2015北京66中高二(上)期中数学(文)

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2015北京66中高三(上)期中数学(理)

2015北京66中高三（上）期中数学（理）一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）若集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，5，7}，B={1，3，5，6，7}，则集合∁U（A∩B）是（）A．{2，4，6} B．{1，3，5，7} C．{2，4} D．{2，5，6}2．（4分）下列函数中，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减的函数是（）A．B．C．y=x3D．y=tanx3．（4分）已知命题p：∃x≥0，2x=3，则（）A．¬p：∀x＜0，2x≠3 B．¬p：∀x≥0，2x≠3 C．¬p：∃x≥0，2x≠3 D．¬p：∃x＜0，2x≠34．（4分）已知点P（，﹣）在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A． B． C．D．5．（4分）已知，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a6．（4分）已知S n为等差数列{a n}的前n项的和，a2+a5=4，S7=21，则a7的值为（）A．6 B．7 C．8 D．97．（4分）在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形 D．等边三角形8．（4分）已知向量=（1，0），=（0，1），=+λ（λ∈R），向量如图所示．则（）A．存在λ＞0，使得向量与向量垂直B．存在λ＞0，使得向量与向量夹角为60°C．存在λ＜0，使得向量与向量夹角为30°D．存在λ＞0，使得向量与向量共线9．（4分）已知函数的最小值为（）A．﹣4 B．2 C．D．410．（4分）已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围是（）A．B．C．（3，+∞）D．[3，+∞）二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）函数f（x）=log2（1﹣x2）的定义域为．12．（5分）cosxdx= ．13．（5分）已知直线y=ex与函数f（x）=e x的图象相切，则切点坐标为．14．（5分）已知=（2，0），||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|= ．15．（5分）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是．16．（5分）定义在正整数集上的函数f（n）满足（1）f（f（n））=4n+3（n∈N*）；（2）f（125）=m（m∈N*），则有f（m）= f（2015）= ．三、解答题（共80分）17．（13分）已知在等比数列{a n}中，f（﹣x）=﹣f（x），且x∈R是f（x）和x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n=2n﹣1+a n（n∈N*），求{b n}的前n项和S n．18．（13分）已知函数f（x）=2cos2x+asinxcosx，．（1）求实数a的值；（2）求函数f（x）的最小正周期及单调增区间．19．（12分）某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？20．（13分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．21．（14分）已知函数（其中a为常数，且a＜0）．（1）求函数f（x）的定义域及单调区间；（2）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式成立，求a的取值范围．22．（15分）已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0，且f（1）=﹣2．（1）判断f（x）的奇偶性；（2）求f（x）在区间[﹣3，3]上的最大值；（3）解关于x的不等式f（ax2）﹣2f（x）＜f（ax）+4．数学试题答案一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．【解答】因为A={1，3，5，7，}，B={1，3，5，6，7}，∴A∩B={1，3，5，7}．∵U={1，2，3，4，5，6，7}；∴C U（A∩B）={2，4，6}．故选：A．2．【解答】A选项的定义域不关于原点对称，故不正确；B选项正确，是奇函数且在区间（0，1）内单调递减；C选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增；D选项不正确，因为其在区间（0，1）内单调递增．故选B3．【解答】∵存在性命题”的否定一定是“全称命题∴命题p：∃x≥0，2x=3的否定为：∀x≥0，2x≠3故选B4．【解答】∵已知点P（，﹣）在角θ的终边上，∴x=，y=﹣，θ的终边在第四象限，tanθ==﹣．再结合θ∈[0，2π），则θ=，故选：C．5．【解答】∵0＜c=sin160°＜sin135°＜1，a==sin135°，∴0＜c＜a＜1，又b=log23＞log22=1，∴c＜a＜b．故选C．6．【解答】等差数列{a n}中，a2+a5=4，S7=21根据等差数列的性质可得a3+a4=a1+a6=4①根据等差数列的前n项和公式可得，所以 a1+a7=6②②﹣①可得d=2，a1=﹣3所以a7=9解法二：S6=（）×6=12a7=S7﹣S6=9故选D7．【解答】由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C8．【解答】由图知，，则若则4+3λ=0得，故A错若夹角为60°则有即11λ2+96λ+39=0，有两个负根；故B错；若夹角为30°，则有即39λ2﹣96λ+9=0有两个正根，故C错；若两个向量共线则有4λ=3解得，故D对．故选D9．