2019年高考数学全国卷大纲及考试说明分析解读
2019年江苏高考数学考试说明
2019年江苏省高考说明－数学科一、命题指导思想2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度. 1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.2．重视数学基本能力和综合能力的考查数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.3．注重数学的应用意识和创新意识的考查数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.二、考试内容及要求数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.具体考查要求如下：1．必做题部分2．附加题部分三、考试形式及试卷结构（一）考试形式闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.（二）考试题型1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（三）试题难易比例必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.四、典型题示例A.必做题部分1. 设复数i 满足(34)|43|i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_____ 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】452. 设集合}1{},3,{},2,1{2=+==B A a a B A 若，则实数a 的值为_ 【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1.3. 右图是一个算法流程图，则输出的k【解析本题属容易题. 【答案】54. 函数ln(1)()1x f x x +=-的定义域为【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题. 【答案】(1,1)(1,)-⋃+∞5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根 棉花纤维的长度小于mm 20.【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为3.0501.0501.0504.0=⨯+⨯+⨯,故频数为301003.0=⨯.6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题. 【答案】657. 已知函数)0)(2sin(cos πϕ<≤+==x x y x y 与，它们的图像有一个横坐标为3π的交点，则ϕ的值是________.【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题. 【答案】6π.8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若64682,,1a a a a a 则+==的值是______.【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题. 【答案】4.9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线1322=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于Q P ,，其焦点是1F ，2F ，则四边形Q PF F 21的面积是______.【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为cm 3．【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题. 【答案】6.11.设直线12y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln 21-.12.设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间)1,1[-上，,,1001,,|52|)(<≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x a x x f 其中R a ∈.若)29()25(f f =-，则)5(a f 的值是 .【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题. 【答案】52-13.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4=⋅，1-=⋅，则⋅的值是 . 【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题. 【答案】87.14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a的取值范围是 ． 【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.DABC 1C 1D1A1B二、解答题15．在ABC ∆中，角c b a C B A ,,,,的对边分别为.已知.2623A B b a ===，， （1）求A cos 值； （2）求c 的值.【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】（1）在ABC ∆中，因为A B b a 2623===，，， 故由正弦定理得A A 2sin 62sin 3=，于是362sin cos sin 2=A A A . 所以36cos =A . (2)由(1)得36cos =A .所以33cos 1sin 2=-=A A .又因为A B 2=，所以311cos 22cos cos 2=-==A B . 从而322cos 1sin 2=-=B B . 在π=++∆C B A ABC 中，因为，所以935sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C . 因此由正弦定理得5sin sin ==ACa c .16．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .求证：（1）EF ∥平面ABC ；（2）AD ⊥AC.【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题 【参考答案】证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD 平面BCD =BD ，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又AB ⊥AD ，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆10:＞＞2222x y +=(a b )a bE 的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题. 【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c =，解得2,1a c ==，于是b 因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ①直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ②由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00,77x y ==；220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解.因此点P的坐标为.18. 如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..【参考答案】 解法一：如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =04,1703b a -=-- k AB =603,04b a -=-解得a =80，b=120. 所以BC 150=. 因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355d dr --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .因为tan ∠BCO =43.所以sin ∠FCO =45，cos ∠FCO =35. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =6803. CF =850cos 3OC FCO =∠,从而5003AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==4003，从而BC =CF －BF =150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =3,68053MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即68038056803(60)805dd d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩≥≥解得1035d ≤≤故当d =10时,68035dr -=最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 19. 设函数ax e x g ax x x f x -=-=)(,ln )(，其中a 为实数.（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题． 【参考答案】解：(1)令f ′(x )＝11axa xx--=＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上，有a ∈(e ，＋∞)．(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a .因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1. 结合上述两种情况，有a ≤e －1.①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1x＞0，得f (x )存在唯一的零点；②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当x ＞a－1时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. 当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a－1]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1x－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)＜0.为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时， h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)＜0，又f (a －1)＞0，且函数f (x )在[a －1，e a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1， 当 0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2.20. 设数列{}na 的前n 项和为nS ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n mS a =，则称{}na 是“H 数列”．（1）若数列{}na 的前n 项和2()nn S n *=∈N ，证明：{}na 是“H 数列”；（2）设{}na 是等差数列，其首项11a=，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}na ，总存在两个“H 数列”{}nb 和{}nc ，使得()nn n ab c n *=+∈N 成立．【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证能力．本题属难题． 【参考答案】 （1）当2n ≥时，111222n n n nn n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11Sa =，当2n ≥时，1n n S a +=∴{}na 是“H 数列” （2）1(1)(1)22nn n n n Sna d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使nm S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d =+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =-（3）设{}na 的公差为d令111(1)(2)nba n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n nb b a +-=-1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+则1(1)nn n bc a nd a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列{}n b 的前n 项和11(1)()2nn n Tna a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使nm Tb =成立，即{}n b 为“H 数列”．{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N 即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得nm Rc =成立，即{}n c 为“H 数列”因此命题得证.B ．附加题部分 1．选修24-矩阵与变换 已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1206B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求1A B -． 【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题． 【参考答案】 设A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故1a =-，0b =，0c =，12d =，从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，所以，11012121060302A B --⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦． 2．选修44-坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。
解读2019高考数学考试大纲及考试说明
（五）高考数学试题来源:
①课本是试题的基本来源(旧题翻新)；
②历届高考试题成为新高考试题的借鉴； ③课本与《课程标准》的交集成为试题的创新地带； ④高等数学的基本思想、基本问题为高考题的命制提 供背景； ⑤国内外竞赛试题改编。
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（一）课程基本理念
这些课程理念，必将在今后相当长的一段 时间内，引领高中数学教师瞄准育人目标，明确 教学内容，规范教学行为，完成教学任务.与此 相应的高考，必将把考查学生的数学素养、数学 思想、数学应用、数学文化等作为数学高考的重 要任务，并在试题中鲜明地体现出来。
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（二）大纲解读:
2019年的考试大纲与2018年相比，在考核目标、 考试范围与要求等方面都没有变动，总体来看， 《2019年高考数学考试大纲》在指导思想、考核要 求及考试范围方面延续了2018年的要求： 1.继续坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶 层设计，继续明确了“立德树人、服务选才、引导教 学”这一高考核心功能；通过明确“必备知识、关键能 力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、 综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，回 答了高考“考什么”和“怎么考”的问题。
4.在现行考试大纲三个选考模块中删 去《几何证明选讲》，其余2个选考 模块的内容和范围都不变，考生从 《坐标系与参数方程》、《不等式选 讲》2个模块中任选1个作答。
(四)高考数学新课标卷命题指导思想
坚持“有助于高校科学公正地选拔人才，有助于推进普通高中 课程改革，实施素质教育”的原则，体现普通高中课程标准的基本 理念，以能力立意，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生 的数学核心素养. 发挥数学作为主要基础学科的作用， 考查考生对中 学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，考查考生对数学思想方 法和数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能.
