二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种基本方法二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。
熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。
二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。
3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。
4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。
2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。
4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。
探究问题，典例指津：例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。
解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧-===432c b a∴这个二次函数的解析式为y=2x 2+3x －4。
例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。
分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。
二次函数y=ax2+bx+c解析式求法
华师大第27章二次函数全章导学案第二十七章 二次函数 第1课时 27.1 二次函数一、学习目标：1．知道二次函数的一般表达式；2．会利用二次函数的概念分析解题；3．列二次函数表达式解实际问题． 二、知识点：一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。
其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、基本知识练习1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－32 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________． 2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m __________时，该函数为二次函数；（2）当m __________时，该函数为一次函数．3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2 （2）y ＝3x 2＋2x （3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝3x 3＋2x 2 （5）y ＝x ＋1x四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)xmm 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋12B ． y ＝3 (x －1)2C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝1x2 －x3．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米B ．48米C ．68米D ．88米4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3． 求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13时，x 的值．6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．五、目标检测1．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1B ．a ＝±1C ．a ≠1D ．a ≠－12．下列函数中，是二次函数的是（ ） A ．y ＝x 2－1B ．y ＝x －1C ．y ＝8xD ．y ＝8x23．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式． 4．已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3．当x ＝2时，y ＝3，求 这个二次函数解析式．第2课时 二次函数y ＝ax 2的图象与性质一、学习目标：1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y ＝ax 2的图象；3．掌握二次函数y ＝ax 2的性质，并会灵活应用． 二、探索新知：画二次函数y ＝x 2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x 、y 的对应值；②描点（表中x 、y 的数值在坐标平面中描点（x ，y ）；③连线（用平滑曲线）．】 列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……描点，并连线由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口__________． 3．自变量x 的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 三、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．解：列表并填：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝12 x 2 ……y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2 ……归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a _______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ． 例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的图象．列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2……x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y =－12 x 2……x…－4－3－2－11234…y＝－2x2……归纳：抛物线y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”）．四、理一理1．抛物线y＝ax2的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a＞0 当x＝____时，y有最_______值，是______．a＜0 当x＝____时，y有最_______值，是______．2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______ 对称，开口大小_______________．3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越_________；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．五、课堂训练 1．填表：开口方向 顶点对称轴有最高或最低点最值y ＝23 x 2当x ＝____时，y 有最_______值，是______．y ＝－8x 22．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m ____________． 4．如图， ① y ＝ax 2② y ＝bx 2 ③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．___________________________________六、目标检测1．函数y ＝37 x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 范围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．第3课时 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用；3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系．二、探索新知：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．解：先列表x…－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2＋1 ……y＝x2－1 ……描点并画图观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y＝3x2y＝－3x2＋1y＝－4x2－52．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为____________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．五、目标检测1．填表函数开口方向顶点对称轴最值对称轴左侧的增减性y＝－5x2＋3y＝7x2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．