【解答】∵，∴x＞1 时，f（x）=2，≤x≤1时，≤πx﹣＜，f（x）=4sin（πx﹣）在（，）上是增函数，在（，1）上是减函数．又∵x=时，f（x）=2，x=1时，f（x）=4•=2，故 f（x）的最小值为 2，故选 B．10．【解答】因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，所以a=b（舍去），或，所以a+2b=又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令，由“对勾”函数的性质知函数f（a）在a∈（0，1）上为减函数，所以f（a）＞f（1）=1+=3，即a+2b的取值范围是（3，+∞）．故选C．二、填空题（每小题5分，共30分）11．【解答】要使函数有意义，必须1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1故答案为：（﹣1，1）．12．【解答】=sin﹣sin0=．13．【解答】设切点P（x，y）∵f′（x）=e x由导数的几何意义可得切线的斜率k=e=e x∴x=1，y=e即切点坐标（1，e）故答案为（1，e）14．【解答】∵=（2，0），∴．又∵||=3，，的夹角为60°，∴===3．∴|2﹣|===．故答案为：．15．【解答】由题意，可得故答案为：16．【解答】由于f（f（n））=4n+3，f（125）=m，则f（m）=f（f（125））=4×125+3=503；由于f（f（n））=4n+3，则f（f（f（n）））=f（4n+3）=4f（n）+3故有f（2015）=f（4×503+3）=4f（503）+3=4f（4×125+3）+3=42f（125）+4×3+3=16m+15．故答案为：503，16m+15．三、解答题（共80分）17．【解答】（1）设等比数列{a n}的公比为q，a2是a1和a3﹣1的等差中项，所以：2a2=a1+a3﹣1，进一步解得：q=2，=2n﹣1（n∈N+），（2）∵b n=2n﹣1+a n，S n=（1+1）+（3+2）+…+（2n﹣1+2n﹣1）=（1+3+…+2n﹣1）+（1+2+…+2n﹣1）==n2+2n﹣1．18．【解答】（1）、由知∴∴（2）∵∴==∴，∴（k∈Z）∴（k∈Z）∴函数的最小正周期为π，单调增区间为（k∈Z）19．【解答】设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800．蔬菜的种植面积S=（a﹣4）（b﹣2）=ab﹣4b﹣2a+8=808﹣2（a+2b）．所以S≤808﹣4=648（m2）当且仅当a=2b，即a=40（m），b=20（m）时，S最大值=648（m2）．答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．20．【解答】由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB，化简得sinB=cosB，即tanB=，又0＜B＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a，及正弦定理得，sinC=2sinA，又∵A+B=，∴sin（﹣A）=2sinA，化简可得tanA=，而0＜A＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB=a2+4a2﹣2a2=3a2，∴b=，∴a：b：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A，得===+1 又由≤A≤，知1≤tanA≤，故c∈[2，]．21．【解答】（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}．（1分）f′（x）==．（3分）由f'（x）＞0，解得x＞a+1．由f'（x）＜0，解得x＜a+1且x≠a．∴f（x）的单调递增区间为（a+1，+∞），单调递减区间为（﹣∞，a），（a，a+1）；（6分）（Ⅱ）由题意可知，a＜0，且f（x）=在（a，0]上的最小值小于等于时，存在实数x∈（a，0]，使得不等式f（x）≤成立．（7分）若a+1＜0即a＜﹣1时，∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e a+1．则e a+1≤，得a≤ln ﹣1=﹣2．（10分）若a+1≥0即a≥﹣1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f（0）=﹣．由﹣≤得a≤﹣2（舍）．（12分）综上所述，a≤﹣2．则a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．22．【解答】（1）取x=y=0，则f（0+0）=f（0）+f（0）；则f（0）=0；取y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），∴f（﹣x）=﹣f（x）对任意x∈R恒成立∴f（x）为奇函数；（2）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞）且x1＜x2，则x2﹣x1＞0；∴f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＜0；∴f（x2）＜﹣f（﹣x1），又∵f（x）为奇函数∴f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数；∴对任意x∈[﹣3，3]，恒有f（x）≤f（﹣3）而f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=﹣2×3=﹣6；∴f（﹣3）=﹣f（3）=6；∴f（x）在[﹣3，3]上的最大值为6；（3）∵f（x）为奇函数，∴整理原式得 f（ax2）+f（﹣2x）＜f（ax）+f（﹣2）；即f（ax2﹣2x）＜f（ax﹣2）；而f（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，∴ax2﹣2x＞ax﹣2；∴（ax﹣2）（x﹣1）＞0．∴当a=0时，x∈（﹣∞，1）；当a=2时，x∈{x|x≠1且x∈R}；当a＜0时，；当0＜a＜2时，当a＞2时，．。