2019年高考理科全国1卷数学-解析
2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学1.已知集合Mx 4 x 2 ， N { x x2x 6 0 ，则MN =A. { x4 x 3B. { x4 x2C. { x2 x 2D.{ x 2 x3【答案】 C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，Mx 4 x 2 , Nx 2 x 3 ，则M Nx 2 x2 ．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设复数 z 满足z i =1，z在复平面内对应的点为(x，y) ，则A.( x+1)2y21B. ( x 1)2y 21C. x2( y 1)21D. x2( y+1)21【答案】 C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0， 1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】 z x yi , z i x ( y 1)i , zix2( y 1)21, 则x2( y 1)21．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．3.已知alog 2 0.2, b 2 0.2, c0.20.3，则A.a b cB. a cbC. c a bD.b c a【答案】 B【解析】【分析】运用中间量0 比较a , c，运用中间量1比较b , c【详解】 a log2 0.2 log 2 10, b 20.2201, 0 0.20.30.201, 则0c1,a c b ．故选B．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512（5 1≈ 0.618，称为黄金分割比例 )，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体2的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51．若某人满足上述两个黄金分割2比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A. 165 cmB. 175 cmC. 185 cmD. 190cm 【答案】 B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则26 2 6 x 5 1 42.07cm, y 5.15 cm ．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下xy 1 0 5，得 x2端的长度为 26cm ，所以其身高约为 42．07+5．15+105+26=178 ．22，接近 175cm ．故选 B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．sin x x5.函数 f( x)= cos x x 2在[— π， π]的图像大致为A.B.C.D.【答案】【解析】【分析】D先判断函数的奇偶性，得 f (x)是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．sin( x) ( x) sin x x f ( x) ，得f ( x)是奇函数，其图象关【详解】由 f ( x)x)( x)2cos x x 2cos(于原点对称．又 f ( )12422 0．故选D．21, f ( )12()22【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3 个阳爻的概率是5112111 A. B. C. D.16323216【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3 个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有26情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 C63，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为C63=5，故选A．2616【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．7.已知非零向量a， b 满足a = 2 b ，且（a–b）b，则 a 与 b 的夹角为π π 2π 5π A.B.C.D.6336【答案】 B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由 (a b) b 得出向量a,b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为(a b) b ，所以 (ab) b a b b 2 =0 ，所以a b b 2，所以cos =a b | b |2 1 a 与b 的夹角为 ，故选 B ．a b2 | b |2，所以23【点睛】对向量夹角的计算， 先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0, ]．1 8.如图是求21的程序框图，图中空白框中应填入2 121 B. A=21 1 A. A=C. A=D. A=2 AA1 2 A112 A【答案】 A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择．1 , k 11， k k1【详解】执行第 1次， A 1 2 是，因为第一次应该计算1=2222A1=2，循环，执行第 2 次，k2 2 ，是，因为第二次应该计算1=1， k k1 2122A2=3，循环，执行第 3 次，k2 2 ，否，输出，故循环体为1，故选 A．AA21【点睛】秒杀速解认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A．2A9.记S n为等差数列 { a n} 的前n项和．已知 S40，a5 5 ，则A.a n2n5B. a n3n 10C.S n 2n28nD.S n 1 n22n2【答案】 A【解析】【分析】等差数列通项公式与前 n项和公式．本题还可用排除，对 B ，a5 5 ，S44(72)100 ，排除B，对C，S40, a5S5S4 2 5285010 5 ，2排除 C．对 D，S40, a5S5S4152 2 505 5 ，排除D，故选A．22S44a1d430a13a n n5 ，故选【详解】由题知，2，解得，∴A．2a5a14d5d2【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．10. 已知椭圆 C 的焦点为F1( 1,0) ， F2( 1,0) ，过F2的直线与C 交于，两点若A B.│ AF│22│F2B│1，│ AB│ │ BF│，则C的方程为A.x2y21x2y2x2y2D. 2B.1C.13243x2y2154【答案】 B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n ,AF12a AF22n．在△ 1 2△BF F中，AF F和 1 2由余弦定理得4n24 2 2n 2 cos AF2 F14n2 ,，又 AF F,BF F互补，n24 2 n 2 cos BF2 F19n22121c o s A F F c o s B F F ，0两式消去cos AF F , cos BF F，得3n2611n2，21212121解得n 3 ．2a4n 2 3 , a 3 ,b2a2c231 2 ,所求椭圆方程为2x2y21，故选B．32【详解】如图，由已知可设F2 B n ，则 AF22n , BF1AB3n，由椭圆的定义有2a BF1BF24n , AF12a AF22n ．在△A F1 B 中，由余弦定理推论得cos F1 AB 4n29n29n2122214 ，22n3n．在△AF1F2中，由余弦定理得4n4n2n 2n33解得n 3 ．22a 4n 2 3 , a3 , b2a2c2 3 1 2 ,所求椭圆方程为x2y21，32故选 B．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．11. 关于函数f ( x)sin | x | | sin x |有下述四个结论：① f(x)是偶函数② f(x)在区间（, ）单调递增2③ f(x)在[ ,]有4个零点④ f(x)的最大值为 2其中所有正确结论的编号是A. ①②④B. ②④C. ①④D. ①③【答案】 C【解析】【分析】化简函数 f x sin x sin x ，研究它的性质从而得出正确答案．【详解】f x sin x sin xsin x sin x f x , f x为偶函数，故①正确．当2x时， f x2sin x，它在区间,单调递减，故②错误．当 0 x2时，f x2s i nx0；当x0时，，它有两个零点：f x s i n x s i x n ，它2有x一s个i零n点：，故 f x 在,有 3个零点：0，故③错误．当 x 2k , 2k k N时， f x 2 s i nx；当x 2k, 2k2k N时， f x si n x si nx ，0 又 f x 为偶函数，f x的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选 C．【点睛】画出函数f x sin x sin x 的图象，由图象可得①④正确，故选C．12. 已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC，△ ABC 是边长为2 的正三角形，E， F 分别是PA， PB 的中点，∠CEF =90 °，则球O 的体积为A.86B.46C.26D.6【答案】D【解析】【分析】先证得PB 平面PAC ，再求得PAPBPC2，从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一 :PA PB PC,ABC 为边长为2的等边三角形，P ABC 为正三棱锥，PB AC ，又 E ，F分别为 PA、 AB 中点，EF //PB，EF AC，又 EF CE ，CEAC C ,EF平面 PAC ， PB平面 PAC ，PAB PA PB PC 2 ，P ABC 为正方体一部分，2R 2 2 26，即 R 6 ,V4R34 6 6 6 ，故选D．2338解法二 :设 PA PB PC2x ， E, F 分别为PA, AB中点，EF //PB，且EF 1PB x ，ABC 为边长为 2 的等边三角形，2CF 3 又CEF90CE3x2,AE 1PA x 2AEC 中余弦定理 cos EAC x243x2，作 PD AC于D，PA PC，2 2xAD1x243x2 1 ，Q D 为 AC 中点，cos EAC，PA2x 4 x2x2x2 1 2x21x 2 ，PA PB PC2，又 AB=BC =AC=2 ，22PA , PB , PC 两两垂直，2R222 6 ，R 6 ，2V 4 R3466 6 ，故选D.338【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．二、填空题：本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。
2019年高考数学全国3卷文理科试卷分析和点评解析
2019年高考数学全国3卷文/理科试卷分析和点评解析10.双曲线 C ：1 的右焦点为 F ，点 P 在 C 的一条渐近线上，O 为坐标原点.若4 2|PO |=|PF |，则△PFO 的面积为（ ）3 2 3 2 A. B.4 2C. 2 2D. 3 2【解析】看到焦点和渐近线，想到双曲线参数的几何意义，即焦点到渐近线的距离为b ，过F 作渐近线的垂线，垂足为 B ，设 POPFx ，a c 2x 2x 2法一：在 Rt OFB 中，有 cos FOB ，在 OFP 中，有 cos FOB，c 2cxc21 c23 2 联立得 x，得 S b 。
2a2 2a 4c 2 c 2法二：等腰直角三角形的高为 b xc x 2，易得 x ，同上。
4 2a【点评】双曲线参数的几何意义多次考查，《解析几何的系统性突破》（唯一正版销售书店）通过高考题反复强化学生认知，从而在一些几何图形中迅速找到隐含 的信息，快速突破。
11.（送分）12. 设函数 f (x )sin(xc 2x 2- 4[)(0) ，已知 f (x )在[0,2π]有且仅有 5 个零点，下述四个结5论：①f (x )在(0,2π)有且仅有 3 个极大值点；②f (x )在(0,2π)有且仅有 2个极小值点；③f (x )在(0, ) 单调递增；④的取值范围是 12 , 29).其中所有正确结论的编号是（）105 10A.①④B.②③C.①②③D.①③④【点评 1】肖博老师威信：xbmath19《高观点下全国卷高考压轴题研究三部曲》书中 最后给出了 16 套小练习（搜集最新的各地模拟题），其中第 3 套和第 4 套第 1 题如下： 1.函数 fxcos x 0在区间, 上有且只有两个极值点，则的取值范围是3 4A. 2,3B.2,3C.3, 4D.3, 41.若函数 y2sin x0的图象在区间 (,)上只有一个极值点，则的取值范围3 6为（ ）)A. 13B.23 32C. 34D.3 92 2法一：还原，则变成同上 2 个题。
2019年浙江省高考数学(含解析版)
【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）
A. B.1
C.10D.12
【答案】C
【解析】
【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.
【详解】方法1：由分布列得 ，则
，则当 在 内增大时， 先减小后增大.
方法2：则
故选D.
【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.
8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A.当 B.当
C.当 D.当
非选择题部分（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分
11.复数 （ 为虚数单位），则 ________.
12.已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则 _____， ______.
13.在二项式 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
8.设三棱锥 底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点），记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）
A. B.
C. D.
9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则（ ）
高考数学考纲解读
的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较 好的考查. 2.突出通性通法
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是 解决这一类题的通用方法，也即一解多题.
识、基本技能、基本方法，例如集合、复 数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、 算法、二项式定理、排列组合等都是直接 考查基础知识和基本方法的试题，考的频 次非常高.
2.考查主干内容 全国卷强调对主干内容的重点考查，体
现了对数学知识的全面性、基础性和综合 性.在解答题中重点考查函数、导数、三角 函数、概率统计、数列、立体几何、直线 与圆锥曲线等主干内容.
4，8，16，…，其中第一项是 20 ，接下来的两项是 20,21 ，再接下
来的三项是 20,21,22 ，依此类推.求满足如下条件的最小整数
N : N 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂，那么该款软件
的激活码是
A.440
B.330
C.220
D.110
五 注重试题的技巧性优解，突出 选拔功能
解法二：
解法三：
解法四
例3 （2019益阳高三调研12）
设函数 f (x) x3 3x2 ax 5 a ，若存在唯一的正整数
x0 使得 f (x0 ) 0 ，则 a 的取值范围是
A.
0,
1 3
B.
1 3
,
5 4
C.
