昌)已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x －a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是( )A ．1B ．－1 C.14 D ．－148．(2012年上海)如果关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0(c 是常数)没有实根，那么c 的取值范围是__________．9．(2011年山东滨州)某商品原售价为289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x, 可列方程为________________________________________________________________________．10．解方程： (x －3)2＋4x (x －3)＝0.B 级 中等题11．(2012年内蒙古呼和浩特)已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，且x 1＋x 2＝3，x 1x 2＝1，则a ，b 的值分别是( )A ．a ＝－3，b ＝1B ．a ＝3，b ＝1C ．a ＝－32，b ＝－1D ．a ＝－32，b ＝112．(2011年山东潍坊)关于x 的方程x 2＋2kx ＋k －1＝0的根的情况描述正确的是( ) A ．k 为任何实数，方程都没有实数根B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根D ．根据 k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种13．(2011年山东德州)若x 1，x 2是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，则x 21＋x 22＝__________.14．(2011年江苏苏州)已知a ，b 是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两个实数根，则代数式(a －b )(a ＋b －2)＋ab 的值等于________．15．(2012年山西)山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2 240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？16．(2012年湖南湘潭)如图X2－1－2，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.X2－1－2C 级 拔尖题17．(2012年湖北襄阳)如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是( )A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0选做题18．(2012年江苏南通)设α，β是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则α2＋4α＋β＝________.19．三角形的每条边的长都是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则三角形的周长是________．。
中考数学一轮复习 第一部分 教材同步复习 第二章 方程(组)与不等式(组)第8讲 一元二次方程实用
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1．(2018·长沙)已知关于x方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为 _____2_____.
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重难点3 一元二次方程的实际应用 重点 例3 (2018·沈阳)某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产
成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2,3,4月每个月生产成本的 下降率都相同．
12/10/x2＋6x＋5＝0. 【解答】 系数化为 1：方程两边同时除以－3，得 x2－2x－53＝0. 移项：把常数项移到方程的右边，得 x2－2x＝53. 配方：两边都加 1，得 x2－2x＋1＝53＋1，
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即(x－1)2＝83.
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(2)30×20×1795×750＋30×20×(1－1795)×250， ＝114 000＋112 000 ＝226 000(元)． 答：此次修建需投资 226 000 元．
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方法指导 (1)用一元二次方程解决面积时，可以通过图形的平移把所求面积变为规则图形
即
x1＝3＋4
17，x2＝3－4
17 .
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(4)用因式分解法解方程：4(x－3)2－25(x－2)2＝0. 【解答】 原方程可变形为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0， 因式分解：[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－5(x－2)]＝0， 合并同类项：即(7x－16)(－3x＋4)＝0. 得方程：7x－16＝0 或－3x＋4＝0. 得解：x1＝176，x2＝43.
的面积，若是镶边的问题，一定要分清是内镶边还是向外镶边． (2)用一元二次方程解决增长率(降低率)问题时，要注意增长率大于0，降低率大
人教版2023年中考数学备考一轮复习讲义：第2讲+++方程(组)与不等式(组)
第2讲 方程与不等式【教学目标】：1. 梳理一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程相关题型。
2. 梳理不等式相关的题型。
【教学重难点】：综合题型的运用。
【考点解析】考点一 方程以及方程的解法1. 方程的基本知识（1） 含有________的等式叫做方程。
（2） 使方程左右两边_________的未知数的值叫方程的解，方程的解也称方程的_______.（3） 方程的分类： 20(0)0(0)ax b a ax bx c a ⎧+=≠⎧⎪⎨++=≠⎨⎩⎪⎩一元一次方程：整式方程有理方程一元二次方程：分式方程2. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的判别式△=___________________0_______________0_______________0_________∆⇔⎧⎪∆⇔⎨⎪∆⇔⎩方程有实数根根的情况方程有实数根方程有实数根3. 一元二次方程根与系数的关系：（1） 若20(0)ax bx c a ++=≠的两个根是12,x x ，则12x x +=_________，12x x =__________ （2） 一元二次方程根与系数关系成立的前提条件是____________。
4. 一元一次方程变形后都可以化成(0)ax b a =≠的形式，它的解是_________。
5. 解方程组的基本思路是________，转化为一元方程来解，常见的方法有_________和________，应根据方程组的系数特征灵活选定方法。
6. 解分式方程的实质是将方程的两边乘以同一个整式，约去_______，将分式方程转化为整式方程，主要是转化为一元一次方程。
解分式方程必须进行_______。
7. 一元二次方程的一般形式是20(0)ax bx c a ++=≠，解一元二次方程的基本思路是______，常用方法有①___________、②___________、③___________、④__________。