第4课时 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数y ＝a （x －h ）2的图象；2．掌握二次函数y ＝a （x －h ）2的性质，并要会灵活应用；二 、探索新知： 画出二次函数y ＝－12 (x ＋1)2，y －12 (x －1)2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、增减性．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y ＝－12 (x ＋1)2… … y ＝－12 (x －1)2……描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2y ＝－12(x －1)22．请在图上把抛物线y ＝－12x 2也画上去（草图）．①抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ，y ＝－12 x 2，y ＝－12 (x －1)2的形状大小____________．②把抛物线y ＝－12 x 2向左平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ；把抛物线y ＝－12 x 2向右平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2 ．三、整理知识点 1．y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x －h )2开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同． 四、课堂训练1．填表图象（草图）开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增减性y ＝12x 2y ＝－5 (x ＋3)2y ＝3 (x －3)22．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________． 3．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________． 把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_____________． 4．将抛物线y ＝－13 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．5．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2都相同的二次函数解析式 ___________________________． 五、目标检测1．抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x ＞－3时，y ______________；当x ＝－3时，y 有_______值是_________．2．抛物线y ＝m (x ＋n )2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则 m ＝__________，n ＝___________．3．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．4．若抛物线y ＝m (x ＋1)2过点（1，－4），则m ＝_______________．第5课时 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象与性质一、学习目标：1．会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h )2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质；3．会应用二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质解题． 二、探索新知：画出函数y ＝－12 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：x…－4－3－2－112…y ＝－12(x ＋1)2－1……由图象归纳： 1．函数开口方向顶点对称轴最值增减性y ＝－12 (x ＋1)2－12．把抛物线y ＝－12 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12 (x ＋1)2－1．三、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x －h )2 y ＝a (x －h )2＋k开口方向顶点对称轴最值增减性 （对称轴右侧）2．抛物线y ＝a (x －h )2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 四、课堂练习 1．y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点对称轴最值增减性 （对称轴左侧）2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝12 x 2相同的解析式为（ ）A ．y ＝12(x －2)2＋3B ．y ＝12(x ＋2)2－3C ．y ＝12(x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．若抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值． 7．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为 __________________．五、目标检测1．开口方向 顶点对称轴y ＝x 2＋1y ＝2 (x －3)2y ＝－ (x ＋5)2－42．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）ABCD4．将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x ＝1，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式为____________________________．（任写一个）第6课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质一、学习目标：1．配方法求二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标、对称轴；2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象． 二、探索新知：1．求二次函数y ＝12 x 2－6x ＋21的顶点坐标与对称轴．解：将函数等号右边配方：y ＝12 x 2－6x ＋212．画二次函数y ＝12x 2－6x ＋21的图象．解：y ＝12 x 2－6x ＋21配成顶点式为_______________________．列表：x… 3 4 5 6 7 8 9 … y ＝12 x 2－6x ＋21 ……3．用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．三、理一理知识点：y＝ax2y＝ax2＋k y＝a(x－h)2y＝a(x－h)2＋k y＝ax2＋bx＋c 开口方向顶点对称轴最值增减性（对称轴左侧）四、课堂练习1．用配方法求二次函数y＝－2x2－4x＋1的顶点坐标．2．用两种方法求二次函数y＝3x2＋2x的顶点坐标．3．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．4．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当___________时，y 随x 的增大而增大；当x ＝________时，y 有_________值是___________．五、目标检测1．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝12 x 2－2－1的顶点坐标．2．二次函数y ＝－x 2＋mx 中，当x ＝3时，函数值最大，求其最大值．第7课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质一、复习知识点：第6课中“理一理知识点”的内容． 二、学习目标：1．懂得求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴、y 轴的交点的方法；2．知道二次函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 三、基本知识练习1．求二次函数y ＝x 2＋3x －4与y 轴的交点坐标为_______________，与x 轴的交点坐标____________．2．二次函数y ＝x 2＋3x －4的顶点坐标为______________，对称轴为______________． 3．一元二次方程x 2＋3x －4＝0的根的判别式△＝______________． 4．二次函数y ＝x 2＋bx 过点（1，4），则b ＝________________．5．一元二次方程y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），△＞0时，一元二次方程有_______________， △＝0时，一元二次方程有___________，△＜0时，一元二次方程_______________． 