1 3
,
3 2
已知函数 f x ln x x2与g x x 22 1 m 的
2019年高考数学全国卷和北京卷试题对比分析及2020届高三复习策略
备考建议
1. 重视基础知识、基本技能和基本思想方法的复习
概念的理解要准确而且深刻 基本解题技巧的掌握要精确而且熟练 基本思想方法的渗透要立足于课堂
2. 突出重点，抓住知识之间的相互联系
函数内容仍然占据主体地位 函数与方程、数列与不等式、向量与立体几何等内容的结合
①函数内容占比最高 ②线性规划、三视图等内容删去
学生得分情况分析-本科
理科 要求：80分
选择题：40分 填空题：10分
17题: 12分 18题: 8分 19题: 6分 解答题 20题: 2分 21题: 1分 选做题：3分 容错分：2分
文科 要求：90分
选择题：45分 填空题：10分
17题: 12分 18题: 12分 19题: 6分 解答题 20题: 2分 21题: 1分体几何：圆柱
圆锥曲线：双曲线
6
统计：系统抽样
函数与导数：切线方程 立体几何：点线面关系
7
三角函数
向量：向量的线性运算 不等式：线性规划
8
向量的数量积
三角函数图像的性质
函数：函数的图像
9
程序框图
立体几何：三视图
函数：函数的性质
10
圆锥曲线：双曲线
立体几何：线面夹角
程序框图
11
解三角形
三角函数的定义
题序 1-12 13-16
题型
选择题 填空题
分值
单题：5分 一共60分
单题：5分 一共20分
17-21
解答题（必做）
单题：12分 一共60分
22-23
解答题（选做）
单题：10分 一共10分
难度设置
基础题×6 中档题×5 高档题×1 基础题×1 中档题×2 高档题×1
2019年高考理数全国卷2及答案解析
数学试卷 第1页（共20页） 数学试卷 第2页（共20页）绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷理科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}2–56|0A x x x =+＞，{}–10|B x x =＜，则A B =I( )A .(–1)∞，B .(–2)1，C .(–3)–1，D .(3)+∞，2.设–32z i =+，则在复平面内z 对应的点位于( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 3.已知()2,3AB =u u u r ，(3)AC t =,uuu r，1BC =uu u r ，则AB BC =⋅uu u r uu u r( ) A .–3 B .–2 C .2D .34.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行.2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rR α=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为( ) ABCD5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 ( ) A .中位数 B .平均数 C .方差 D .极差 6.若a b ＞，则 ( ) A .0()ln a b -＞ B .33a b ＜ C .330a b -> D .a b >7.设α，β为两个平面，则αβP 的充要条件是 ( )A .α内有无数条直线与β平行B .α内有两条相交直线与β平行C .α，β平行于同一条直线D .α，β垂直于同一平面 8.若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =( ) A .2 B .3 C .4D .89.下列函数中，以2π为周期且在区间42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增的是( )A .()cos 2f x x =B .()sin 2f x x =毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共20页） 数学试卷 第4页（共20页）C .()cos f x x =D .()f x sin x =10.已知π20a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），2sin2cos2+1αα=，则sin α=( ) A .15 BCD11.设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点.若PQ OF =，则C 的离心率为( )ABC .2D12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是( )A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国2卷)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国2卷）文科数学本试卷共23题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞﹣1}，B＝{x|x＜2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣1，2）D．∅2．（5分）设z＝i（2+i），则＝（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（3，2），则|﹣|＝（）A．B．2C．5D．504．（5分）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（）A．B．C．D．5．（5分）在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙6．（5分）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝e x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（）A．e﹣x﹣1B．e﹣x+1C．﹣e﹣x﹣1D．﹣e﹣x+17．（5分）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8．（5分）若x1＝，x2＝是函数f（x）＝sinωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（）A．2B．C．1D．9．（5分）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆+＝1的一个焦点，则p＝（）A．2B．3C．4D．810．（5分）曲线y＝2sin x+cos x在点（π，﹣1）处的切线方程为（）A．x﹣y﹣π﹣1＝0B．2x﹣y﹣2π﹣1＝0C．2x+y﹣2π+1＝0D．x+y﹣π+1＝011．（5分）已知α∈（0，），2sin2α＝cos2α+1，则sinα＝（）A．B．C．D．12．（5分）设F为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为（）A．B．C．2D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科数学全国卷3(附参考答案和详解)
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2019年全国统一高考数学试卷(理科)真题解析(解析版)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A. (-∞，1)B. (-2，1)C. (-3，-1)D. (3，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}2,3,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目，难度偏易．不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．2.设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数的共轭复数和复数在复平面内的对应点位置，渗透了直观想象和数学运算素养．采取定义法，利用数形结合思想解题．【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目，难度偏易．忽视共轭复数的定义致错，复数与共轭复数间的关系为实部同而虚部异，它的实部和虚部分别对应复平面上点的横纵坐标．3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t )，BC =1，则AB BC ⋅= A. -3 B. -2 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面向量数量积的坐标运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法，利用转化与化归思想解题．【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．学生易在处理向量的法则运算和坐标运算处出错，借助向量的模的公式得到向量的坐标，然后计算向量数量积．4.2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立α的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由rRα=，得r R α= 因为121223()()M M M R r R r r R +=++，所以12122222(1)(1)M M M R R R ααα+=++，即543232221133[(1)]3(1)(1)M M αααααααα++=+-=≈++，解得3α=所以3.r R α==【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．5.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A. 中位数B. 平均数C. 方差D. 极差【答案】A 【解析】 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案． 【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x <<<，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数234817x x x x x '=<<<（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()22221119q S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 显然极差变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.6.若a >b ，则 A. ln(a −b )>0B. 3a <3bC. a 3−b 3>0D. │a │>│b │【答案】C 【解析】 【分析】本题也可用直接法，因为a b >，所以0a b ->，当1a b -=时，ln()0a b -=，知A 错，因为3xy =是增函数，所以33a b >，故B 错；因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，知C 正确；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错．【详解】取2,1a b ==，满足a b >，ln()0a b -=，知A 错，排除A ；因为9333a b =>=，知B 错，排除B ；取1,2a b ==-，满足a b >，12a b =<=，知D 错，排除D ，因为幂函数3y x =是增函数，a b >，所以33a b >，故选C ．【点睛】本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. α，β平行于同一条直线 D. α，β垂直于同一平面 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断．【详解】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．【点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若,,//a b a b αβ⊂⊂，则//αβ”此类的错误．8.若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，即可解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，故选D ．【详解】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ．【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．9.下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是 A. f (x )=│cos 2x │ B. f (x )=│sin 2x │ C. f (x )=cos│x │ D. f (x )= sin│x │【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．【详解】因为sin ||y x =图象如下图，知其不是周期函数，排除D ；因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ，作出cos2y x =图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递增，A 正确；作出sin 2y x =的图象，由图象知，其周期为2π，在区间单调递减，排除B ，故选A ．【点睛】利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数；10.已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A.15B.5C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案． 【详解】2sin 2cos21α=α+，24sin cos 2cos .0,,cos 02π⎛⎫∴α⋅α=αα∈∴α> ⎪⎝⎭．sin 0,2sin cos α>∴α=α，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5∴α=α=，又sin 0α>，sin α∴=B ．【点睛】本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．11.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A.B. C. 2 D.【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．12.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A. 9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. 7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C. 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D. 8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．14.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】 【分析】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e -=-．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e --=-，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3π． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．15.V ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则V ABC 的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查． 【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．【答案】 (1). 共26个面. (2). 1. 【解析】 【分析】第一问可按题目数出来，第二问需在正方体中简单还原出物体位置，利用对称性，平面几何解决． 【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有18826+=个面．如图，设该半正多面体的棱长为x ，则A B B E x ==，延长BC 与FE 交于点G ，延长BC 交正方体棱于H ，由半正多面体对称性可知，BGE ∆为等腰直角三角形，,21)122BG GE CH x GH x x x ∴===∴=⨯+==，1x ∴==．【点睛】本题立意新颖，空间想象能力要求高，物体位置还原是关键，遇到新题别慌乱，题目其实很简单，稳中求胜是关键．立体几何平面化，无论多难都不怕，强大空间想象能力，快速还原图形．三、解答题：共70分。