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中考第一轮复习方程与不等式,考试内容考试要求层次A B C方程知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等方法估计方程的解一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论)会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组）了解二元一次方程（组）的有关概念能根据具体问题列出二元一次方程（组）二元一次方程组的解法知道代入消元法、加减消元法的意义掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组会运用二元一次方程组解决简单的实际问题分式方程及其解法了解分式方程的概念会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验会运用分式方程解决简单的实际问题一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题不等式（组）能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组）不等式的性质理解不等式的基本性质会利用不等式的性质比较两个实数的大小解一元一次不等式（组）了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程． 一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．二、根的情况对于形如20ax bx c ++=的形式应判断a ，b ，c 的情况而定： ⑴当0a =且0b ≠方程有唯一解．⑵当0a =且0b =，0c =时，方程有无数解． ⑶当0a =且0b =且0c ≠时，方程无解． ⑷当0a ≠时，方程为一元二次方程．当0∆>时，方程有两个不相等的实数根； 当0∆=时，方程有两个相等的实数根； 当0∆<时，方程无实数根．三、特殊根对于关于x 的方程20ax bx c ++=()0a >⑴当方程有一根为1时，则0a b c ++=． ⑵当方程有一根为1-时，则0a b c -+=． ⑶当方程有一根为0时，则0c =．⑷当方程两根互为相反数时，则0b =．⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则0c <． ⑹当方程两根都大于零时，则0b <且0c >． ⑺当方程两根都小于零时，则0b >且0c >．⑻当方程有一根1x 大于1，一根2x 小于1，则()()12110x x --<．四、整数根思路一：20ax bx c ++=()0a ≠有整数根必须具备的前提条件：①有实数根：240b ac -≥；②有有理数根：24b ac -是完全平方数；②有整数根：24b b ac --2a 的整数倍．思路二：能分解因式的用分离系数法．【编写思路】 本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次.第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例1复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C 要求部分.常见方法如下： ①、加减消元；1、消元 Ⅰ、部分代入； ②、代入消元Ⅱ、整体代入； ①、直接开方； ②、配方：A 2 + B 2 = 0； 2、降次 ③、因式分解：A ·B = 0或A ·B = c （c 为常整数，且A 、B 均等于整数）； Ⅰ、条件为一元二次方程20ax bx c ++=：转化为2ax bx c =--，然后进行降次；④、利用题设条件!未找到引用源。
，转化为a n m -=错误!未找到引用源。
，然后两边平方得222a na m n -=-，然后进行降次；3、换元 （当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。
第二个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形. 例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例2、例3）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择) （例6）：①、错误!未找到引用源。
为整数； 1、用十字相乘法解含参一元二次方程②、213m x m +=+错误!未找到引用源。
为整数，先用分离常数法转化为523x m =-+错误!未找到引用源。
； ①、判别式为一次多项式时，可根据参 数的取值范围直接求出代数恒等变形方法 整数解问题解题步骤解，然后检验； 2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数②、判别式为二次多项式时，如243m m +-：Ⅰ、设m 2 + 4m – 3 = n 2；Ⅱ、转化为()2227m n +-=；Ⅲ、分解成A ·B = 7，从而求出m 。
【例1】 代数式变形.⑴分解因式：=-23ab a ．⑵已知2223240a b c ab b c ++---+=，则a b c ++的值为 ．⑶ 对任意实数k ，等式2y kx x k =-+恒成立，则xy = . ⑷若0515285222=-+-+-x x x x ，则1522--x x 的值为____________. ⑸已知a 是方程2310x x -+=的根，则代数式2232521a a a -+++的值为 ．⑹当整数x 为 时，代数式221x x x+-的值为整数.⑺已知m 、n 为整数，且2280m n --=（0n >），则1n m += . ⑻已知2x m n =+，37y m n =-， 2.3 4.5z m n =-，用x 、y 表示z为 .【解析】 ⑴ ))((b a b a a -+.点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.⑵ 2223240a b c ab b c ++---+=()222232133044b c c a ab b b ⎛⎫⎛⎫-++-++-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()222131022b b c a ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵()210c -≥，202b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，23102b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥∴()210c -=，202b a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，23102b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=∴1c =，2b =，1a = ∴4a b c ++=.⑶ 由2y kx x k =-+得()2x k x y +=+，对于任意的k 成立，故200x x y +=⎧⎨+=⎩故22x y =-⎧⎨=⎩，故4xy =-.点评：此类题有两种解法，一种是变为00k =的形式，一种是对k 进行赋值解方程组. ⑷ 对分母进行整体换元：令2251t x x =-+，原方程化为8150t t-+-=，去分母得2680t t -+=，解得12t =，24t =，故22510x x --=或2.⑸ 把a 代入得2310a a -+=，22233113252313a aa a a a a a a a a+-++=+=+===+.⑹ 22112x x x x x +-=+-，当1x =±，代数式221x x x+-的值为整数. ⑺ 由2280m n --=得()()()()()()818241824m n m n +-==⨯=⨯=-⨯-=-⨯-，∵0n >，∴m n m n +>-81m+n m n =⎧⎨-=⎩或42m+n m n =⎧⎨-=⎩或18m+n m n =-⎧⎨-=-⎩或24m+n m n =-⎧⎨-=-⎩ 解得 4.53.5m n =⎧⎨=⎩（舍）或31m n =⎧⎨=⎩或 4.53.5m n =-⎧⎨=⎩（舍）或31m n =-⎧⎨=⎩∴1n m +=9. ⑻ 0.20.7z x y =+.【例2】 已知：关于x 的一元二次方程220x x m --=有实数根．⑴ 求m 的取值范围；⑵ 若a ，b 是此方程的两个根，且满足()223124122a a b b ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1，求m的值．【解析】(1) 4+4m ≥0，m ≥-1；(2) 将a ，b 代入一元二次方程可得 ，022=--m a a ，022=--m b b ，m a a =-22，m b b =-22()()()()().25-101-52231-2121231-421-2122舍去或，，，==∴=+=⎪⎭⎫⎝⎛+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-m m m m m m b b a a 【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.【例3】 知关于x 的方程01)1(2=++-mx x n ① 有两个相等的实数根；⑴ 用含n 的代数式表示2m ；⑵ 求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根；⑶ 若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n n m 122+的值.【解析】⑴ 证明：Θ方程①有两个相等的实数根，∴-≠=--=⎧⎨⎩n m n 1041012∆() ∴=-m n 241()且m ≠0，则n ->10 由方程②，有∆222224423=---+m m m n () =++-4123222m m n () =+-+-41442322m n n () =+-424622m n n () =8312m n n ()()+- Θn ->10且m ≠0， ∴>+>80302m n ， ∴+->83102m n n ()()∴>∆20∴方程②必有两个不相等的实数根。