矩阵习题
矩阵专项练习题
矩阵专项练习题1. 题目一：矩阵的基本概念和运算简述矩阵的定义和表示方法。
以两个矩阵相加为例，详细说明矩阵相加的运算规则。
2. 题目二：矩阵的乘法和转置介绍矩阵的乘法定义和性质。
以一个具体的矩阵乘法例题，展示如何进行矩阵乘法运算。
阐述矩阵转置的定义，并给出转置矩阵的计算方法。
3. 题目三：矩阵的秩和逆解释矩阵的秩的概念和计算方法。
以一个矩阵求逆的实例，展示如何计算矩阵的逆。
讨论矩阵是否具有逆的条件。
4. 题目四：特殊的矩阵列举并解释零矩阵、单位矩阵、对角矩阵和对称矩阵的特点和性质。
以示例题的形式，演示如何判断一个矩阵是否为对角矩阵或对称矩阵。
5. 题目五：行列式和特征值特征向量介绍行列式的定义、性质和计算方法。
讲解特征值和特征向量的概念和计算方法。
通过一个实例，展示如何求解矩阵的特征值和特征向量。
6. 题目六：线性方程组和矩阵的应用以线性方程组为背景，介绍矩阵的应用。
通过矩阵的方法和行列式的方法，解决一个线性方程组的实例问题。
7. 题目七：二阶矩阵的特性阐述二阶矩阵的特性。
以二阶矩阵为例，解释如何进行二阶矩阵的运算和转置。
8. 题目八：矩阵的迹与行列式关系解释矩阵的迹的概念，并给出迹的计算方法。
探讨矩阵的迹与行列式之间的关系。
9. 题目九：矩阵的特征值与特殊矩阵讲解特殊矩阵（如零矩阵、单位矩阵、对称矩阵）的特征值的性质。
提供具体的计算例题，展示如何求解特殊矩阵的特征值。
10. 题目十：矩阵的奇异值分解简述矩阵的奇异值分解的定义和计算方法。
以一个实例，演示如何进行矩阵的奇异值分解。
总结：通过以上不同的专题练习题，我们全面了解了矩阵的基本概念和运算，如矩阵的定义、相加、相乘、转置等；深入探讨了特殊的矩阵及其性质，如零矩阵、单位矩阵、对称矩阵等；了解了矩阵的行列式、逆、秩、特征值特征向量等重要概念和计算方法，并通过实例进行了详细的演示。
这些知识点和技巧可以为我们在线性代数和相关领域的学习与应用提供基础与支持。
矩阵理论习题与答案
矩阵理论习题与答案矩阵理论习题与答案矩阵理论是线性代数中的重要内容之一，它在数学、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地理解和掌握矩阵理论，本文将介绍一些常见的矩阵理论习题，并提供详细的答案解析。
一、基础习题1. 已知矩阵A = [[2, 3], [4, 5]]，求A的转置矩阵。
答案：矩阵的转置是将其行和列互换得到的新矩阵。
所以A的转置矩阵为A^T = [[2, 4], [3, 5]]。
2. 已知矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，求B的逆矩阵。
答案：逆矩阵是指与原矩阵相乘得到单位矩阵的矩阵。
由于B是一个2×3的矩阵，不是方阵，所以不存在逆矩阵。
3. 已知矩阵C = [[1, 2], [3, 4]]，求C的特征值和特征向量。
答案：特征值是矩阵C的特征多项式的根，特征向量是对应于每个特征值的线性方程组的解。
计算特征值和特征向量的步骤如下：首先，计算特征多项式：det(C - λI) = 0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
解特征多项式得到特征值λ1 = 5，λ2 = -1。
然后，将特征值代入线性方程组 (C - λI)x = 0，求解得到特征向量：对于λ1 = 5，解得特征向量v1 = [1, -2]。
对于λ2 = -1，解得特征向量v2 = [1, -1]。
所以C的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1，对应的特征向量为v1 = [1, -2]，v2 = [1, -1]。
二、进阶习题1. 已知矩阵D = [[1, 2], [3, 4]]，求D的奇异值分解。
答案：奇异值分解是将矩阵分解为三个矩阵的乘积，其中一个是正交矩阵，一个是对角矩阵。
计算奇异值分解的步骤如下：首先，计算D的转置矩阵D^T。
然后，计算D和D^T的乘积DD^T，得到一个对称矩阵。
接下来，求解对称矩阵的特征值和特征向量。
将特征值构成对角矩阵Σ，特征向量构成正交矩阵U。
最后，计算D^T和U的乘积D^TU，得到正交矩阵V。
数学矩阵练习题
数学矩阵练习题矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个学科中都有广泛的应用，比如线性代数、物理学、计算机科学等。
熟练掌握矩阵的性质和操作是学习这些学科的基础，下面将给出一些数学矩阵的练习题，以帮助读者增强对矩阵的理解和应用能力。
1. 给定如下矩阵 A 和 B，计算它们的和 A + B：A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8 9][10 11 12]2. 若矩阵 C 行数等于矩阵 D 的列数，计算 C 和 D 的乘积 CD：C = [1 2][3 4]D = [5 6][7 8][9 10]3. 给定一个 3x3 的方阵 E，计算它的转置矩阵 E^T：E = [1 2 3][4 5 6][7 8 9]4. 给定一个 2x2 的矩阵 F，计算它的行列式 |F|：F = [2 3][4 5]5. 若矩阵G 是一个对称矩阵，证明其转置矩阵G^T 也是对称矩阵。
6. 若矩阵 H 是一个单位矩阵，证明对于任意矩阵 J，有 HJ = JH = J。
7. 若矩阵 K 是一个可逆矩阵，证明其逆矩阵 K^-1 也是可逆矩阵。
8. 若矩阵 L 不可逆，证明其转置矩阵 L^T 也不可逆。
9. 给定一个 3x3 的方阵 M，计算它的特征值和特征向量。
10. 若矩阵 N 是一个对角矩阵，证明其转置矩阵 N^T 也是对角矩阵。
以上是数学矩阵的一些练习题，读者可以结合自己的知识和相关参考资料进行解答。
矩阵的操作和性质是相互关联的，通过不断练习和思考，可以逐渐掌握矩阵的重要概念和技巧。
希望以上练习题能对您的数学矩阵学习有所帮助，也祝愿您在数学学习中取得更好的成绩！。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
矩阵计算习题及答案
4．输入矩阵a=123456789，使用全下标方式提取元素3，使用单下标方式提取元素8，取出后两行子矩阵块，使用逻辑矩阵提取1379。
5．输入a为3×3的魔方阵，b为3×3的单位阵，将他们生成3×6的大矩阵c、6×3的大矩阵d，将d的最后一行提取生成小矩阵e。
6．矩阵a=123456789用flipud、fliplr、rot90、diag、triu和tril进行操作。并求其转置、秩、逆矩阵、矩阵的行列式值及三次幂。
16）有一个2行2列的元胞数组c ，则c（2）是指 D 。 A. 第1行第2列元素内容 B. 第2行第1列元素内容 C. 第1行第2列元素 D .第2行第1列元素 17）以下运算中哪个运算级别最高 B 。 A. * B. ^ C. ~= D. / 18）运行命令bitand（20，15）的结果是 C 。 A. 15 B. 20 C. 4 D. 5 19）使用检测函数isinteger（15）的结果是 B 。 A. 1 B. 0 C. true D. fales 20）计算三个多项式s1、s2和s3的乘积，则算式为 C 。 A. conv(s1,s2,s3) B. s1*s2*s3 C. conv(conv(s1,s2),s3) D. conv(s1*s2*s3) 以下写出MATLAB命令序列，并给出结果 2.复数向量a=2+3i，b=3-4i，计算a+b,a-b,c=a*b,d=a/b，并计算变量c的实部、虚部、模和相角。 3．用 from:step:to的方式和linspace函数分别得到0~4π步长为0.4π的变量x1，0~4π分成10个点的变量x2。