2019年全国高考数学一卷总体分析
2019年全国高考数学一卷总体分析与2019年高考备考建议株洲县第五中学阳志长2019年湖南高考数学使用新课标高考全国数学一卷.与往年相比，2019年高考全国一卷数学试题，试卷结构保持不变，考查内容基本一致，体现了高考的稳定性与延续性；注重基础知识，体现数学思想，考查数学运算、应用、创新等能力.突出对数学抽象、逻辑推理、数据分析等核心素养的重视和“回归教材”，以及文理合卷等特点.2019年高考湖南省阅卷结果：文科数学平均分55分，比2019年湖南省文科数学平均分67.96分下降12.96分；理科数学79.9，比去年78.82升了1.08分,这是预料中的事情.今结合2019年高考试题、在权衡2019年上期所做《2019－2019年全国高考数学试卷（I）总体综合分析》（以下简称《分析报告》）报告得失的基础上，我们试图为大家提供备考2019年数学高考的方略，供一线数学教师参考.一、考点分布2019年全国高考数学一卷考点分布是按照所考的主要知识点分类、有交汇，分值不能严格区分时、是按照大题分值标注的.二、考查分析（一）常考知识点在《分析报告》中，我们列出常考知识点：集合运算、复数的代数计算、函数基本性质（单调性、奇偶性、周期性等）、导数及其运用、三角函数（恒等变换、图像及性质、解三角形）、平面向量的计算、数列（等差、等比的相关知识）、线性规划、二项式定理（理）、程序框图、概率（古典概型）、统计的基本知识、立体几何（空间点、线、面的位置关系）、圆锥曲线（定义、性质）等.从上面列表可以看出，2019年高考全国一卷基本上覆盖了高中数学的所有重要的知识点，预测是准确的.2019年高考数学全国一卷命题的基本思路仍然是：以选择题、填空题“小题”的形式覆盖知识点，引导高中数学教师落实《课程标准》的基本要求，做好“保底”工作；以解答题“大题”的形式着重考查综合素养，提高区分度、强化选拔功能；文理同题（同宗题或姊妹题）略有增加，为高考数学文理合卷进一步创造条件.（二）板块分析1.三角函数该知识点在整个试卷中理科占有17分、文科占有20分，文科以四道小题、理科以一道小题一道大题的形式呈现.题目之间互补，形成纵向“问题链”，主要考查三角恒等变换、三角函数图象与性质、解三角形，估计2019年不会有大的变化.2.数列该知识点在整个试卷中理科占有10分、文科占有12分，理科以两道小题，文科以一道大题的形式呈现.以特殊数列（等差数列、等比数列）为载体，考查求解数列的通项公式、前n项和，在解答题中靠前，属于容易题，在小题中靠后，属于较难题.与三角“嵌套”，理科在解答题中考查三角、文科在解答题中考查数列.考查风格与2019年相同，估计2019年也不会有大的变化.3.概率统计该知识点在整个试卷中文理都占有17分的分值，试题以一大一小的形式呈现.文科小题考查古典概型，大题以实际问题为背景，考查函数解析式、频率、数字特征等知识；理科小题考查几何概型，大题与文科同宗同源，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等知识.文理均重统计，考查风格与2019年基本相同，估计2019年会有些变化，具体见后面专项分析.4.立体几何该知识点在整个试卷中文理科都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查三视图、空间线、面关系.大题分两小题设问，文科第1问证明线段相等，第2问求体积；理科第1问证明面面垂直，第二问求二面角的余弦值.理科考查风格与2019年相同，文科考查风格与2019年有点不同，大题“正投影”难住了较多考生，2019年备考还要关注折叠问题.5.解析几何该知识点在整个试卷中文理都占有22分的分值，试题以一大两小的形式呈现.小题考查圆、圆锥曲线定义、标准方程、简单几何性质.大题分两小题设问，文科第1问考查坐标法，求线段的比值；第2问为存在性问题、考查直线与抛物线的位置关系.理科第1问为定值问题，求轨迹方程；第2问考查直线与圆锥曲线的位置关系，与函数、不等式交汇在一起，属于较难题.考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.6. 函数与导数该知识点在整个试卷中理科占有22分，试题以一大两小的形式呈现；文科占有27分，试题以一大三小的形式呈现.与导数相关的知识，小题中有一题也有涉及（理科第7题、文科第9题和12题）.大题分两小题设问，文科第1问考查定义域、单调性；第2问考查函数零点的相关知识；理科题考查函数零点的相关知识；文理科都与不等式等知识交汇在一起，考查分类讨论、综合运用知识的能力，属于难题.文理科此题属于姊妹题，考查风格与2019年相同，估计2019年不会有大的变化.三、热点透视（一）三角问题三角为数学的主干知识之一，一般情况下应该得满分.纵观近5年全国卷，不确定因素较多、难度较大、综合性较强，超出考生的想象.例1（2019高考全国卷1文科第14题）已知θ是第四象限角，且3sin45πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则tan ____4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ .分析1：由tan tansin cos 4tan 4sin cos 1tan tan 4πθπθθθπθθθ--⎛⎫-== ⎪+⎝⎭+，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出sin cos θθ+、sin cos θθ-的值.解法1：因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin cos 5θθ+=，且72sin cos 25θθ=- .又因为θ是第四象限角，所以sin cos 0θθ-<，且()()22sin cos sin cos θθθθ-=+－324sin cos 25θθ=，故sin cos θθ-=，结果填43-.本题考查三角函数的定义、符号和同角公式、和差角公式等知识，以及化归与转化、平方与开方等思想方法.考生的思维障碍是不知由sin cos θθ+的值可以求出sin cos θθ-的值；错点是sin cos θθ-的符号.其实，sin cos θθ+、sin cos θθ-、sin cos θθ“知一求二”；由单位圆和三角函数线容易判断sin cos θθ+或sin cos θθ-的符号.单位圆是三角函数的“原点”，“能力立意”的基本点是回归“原点”，按照数学家当初建构数学概念那样广开思路，备考时需要重建、理解三角公式体系：利用单位圆定义三角函数的坐标表示（数）和几何表示（形）；由它的坐标表示可以概括得到符号规律、特殊角的三角函数值；由它的几何表示可以简单推出同角公式；由单位圆的对称性和它的坐标表示可以直接得到诱导公式；由向量的数量积和它的坐标表示可以简单推导和差角公式、二倍角公式的“母公式”()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.抓住了单位圆，就等于抓住了三角公式的“命门”：公式记不清时，可以利用单位圆简单推出；符号拿不准时，可以利用单位圆作出判断；特别是由单位圆推导公式的思路和方法，是解决相关问题的思想武器.分析2 ：由()444πππθθ-=+-，为求tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，可从题目条件出发，求出tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解法2：因为()222k k k Z ππθπ-<<∈ ，所以22444k k ππππθπ-<+<+.又因为3sin 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且3tan 44πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .故tan 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭tan 42ππθ⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝tan 24ππθ⎡⎤⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝1tan 4πθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，结果填43-. 这种解法明显优于第一种，更能体现命题者的意图.课本在章头指出：“三角变换包括变换的对象，变换的目标，以及变换的依据和方法等要素”.另解盯住角，从未知与已知关系中寻求突破，用已知角表示未知角、从中寻求三角变换的依据和方法，获得题目的更优解法.“角”是自变量，是三角变换的根本所在，因此三角变换思维起点是角：盯住未知与已知角的关系（互余、互补、和、差、倍、分），以及角的取值范围；三角变换的基本思想是转化与化归思想；三角变换的基本策略是：找“差异”，立足“化异为同”、消除差异找方法，正用、逆用、变用、联用以至活用公式.备考时，要结合具体题目的解答过程，回归课本，把握三角变换的特点和本质，实行方法创新，以“不变”驭“变”.例2 （2019高考全国卷1理科第12题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω> ，2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图象的对称轴，且()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 单调，则ω的最大值为A.11B. 9C. 7D. 5分析：为求ω的最大值，可从题目条件出发，得到关于ω、ϕ的方程和不等式，再从特殊值、一个周期内的图象特征出发筛选答案.解法1：因为4,42m m n πωϕπππωϕπ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩、n Z ∈，所以()()1242n m n m ωππϕ⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩.由2πϕ≤得 10n m -≤+≤.由0ω>得，0n m -≥且ω为奇数.当0n m +=即4πϕ=时，取11ω=，这时()sin 114f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由311242x πππ<+<得，54444x ππ<<.因为55184436πππ<<，所以()f x 在区间5,1844ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数、在区间55,4436ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数，不合题意.同理，ω=7、5不合题意，只有9ω=符合题意. 当1n m +=-即4πϕ=-时，验算知11ω=、9、7不合题意，只有5ω=符合题意.综上所述，ω的最大值为9，结果选B .解法2：由题意知：12π+π 4ππ+π+42k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z .()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调，5π,123618122T ππω∴-=≤≤.接下来用排除法若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在3π5π,4436⎛⎫⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调；若π9,4ωϕ==，此时π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故选B ．本题考查正弦函数图象和零点、对称性、单调性等性质，以及数形结合、函数与方程、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍不是列方程组、求ω和ϕ的表述式，而是处理整数n m +、n m -，以及验算()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性.其实，确定n m +的取值后，取ω的值验算时，为了减少字母运算带来的不便，可以考查函数在一个周期内的单调增区间或减区间，按照周期进行拓展、作出判断；作为一个选择题，本题只需对0n m +=取11ω=、9和对1n m +=-取11ω=三种情况作出判断就可以作出选择.无论是正弦型函数，还是余弦型、正切型函数，无论是奇偶性、单调性、对称性，还是求最值、解方程、不等式，都可以按照三角函数曲线、从一个周期出发按照周期进行拓展.课本是按照从一个周期出发进行拓展的思路探讨三角函数图象的，但是在后续例题列式、求解中带入了“k ”，备考时，要进行两种解题方式的比照，把握其共性，明确从三角函数图象出发、从一个周期出发思考解决问题的道理，化解难点，达到必要的复习深度.理科第17题考查三角形的内角和、周长、面积和正弦定理、余弦定理、诱导公式等知识，以及配方、函数与方程、化归与转化等思想方法.属于中低档题，思路不是问题，影响考生得分主要是表述规范和隐含条件运用等问题.其实，在三角形中常隐含了“内角和为π”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”等条件，解三角形时要特别注意发掘这些隐含条件，建构相应的“条件反射”.备考时，建议还要关注向量与三角的结合问题，以及建构三角函数模型解决“测量”、“潮汐”等问题.不管是哪一类问题，最终往往归结为“化一”、求三角函数在给定区间的最值问题，而隐含在其中的条件“给定区间”，测量着备考高度.模拟训练 1.已知点33sin,cos 44P ππ⎛⎫⎪⎝⎭是以x 轴正半轴为始边的角α的终边上一点，且[)0,2απ∈，则α=A.4πB. 34πC. 54πD. 74π2. 要得到函数)42sin(3π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin 3=的图象A.向左平移4π个单位B.向右平移4π个单位C.向左平移8π个单位D.向右平移8π个单位3.在ABC ∆中，已知︒=45B ，22=c ，334=b ，则=C _____. 4. 设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.5.