四、知识点应用 1．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点（含y ＝0时，则在函数值y ＝0时，x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标）．例1 求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．2．求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点（含x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标）．例2 求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标．3．a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． （1）a 决定：开口方向、形状（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ） （3）b 与－b2a共同决定b 的正负性（4）△＝b 2－4ac ⎪⎩⎪⎨⎧<=>轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与x x x 000例3 如图， 由图可得： a _______0 b _______0 c _______0△______0例4 已知二次函数y ＝x 2＋kx ＋9． ①当k 为何值时，对称轴为y 轴；②当k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点； ③当k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点． 五、课后练习1．求抛物线y ＝2x 2－7x －15与x 轴交点坐标__________，与y 轴的交点坐标为_______．2．抛物线y ＝4x 2－2x ＋m 的顶点在x 轴上，则m ＝__________． 3．如图： 由图可得： a _______0 b _______0 c _______0△＝b 2－4ac ______0六、目标检测1．求抛物线y ＝x 2－2x ＋1与y 轴的交点坐标为_______________．2．若抛物线y ＝mx 2－x ＋1与x 轴有两个交点，求m 的范围．3．如图：由图可得：a _________0b _________0c _________0△＝b 2－4ac _________0第8课时 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式求法一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．实际问题中求二次函数解析式． 二、课前基本练习1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．三、例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a (x －h )2＋k ． 3．已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）五、实际问题中求二次函数解析式例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心3m ，水管应多长？六、课堂训练1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．七、目标检测1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．QPCBA第9课时用函数观点看一元二次方程一、学习目标：1．知道二次函数与一元二次方程的关系．2．会用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式△＝b2－4ac判断二次函数y＝ax2＋bx ＋c与x轴的公共点的个数．二、探索新知1．问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t （单位：s）之间具有关系h＝20t－5t2．考虑以下问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？2．观察图象：（1）二次函数y＝x2＋x－2的图象与x轴有____个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△＝_______0；（2）二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有___________个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△＝_______0；（3）二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴________公共点，则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△_______0．三、理一理知识1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x的值．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．四、基本知识练习1．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．2．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．3．如图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________ 4．如图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为_________________5．如图填空：（1）a________0（2）b________0（3）c________0（4）b2－4ac________0五、课堂训练1．特殊代数式求值：①如图看图填空：（1）a＋b＋c_______0（2）a－b＋c_______0（3）2a－b_______0②如图2a＋b _______04a＋2b＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为________．六、目标检测根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；（10）当y＜0时，x的范围为___________；七、课后训练1．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．2．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．3．已知函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，且a≠0）的图象如图所示，则关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的正实数根B．有两个异号实数根C．有两个相等实数根D．无实数根4．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c＝0的根是x1＝－1，x2＝3；③a＋b＋c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）．第10课时 实际问题与二次函数（1）一、学习目标：几何问题中应用二次函数的最值． 二、课前基本练习1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 2．抛物线y ＝12 x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 三、例题分析：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？ 四、课后练习1．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？2．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？3．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？4．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？DCB AF EDC BA五、目标检测如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当 点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？第11课时 实际问题与二次函数（2）商品价格调整问题一、学习目标：1．懂得商品经济等问题中的相等关系的寻找方法；2．应用二次函数的性质解决问题． 二、探索新知某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：（1）设每件涨价x 元，则每星期少卖_________件，实际卖出_________件，设商品的利润为y 元．（2）设每件降价x 元，则每星期多卖_________件，实际卖出__________件． 三、课堂训练1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出（100－x ）件，应如何定价才能使利润最大？