11．矩阵a=123456789，使用数组信息获取函数求其行列数、元素个数，是否为稀疏矩阵、是否为字符型。
矩阵相关练习题
矩阵相关练习题矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。
下面将给出几道矩阵相关的练习题，帮助读者更好地理解和应用矩阵的性质和运算。
1. 矩阵的基础运算给定矩阵A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]，求矩阵A的转置。
2. 矩阵的乘法设矩阵B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]，矩阵C = [[7, 8], [9, 10], [11, 12]]，求矩阵B和矩阵C的乘积BC。
3. 矩阵的逆给定方阵D = [[2, 1], [4, 3]]，求矩阵D的逆。
4. 矩阵的行列式设矩阵E = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵E的行列式。
5. 矩阵的特征值与特征向量给定矩阵F = [[3, -1], [4, -2]]，求矩阵F的特征值与特征向量。
6. 矩阵的奇异值分解给定矩阵G = [[1, 2], [3, 4], [5, 6]]，对矩阵G进行奇异值分解。
7. 矩阵的广义逆设矩阵H = [[1, -2], [3, -6]]，求矩阵H的广义逆。
8. 矩阵的转置与共轭转置给定复数矩阵I = [[1+2i, 3-4i], [5+6i, 7-8i]]，求矩阵I的转置和共轭转置。
9. 矩阵的正交性给定矩阵J = [[1, 0], [0, -1]]，判断矩阵J是否是正交矩阵。
10. 矩阵的对称性设矩阵K = [[1, 2, 3], [2, 4, 5], [3, 5, 6]]，判断矩阵K是否是对称矩阵。
这些练习题可以帮助读者巩固对矩阵性质和运算的理解，并提升解决实际问题时的能力。
希望读者能够认真思考并合理应用矩阵的知识，进一步拓展线性代数的应用领域。
高中数学矩阵练习题及讲解
高中数学矩阵练习题及讲解1. 矩阵的加法设矩阵A和矩阵B如下：\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \]求矩阵A和B的和，并验证加法的交换律。
2. 矩阵的数乘给定矩阵C：\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \] 求矩阵C与标量2的乘积。
3. 矩阵的乘法设矩阵D和矩阵E如下：\[ D = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \quad E = \begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \]求矩阵D和E的乘积。
4. 矩阵的转置给定矩阵F：\[ F = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix} \]求矩阵F的转置。
5. 矩阵的行列式给定矩阵G：\[ G = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] 求矩阵G的行列式。
6. 矩阵的逆给定矩阵H：\[ H = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} \] 求矩阵H的逆矩阵，如果H不可逆，请说明原因。
7. 线性方程组的矩阵表示考虑以下线性方程组：\[ \begin{align*}x + 2y &= 5 \\3x - y &= 1\end{align*} \]将此方程组转换为矩阵形式，并求解。
8. 特征值和特征向量给定矩阵I：\[ I = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \] 求矩阵I的特征值和对应的特征向量。
高等代数第四章矩阵练习试题参考包括答案.docx
第四章矩阵习题参考答案一、判断题1.对于任意 n 阶矩阵A，B，有A B A B .错.2.如果 A20, 则A0 .错 . 如A 110, 但A 0 . 1, A213.如果 A A2 E ，则 A 为可逆矩阵.正确 . A A2E A( E A) E ，因此A可逆，且A1 A E .4.设 A, B 都是 n 阶非零矩阵，且AB 0 ，则A, B的秩一个等于n，一个小于n.错 . 由AB0 可得r ( A)r (B)n .若一个秩等于 n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾. 只可能两个秩都小于n .5．A, B, C为n阶方阵，若AB AC ,则 B C.错 . 如A 112132，有 AB AC ,但B C. 1, B2, C32116．A为m n矩阵，若r ( A)s, 则存在 m 阶可逆矩阵P及 n 阶可逆矩阵 Q ，使I s0PAQ.00正确 . 右边为矩阵A的等价标准形，矩阵 A 等价于其标准形.7．n阶矩阵A可逆，则A *也可逆 .正确 . 由A可逆可得| A |0 ，又 AA* A* A| A | E .因此 A *也可逆，且( A*) 11A . | A |8．设A, B为n阶可逆矩阵，则( AB)* B * A* .正确 . ( AB)( AB)*| AB | E| A || B | E. 又( AB)( B * A*) A( BB*) A* A | B | EA* | B | AA* | A || B | E .因此 ( AB)( AB)* ( AB)( B * A*) .由 A, B 为 n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式 AB 的逆可得( AB)* B * A * .二、选择题1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B T B ),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ）.(A) AB BA (B)AB BA (C)( AB)2(D)BAB(A)(D) 为对称矩阵，（ B）为反对称矩阵，（ C）当A, B可交换时为对称矩阵.2.设 A 是任意一个n阶矩阵，那么（A）是对称矩阵.(A)A T A(B) A A T(C)A2(D)A T A3．以下结论不正确的是（C）.(A)如果 A 是上三角矩阵，则 A2也是上三角矩阵；(B)如果 A 是对称矩阵，则 A2也是对称矩阵；(C)如果 A 是反对称矩阵，则 A2也是反对称矩阵；(D)如果 A 是对角阵，则 A2也是对角阵.4．A是m k 矩阵, B 是 k t 矩阵,若 B 的第 j 列元素全为零，则下列结论正确的是（ B ）( A)AB 的第 j 行元素全等于零；( B) AB的第j列元素全等于零；( C)BA 的第 j 行元素全等于零；( D)BA 的第 j 列元素全等于零；5 ．