如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠=，120BCD ∠=.求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）四边形ABCD 的面积S . （二）数学思想数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，能够迁移并广泛用于相关学科和社会生活.因此，对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度.考查时要从学科整体意义和思想价值立意，要有明确的目的，加强针对性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度.1. 数形结合的思想方法 （1）具体特征从“形”入手，直观助思；从“数”突破，验证直觉. （2）考题解析例 3 （2019高考全国卷1文理科第11题）平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为ABDCA.2B.2C.3D.13解法1：如图所示：因为//α平面11CB D ，设平面11CB D 平面1ABCD m =，则1//m m .又因为平面//ABCD 平面1111A B C D ， 平面11B D C平面111111A B C D B D =，所以111//B D m ，故11//B D m .同理，1//CD n .故m 、n 的所成角的大小与11B D 、1CD 所成角的大小相等，即11CD B ∠的大小． 而1111B C B D CD ==，因此113CD B π∠=，即11sin CD B ∠． 解法2：如图，在正方体ABCD －1111A B C D 的下方补两个相同的正方体.因为11//AR B D ，1//AF D C ，可得平面ARF //平面11B CD .由题设可知AR 、AF 分别为m 、n .故m 、n 所成的角即为1B C 、11B D 所成的角，其角度为60.故m 、n 所本题考查线线、线面、面面关系，两异面直线所成角等知识，以及数形结合、化归与转化等思想方法.考生的思维障碍在于根据题意作出图形助思.显然，解2的图形更有利于考生思考、解决问题.求空间角包括求两条异面直线所成角、线面角和面面角，求解的基本路径是：“找（作）——说——求”.“找”是关键，没有现成的就需要“作”，作线线角重点是“平移直线”；作线面角重点是“线面垂直”；作面面角重点也是“线面垂直”.（3）基本类型与学生问题按照题目问题状态，可以分为“题给图形”和“自构图形”两种基本类型.学生的主要问题是：一是没有想到数形结合；二是构图马虎，不能达到“助思”效果；三是构图不够“常态”，产生误导.（4）方法分析数形结合是高中数学的核心思想方法之一.从“形”入手、用数形结合的思想方法，是解答选择、111nm SQ PR H G FE D 1C 1B 1A 1DCBA填空题的重要策略；而由“数”联想到“形”，是一种创造、创新，对学生本身是一个“坎”.建议高三复习时选用恰当的问题进行数形结合的思想立意；同时，结合距离、斜率等数式的几何意义，创造机会让学生思“形”，增长数形结合、由“数”思“形”的见识，激活学生的创新思维.（5）模拟训练① 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为 ( ) A.722cm B. 482cm C. ()248122cm + D. ()235122cm +② 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，则二面角A －BC －D 的正切值为______.③函数()222548f x x x x x =-++++的最小值为 .④已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数. 当0x ≥时，5sin()0142()1()14x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ ，若关于的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈）,有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59(,)24-- B ．9(,1)4-- C ．59(,)24--9(,1)4-- D ．5(,1)2-- 2. 转化与化归的思想方法 （1）具体特征归是归宿、目标，转化是为了达到目标所调用的一切手段和方法. （2）考题解析例4 （2019年文科12题）若函数()1sin 2sin 3f x x x a x =-+在(),-∞+∞上单调递增，则a 的取值范围是A.[]1,1-B. 11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦解法1：()21cos 2cos 3f x x a x '=-+＝245cos cos 033x a x -++≥在(),-∞+∞上恒成立.令cos t x =，则()[]245,1,133h t t at t =-++∈-，只需()h t 的最小值不小于0即可.因为抛物线开口向下，对称轴为38t a =，当308a <时，最小值为()1103h a =+≥，解得103a -≤<；同理可得103a ≤≤.x综上，a 的取值范围是11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.解法2：同解法1，因为抛物线()y h t =开口向下，所以()()1010h h -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1133a -≤≤，故选C.触发点：①为求a 的取值范围，需要将条件化归为不等式、转化为不等式恒成立问题；②为求函数的导数，需要将sin 2x 转化为2sin cos x x 、运用积的导数法则求导；③可将问题转化为求函数的最小值；④为求函数()y h t =的最小值，运用两种手段：分类讨论、各个击破；“同时限制”、转化为解不等式组.先有化归方向，再有化归方法.（3）基本类型与学生问题为了将生疏问题化归为熟悉问题，常用转化方法有数形转化法，数列中有并项公式法求和、裂项相消法求和、错位相减法求和，恒成立、能成立有更替主元法、分离参变法，转化为求函数的最值等等.学生的主要问题是：一是缺少积累，以致常规的转化方法能够达到什么目标不够清晰；二是审题意识不强，不能预测到目标、找不到方向，转化方法失灵.（4）方法分析转化与化归也是高中数学的核心思想方法之一.归根结底，数学解题就是转化与化归，由题目的初始状态向目标状态转化.转化与化归的思想方法是解答“小题”的利器，特别是一些较难的“小题”，常常转化为利用图形直观去考察，即转化与化归思想方法常与其他数学思想方法结合运用.建议高三复习时，加强预测、估算方面的训练.（5）模拟训练①已知函数12,1()tan(),13x x f x x x π-⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则1()(2)f f =A .3-3②已知各项均为正数的等比数列}{n a 中，465=⋅a a ，则数列{}2log n a 的前10项和为 (A)5 (B)6 (C)10 (D)12③若向量b a ,的夹角为3π11==，则向量a 与向量b a -的夹角为（ ） A.6π B.3πC.32πD.65π④由不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-≥+1001x y e y x x确定的平面区域为M ，由不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤e y x 010确定的平面区域为N ，在N 内随机的取一点P ，则点P 落在区域M 内的概率为（ ）A.e 231-B. 231e- C. e 11- D. e 21-3. 函数与方程的思想方法： （1）具体特征函数思想集中体现在变量思想、对应与依存关系、运动与变化观点、数形结合观点，函数是特殊的方程；方程不一定是函数，但是大多数方程问题可以转化为函数问题、利用其图象直观求解.（2）考题解析例5 （2019理科21题）已知函数()()2()21xf x x e a x =-+-有两个零点.（I ）求a 的取值范围；（II ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<.解析：（Ⅰ）当1x =时，()10f e =-<，所以1x =不是函数零点.当1x ≠时，由()0f x =得()()221x x e a x -=-.设()()()221x x e g x x -=-，则()()()23451x e x x g x x --+'=-. 当1x <时，()0g x '>；当1x >时，()0g x '<.故函数()g x 在(),1-∞上单调递增、在()1,+∞上单调递减.在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象可知，当0a >时两函数图象必有两个交点，故所求a 的取值范围为()0,+∞.（Ⅱ）设()()()11F x f x f x =+--，则()()()1111x x F x x xex e --=-++，且()()11x x F x x e e --'=-.当0x >时，110x x e e --->，()0F x '>.故函数()F x 在()0,+∞上单调递增.又()00F =，所以当0x >时，()()00F x F >=，即当0x >时，()()11f x f x +>-.设12x x <，由（I ）知函数()f x 的极值点为1，则有121,1x x <>.又()20f a =>，所以212x <<.因为()()()()()1222112f x f x f x f x ==+->-.又121,21x x <-<，由（I ）知函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞，所以122x x <-，即122x x +<.触发点：第（I ）中，在函数与方程思想的导引下，“一分为二”、将一个函数分解为两个函数，在同一坐标系中画出函数()y g x =、y a =的图象，通过函数图象直观助思，将图形关系转化为数量关系，得到a 的取值范围为()0,+∞.第（II ）中，由()()112x x ++-=、与所要证明结果结构相似，构造函数()()()11F x f x f x =+--，按照函数单调性的定义，沟通函数值大小与自变量大小的关系， 实现“方程（不等式）——函数——图象——方程（不等式）”的相互转化.（3）基本类型与学生问题学生在学习指、对、幂函数的图象和性质的过程中，利用函数的单调性比较相关函数值的大小，使学生第一次接触到构造函数；在学习“函数与方程”时，为了解决函数零点的相关问题，常需要将一个复杂函数的零点问题，通过方程转化为两个较简单函数图象交点的问题，或将两个函数交点的问题，通过方程转化为一个函数的零点问题；在解答恒成立、能成立、最值等问题时，常需要将问题转化为求函数的最值，函数思想、运用构造函数的方法将问题转化为考查函数的最值就成为常态的方法.学生的主要问题：一是缺少函数思想、看不到问题的本质；二是不能把“方程——函数——不等式”联系起来，缺少解决相关问题的经验积累；三是转化的方向感不强，有时甚至将问题复杂化.（4）方法分析函数与方程的思想方法也是高中数学的核心思想方法之一.既常态又习以为常，建议高三复习时，结合具体问题，从易到难，开展小专题研究，对学生进行函数与方程的思想立意，并且与数形结合、化归与转化等数学思想融会，提高学生运用函数与方程思想的水平.至于其他的思想方法，教师可以根据学生的需求、进行合理提升.（5）模拟训练 ①若函数)()(R b xbx x f ∈+=的导函数在区间（1，2）上有零点，则)(x f 在下列区间上单调递增的是A.(]1,-∞-B. ()0,1-C. ()1,0D. ()+∞,2②定义一种新运算：a ⊗b=，已知函数f （x ）=（1+）⊗x 2log，若函数g （x ）=f （x ）﹣k 恰有两个零点，则k 的取值范围为（ ）A ．（1，2]B ．（1，2）C ．（0，2）D ．（0，1） ③已知函数()()()=,ln 24x aa x f x x eg x x e --+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x ，使()()00-3f x g x =成立，则实数a 的值为（ ）A. -ln 21-B. -1+ln2C. -ln 2D. ln 2④已知函数x e e x f x 2)(-=，方程01)()(2=-++a x af x f 有四个不同的实数根，则a 的取值范围为（ ）A. )1,(2ee +--∞ B. )1,1(2e - C. ),(2e -∞ D. )1,2(22e e -- （三）应用意识与应用能力 1. 考查情况2019年高考数学全国一卷很明显带有注重实际运用的特征.文理的第16题线性规划，以生产利润为模型，考查线性规划；文理的第19题，以成本控制为模型，考查概率统计（分布列）和决策问题；理科的第4题，以乘车上班为模型，考查几何概型.从2019年的全国新课标一卷来看，在数学的应用问题上，试题体现的应用意识大幅增强，除概率统计问题这个常见的实际问题外，在若干个小题中，也都能见到它实际应用的这种意识，在很多的问题中多有体现，考查考生的应用意识，这一点也充分地体现了新课程的理念.另外，对于概率统计的应用问题，全国新课标一卷着重考核统计方面的知识，有注重考查学生“用数据说话”的倾向，这与我们已经进入大数据时代有关.2.考题解析例6（2019高考全国卷1理科第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得柱状图（如图）.以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥，确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？解析：（I ）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件i A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，记事件i B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件()1,2,3,4i =，由题知()()()()()()1341340.2P A P A P A P B P B P B ======，()()220.4P A P B ==.设2台机器共需更换的易损零件数为X ，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22，且()()()11160.20.20.04P X P A P B ===⨯=，()()()()()1221170.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()132231180.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()()()()()14233241190.20.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯0.40.2+⨯0.20.40.24+⨯=，()()()()()()()243342200.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=，()()()()()3443210.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=， ()()()44220.20.20.04P X P A P B ===⨯=.所以X 的分布列为（II ）因为0.04)0.5X n ≤≥知n 的最小值为19.（III ）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用.