北京市第六十六中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(文)试题

高二上学期期中考试数学（文）试题2014.11—、选择题（每小题4分，共40分）1．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有（） A ．p 真q 真 B ．p 假q 假 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是( ) A ． 28y x =- B ．24y x =- C ．28y x = D ．24y x = 3．命题“若a>b ，则a+c>b+c ”的逆否命题为（）A. 若a<b ，则a+c<b+cB. 若a ≤b ，则a+c ≤b+cC. 若a+c<b+c ，则 a<bD. 若a+c ≤b+c ，则a ≤b4．以141222=-x y 的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（） A ．2211612x y += B ．2211216x y += C ．221164x y += D ．221416x y += 5．双曲线122=+y mx 的虚轴长是实轴长的2倍，则m = （） A ．41-B ．4-C ．4D ．416．双曲线116922=-y x 的一个焦点到一条渐近线的距离为（）A ．6B ．5C ．4D ．37．已知△ＡＢＣ的顶点Ｂ、Ｃ在椭圆1322=+y x 上，顶点Ａ是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在ＢＣ边上，则△ＡＢＣ的周长是（） A ．23 B ．6 C ．43 D ．12 8．1>yx的一个充分不必要条件是 ( ) A ．y x > B ．0>>y x C ．y x < D ．0<<x y9．已知P 是双曲线19222=-y ax 右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为x y 3=，设1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点。

若3|2=PF |，则||1PF =（） A ．5 B ．4 C ．3 D ．210．已知点P 在抛物线x y 42=上，那么点P 到点Q （2，1-）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（） A ．)141(, B ．)1,41(- C ．(1，2) D ．(1，2-) 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共20分）11．已知圆C 的圆心是抛物线x y 42-=的焦点，且圆C 与直线03=++y x 相切，则圆C 的方程为 .12．已知方程22153x y k k+=---表示椭圆，则k 的取值范围是______________.13．“若y x =，则22y x =”的逆命题是命题（填“真”或“假”）.14．双曲线2214x y k+=的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是______________.15．“N x ∈∃，02≤x”的否定是 (写出命题).三、计算题（本题共3小题，共40分）16．（12分）已知圆C ：0126422=+--+y x y x ，点A （3,5），求过点A 的圆的切线方程。