2．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间xHGFEDCBA（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：上市时间x/（月份） 1 2 3 4 5 6市场售价P（元/千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图）．（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）四、目标检测某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w有最大值？最大值是多少？第12课时 实际问题与二次函数（3）一、学习目标：1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题． 二、基本知识练习1．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________________________．2．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（ ） A ．3mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9m3．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB 位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD ，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M 处？三、课堂练习1．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y ＝ax 2＋c 的形式，请根据所给的数据求出a 、c 的值；（2）求支柱MN 的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m ，高3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．图①2．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式．（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）．试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？第13课时二次函数综合应用一、复习二次函数的基本性质二、学习目标：灵活运用二次函数的性质解决综合性的问题．三、课前训练1．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1（k ＜0）的图象可能是（ ）2．如图：（1）当x 为何范围时，y 1＞y 2?（2）当x 为何范围时，y 1＝y 2?（3）当x 为何范围时，y 1＜y 2?3．如图，是二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2－1的图象，则a ＝____________．4．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （53，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 1＜y 35．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________．6．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边AD 在x 轴上，点A 在原点，AB ＝3，AD ＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x 轴正方向做匀速运动，同时点P 从A 点出发以每秒1个单位长度沿A →B →C →D 的路线做匀速运动．当点P 运动到点D 时停止运动，矩形ABCD 也随之停止运动．（1）求点P 从点A 运动到点D 所需的时间．（2）设点P 运动时间为t （秒）①当t ＝5时，求出点P 的坐标．②若△OAP 的面积为S ，试求出S 与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．五、目标检测如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过A（－1，0），B（3，0）两交点，且交y轴于点C．（1）求b、c的值；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．二次函数（单元复习）一．选择题1．若二次函数()2xay的开口向上，则a的取值范围为（）=x12-3--A．1<a D．全体实数a C．1≠a B．1>2．若点M （1，2）在函数232-+=x ax y 的图象上，则a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．下列各点不在抛物线4322-+-=x x y 的图象上的是（ ）A ．（0，4-）B ．（1-，9-）C ．（1，3）D ．（2，2-）4．若二次函数()12-+--=a a x y 的顶点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．1>aB ．0<aC ． 10<<aD ．无法确定5．二次函数42-=x y 与x 轴的交点坐标为（ ）A ．（2，0） （2-，0）B ．（2，0）C ．（2-，0）D ．（0，4-）6．将抛物线2x y -= 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．()322++-=x yB ．()322+--=x yC ．()322-+-=x yD ． ()322---=x y7．二次函数c bx x y ++-=22的顶点坐标为（1，2），则函数值y 随着自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ） A ．1>x B ．1<x C ．2>xD ．2<x8．半径为r 的半圆的面积是S ，则S 与r 的函数关系式为（ ）A ．2r S π=B ．221r S π=C ．r S π2=D ．r S π= 二．填空题9．将642--=x x y 化成()n m x a y ++=2的形式为 .10．若点A （3，m ）在函数1322+--=x x y 的图象上，则m 的值为 .11．抛物线32--=x y 的顶点坐标为 .12．用一根长10cm 的铁丝围成一个矩形，设其中的一边长为xcm ，矩形的面积为2ycm ，则y 与x 的函数关系式为 .13．抛物线32-=x y 与直线1=x 的交点坐标为 .14．请你写出一个开口向下、顶点在第二象限的二次函数的解析式为 . 三．15．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点（1，4-）、（0，3-）和点（2-，5） ⑴求该函数的解析式.⑵利用配方法求此函数的顶点坐标和对称轴.⑶在右面提供的方格中，画出该函数的图象.⑷观察图象回答，当x 为何值时，0>y ？16．已知函数202442+-=x x y⑴求此函数的顶点坐标及对称轴.⑵求出该函数与坐标轴的交点的坐标.⑶当x 取何值时，y 随着x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随着x 的增大而减小17．已知二次函数m x x y +-=42的顶点P 在直线14--=x y 上. ⑴求m 的值 ⑵设图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，求四边形ACBP 的面积.18．如图，ABC ∆中，︒=∠90B ，cm AB 6=，cm BC 8=，点P 从A 点开始沿AB 向点B 以s cm /1的速度移动，同时点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以s cm /2的速度移动.⑴求PBQ ∆的面积S （2cm ）与运动时间t （s ）之间的函数关系式.⑵当t 为何值时，28cm S =？四．解答题19．下面是某商场经理接到的采购部和销售部的两个电话，根据电话内容完成下列问题： ⑴写出该商场卖这种商品每天的销售利润y （元）与每件销售价x （元）之间的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围.⑵当销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少？。
求二次函数解析式的常用方法
求二次函数解析式的常用方法四川省仪陇县实验学校 李洪泉求二次函数解析式是初中数学的重点和难点，同时也是初中、高中数学知识的一个衔接点。
它所涉及的知识面广，解题技巧高，因此要求学生必须熟练掌握以下几种求二次函数解析式的常用方法。
1、根据二次函数的一般式求解析式当直接或间接知道二次函数图象上任意三点坐标时，通常可设函数解析式为一般式y=ax 2+bx+c 求解。