当19n =时，费用的期望为192005000.210000.0815000.044040⨯+⨯+⨯+⨯=； 当20n =时，费用的期望为202005000.0810000.044080⨯+⨯+⨯=. 综上所述，应选用19n =比较恰当.本试题为“概率统计”类型，属于中档试题，考查频率、概率、分布列、数学期望等基础知识，以及统计思想的应用和数据处理、分析等方面的能力.本试题背景公平，叙述简明易懂；情境新颖，不落俗套，由文字语言和“柱状图”共同提供数据和信息，考查应用意识和解决实际问题的能力.本试题分小题设问，前问的数据既是解答本问的依据，又是解答后问的依据；密切结合教材，既在情理之中，又有意料之外，考查数学的重点内容，以及基本的数学思想方法.本试题问题所涉及的数学知识和方法有一定的深度和广度.对于随机变量X 的每个取值，事件可以分解为独立事件的“积事件”，以及互斥事件的“和事件”，考生的错误在于缺少“基本事件”意识，概率计算公式列错，考查考生提取有价值数据的意识，以及化繁为简的解题策略；对于费用的期望，考生的错误在于按照思维惯性、列出费用的分布列后按照通常求期望的方法求解，考查考生挖掘数据价值、按照数学期望的本质含义求解的创新意识和能力.本试题立意深刻，突出数学在解决实际问题时的价值取向和应用价值.试题中以“现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图”诱导考生的数据思维，向他们传递面对实际问题时的基本做法、基本态度和基本观点，进行“数学育人”；试题中“以频率代替概率”、“以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据”导引考生的价值取向，引导他们按照数据处理的结果展开分析，用“数学的方式”，用数据说话、作出统计推断、进行科学决策.3.考纲解读应用意识体现在：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.象前面的题目一样，核心在“建模”、“说明”上.应用能力不但强调“建模”、“说明”，而且强调“解模”：如湖南2019年理科第20题“L 路径”问题，建立的函数模型含有多个绝对值，对考生分类整合、解模能力要求相当高，令绝大多数考生望而止步 .4.备考建议：（1）顺应心理诉求，建构数据相关知识.近年来，随着互联网、云计算、手持及移动技术等现代信息技术的飞速发展及应用，人类进入大数据时代.数学高考按照“数学考试的内容和形式都应当有利于中学数学课程改革”的命题思路，2019年高考数学全国新课标试卷加大了“数据分析”的考查力度.上述试题，300多个字符，另加“柱状图”，要求考生能够从给定的大量信息材料中提取有用、有价值的数据，运算求解，分类整合，分析概括一些结论，并能将其应用于解决问题或做出新的判断.“数据分析”是我国高中数学课程标准在修订中提出的六大核心素养（数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析）之一，它包括“数据获取、数据分析、知识建构”三个维度.“数据”不仅指数字，而且指事实或观察的结果，是信息的表现形式和载体，可以是符号、文字、数字、语音、图像、视频等；数据和信息是不可分离的，数据是信息的表达，信息是数据的内涵.“大数据”是从信息量考虑的，具有规模大 (大量：Volume)、类型多 (多样：Variety)、速度快 (高速：Velocity)、价值密度低 (价值：Value)的“4V”特征.尽管新授课关注不够，但在高考复习中，教师还是应该顺应大数据时代学生的心理诉求，关注象上述试题那样“背景新颖、信息量大”的试题或模考题，让学生有机会经历“从大量数据中抽取对研究问题有用的信息”的全过程，建构数据的相关知识.（2）搭建互动平台，培养数据分析能力.数据分析能力集中体现在会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并做出判断等方面.其中收集、存储数据是基础，抽取、。
2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析,详细答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =−<<=−−<，，则MN =A ．}{43x x −<<B ．}42{x x −<<−C ．}{22x x −<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z −，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=−C ．22(1)1y x +−=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]−ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()−a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =−B ． 310n a n =−C ．228n S n n =−D ．2122n S n n =− 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F −()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]−ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科数学全国卷1(附参考答案和详解)
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2019年全国统一高考数学试卷(理科)以及答案解析(全国3卷)
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（全国3卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{0，1，2} 2．（5分）若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.84．（5分）（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为（）A．12B．16C．20D．245．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（）A．16B．8C．4D．26．（5分）已知曲线y＝ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（）A．a＝e，b＝﹣1B．a＝e，b＝1C．a＝e﹣1，b＝1D．a＝e﹣1，b＝﹣1 7．（5分）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的ɛ为0.01，则输出s的值等于（）A．2﹣B．2﹣C．2﹣D．2﹣10．（5分）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（）A．B．C．2D．311．（5分）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（）A．f（log3）＞f（2）＞f（2）B．f（log3）＞f（2）＞f（2）C．f（2）＞f（2）＞f（log3）D．f（2）＞f（2）＞f（log3）12．（5分）设函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f（x）在（0，）单调递增④ω的取值范围是[，）其中所有正确结论的编号是（）A．①④B．②③C．①②③D．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国卷高考数学(理科数学1,、2、3卷,有答案详解)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（1卷）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为2sin cos ++x xxxA ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+ D ．A =112A+9．记为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2n S其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(文科)以及答案解析(全国1卷)
绝密★启用前2019年高考普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设z＝，则|z|＝（）A．2B．C．D．12．（5分）已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A＝（）A．{1，6}B．{1，7}C．{6，7}D．{1，6，7} 3．（5分）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a4．（5分）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（）A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm5．（5分）函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．（5分）tan255°＝（）A．﹣2﹣B．﹣2+C．2﹣D．2+8．（5分）已知非零向量，满足||＝2||，且（﹣）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．9．（5分）如图是求的程序框图，图中空白框中应填入（）A．A＝B．A＝2+C．A＝D．A＝1+10．（5分）双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A﹣b sin B＝4c sin C，cos A ＝﹣，则＝（）A．6B．5C．4D．312．（5分）已知椭圆C的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（）A．+y2＝1B．+＝1C．+＝1D．+＝1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考真题全国3卷理科数学(附答案解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生统一考试理科数学试题卷一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=−=≤，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1−B ．{}0,1C ．{}1,1−D ．{}0,1,22．若(1i)2i z +=，则z =（ ） A ．1i −−B ．1+i −C ．1i −D ．1+i3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.84．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12B ．16C ．20D ．245．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．26．已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ） A ．,1a e b ==−B ．,1a e b ==C ．1,1a e b −==D ．1,1a e b −==−7．函数3222x xx y −=+在[]6,6−的图像大致为 A ． B ．C ．D ．8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线9．执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s 的值等于（ ）A ．4122−B ．5122−C ．6122−D ．7122−10．双曲线C ：2242x y −=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．11．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③C ．①②③D ．①③④二、填空题13．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________.14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________. 15．设12F F ，为椭圆22:+13620x yC =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D −挖去四棱锥O EFGH −后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，,,,E F G H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为30.9/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g .三、解答题17．为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成,A B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：值为0.70.（1）求乙离子残留百分比直方图中,a b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.18．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．19．图1是由矩形ADEB ，Rt △ABC 和菱形BFGC 组成的一个平面图形，其中AB =1，BE =BF =2，∠FBC =60°，将其沿AB ，BC 折起使得BE 与BF 重合，连结DG ，如图2. （1）证明：图2中的A ，C ，G ，D 四点共面，且平面ABC ⊥平面BCGE ； （2）求图2中的二面角B−CG−A 的大小.20．已知函数32()2f x x ax b =−+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在,a b ，使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1−且最大值为1？若存在，求出,a b 的所有值；若不存在，说明理由.21．已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12−上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .（1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.22．如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)A ，)4B π，)4C 3π，(2,)D π，弧»AB ，»BC ，»CD 所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)2π，(1,)π，曲线1M 是弧»AB ，曲线2M 是弧»BC，曲线3M 是弧»CD .（1）分别写出1M ，2M ，3M 的极坐标方程；（2）曲线M 由1M ，2M ，3M 构成，若点P 在M 上，且||OP =P 的极坐标. 23．设,,x y z R ∈，且1x y z ++=.（1）求222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值； （2）若2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥成立，证明：3a −≤或1a ≥−.参考答案1．A 【解析】 【分析】先求出集合B 再求出交集. 