北京市西城区第66中学高二上学期期中考试数学(理)试题

北京市第六十六中学2017-2018学年第一学期期中质量检测高二年级数学（理）学科试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1. 原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】，故选．2. 已知集合，{，为实数，且}，{，为实数，且}，则的元素个数为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，即为求圆与直线的交点，由图象知两曲线有个交点，故中有个元素．故选．点睛：用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．3. 圆的半径（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意得，圆，可化为，所以，故选B．考点：圆的标准方程．4. 命题“，”的否定为（）．A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】全称命题边否定时，“”改为“”．故选．5. “”是“方程表示圆”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，方程等价于无意义，但若表示圆，则．∴“”是“”表示圆的必要不充分条件．故选：B6. 关于直线，以及平面，，下列命题中正确的是（）．A. 若，，则B. 若，，则C. 若，且，则D. 若，，则【答案】D【解析】错误，，可能相交，错误，可能平行于，错误，可能平行于，正确．故选．7. 上图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：因为根据几何体的三视图可得，几何体为下图相互垂直，面面,根据几何体的性质得：，,所以最长为．考点：几何体的三视图及几何体的结构特征．8. 若，表示一个圆的方程，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】圆为，半径为，．．故选：C点睛：圆的一般方程中表示一个圆的充要条件是D2+E2-4F＞0.也可以把一般方程转化为标准方程，令等式右侧大于零即可.二、填空题：（每小题5分，共25分）9. 命题“若，则”的否命题是：__________．【答案】若，则【解析】原命题为“若则”，否命题为“若则”．∴”的否命题是：若，则10. 若圆与圆外切，则的值为__________．【答案】2【解析】，，，∴．11. 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为，那么这个球的表面积为__________．【答案】考点：1.球内接正方体中的等量关系.2.球的表面积公式.3.空间的想象能力.12. 到圆上的任意点的最大距离是__________．【答案】6【解析】设圆心为，，，∴到圆的最大距离为．13. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为__________．【答案】2【解析】直线方程为，圆方程为，圆心到直线的距离，弦长．三、解答题：（共35分）14. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点．（I）证明：平面．（II）证明：平面．【答案】（I）见解析；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）根据矩形性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先由平面，得，由矩形得，进而根据线面垂直判定定理得平面，即得，再根据等腰三角形性质得，所以根据线面垂直判定定理得结论试题解析：（I）证明：∵在矩形中，，平面，平面，∴平面．（II）∵在等腰中，是边中点，∴，又∵，平面，∴，点，，平面，∴平面，平面，∴，∵点，、平面，∴平面．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.15. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．（I）求圆的方程．（II）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．【答案】（I）；（II）和.【解析】试题分析：（1）先求弦中垂线方程，再求中垂线与x轴交点得圆心，根据圆心到原点距离等于半径，写出圆标准方程（2）先根据垂径定理求出圆心到直线距离，再设直线的点斜式方程，根据点到直线距离公式求直线斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件试题解析：（I）∵圆经过和点，∴圆心一定在线段垂直平分线上，中点为，，∴垂直平分线为，当时，，∴圆心，，∴圆的方程为．（II）设直线为，即，圆心到直线的距离，解得，整理得，直线的方程为．16. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱中点．，，．（I）求证：平面．（II）求证：平面．（III）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM∥B1C，又OM⊂平面A1BM，B1C⊄平面A1BM，即可证明B1C∥平面A1BM．（Ⅱ）易证AA1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．（Ⅲ）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．试题解析：（I）证明：连接交于点，连接，在中，，分别是，中点，∴．又∵平面，平面，∴平面．（II）∵底面，平面，∴，又∵为棱中点，，∴，∵点，∴平面，∴，∵为中点，，∴，又∵．在与中，，∴，∴，∴，∵点，∴平面．（III）存在点，当时成立，设中点为，连接，，∵，分别为，中点，∴，∵为中点，∴，∴，∵平面，∴平面，又∵平面．∴平面平面．点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.。

北京市第六十六中学14—15学年上学期高二第一次质量检测数学(理)试题(附答案) (1)