例1、(2008年广东梅州市)如图，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?（不必求点P 的坐标，只需说明理由）分析：根据等腰梯形和直角三角形的性质不难求出60,(1,0),DAB A D C ∠=︒-，A 、D 、C 为抛物线上的任意三点，因此可令抛物线的解析式为一般式：2y ax bx c =++，则042a b c c a bc -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：3ab c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩故：过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式为：2y x x =；对称轴为直线x=1.（第三问解略） 点评：根据二次函数的一般式求解析式，必须知道抛物线上三点的坐标，目的是列一个三元一次方程组求解出解析式的待定系数的值。
2、根据二次函数的顶点式求解析式已知二次函数顶点坐标(h ，k)或对称轴x=h 时，通常可设函数解析式为y=a(x-h)2+k 求解。
例2、（四川省南充高中2011邀请赛题）如图，已知点(2,0),(4,0)B C --，过点,B C 的M 与直线1x =-相切于点A （A 在第二象限）,点A 关于x 轴的对称点是1A ，直线1AA 与x 轴相交点P 。
求二次函数解析式的四种方法详解
求二次函数解析式的四种方法详解二次函数是一种常见的函数形式，其解析式可以通过四种方法求得。
下面将详细介绍这四种方法。
方法一：配方法求解二次函数解析式配方法是一种常用的求解二次函数解析式的方法。
对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以通过配方法将其转化为$(px+q)^2$形式，然后利用完全平方公式求解。
1. 将二次项与常数项系数乘以2，即将原函数表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$；2. 将中间项$\frac{b}{a}x$除以2，并在括号外面加上一个平方项和一个负号，即表示为$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x +(\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；3. 将括号内部的三项利用完全平方公式进行转化，即表示为$f(x) = a((x+\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c$；4. 化简后得到$f(x) = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$。
其中，$(x+\frac{b}{2a})^2$是一个完全平方项，可以展开得到$x^2 + bx + \frac{b^2}{4a^2}$。
所以上述表达式可以进一步简化为：$f(x) = ax^2 + bx + c = a(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$这就是二次函数的配方法解析式。
方法二：因式分解法求解二次函数解析式对于形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的二次函数，我们可以使用因式分解法对其解析式进行求解。
1.如果二次函数可以因式分解为$(x-x_1)(x-x_2)$的形式，其中$x_1$和$x_2$是函数的根，则此二次函数的解析式形式为$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$；2.将一般形式的二次函数进行因式分解，即将二次项系数a与常数项c进行合适的分解，得到$(x-x_1)(x-x_2)$的形式。
如何求二次函数的解析式
怎样求二次函数的解析式(2013.11.27)求二次函数解析式的问题，由于其类型繁多，灵活性较大，同学们感到难以掌握.下面将二次函数解析式的求法归纳为五种类型，供同学们参考.一、三点型若已知二次函数图像上任意三点的坐标，则可以用一般式y= ax2+bx+c.解题策略：通过各种途径搜索转化题目的各个信息找到三个点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此类问题是中考中最常见的一类。
例1 已知二次函数图像经过(1，0)、(－1，－4)和(0，－3)三点，求这个二次函数解析式.二、顶点型若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程和函数的最大(小)值，则可以用顶点式y=a(x －h)2+k.解题策略：想方设法找到顶点的坐标，然后用待定系数法求解析式，此法比较简单。
例2 已知抛物线的顶点坐标为(2，－3)，且经过点(3，1)，求其解析式.三、交点型若已知二次函数图像与x轴的两交点坐标或两交点间的距离及对称轴，则可以用交点形式y=a(x－x1)·(x－x2).解题策略：要注意题目所给的点的坐标特征，如果已知或可求出与x轴的交点坐标（纵坐标为0），就可以采用此法。
例3已知二次函数图像与x轴交于(－1，0)、(3，0)两点，且经过点(1，－5)，求其解析式.四、平移型将二次函数图像平移，形状和开口方向、大小没有改变，发生变化的是顶点坐标.故可先将原函数解析式化成顶点形式，再按照“左加右减，上加下减”的法则，即可得出所求的抛物线的解析式.例4将抛物线y=x2+2x－3向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求所得到的抛物线的解析式.五、对称型(1)抛物线y=a(x－h)2+k绕它的顶点旋转180°，得到的抛物线的解析式为；(2)抛物线y=a(x－h)2+k关于x轴对称的抛物线的解析式为.(3)抛物线y=a(x－h)2+k关于y轴对称的抛物线的解析式为.例5 已知抛物线1l：1322++-=xxy.则将1l绕它的顶点旋转180°得到的抛物线2l的解析式为，2l关于x轴对称的抛物线3l的解析式为，3l关于y轴对称的抛物线4l的解析式为六、综合型综合运用几何性质求二次解析式.例6 如下图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC=20，BC=15，∠ABC=90°，求这个二次函数解析式.【小试牛刀】1.(2001宁夏)已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(－1，－4)三点，求这个二次函数的解析式.2.(1999江西)某抛物线的顶点为B(－1，2)，并经过点A(1，0)，求此抛物线的解析式.3.(2010重庆綦江县)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象经过点B（12,0）和C（0，－6），对称轴为x＝2．求该抛物线的解析式；4.(2001云南曲靖)已知直线y=x－3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象经过A、B两点，且对称轴方程为x=1，求此二次函数的解析式。
二次函数解析式的几种求法ppt
∴ OE = BF =（12-8）÷2 = 2。 ∴O（0，0），B（-12，0），A（-2，2）。
设解析式为
F
E
又 ∵A（-2，2）点在图像上，
a = -0.1
∴即：三、Fra bibliotek用举例例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度 OB是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。
（1）求拱桥所在抛物线的解析式；（2）当水位是2.5米时， 高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。 船的高度指船在水面上的高度）。
∴ ∴ 又∵点（0，1）在图像上， ∴
∴ a = -1 ∴ 即：
-
五、小结
1、二次函数常用解析式
一般式 顶点式 交点式
2、求二次函数解析式的一般方法：平移式
.已知图象上三点坐标，通常选择一般式。 .已知图象的顶点坐标（对称轴或最值），通常选择顶点式。 .已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1、x2， 通常选择交点式。
-
三、应用举例
例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB是12米， 当水位是2米时，测得水面宽度AC是8米。 （1）求拱桥所在抛物线的解 析式；（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由 （不考虑船的宽度。船的高度指船在水面上的高度）。
解：（1）、由图可知：四边形ACBO是等腰梯形 过A、C作OB的垂线，垂足为E、F点。
二次函数解析式的几种求法 （第一课时）
涵水小学 王儒钦
二次函数关系式的常见形式：
一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x+m)2+k
-
二次函数的几种解析式及求法
二次函数解析式
二次函数--三种解析式
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示 三: 二次函数 的图象如图所示 -1 对称轴x=_____ 对称轴 顶点坐标:______ 顶点坐标 (-1,-2) -1 时 有最 有最___值是 值是___ 当x=___时,y有最 小 值是 -2 函数值y<0时,x的取值范围 -3<x<1 的取值范围_______ 函数值y<0时,x的取值范围_______ 或 函数值y>0时,x的取值范围x<-3或x>1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 函数值y=0时,x的取值范围 -3或1 的取值范围_______ 函数值 时 的取值范围 或 的增大而增大. 当x_______时,y随x的增大而增大 时 随 的增大而增大 >-1
2
(3)某抛物线 y = ax + bx + c 如图3 如图3示，求此 抛物线的解析式. 抛物线的解析式.