【详解】21,x ≤∴Q 11x −≤≤，∴{}11B x x =−≤≤，则{}1,0,1A B ⋂=−， 故选A ． 【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z −===+++−．故选D ． 【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 3．C 【解析】 【分析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解. 【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归4．A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 5．C 【解析】 【分析】利用方程思想列出关于1,a q 的方程组，求出1,a q ，再利用通项公式即可求得3a 的值． 【详解】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键． 6．D 【解析】 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,x y ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e −∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==−，故选D ．本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 7．B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x xx y f x −==+，则332()2()()2222x x x x x x f x f x −−−−==−=−++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f −⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f −⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 8．B 【解析】 【分析】利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题． 【详解】如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ． 连BF ，Q 平面CDE ⊥平面ABCD ．,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCE ， MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN ===，5,,22MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．【点睛】本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性． 9．C 【解析】 【分析】根据程序框图，结合循环关系进行运算，可得结果. 【详解】输入的ε为0.01，1.01,0.50.01?x S x ==+=<不满足条件； 1101,0.01?24S x =++=<不满足条件；⋅⋅⋅611101,0.00781250.01?22128S x =++++==<L 满足条件 输出676111112122222S ⎛⎫=++⋯+=−=− ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】解答本题关键是利用循环运算，根据计算精确度确定数据分析． 10．A 【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题． 【详解】由2,,,a b c ====．,P PO PF x =∴=Q ，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在2y x =上，112224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ． 【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积． 11．C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422−−−−>==>>∴>>Q ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f −−⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 12．D 【解析】【分析】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，通过整体换元得5265πππωπ≤+<，结合正弦函数的图像分析得出答案． 【详解】当[0,2]x πÎ时，,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦， ∵f （x ）在[0,2]π有且仅有5个零点， ∴5265πππωπ≤+<，∴1229510ω≤<，故④正确， 由5265πππωπ≤+<，知,2555x πππωπω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦时， 令59,,5222x ππππω+=时取得极大值，①正确；极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确； 因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 当0,10x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，(2),5510x ππωπω+⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 若f （x ）在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增， 则(2)102ωππ+< ，即<3ϖ ， ∵1229510ω≤<，故③正确． 故选D ． 【点睛】极小值点个数动态的，易错，③正确性考查需认真计算，易出错，本题主要考查了整体换元的思想解三角函数问题，属于中档题． 13．23. 【解析】 【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果. 【详解】因为2c a =v v，0a b ⋅=vv ，所以22a c a b vv v v⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =−⋅+=vv v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案． 14．4. 【解析】 【分析】根据已知求出1a 和d 的关系，再结合等差数列前n 项和公式求得结果. 【详解】因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案． 15．( 【解析】 【分析】根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.【详解】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=−=∴=，11228MF F F c ∴===．∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =−舍去），M \的坐标为(．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 16．118．8 【解析】 【分析】根据题意可知模型的体积为四棱锥体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量. 【详解】由题意得， 2146423122EFGH S cm =⨯−⨯⨯⨯=， 四棱锥O −EFG 的高3cm ， ∴31123123O EFGH V cm −=⨯⨯=．又长方体1111ABCD A B C D −的体积为32466144V cm =⨯⨯=， 所以该模型体积为22114412132V V V cm =−=−=，其质量为0.9132118.8g ⨯=． 【点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．17．(1) 0.35a =，0.10b =；(2) 4.05，6. 【解析】 【分析】(1)由()0.70P C =及频率和为1可解得a 和b 的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得0.200.150.70a ++=，解得0.35a =，由0.050.151()10.70b P C ++=−=−，解得0.10b =.(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，乙离子残留百分比的平均值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题.18．(1) 3B π=;(2)()82. 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABC S ac B =⋅V ，又根据正弦定理和1c =得到ABC S V 关于C 的函数，由于ABC V 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABC S C V 的值域. 【详解】 (1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A CB +=或者2AC B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC V 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<−<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ−=⋅=⋅=⋅=⋅V 22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ−==⋅−=+.又因,tan 623C C ππ<<>,故3188tan 82C <+<，故82ABC S <<V . 故ABC S V的取值范围是 【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查ABC V 是锐角三角形这个条件的利用．考查的很全面，是一道很好的考题.19．(1)见详解；(2) 30o . 【解析】 【分析】(1)因为折纸和粘合不改变矩形ABED ，Rt ABC V 和菱形BFGC 内部的夹角，所以//AD BE ，//BF CG 依然成立，又因E 和F 粘在一起，所以得证.因为AB 是平面BCGE 垂线，所以易证.(2)在图中找到B CG A −−对应的平面角，再求此平面角即可.于是考虑B 关于GC 的垂线，发现此垂足与A 的连线也垂直于CG .按照此思路即证. 【详解】(1)证：Q //AD BE ，//BF CG ，又因为E 和F 粘在一起.∴//AD CG ，A ，C ，G ，D 四点共面.又,AB BE AB BC ⊥⊥Q .AB ∴⊥平面BCGE ，AB ⊂Q 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BCGE ，得证.(2)过B 作BH GC ⊥延长线于H ，连结AH ，因为AB ⊥平面BCGE ，所以AB GC ⊥ 而又BH GC ⊥，故GC ⊥平面HAB ，所以AH GC ⊥.又因为BH GC ⊥所以BHA ∠是二面角B CG A −−的平面角，而在BHC △中90BHC ∠=o ，又因为60FBC ∠=o 故60BCH ∠=o ，所以sin 60BH BC ==o而在ABH V 中90ABH ∠=o ,tanAB BHA BH ∠===B CG A −−的度数为30o .【点睛】很新颖的立体几何考题．首先是多面体粘合问题，考查考生在粘合过程中哪些量是不变的．再者粘合后的多面体不是直棱柱，建系的向量解法在本题中略显麻烦，突出考查几何方法．最后将求二面角转化为求二面角的平面角问题考查考生的空间想象能力．20．(1)见详解；(2) 01a b =⎧⎨=−⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【解析】 【分析】(1)先求()f x 的导数，再根据a 的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据a 的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出a ,b 的值. 【详解】(1)对32()2f x x ax b =−+求导得2'()626()3af x x ax x x =−=−.所以有当0a <时，(,)3a −∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 当0a =时，(,)−∞+∞区间上单调递增；当0a >时，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. (2)若()f x 在区间[0,1]有最大值1和最小值-1，所以若0a <，(,)3a −∞区间上单调递增，(,0)3a 区间上单调递减，(0,)+∞区间上单调递增； 此时在区间[0,1]上单调递增，所以(0)1f =−，(1)1f =代入解得1b =−，0a =，与0a <矛盾，所以0a <不成立.若0a =，(,)−∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =−，(1)1f =代入解得1a b =⎧⎨=−⎩. 若02a <≤，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==−+≥，故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .即322()()13321a a ab a b ⎧−+=−⎪⎨⎪−+=⎩相减得32227a a −+=，即(0a a a −+=，又因为02a <≤，所以无解.若23a <≤，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a 区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减，在区间(,1)3a 单调递增，所以区间[0,1]上最小值为()3a f 而(0),(1)2(0)fb f a b f ==−+≤，故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .即322()()1331a a ab b ⎧−+=−⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =，解得x =23a <≤，所以无解.若3a >，(,0)−∞区间上单调递增，(0,)3a区间上单调递减，(,)3a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减，所以区间[0,1]上最大值为(0)f ，最小值为(1)f即121b a b =⎧⎨−+=−⎩解得41a b =⎧⎨=⎩.综上得01a b =⎧⎨=−⎩或41a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．21．(1)见详解；(2) 3或【解析】 【分析】（1）可设11(,)A x y ，22(,)B x y ，1(,)2D t −然后求出A ，B 两点处的切线方程，比如AD ：1111()2y x x t +=−，又因为BD 也有类似的形式，从而求出带参数直线AB 方程，最后求出它所过的定点.