北京市第六十六中学14—15学年上学期高二第一次月考数学（理）试题2014.10—、选择题（每小题5分，共40分）1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是 A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1D ．x 2＋y 2＝22．直线y ＝x －1上的点到圆x 2＋y 2＋4x －2y ＋4＝0的最近距离为 A ．2 2 B.2－1 C ．22－1 D ．13．若022=-+-+m y x y x ，表示一个圆的方程，则m 的取值范围是 A. 21->m B. 21-≥m C. 21-<m D. 2->m 4．若直线1=+by ax 与圆122=+y x 相交，则点),(b a P 与圆的位置关系是 A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 不能确定5．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若△12PF F 的面积的最大值为12，则该椭圆的标准方程为A.221259x y += B. 2212516x y += C. 221169x y +=D. 161022=+y x 6．设动点),(y x M 到)0,4(A 的距离与它到)0,4(-B 距离的差等于6，则点M 的轨迹方程是A ． 17922=-y xB ．)3(17922≥=-x y xC ．)3(17922-≤=-x y xD ．192522=-y x7．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎣⎡⎦⎤－34，0B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.[]－3，3 D.⎣⎡⎦⎤－23，08．若椭圆122=+n y m x 与双曲线q p n m qy p x ,,,(122=-均为正数）有共同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则||||21PF PF ⋅等于A ．2m p -2B ．m p -C ．p m -D ．22p m -二、填空题：（每小题5分，共25分） 9．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________．10．已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为________． 11．)1,1(P 到圆1)5()4(22=-+-y x 上的任意点的最大距离是 . 12.过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为 .13．双曲线22:12x C y -=的离心率为____ __；若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =___ ___.三、解答题：（14、15题每题12分，16题11分）14．（本小题满分12分）求与x 轴相切，圆心在直线3x －y ＝0上，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27的圆的方程．15．（本小题满分12分）已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4. (1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程； (3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程．16．（本小题满分11分）椭圆22143x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，一条直线l 经过点1F 与椭圆交于,A B 两点．（1）求2ABF ∆的周长；（2）若l 的倾斜角为4π，求2ABF ∆的面积．北京市第六十六中学2012—2013学年第一学期月考考试高二年级数学学科（理科）答案及评分标准2014.10—、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共25分）三、解答题（14、15题12分，16题11分）14.解：法一设所求的圆的方程是(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，…………1分则圆心(a ，b )到直线x －y ＝0的距离为|a －b |2，……………3分∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|a －b |22＋(7)2，即2r 2＝(a －b )2＋14，①……………5分由于所求的圆与x 轴相切，∴r 2＝b 2.②……………7分又因为所求圆心在直线3x －y ＝0上，∴3a －b ＝0.③……………9分联立①②③，解得a ＝1，b ＝3，r 2＝9或a ＝－1，b ＝－3，r 2＝9. ……………11分故所求的圆的方程是(x －1)2＋(y －3)2＝9或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝9. ……………12分法二设所求的圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，…………1分圆心为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径为12D 2＋E 2－4F .…………3分令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由圆与x 轴相切，得Δ＝0，即D 2＝4F . ④ …………5分又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2到直线x －y ＝0的距离为⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 22.由已知，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪－D 2＋E 222＋(7)2＝r 2，即(D －E )2＋56＝2(D 2＋E 2－4F )⑤…………7分又圆心⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2在直线3x －y ＝0上，∴3D －E ＝0.⑥…………9分联立④⑤⑥，解得D ＝－2，E ＝－6，F ＝1或D ＝2，E ＝6，F ＝1. …………11分故所求圆的方程是x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0，或x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋1＝0. …………12分15解：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，…………1分则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，…………3分从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0. …………4分16．解：（1）由椭圆的定义，得12122,2AF AF a BF BF a +=+=，又AB BF AF =+11，所以，2ABF ∆的周长a BF AF AB 422=++=．………………2分又因为42=a ，所以2=a ，故2ABF ∆点周长为8．………………………………4分 ⑵由条件，得)0,1(1-F ，因为AB 的倾斜角为4π，所以AB 斜率为1，故直线AB 的方程为1+=x y ．………………………………………………………5分。

北京市第六十六中学2015届高三上学期期中考试数学(文)试题(有答案)