设 A, B 为 n 阶方阵，E 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ）(A)( A B)2 A 2 2 ABB 2 (B) A 2 B 2( A B)( A B)(C) ( AB) 2A 2B 2 (D) A 2E 2( A E)( A E)6．下列命题正确的是（ B ） .(A) 若 AB AC ，则 B C(B) 若 AB AC ，且 A0 ，则 B C(C) 若 AB AC ，且 A 0 ，则 BC(D)若 ABAC ，且 B 0, C 0 ，则 B C7.A 是 m n 矩阵，B 是 n m 矩阵，则（ B ） .(A) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 ； (B) 当 m n 时，必有行列式 AB 0 (C) 当 nm 时，必有行列式 AB0 ；(D) 当 n m 时，必有行列式 AB 0 .AB 为 m 阶方阵，当 m n 时， r ( A) n, r ( B) n, 因此 r ( AB) n m ，所以AB 0 .8．以下结论正确的是（ C ）(A) 如果矩阵 A 的行列式 A 0 , 则 A 0 ； (B) 如果矩阵A 满足 A 2 0 ，则A 0；(C) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；(D) 对任意方阵 A, B ，有 ( A B)( A B) A 2 B 29．设 1 , 2 , 3 ,4 是非零的四维列向量， A ( 1 ,2 ,3 ,4 ), A * 为 A 的伴随矩阵，已知 Ax0 的基础解系为 (1,0, 2,0) T ，则方程组 A * x0 的基础解系为（ C ） .（ A ） 1 , 2,3 .（ B ） 12 ,23 ,31 .（ C）2,3,4 .（ D）1 2 ,2 3 , 3 4 , 4 1 .1由 Ax 0 的基础解系为(1,0, 2,0)T可得 ( 1 , 2 , 3 , 4 )00, 1 2 30 .2D）显然为线性相关的，因此答案因此（ A），（B）中向量组均为线性相关的，而（为（ C） . 由A* A A*( 1 , 2 ,3, 4 )( A *1, A* 2 , A* 3 , A * 4 )O 可得 1 , 2 , 3 , 4 均为A* x0 的解.10.设 A 是n阶矩阵， A 适合下列条件（C）时，I n A 必是可逆矩阵(A)A n A(B) A 是可逆矩阵(C)A n0(B) A 主对角线上的元素全为零11． n 阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（D）(A) A 1 (B)A 0 (C) A A T(D)A012． A, B, C 均是 n 阶矩阵，下列命题正确的是（A）(A)若 A 是可逆矩阵，则从 AB AC 可推出 BA CA(B)若 A 是可逆矩阵，则必有 AB BA(C) 若A0 ，则从 AB AC 可推出 B C(D) 若B C ，则必有 AB AC13．A, B,C均是n阶矩阵，E为 n 阶单位矩阵，若ABC E ，则有（C）(A) ACB E （B） BAC E （C） BCA E (D)CBA E14．A是n阶方阵，A*是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（D）(A)若 A 是可逆矩阵，则 A*也是可逆矩阵；(B) 若A是不可逆矩阵，则A*也是不可逆矩阵；(C) 若 A *0 ，则 A 是可逆矩阵；（Ｄ） AA *A .AA *A E nA .15．设 A 是 5 阶方阵，且A0 ，则 A * （ Ｄ）(A)A(B)A23 (D)4(C)AA16．设 A * 是 A(a ij )n n 的伴随阵，则 A * A 中位于 (i , j) 的元素为（Ｂ ）nnnn(A)ajkA ki (B)a kjAki(C)a jkAik(D)a kiAkjk 1k 1k 1k 1应为 A 的第 i 列元素的代数余子式与 A 的第 j 列元素对应乘积和 .a11L a 1nA11L A1n17. 设 ALL L, BLL L, 其中 A ij 是 a ij 的代数余子式， 则（ C ）an1LannAn1LAnn(A)A 是B 的伴随 (B)B 是 A 的伴随 (C) B 是 A 的伴随(D) 以上结论都不对18．设 A, B 为方阵，分块对角阵CA 0*( Ｃ )0 , 则 CB(A)A *(B)A A *C0 B *CB B *(C)CB A *0 (D)A B A *A B *CA B B *利用 CC*| C | E 验证 .46 1 3 5 19．已知 A, B4 ，下列运算可行的是（C）122 6(A)A B (B)A B(C)AB (D) AB BA20．设A, B是两个m n 矩阵，C是 n 阶矩阵，那么（D）(A) C ( A B) CA CB(B)( A T B T )C A T C B T C(C) C T( A B) C T A C T B(D)( A B)C AC BC21．对任意一个n阶矩阵A，若n阶矩阵B能满足AB BA ，那么 B 是一个（Ｃ）(A)对称阵(B) 对角阵(C)数量矩阵(D) A 的逆矩阵与任意一个 n 阶矩阵均可交换的矩阵为数量矩阵.22．设A是一个上三角阵，且A0，那么 A 的主对角线上的元素（Ｃ）(A)全为零（ B）只有一个为零（ C）至少有一个为零（ D）可能有零，也可能没有零23．设A 13D2，则 A 1（）1111 2332(A)（ B）（ C）（ D）1111111136362636a1b1 24．设A a2b2a3b31 00(A)0 0 10 2 0c1a1c12b1c2，若 AP a2c22b2，则 P（ B）c3a3c32b3100001200（ B）002（ C）020（D）001 0101000101 a a L aa 1a L a25．设 n(n3) 阶矩阵 Aa a1 L a ，若矩阵 A 的秩为 1，则 a 必为（ A ）L L LL La aa L1(A) 1（ B ） -1（C ） 1（D ）1 nn 11矩阵 A 的任意两行成比例 .26. 设 A, B 为两个 n 阶矩阵 , 现有四个命题 :①若 A, B 为等价矩阵 , 则 A, B 的行向量组等价 ;②若 A, B 的行列式相等 , 即 | A | | B |, 则 A, B 为等价矩阵 ; ③若 Ax 0 与 Bx 0 均只有零解 , 则 A, B 为等价矩阵 ; ④若 A, B 为相似矩阵 , 则 Ax 0 与 Bx 0 解空间的维数相同 .以上命题中正确的是 ( D )(A) ① , ③. (B) ② , ④. (C) ② , ③ .(D)③ , ④ .当 BP 1 AP 时， A, B 为相似矩阵。
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
矩阵练习题