（2）由(1)得带参数的直线AB 方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段AB 的中点，EM AB ⊥u u u u v u u u v得出t 的值，从而求出M 坐标和EM u u u u u v 的值，12,d d 分别为点,D E 到直线AB 的距离，则12d d ==，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】(1)证明：设1(,)2D t −,11(,)A x y ,则21112y x =． 又因为212y x =，所以y'x =.则切线DA 的斜率为1x ， 故1111()2y x x t +=−，整理得112210tx y −+=. 设22(,)B x y ，同理得222210tx y −+=.11(,)A x y ,22(,)B x y 都满足直线方程2210tx y −+=.于是直线2210tx y −+=过点,A B ，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB 方程为2210tx y −+=.即2(21)0tx y +−+=，当20,210x y =−+=时等式恒成立．所以直线AB 恒过定点1(0,)2. （2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+. 由2122y tx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx −−=， 于是2121212122,1,()121x x t x x y y t x x t +==−+=++=+212|||2(1)AB x x t =−==+.设12,d d 分别为点,D E 到直线AB的距离，则12d d ==.因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+. 设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+⎪⎝⎭， 由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =−u u u u r ，AB u u u r 与向量(1,)t 平行，所以()220t t t +−=，解得0t =或1t =±.当0t =时，3S =；当1t =±时S =因此，四边形ADBE 的面积为3或【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．22．(1) 2cos ([0,])4πρθθ=∈,32sin ([,])44ππρθθ=∈,32cos ([,])4πρθθπ=−∈,(2) )6π,)3π,2)3π,5)6π. 【解析】 【分析】(1)将三个过原点的圆方程列出，注意题中要求的是弧，所以要注意的方程中θ的取值范围. (2)根据条件ρ=P 点的极坐标.【详解】(1)由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.1:2cos ([0,])4M πρθθ=∈， 23:2cos()2sin ([,])244M πππρθθθ=−=∈,33:2cos()2cos ([,])4M πρθπθθπ=−=−∈.(2)解方程2cos [0,])4πθθ=∈得6πθ=，此时P 的极坐标为)6π解方程32sin [,])44ππθθ=∈得3π=θ或23πθ=，此时P 的极坐标为)3π或2)3π解方程32cos [,])4πθθπ−=∈得56πθ=，此时P 的极坐标为5)6π故P 的极坐标为)6π,)3π,2)3π,5)6π. 【点睛】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程，思考量不高，运算量不大，属于中档题.23．(1) 43；(2)见详解. 【解析】【分析】(1)根据条件1x y z ++=，和柯西不等式得到2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥，再讨论,,x y z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的,,x y z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)22222222[(1)(1)(1)](111)[(1)(1)(1)](1)4x y z x y z x y z −++++++≥−++++=+++=故2224(1)(1)(1)3x y z −++++≥等号成立当且仅当111x y z −=+=+而又因1x y z ++=，解得531313x y z ⎧=⎪⎪⎪=−⎨⎪⎪=−⎪⎩时等号成立 所以222(1)(1)(1)x y z −++++的最小值为43. (2) 因为2221(2)(1)()3x y z a −+−+−≥，所以222222[(2)(1)()](111)1x y z a −+−+−++≥. 根据柯西不等式等号成立条件，当21x y z a −=−=−，即22321323a x a y a z a +⎧=−⎪⎪+⎪=−⎨⎪+⎪=−⎪⎩时有22222222[(2)(1)()](111)(21)(2)x y z a x y z a a −+−+−++=−+−+−=+成立. 所以2(2)1a +≥成立，所以有3a −≤或1a ≥−.【点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型.。
2019年高考文数全国卷2含答案解析
徐老师2019年普通高等学校招生全国统一考试·全国Ⅱ卷文科数学本试卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A B =( )A ．()1-+∞，B ．()2-∞，C ．()12-，D ．∅ 2．设()2z i i =+，则=z( )A ．12i +B ．12i -+C ．12i -D ．12i --3．已知向量()23a =，，()32b =，，则a b -=( ) AB ．2 C．D ．504．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为 ( )A ．23B ．35C ．25D ．155．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙6．设()f x 为奇函数，且当0x ≥ 时，()e 1x f x =-，则当0x ＜时，()f x = ( ) A ．e 1x --B ．e 1x -+C ．e 1x ---D ．e 1x --+7．设α，β为两个平面，则αβ∥的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面 8．若14x π=，24x 3π=是函数()sin f x x ω=()0ω＞两个相邻的极值点，则ω=( ) A ．2 B ．32C ．1D ．129．若抛物线()220y px p =＞的焦点是椭圆2213x y p p+=的一个焦点，则p = ( )A ．2B ．3C ．4D ．810．曲线2sin cos y x x =+在点()1π-，处的切线方程为( )A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=11．已知π20a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，），2sin2cos2+1αα=，则sin α=( )A ．15BC．3D．512．设F 为双曲线C ：()2222001x y a ba b -=>>，的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P 、Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为( )徐老师ABC ．2D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考全国卷中数列部分试题分析及复习建议
提升的。
二、数列部分试题复习建议
在复习过程中，数列部分主要应该关注三个方
面：关注知识点及其引申部分；关注通性、通法；关
注易错点。
1. 关注知识点及其引申部分 除了高考考试大纲中列举的数列知识点之外，学
关键词：数列；通项公式；前 n 项和；通性通法
一、2019 年高考全国卷中数列部分试题分析
1. 选择题
例 1 （全国Ⅰ卷·理 9） 记 Sn 为等差数列 {an} 的
前 n 项和。已知 S4 = 0， a5 = 5，则 （ ）。
（A） an = 2n - 5
（B） an = 3n - 10
（C） Sn = 2n2 - 8n
第（2）小题考查等差数列和等比数列的通项公式， 以及函数与方程的思想方法。根据第（1）小题不难确定
数列 {an + bn} 和 {an - bn} 的通项公式，再解方程组即可。
【评析】 2019 年高考全国卷中数列部分试题与以 往全国卷相比，大部分试题难度明显降低。除了全国 Ⅱ卷理科第 19 题难度稍大之外，其他试题基本都是知 识点的简单运用，没有多少思维含量和计算量，但是 这并不能说明今后高考数列部分的考查就是这个难 度。数列部分是在高考命题中最能考查学生数学逻辑 思维能力的知识载体。因此，在今后的考试中，特别 是使用新教材后，在数列知识考查的难度可能会有所
数的等比数列， a1 = 2，a3 = 2a2 + 16。
（1） 求 {an} 的通项公式； （2） 设 bn = log2an，求数列 {bn} 的前 n 项和。 第（1）小题考查等比数列的通项公式。要求 {an} 的
通项公式，只需要求出首项和公比即可，根据已知条 件即可列出关于首项和公比的方程组。
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空间想象能力、数据处理能力以及应用意识和创新 意识. 案例一 推理论证能力：推理是思维的基本形式之一， 它由前提和结论组成；论证是由已有的正确的前提 到被论证的结论的一连串的推理过程.推理既包括演 绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括形式划 分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直
接证法和间接证法.一般运用合情推理进行猜想，再 运用演绎推理进行证明，演绎推理是考查的考点.
全国卷注重对数学通性通法的考查，试题 以一道题为载体，呈现给考生的是一类题，是解 决这一类题的通用方法，也即一解多题.
（2018 全国Ⅱ理 20，12 分）
四 贴近生活实际 体现应用价值
全国卷在数学试题的设计上紧密结合社会实际和 考生的现实生活，体现了数学在解决实际问题中 的重要作用和应用价值，体现了高考改革中加强 应用的特点，很好地体现了“立德树人”的教育理 念. 例如（2017 全国Ⅰ理 12）
（2017 年版）的颁布，意味着 2019 年高考 命题必然会适度接轨新高考，体现从知识立 意、能力立意向素养立意转化的趋势，发挥 高考的导向作用.为此，我们需要深度解读 《考试大纲》所蕴含的命题导向、命题思路 以及更深层的含义，强化能力，提高素养， 科学备考. 《考试大纲》 、 《考试说 明》 、 《试题分析》三者的关系： 《考试大纲》 是高考的纲领性文件， 《考试说明》和《试题
例 3 （2019 益阳高三调研 12）
例 4 （2018 河南省实验中学月考一 12）
例5
六构建解决数学问题的模式识别能力
当遇到一道数学题目时，你的第一反 应是什么?当然是迅速形成解题方案.在经过 审题并且理解题意后，立即思考问题属于哪 一部分（代数部分、立体几何部分、三角部 分、解析几何部分等等） 、哪一章节? 与这 一章节的哪个类型比较接近?解决这个类型 有哪些方法?哪个方法可以首先拿来试用?这
五 注重试题的技巧性优解，突出选拔
功能
坚持多角度、多层次地考查考生思维的 灵活性，通过试题的一题多解，特别是技巧性 优解和快解，较好地区分不同层次的考生，体 现出较好的选拔功能. 例 1（2013 全国Ⅱ12）
【解析一】分两种情况
例 2 （2015 全国理
Ⅰ12）
解法二：
解法四
分析》是对这个纲领性文件的进一步的说明 和解读，三者既统一又互相独立，对 《考试大纲》的解读必须结合《 《考试说明》 和《试题分析》.
一立足基础知识 考查主干内容
1.立足基础知识
全国卷的设计立足于中学数学的基础知 识、基本技能、基本方法，例如集合、复 数、常用逻辑用语、线性规划、平面向量、 算法、二项式定理、排列组合等都是直接考 查基础知识和基本方法的试题，考的频次非 常高. 2.考查主干内容
解读二 目标方程法：根据题设条件求出目标 曲线的含参数的目标方程，通过变换、消减 参数等技巧化简目标方程，从而得出曲线所 过的定点或动点所在的定直线，这种方法叫 做目标方程法.
（2017 全国Ⅰ理 20）
x2 4
y2
1
八 注重数学能力的解读，快速提升考 生的核心素养
《考试大纲》规定，数学科考试着重考查考生 的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、
例如（2017 全国Ⅰ理 20）
2.综合考查素养
全国卷中试题的问题情境更加丰富，设 问方式更加新颖，综合、灵活地考查了考生 的数学素养及学习新知识的能力.
例1 （2018 全国Ⅲ理7 文9 ）
三 注重能力立意 突出通性通法
1.注重能力立意 全国卷以能力立意为核心，重点考查考 生的数学能力.抽象概括能力、推理论证能力、 空间想象能力、运算求解能力、数据处理能力以 及应用意识和创新意识在试卷中都得到了较好的 考查. 2.突出通性通法
全国卷强调对主干内容的重点考查，体 现了对数学知识的全面性、基础性和综合性. 在解答题中重点考查函数、导数、三角函数、 概率统计、数列、立体几何、直线与圆锥曲线 等主干内容.
二 注重创新设计 综合考查素养
全国卷在立足稳定的基础上注重创新题型设计，
这几年的试卷中出现了逻辑推理题、说明合理性 的说明题、来自于生产实际的建模题等.
样一来，解题思路就有了.这就是解决数学 问题的模式识别.
例如对于函数、导数及不等式问题的解题模式 1.分离参数 2.优化讨论 3.合理放缩 4.一般化思维 5.导数正负判断 6.等价转化
7.递进关系
8.构造函数 9.虚设零点
例（2017 全国Ⅰ理 21）
解析一：
七 注重数学思想的解读，有效提高考 生的解题能力
是研究变量与函数、相等与不等过程中的基本 数学思想. 解读一 参数思维：是指在解题过程中，通过 适当引入一些与题目研究的数学对象发生联 系的新变量（参数） ，以此作为媒介，再进 行分析和综合，从而解决问题.运用参数解题 的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和
未知之间的内在联系，利用参数提供的信 息，顺利地解答问题. 例1
数学思想包括函数与方程思想、数形 结合思想、分类与整合的思想、化归与转化 的思想、特殊与一般的思想、统计与概率的 思想，但是如何把这些思想具体化，落地生 根并且开花结果，这是应该贯彻到整个教学 过程中的.
案例 1：函数与方程思想的解读 函数 思想就是利用运动变化的观点分析具体问题中 变量间的关系，并通过函数的形式表示出来， 加以研究，从而使问题获解.方程思想是从问 题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的 条件转化为方程，然后通过研究方程使问题获 解.函数与方程的思想，既是函数思想与方程 思想的体现，也是两种思想综合运用的体现，
2019 年高考数学考纲解读
2019 年高考数学《考试大纲》已经公
布，
《考试大纲》明确了高考的性质、地位、作用 和功能，确定了考试内容与形式，对指导
教学、规范高考命题都有重要意义.与 2018 年 的《考试大纲》相比，考试目标、考试要求、 考试范围（内容）基本上没有变化.这说明 2019 年高考数学学科在考试形式、试卷结构、 试题类型等方面仍然保持相对稳定，在新课标 及教材使用之前，以比较平稳的方式过渡到新 高考. 随着教育部《普通高中数学课程 标准》