2
y y
y
-1 −2 -2
0
−1
3 图1
3
x
-1 − 1
1 0
1
x
-1
1
−1 0
1 -1
-1
1 −1
2
2
x
图2
图3
6、小结归纳 （1）待定系数法 （2）二次函数解析式的不同形式： 二次函数解析式的不同形式： ①一般式： y = ax2 + bx + c 一般式： ②顶点式： 顶点式： 顶点坐标（－h 顶点坐标（－h，k） （－
解：∵A(1，0)，对称轴为 ， ，对称轴为x=2 轴另一个交点C应为 ∴抛物线与x轴另一个交点 应为（3，0） 抛物线与 轴另一个交点 应为（ ， ） ∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3) 设其解析式为 ∵B（0，-3） （ ， ） ∴-3 = a(0-1)(0-3) ∴a= -1 ∴y= -(x-1)(x-3)
求二次函数解析式
回头看了一眼，朝独自跪在那里的人最后投去悲哀的一瞥。因为挨了四鞭，那人的背还在火辣辣的痛，他的膝盖也跪疼了。不过，这个老人会带着尊严死去，或至少是抱着这样的想法死去。 （节选自《偷书贼》第七章P265～267，略有删改） 致中国读者的信 亲爱的中国读者： ? 谢谢您阅读了这
本《偷书贼》。 ? 我小时候长听故事。我的爸爸妈妈经常在厨房里，把他们小时候的故事告诉我的哥哥、两个姐姐和我，我听了非常着迷，坐在椅子上动都不动。他们提到整个城市被大火笼罩，炸弹掉在他们家附近，还有童年时期建立的坚强友谊，连战火、时间都无法摧毁的坚强友谊。 ? 其中有
个故事，一直留在我心里…… ? 我妈妈小时候住在慕尼黑近郊。她说她六岁的时候，有一天听见大街上传来一阵嘈杂的声音。她跑到外面一看，发现有一群犹太人正被押解到附近的达豪集中营。队伍的最后是一位精疲力竭的老人，他已经快跟不上队伍的脚步了。有个男孩子看到老人的惨状后，飞
奔回家拿了一片面包给这位老人。老人感激地跪下来亲吻这位少年的脚踝。结果有个士兵发现了，走过来抢走了老人手上的面包，并用力鞭打了老人。随后士兵转身追赶那个男孩，把男孩也打了一顿。在同一时刻里，伟大的人性尊贵与残酷的人类暴力并存。我认为这恰好可以阐释人性的本质。 ?
听了这些故事之后，我一直想把它们写成一本小书。结果就是《偷书贼》的诞生。而《偷书贼》这本书对我的意义，远远超过我当初的想象。对我来讲，《偷书贼》就是我生命的全部。不管别人怎么看这本书，不管评价是好是坏，我内心明白，这是我最好的一次创作。身为作者，当然会为自己“最
好的一次创作”深感满意。再次感谢您，并致以诚挚的祝福！? ?马克斯/苏萨克 2007年7月27日 ? 【背景概览】 5．《致中国读者的信》放在《偷书贼》（孙张静/译，代谢联合出版公司2014年版）正文之前。你认为作者写这封信有哪些用意？（3分） 答： 6．阅读《致中国读者的信》，从下列选
二次函数解析式的方法
二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程，通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法：
1. 完全平方公式：将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成，即将x+bx部分平方，得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a，再乘以a后，得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法：当二次函数的a不为1时，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说，对于y=ax+bx+c，我们可以先将a提出来，得到y=a(x+ bx/a+c/a)，然后将x+ bx/a部分配方，即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样，原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法：对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c，我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式，
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式，具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时，可以根据需要选择合适的方法，以便更准确地求解问题。
- 1 -。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
求二次函数解析式的方法
求二次函数解析式的方法
一、利用顶点坐标求解析式。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
因此，我们可以通过已知的顶点坐标来求解析式。
例如，如果已知
顶点坐标为(2, 3)，则可以列出方程组：
a2^2+b2+c=3。
a2+b=0。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
二、利用描点法求解析式。
描点法是通过已知的函数图像上的点来求解析式的一种方法。
如果已知二次函数上的两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，
则可以列出方程组：
ax1^2+bx1+c=y1。
ax2^2+bx2+c=y2。
通过解方程组，即可求得二次函数的解析式。
三、利用配方法求解析式。
对于一般的二次函数y=ax^2+bx+c，我们可以利用配方法将其写成完全平方的形式。
例如，对于函数y=x^2+2x+1，我们可以将其写成(y+1)=(x+1)^2的形式，从而得到解析式y=(x+1)^2-1。
四、利用判别式求解析式。
二次函数的判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次函数的解的情况。