矩阵练习题一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵是矩阵A的转置？A. [a11 a12]B. [a21 a22][a21 a22] [a12 a11]2. 矩阵A和矩阵B可进行矩阵乘法的条件是：A. A的行数与B的列数相等B. A的列数与B的行数相等C. A的行数等于B的行数D. A的列数等于B的列数3. 矩阵的行列式是：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵元素的乘积D. 矩阵的行与列的乘积4. 以下哪个矩阵是单位矩阵？A. [1 0]B. [0 1][0 1] [1 0]5. 若矩阵A的秩为1，则矩阵A的行向量或列向量：A. 线性相关B. 线性无关C. 垂直D. 正交二、填空题1. 矩阵的______是指矩阵中所有元素的和。
2. 若矩阵A的元素满足aij=aji，则称矩阵A为______矩阵。
3. 矩阵的______是指矩阵中不为零的元素的个数。
4. 矩阵的______是指矩阵中所有行向量或列向量的最大线性无关组的个数。
5. 若矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量和列向量中，线性无关的向量最多有______个。
三、简答题1. 简述矩阵的可逆性的条件。
2. 描述矩阵的初等行变换和初等列变换。
3. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量。
四、计算题1. 给定矩阵A=[2 1; 3 4]，求矩阵A的转置。
2. 已知矩阵B=[1 2; 3 4]和矩阵C=[1 0; 0 1]，计算矩阵B与矩阵C 的乘积。
3. 计算以下矩阵的行列式：D=[1 -2; 3 4]。
4. 若矩阵E=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵E的秩。
5. 给定矩阵F=[1 0; 0 1]，求矩阵F的逆矩阵。
五、证明题1. 证明若矩阵A可逆，则矩阵A的转置也是可逆的，并且(A^T)^-1=(A^-1)^T。
2. 证明矩阵的行列式与矩阵的转置的行列式相等。
六、应用题1. 某公司有三个部门，每个部门有四个员工。
矩阵的练习题
矩阵的练习题矩阵是线性代数重要的概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在学习矩阵的过程中，我们需要通过大量的练习题来加深对矩阵的理解和掌握。
下面，我将为大家提供一些矩阵的练习题，希望能够帮助大家提高解题能力。
练习题一：矩阵的基本操作1. 已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵。
解答：矩阵A的转置矩阵是矩阵A的行和列互换得到的矩阵。
所以，矩阵A的转置矩阵为：[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]。
2. 已知矩阵B = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵B的逆矩阵。
解答：要求矩阵B的逆矩阵，需要满足矩阵B与其逆矩阵相乘的结果为单位矩阵。
对于3阶方阵的逆矩阵，可以使用伴随矩阵法求解。
经过计算，矩阵B的逆矩阵为：[0 0.333 -0.167; -0.667 0.333 0.333; 0.333 -0.667 0.333]。
练习题二：矩阵的乘法1. 已知矩阵C = [1 -2; 3 4]，矩阵D = [5 6; -7 8]，求矩阵C和矩阵D的乘积。
解答：矩阵的乘法是按行乘以列再求和的运算。
根据定义，矩阵C和矩阵D的乘积为：[1*-2+(-2)*(-7) 1*6+(-2)*8;3*-2+4*(-7) 3*6+4*8] = [-9 -10; -34 42]。
2. 已知矩阵E = [2 3; -1 4; 0 1]，矩阵F = [-2 1 5; 3 4 -2]，求矩阵E和矩阵F的乘积。
解答：矩阵E是一个3×2矩阵，矩阵F是一个2×3矩阵。
根据定义，矩阵E和矩阵F的乘积为：[2*-2+3*3 2*1+3*4 2*5+3*(-2);-1*(-2)+4*3 -1*1+4*4 -1*5+4*(-2);0*(-2)+1*3 0*1+1*4 0*5+1*(-2)] = [5 14 4; 14 15 -15; 3 -2 -10]。
练习题三：矩阵的行列式1. 求矩阵G = [2 1; 3 4]的行列式。
大学数学二年级上册 矩阵运算 专项练习题(100道题)
大学数学二年级上册矩阵运算专项练习题(100道题)一、选择题 (共15题)1. 下列矩阵中，不满足可逆条件的是:A) $\begin{pmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & -6 \end{pmatrix}$2. 设 $A$ 是一个非零矩阵，并且 $AB=0$，则 $B$ 是一个：A) 零矩阵B) 单位矩阵C) 可逆矩阵D) 非零矩阵3. 已知矩阵 $A=\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$，则 $A^{-1}$ 等于：A) $\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$4. 设 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，则$A^2$ 等于：A) $\begin{pmatrix} 4 & 10 \\ 10 & 28 \end{pmatrix}$B) $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 10 & 15 \end{pmatrix}$C) $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$D) $\begin{pmatrix} 7 & 15 \\ 15 & 33 \end{pmatrix}$...二、填空题 (共15题)1. 已知 $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$，则 $A+B$ 等于______________。
数学课程矩阵运算练习题及答案
数学课程矩阵运算练习题及答案矩阵运算是数学中的一个重要概念，涉及到矩阵的相加、相减、相乘等操作。
通过练习题的方式，可以巩固和提升对矩阵运算的理解与应用能力。
以下是一些常见的矩阵运算练习题以及它们的答案，供大家参考。
1. 矩阵相加已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9) 和矩阵B = (9 8 7; 6 5 4; 3 2 1)，求A + B。
解答：将同一位置上的元素相加，得到：A +B = (1+9 2+8 3+7; 4+6 5+5 6+4; 7+3 8+2 9+1) = (10 10 10; 10 10 10; 10 10 10)2. 矩阵相减已知矩阵A = (1 2; 3 4) 和矩阵B = (5 6; 7 8)，求A - B。
解答：将同一位置上的元素相减，得到：A -B = (1-5 2-6; 3-7 4-8) = (-4 -4; -4 -4)3. 矩阵相乘已知矩阵A = (2 1 -3; 0 -2 1) 和矩阵B = (4 -1; 3 2; -2 1)，求A × B。
解答：矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，因此可以进行矩阵相乘。
按照矩阵相乘的规则，计算得到：A ×B = (2×4+1×3-3×-2 2×-1+1×2-3×1; 0×4-2×3+1×-2 0×-1-2×2+1×1) = (15 -2; -7 -1)4. 矩阵数量乘法已知矩阵A = (2 4; 6 8)，求2A。
解答：将矩阵A中的每个元素乘以2，得到：2A = (2×2 2×4; 2×6 2×8) = (4 8; 12 16)5. 矩阵的转置已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，求A的转置矩阵AT。
解答：将矩阵A的行与列互换得到其转置矩阵：AT = (1 4 7; 2 5 8; 3 6 9)6. 矩阵的逆已知矩阵A = (1 2; 3 4)，求A的逆矩阵A-1。
矩阵_练习题
矩阵 练习题1、设 f (x) = x 2 - 3x + 2，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3121A ，求 f (A ) 。
2、计算下列矩阵的乘积（其中 m ，k ，n 均为正整数）：nk m⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110010001101010001100011001。
3、已知矩阵 A = BC ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=121B ，C = ( 2, -1, 2 ) ，求 A 100 。
4、设向量 α = ( 1 , 2 , 3 , 4 )，β = ( 1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 )，且 A = αT β，求 A 10 。
6、求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001001101111111A 的逆矩阵。
7、设三维列向量 α = ( 1 , 0 , -1 )T ，三阶方阵 A = 3E - ααT，其中E 为三阶单位矩阵，求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 A -1 。
8、（1）设分块矩阵 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C A B H 0可逆，其中 A 、 B 分别为 m 阶、n 阶可逆矩阵，求 H -1 ；（2）利用（1）的结果，计算下列矩阵的逆矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=31132225110012H 。
9、当 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2/12/32/32/1A 时，A 6 = E ，求 A 11 。
13、求解矩阵方程 AX = B ，其中 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=121112110A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100142B 。
14、设矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101410311A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=120002011B 。
求矩阵方程 X - XA = B 。
15、已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-102210011，三阶矩阵X 满足A 2 X = 2E + AX ，求矩阵X 。
16、已知 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110111A ，且 A 2 - AB = E （其中 E 为三阶单位矩阵），求矩阵B 。
线性代数练习题-矩阵
线性代数练习题——矩阵一、 填空题1、 设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1032A ，则1−A = 2、设A ，B 为n 阶方阵，且2=A ，3−=B ，则=−12AB 3、 设A 为3阶方阵，且5=A ，则=−13A4、 设⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=10030116030242201211A ，则秩)(A r = 5、 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2413100231214012A ,由第2,3行,第2,4列得到的二阶子式为=D ___。
6、 已知T A A =,T B B =,则AB 是对称矩阵的充分必要条件是______。
7、 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100120301A ，且A 的伴随矩阵为*A ，则=*AA ______。
二、 单项选择题1． 关于矩阵下列说法正确的是（ ）（A ）若A 可逆，则A 与任何矩阵可交换，BA AB = （B ）若A 可逆，则T A 也可逆（C ）若A 可逆，B 也可逆，则B A ±也可逆 （D ）若A 可逆，B 也可逆，则AB 不一定可逆2． 设B A ,均为n 阶方阵，则必有（ ）（A ）||||||||A B B A ⋅=⋅（B ）||||||B A B A +=+（C ）B A B A T +=+)(（D ）T T T B A AB =)(3． 设矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+221211111λ的秩为2，则=λ（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34． 设CB AC =，且C 为n m ×矩阵，则B A ,分别是（ ）矩阵（A ）m n ×与n m × （B ）n m ×与m n × （C ）n n ×与m m ×（D ）m m ×与n n × 5． 设A 与B 均为n 阶对称矩阵，则（ ）也为n 阶对称矩阵（A ）1)(−AB （B ）11−−B A （C ）AB （D ）B A −6． 初等矩阵（ ）（A ）相乘仍为初等矩阵 （B ）都可逆 （C ）相加仍为初等矩阵 （D ）以上都不对7． 已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛10113121A ，则=A （ ） （A ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−0113 （B ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1301 （C ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−3110 （D ）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−1031 8． 