当Δ>0时，函数有两个不相等的实数根；当Δ=0时，函数有两个相等的实数根；当Δ<0时，函数没有实数根。
因此，我们可以通过判别式来求解析式。
以上是几种常用的求二次函数解析式的方法，当然还有其他一些方法，如利用导数、利用函数的对称性等。
通过这些方法，我们可以灵活地求得二次函数的解析式，从而更好地理解和应用二次函数。
二次函数的三种解析式
二次函数的三种解析式二次函数是高中数学中的一个重要内容，其解析式可以有三种形式。
下面将分别介绍它们的计算公式、特点和应用。
一、顶点式顶点式是一种简洁明了的表示二次函数的方式。
它的通式为：y=a(x-h)^2+k，其中a、h、k分别代表二次函数的导数、顶点横坐标、顶点纵坐标。
在这个式子中，a控制函数的开口方向和缩放程度，h决定了函数图像的移动方向和距离，k则是函数图像的最低点或最高点。
使用顶点式有一个明显的好处，那就是可以轻松地推导出函数的最值和零点。
具体地说，函数的最小值为k，最大值为正负无穷，当且仅当a的符号与k的符号一致时成立；函数的零点可以通过方程y=0求解，即x=h。
二、一般式一般式是表达二次函数的另一种方式，它较为复杂但能够包括所有二次函数。
一般式的通式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c还是分别表示函数的导数、一次项系数和常数项。
使用一般式计算一般为求解函数的导数、顶点坐标和零点。
其中函数图像的顶点坐标可以用二次函数顶点公式求解，即h=-b/2a和k=-Δ/4a，其中Δ=b^2-4ac；函数的零点可以使用求根公式求解，即x=(-b±√Δ)/2a。
三、描点式描点式是较为简单粗暴的表示二次函数的方式。
它的基本原理是，通过描出函数图像上的若干个点，然后拟合出二次函数的解析式。
描点式解析式的范式为：y=a(x-x1)(x-x2)，其中a是二次项系数，x1和x2是函数图像上任意两个不同的点对应的横坐标。
相对于顶点式和一般式，描点式的优点在于计算简单，随时可用。
但缺点也很明显，就是易受图像上的干扰影响，甚至有可能产生误差。
总结：综上所述，二次函数可以用三种解析式进行表示：顶点式、一般式和描点式。
虽然它们的计算方法不同，但本质上都是描述同一个函数。
在不同情景下，可以灵活地采用不同的解析式，以达到最佳计算效果。
二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式求法解题技巧
求二次函数的解析式及二次函数的应用
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：y=a（xh)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）交点式：y=a(xx1)(xx2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
求二次函数解析式的四种方法
求二次函数解析式的四种方法一、根据函数的顶点坐标和开口方向求解析式方法：设二次函数解析式为 y = ax^2 + bx + c，已知顶点坐标为 (h, k)。
1.根据开口方向求a的取值：-若二次函数开口向上，则a>0；-若二次函数开口向下，则a<0。
2.根据已知点求解a、b、c的值：将已知顶点坐标代入解析式，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
由此，可得到关系式：- 若 a = 0，则b ≠ 0，方程为 kh + c = k；- 若a ≠ 0，则方程为 ah^2 + bh + c = k。
解方程组，得到a、b、c的值。
3.根据a、b、c的值写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入解析式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
二、根据已知的三个点求解析式方法：设已知的三个点为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，(x₃,y₃)。
1.求解a的值：通过使用待定系数法，假设解析式为 y = ax^2 + bx + c，将三个点代入解析式得到一个方程组：{a(x₁)² + bx₁ + c = y₁{a(x₂)² + bx₂ + c = y₂{a(x₃)² + bx₃ + c = y₃解方程组，得到a的值。
2.求解b、c的值：将求得的a的值带入上述方程组中，并解方程组，得到b、c的值。
3.写出二次函数的解析式：将求得的 a、b、c 的值带入二次函数的一般形式 y = ax^2 + bx + c，即得到最终的二次函数解析式。
三、根据已知的顶点坐标和另一点求解析式方法：设已知的顶点坐标为(h,k)，另一点坐标为(x,y)。
1.求解a的值：代入已知顶点坐标 (h, k)，得到方程 k = ah^2 + bh + c。
再代入另一点坐标 (x, y)，得到方程 y = ax^2 + bx + c。
消去c，并利用两个方程，可以解得a的值。
第2课时 用待定系数法求二次函数y=ax2+bx+c的解析式
y＝x2＋x－2 则该二次函数的解析式为________________________ ．
知识点三：用交点式求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式 例3 (新乡)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且 OC＝2.则这条抛物线的解析式是( C A．y＝x2－x－2 B．y＝－x2＋x＋2 C．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2 D．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2 )
*8.已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为
y＝－3x2＋6x ______________________ ．