设A ，B 为n 阶矩阵，且0=AB ，则必有（ ）（A ）0=A 或0=B （B ）0=+B A（C ）0=A 或0=B（D ）A +0=B 9． 若A ,B 均为n 阶非零矩阵,且22))((B A B A B A −=−+则必有（ ）（A ）BA AB = （B ）E A = （C ）E B = （D ）A ,B 为对称矩阵10． 已知B 为可逆阵，则11[()]T B −−=（ ） （A ）B（B ）T B （C ）1−B （D ）TB )(1− 三、 计算题 1、⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=520012121A ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=413212B ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=401223C 求C AB T −； 2、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=412711310A 求1−A ；3、设⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=101020101A ，E 为三阶单位矩阵，满足B A E AB +=+2，求矩阵B ；4、设⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=1011A ，求所有与A 可交换的矩阵； 5、设A 为3阶方阵，31=A ，求行列式1*)2(3−−A A 的值，其中*A 为A 的伴随矩阵； 6、已知矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩是3，求a 的值。
矩阵练习题
一 【2 】.填空题：1.若A ,B 为同阶方阵,则22))((B A B A B A -=-+的充分必要前提是.2. 若n 阶方阵A ,B ,C 知足I ABC =,I 为n 阶单位矩阵,则1-C ＝.3.设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00A B C ,则1-C ＝. 4. 设A ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1112,则1-A ＝. 5. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=432211B .则=+B A 2. 6.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300020001A ,则1-A ＝7．设矩阵 1 -1 3 2 0,2 0 10 1A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,T A 为A 的转置,则B A T =. 8. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110213021A ,B 为秩等于2的三阶方阵,则AB 的秩等于.二.断定题1. 设B A 、均为n 阶方阵,则k k k B A AB =)(（k 为正整数）.……………（）2. 设,,A B C 为n 阶方阵,若ABC I =,则111C B A ---=.……………………………（）3. 设B A 、为n 阶方阵,若AB 不可逆,则,A B 都不可逆.……………………… ( )4. 设B A 、为n 阶方阵,且0AB =,个中0A ≠,则0B =.……………………… ( )5. 设C B A 、、都是n 阶矩阵,且I CA I AB ==,,则C B =.……………………（）6. 若A 是n 阶对角矩阵,B 为n 阶矩阵,且AC AB =,则B 也是n 阶对角矩阵.…（）7. 两个矩阵A 与B ,假如秩（A ）等于秩（B ）,那么A 与B 等价. …………（）8. 矩阵A 的秩与它的转置矩阵TA 的秩相等. ……………………………………( )三.选择题1.设A 为3×4矩阵,若矩阵A 的秩为2,则矩阵T A 3的秩等于（ B ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 42. 已知B A 、为n 阶方阵,则下列性质不准确的是（）(A) BA AB = (B) )()(BC A C AB =(C) BC AC C B A +=+)( (D) CB CA B A C +=+)(3.设I PAQ =,个中P .Q .A 都是n 阶方阵,则（）（A ）111---=Q P A （B ）111---=P Q A （C ）PQ A =-1（D ）QP A =-14.设n 阶方阵A ,假如与所有的n 阶方阵B 都可以交流,即BA AB =,那么A 必定是（）（A ）可逆矩阵（B ）数目矩阵（C ）单位矩阵（D ）否决称矩阵5.两个n 阶初等矩阵的乘积为（）（A ）初等矩阵（B ）单位矩阵（C ）可逆矩阵（D ）不可逆矩阵6.有矩阵23⨯A ,32⨯B ,33⨯C ,（A ）AC （B ）BC （C ）ABC （D ）C AB -7. 设A 与B 为矩阵且AC CB =,C 为m n ⨯的矩阵,则A 与B 分离是什么矩阵( )(A) n m m n ⨯⨯ (B) m n n m ⨯⨯(C) n n m m ⨯⨯ (D) m m n n ⨯⨯8.设A 为n 阶可逆矩阵,则下列不准确的是 ( )(A) 1A -可逆 (B) I A +可逆(C) 2A -可逆 (D) 2A 可逆9.B A ,均n 阶为方阵,下面等式成立的是（）（A ）BA AB =（B ）T T T B A B A +=+)(（C ）111)(---+=+B A B A （D ）111)(---=B A AB10.设B A ,都是n 阶矩阵,且0=AB ,则下列必定成立的是（）（A ）0=A 或0=B （B ）B A ,都不可逆（C ）B A ,中至少有一个不可逆（D ）0=+B A11.设B A ,是两个n 阶可逆方阵,则()[]1-T AB 等于（） （A ）()1-T A ()1-T B (B) ()1-T B ()1-T A （C ）()T B 1-T A )(1-（D ）()T B 1-()1-T A12.若B A ,都是n 阶方阵,且B A ,都可逆,则下述错误的是（）（A ）B A +也可逆（B ）AB 也可逆（C ）1-B 也可逆（D ）11--B A 也可逆13.B A ,为可逆矩阵,则下述不必定可逆的是（）（A ）AB （B ）B A +（C ）BA （D ）BAB14．设B A ,均为n 阶方阵,下列情形下能推出A 是单位矩阵的是（）（A ）B AB =（B ）BA AB =（C ）I AA =（D ）I A=-115. 若B A 与均为n 阶非零矩阵,且0=AB ,则（）（A ）n A R <)(（B ）n A R =)(（C ）0)(=A R （D ）0)(=B R 四.解答题：1. 给定矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=443312111A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=343122321B ,求A B T 及1-A 2. 求解矩阵方程=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛X 110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5212343113. 求解矩阵方程B XA =,个中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011220111A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112011111B 4. 求解下面矩阵方程中的矩阵X ：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011324A ,求矩阵B ,使其知足矩阵方程B A AB 2+=.五.证实题1. 若A 是否决称阵,证实2A 是对称阵.2.设矩阵,A B 及A B +都可逆,证实11A B --+也可逆.3.已知B A ,为n 阶方阵,且B A B A B B A A +=-==222)(,,,证实：0=+BA AB4. A 是否决称矩阵,B 是对称矩阵,证实:AB 是否决称矩阵的充要前提是BA AB =.。
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莆田学院数学与应用数学系“矩阵理论”课程论文题目：与矩阵函数计算机关的研究生入学试题姓名：谢燕祥学号：21041107莆田学院数学与应用数学系2002级本科2006年1月20日与矩阵函数计算机关的研究生入学试题摘要：矩阵函数往往伴随其矩阵多项式（特征多项式）的研究考查，在矩阵学习过程中，矩阵特征值问题是掌握矩阵的重要依据，进而也体现了矩阵函数在学习高等代数里的重要地位。
关键词：多项式，特征值，特征多项式，矩阵多项式，矩阵函数。
随着周日结束考试的钟声响起，我的06考研已告一段落。
在此次的备考过程中，由于我所报的是合肥工业大学计算数学专业，通过对该校高等代数往年试题出题方向，规律的研究，对其他高校相关试题的练习，发现矩阵函数部分已成为众矢之的，成为各高校考核的重要内容。
且有逐年上升的再现趋势。
现笔人就以己微薄之力来谈谈矩阵函数所涉及的内容。
设 101()nn n f x a x a xa -=++ （1）是[]p x 中的多项式，α是p 中的数，在(1)中用 α代 x 所得的数101nn n a x a x a -++ 称为()f x 当x α= 时的值，记为 ()f x 这样一来，多项式 ()f x 就定义了一个数域p 上的函数，可以由一个多项式来定义的函数成为数域p 上的多项式函数。
设 A 是数域 p 上一n 级矩阵， λ 是一个文字，矩阵E A λ-的行列式1212122212||nn n n n nna a a a a a E A a a a λλλλ-------=---称为 A 的特征多项式，这是数域 p 上的一个 n 次多项式。
哈密尔顿——凯莱定理：设 A 是数域p 上一个 n n ⨯ 矩阵， ()||f E A λλ=- 是A的特征多项式，则11122()()(1)||0nn nnn f A A a a a AA E -=-++++-=证明：设()B λ是 E A λ-的伴随矩阵，由行列式的性质，有()()||()B E A E A E f E λλλλ-=-= 因为矩阵()B λ的元素是||E A λ-的各个代数余子式，都是λ的多项式，其次数不超过1n - 。
由此矩阵的运算性质，()B λ 可写成11011()n n n B B B B λλλ---=+++ 其中 011,,,n B B B - 都是n n ⨯数字矩阵。
再设111()nn n n f a a a λλλλ--=++++ ，则 111()1n n n n f E E a E a E a Eλλλλ--=++++<>而120111201021121()()()()()()()2n n n nn n n n n B E A B B B E A B B B A B B A B B A B A λλλλλλλλλ---------=+++-=+-+-++--<>比较1<>和2<>得010112113n n n n n B E B B A a E B B A a E B A a E----=⎧⎪-=⎪⎪<>⎨⎪-=⎪=⎪⎩以 1,,,,n n A AA E - 依次从右边乘3<>的第一式，第二式，……第n 式，第n+1式，得011110112121114nn nn nn n n n n n n n B A E A A B A B A a E Aa AB A B A a E A a AB A a E--------⎧==⎪-==⎪⎪<>⎨⎪-==⎪-=⎪⎩把4<>的n+1个式子一起加起来，左边变为零，右边即为()f A ，故 ()f A =0，定理得证。
因为线性变换和矩阵的对应是保持运算的，所以由这定理得：推论：设A 是有限维空间V 的线性变换，()f λ是A 的特征多项式我，那么()f A =0，通过对多项式函数，特征多项式及有关定理的粗略了解，现就合肥工业大学近几年所涉及部份题目的分析，进而了解矩阵多项式，矩阵函数的内容和性质。
（2003.合肥工大）设100101010A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，试证对于整数3n ≥有如下等式22n n A AA E -=++，其中E 是单位阵，并由此求出100A。
分析：由题所要求证明的等式22nn A A A E -=++,明显对比我们上面所说过的特征多项式，具有类比性，通过求A 的特征多项式可使本题明朗。
解：A 的特征多项式210()||11(1)(1)01f E A λλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥=-=--=-+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由哈密尔顿――凯莱定理有()f A =0。
即2()()0A E A E -+=通过转化可有220nn A AA E ---+=即22n n A AA E -=+-1009829622222249495049AAA E AA E A A E A E =+-=+-==+-=-1001005010501A⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2004.合肥工大）设100101011A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求100A 。
分析：与2003年考查点完全相同，特征多项式所对应的矩阵函数 解：2()(1)(1)f λλλ=-+ 2()()()0f A A E A E ∴=-+=4()()()0A E f A A E ∴+=-= 即 4A E =10042525100()1001AA EE ⎡⎤⎢⎥∴====⎢⎥⎢⎥⎣⎦， （2005.合肥工大）设102011010A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 532() 1.f x x x x x =-+--求()f A 的逆矩阵1[()]f A -分析：对比前2年的情况，知道此题在基础上多了对多项式和矩阵逆的考查，但总的考核方向仍一致，矩阵函数。