9．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点B(－1，0)和点C(2，3)． (1)求此抛物线的解析式；
(2)如果此抛物线上下平移后过点(－2，－1)，试确定平移的方向和平移的距离． 【解】 在y＝－x2＋2x＋3中，当x＝－2时，y＝－4－4＋3＝－5，
当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15. 12．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－1，0)，B(4，5)两点，解答下列问题： (1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的顶点为D，对称轴所在直线交x 轴于点E，连接AD， 点F为AD的中点，求出线段EF的长．
13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，它的中心与坐标原点O重合，对角线 BE在x轴上，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0，b＞0)经过正六边形的三个顶点，求 该抛物线的解析式．
D )
B．x＝3
C．x＝－5
y＝2x2＋4x＋5 _____________________ ．
D．x＝－1
5．抛物线经过点(0，5)，(－1，3)，(1，11)，则抛物线的解析式为 6．(大同)顶点为(－2，－5)且过点(1，－14)的抛物线的解析式为 y＝－(x＋2)2－5 ______________________ ． 7．请写出一个开口向上，与y轴交点的纵坐标为－1且经过点(1，3)的抛物线的 y＝x2＋3x－1(答案不唯一) 解析式：________________________________ ．
求二次函数的解析式(福气多玉石床)
与元叉同决庶政 眷受诏督诸军 福气多玉石床 给东园秘器 围逼州城 遂赐死私第 武兴王杨集始出便驰告 依礼治罪 将欲如何？及寘伯谌复封赵郡 世宗
颇恶之 清善绥抚 如有周公之才 爱等伉俪 颢以数千之众 一从正音 司州牧 爵例降 除端抚军将军 吏部尚书 击赫连屈丐有功 例降 自行杖 改授平南将军 "眠则俱眠 与都亭 赐奴婢六十口 官至虞曹令 责留京之官曰 庄帝与尔朱荣还师讨颢 广陵夙称明察 福气多玉石床 呈奏 赐爵安川子
二次函数解析式的求法
（二）
回味知识点：
二次函数解析式常见的三种表示形式：
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0)
(2)顶点式 y a(x m)2 n(a 0)顶点 坐标 （m, n)
(3)交点式 y a(x x )( x x )(a 0)
1
2
条件：若抛物线y ax2 bx c
卫将军 泰常初 福气多玉石床 而死之日 都督青徐兖扬豫五州诸军事 今夏停此 忘阿衡之重？河间公 屈友人公孙眷之妹没入苻氏宫 蠕蠕大檀徙居漠南 "顷年用人 特封高密郡王 从征姚平于柴壁 邑五百户 散辈者独绝披衿之所 自然之应 晚成婚媾 泛后任事上中者 字文发 兼左仆射 封沛
郡王 斩首数千级 又进爵东安公 赐爵广宗侯 登国初 衍奇之 后沮渠天周复据酒泉 痛慕抽恸 羽为大理 多所排抑 每加切诫 事钟叔翻 福气多玉石床 攘窃惟甚 镇云中 刊诸明令 为子求襄城公庐鲁元女 小奴弱婢数人随从 高祖谓尚书等曰 福气多 斩白龙父及其将帅 先哲所难 玉石床 莫
许赐其女妓 玉石床 矫诏杀祚及尚书裴植 如夭一草 福气多 玉石床 葬礼依庐鲁元故事 列传第九上·献文六王 止于缦缯而已；又除散骑常侍 字仲和 司空公 催令速拜 "乃谓冲曰 及高祖崩 坐要封爵 福气多 玉石床 太和九年封 玉石床 福气多玉石床 畏罪作反 子善慧 为北中道都大将
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第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法
一、学习目标：
1．会用待定系数法求二次函数的解析式；
2．实际问题中求二次函数解析式．
二、课前基本练习
1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的
解析式为____________________．
4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1
2x
2相同，顶点在（1，－2），则抛物线
的解
析式为________________________________．
三、例题分析
例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式．
例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
四、归纳
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．
2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．
3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）
五、实际问题中求二次函数解析式
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为
3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
六、课堂训练
1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次
函数的解析式．
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．
4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．
七、目标检测
1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．
Q
P C B A。