解：A 的特征多项式2212()011(1)(1)01f λλλλλλλ--⎡⎤⎢⎥=+-=-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由哈密尔顿――凯莱定理，可知23()()()20f A A E A A E A A E =-+-=-+= 532233()1(21)(21)2f x x x x x x x x x x x =-+--=-++-++- 233()(2)(2)21022031012f A A A A E A A E A EA E ∴=-+=-++--⎡⎤⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦112615510221[()]03105501213055f A --⎡⎤---⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴=-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦（2006.合肥工大）多项式()f x ，常数项不为零，实矩阵A ，若()f A =0，试证：A 的所有特征值不为零。
证明：设A的特征值为12,,,n λλλ ，多项式1110(),(0)nn n f x x a xa x a a --=++++≠由A 为实矩阵∴ 存在可逆矩阵G ，使得 '12(,,,)n G AG diag λλλ= 从而 '12()((),(),,())0n G f A G diag f f f λλλ== 由于0(0)0()0,(1,2,,)i f a f i n λ=≠∴==0i λ∴≠ 结论得证。
通过对合工大近年来所考查的相关矩阵函数问题，我们也对矩阵函数有了一定的了解，矩阵函数定义一般有两种方法，现仅采用矩阵函数的解析定义，而不用幂级数法定义，矩阵函数有多种表示及计算方法，我只介绍矩阵函数的多项式表示，表示及其相应计算方法。
（一）矩阵多项式 已知n nA C⨯∈和变量λ的多项式11110()mm m m P a a a a λλλλ--=++++则称11110()mm m m P A a Aa A a A a E --=++++是A 的矩阵多项式。
()P A 和A 同为n 阶方阵。
若 i J 为 i d 阶Jordan 块矩阵111i ii ii i d d J λλλ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则11111111i i d k d kk i k ik ikk ik ii k k ikiC C C J C λλλλλλλ--+---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）其中(1)(1)()!()i ki k k k k l C l k l C l k--+=≤=>于是关于i d 阶矩阵()i i J λ 的矩阵多项式1110()mm i m i m ii P J a J a J a J a E --=++++根据式（1）引入多项式 ()P λ 的各阶导数记号后可写成(1)'''''()()()()2!(1)!()()()(2)()()()i i id i i i i i i i i i i i d d P PP P d P P P J P P P λλλλλλλλλ-⨯⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦若J 为Jordan 标准形式，12(,,,).r J diag J J J = 则12()((),(),,()).r P J diag P J P J P J =若A 为n 阶矩阵，J 是它的Jordan 标准形式，则存在满秩矩阵P ，使得112(,,,).r A PJPPdiag J J J P -==因此，12()((),(),,()).(3)r P A Pdiag P J P J P J P =式(3)为矩阵多项式()P A 的Jordan 表示，用它可以计算()P A 命题1：己知n 阶矩阵A 是特征值为(1,2,,)i i n λ= 则矩阵多项式()P A 的特征什为命题2：设λ是n 阶矩阵的特征值，α是A 的属于λ的特征向量，则()P λ是矩阵多项式()P A 的特征值，α是()P A 的属于()P x 的特征向量。
例：己知多项式43()21P λλλλ=-+-与矩阵计算000111113A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦计算()P A 。
解：A 的Jordan 标准形是21002002J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦变换矩阵P 和1P-分别为111010100,11111011P P-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦所以由(2)与(3)式得：1'''''''()()011(2)(2)00101000(2)0111110(2)011(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)(2)1009899910P A PP J PP P P P P P P P P P P P P -=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例：己知矩阵111011001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦求矩阵函数()f A 的Jordan 表示？ 解：首先求出A 的Jordan 标准形J 及可逆矩阵P ，使得1P A P J -=容易求出11001101J ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设123[,,].P ααα=代入AP PJ =得11212323A A A αααααααα=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩此即12132()0()()E A E A E A ααααα-=⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩解之得 123[1,0,0],[0,1,0],[0,1,1]τττααα===-因此1100100011,0110101P P-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦于是()f A 的Jordan 表示为1'''''''''()()1(1)(1)(1)0001002!0110(1)(1)0110100(1)011(1)(1)(1)(1)2!0(1)(1)00(1)f A Pf J Pf f f f f f f f f f f f f -=⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦以上这些就是我在备考中所认识的矩阵函数计算，在哈密尔顿―-凯莱定理上的进一步诊断，由于本人能力有限，难免在知识认识上出现缺漏，错误，请杨教授批评指正。