d2014.11试卷说明：1．本试卷共三道大题，共 4 页。

2．卷面满分 150 分，考试时间 120 分钟。

3．试题答案一律在答题纸上作答，在试卷上作答无效。

—、选择题（每小题5分，共40分）1．设全集{|02}U x x =<<，集合1{|0}A x x =<≤，则集合UA =（）A ．(0,1)B . (0,1]C . (1,2)D . [1,2)2．下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)内单调递减的函数是（）A ．12log y x = B ．1y x = C ．3y x = D ．x y tan =3．已知点31(,)22P -在角θ的终边上，且[0,2)θπ∈，则θ的值为（） A. 56π B.23π C.116π D. 53π4．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ． 9 5．在ABC ∆中，若22tan tan a A bB=，则ABC ∆为（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6．已知函数⎩⎨⎧<≥+=,0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 取值范围是（） A. )12,1(-- B. （0，32） C. [-1，0.5） D.（-1，0.5] 7.已知向量=a （1，0），=b （0，1），b a c λ+=（∈λR ），向量d 如图所示.则（）A ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 垂直B ．存在0λ>，使得向量c 与向量d 夹角为︒60C ．存在0λ<，使得向量c 与向量d 夹角为30︒D ．存在0>λ，使得向量c 与向量d 共线 8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，函数()y f x =的图象大致是O y x11二、填空题（每小题5分，共30分）9．函数)1(log )(22x x f -=的定义域为 .10．设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．11．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为 .12直线ex y =与函数xe xf =)(的图象相切，则切点坐标为 . 13．某四面体三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是14.李强用流程图把上班前需要做的事情做了如下几种方案，则所用时间最少的方案是_______ 方案一：方案二：方案三：三、解答题（共80分）15.（本小题共13分）已知在等比数列}{n a 中，11=a ，且2a 是1a 和13-a 的等差中项. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若数列}{n b 满足)(12*N n a n b n n ∈+-=，求}{n b 的前n 项和n S . 16.（本小题共13分）已知函数2()2cos sin cos f x x a x x =+，()06f π=(1)求实数a 的值;(2)求函数()f x 的最小正周期及单调增区间.17．（本小题共13分）根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击击中目标靶的环数的频率分布情况如图所示ABC D MNP A 1B 1C 1D 1 y xA ．Oy xB ．Oy xC ．Oyx D ．O是否开始n >1021n n =+输出S结束 S =0，n =1 S =S +n（1）求上图中a 的值；（2）甲队员进行一次射击，求命中环数大于7环的概率（频率当作概率使用）；（3）由上图判断甲、乙两名队员中，哪一名队员的射击成绩更稳定（结论不需证明）18．（本小题共14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2(1)求证：DE ∥平面A 1CB ； (2)求证：A 1F ⊥BE ；(3)线段A 1B 上是否存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ ？说明理由.19．（本小题共13分）△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为B ac S cos 23=. （1）若a c 2=，求角A ，B ，C 的大小；（2 ) 若a ＝2，且43A ππ≤≤，求边c 的取值范围．20．（本小题共14分）已知函数()xe f x x a=-（其中常数0a ）.（1）求函数()f x 的定义域及单调区间；（2）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围．2014.11—、选择题（每小题5分，共40分）1 2 3 4 5 6 7 8 CBADDADB二、填空题（每小题5分，共30分）9、}{11|<<-x x 10、-0.4 11、8 12、),1(e 13、10 14、方案三三、解答题15．（本小题满分13分）（1）设等比数列}{n a 的公比为 q（2）n n a n b +-=1216.（本小题满分13分）解：（1）解：由()06f π=知22cos sincos0666a πππ+=............................2分∴3132042a ⨯+⨯= ...................................4分 ∴23a =- .................................5分（2）解：∵23a =-∴2()2cos 3cos f x x x x =- cos 2132x x =+2cos(2)13x π=++......................8分∴222T πππω===，..................10分∴2223k x k ππππ-≤+≤（k Z ∈） (11)∴236k x k ππππ-≤≤-（k Z ∈） ...................12分∴函数的最小正周期为π，单调增区间为2[,]36k k ππππ--（k Z ∈）.........13分17. （本小题满分13分）（Ⅱ）设事件A 为“甲队员射击，命中环数大于7环”，它包含三个两两互斥的事件：甲队员射击，命中环数为8环，9环，10环.所以()0.290.450.010.75P A =++=. 9分（Ⅲ）甲队员的射击成绩更稳定. 13分考点：互斥事件概率及方差的意义。

2015北京66中高二(上)期中数学(理)

2015北京66中高二（上）期中数学（理）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知命题 p：?x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．?x∈R，x＜2 B．?x∈R，x≤2 C．?x∈R，x≤2 D．?x∈R，x＜22．（5分）圆x2+y2+2x﹣4y=0的半径为（）A．3 B．C．D．53．（5分）“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．5．（5分）抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，0）6．（5分）设椭圆（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为（）A．B．C．D．7．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞）的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．8．（5分）已知直线l：3x+4y﹣12=0，若圆上恰好存在两个点P、Q，它们到直线l的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（）A．x2+y2=1 B．x2+y2=16 C．（x﹣4）2+（y﹣4）2=1 D．（x﹣4）2+（y﹣4）2=16二、填空题（每小题4分，共20分）9．（4分）双曲线﹣=1的实轴长为．10．（4分）命题“若x＜2，则x＜3”的否命题是．11．（4分）已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则此双曲线的标准方程为．12．（4分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．13．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是．三、计算题（每小题10分，共40分）14．（10分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．15．（10分）抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为．（1）求抛物线的方程和椭圆C的方程；（2）若双曲线与椭圆C共焦点，且以y=±x为渐近线，求双曲线的方程．16．（10分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【解答】因为全称命题的否定是特称命题，所以：命题 p：?x∈R，x＞2，那么命题￢p为：?x∈R，x≤2．故选：B．2．【解答】圆x2+y2+2x﹣4y=0的半径：r==．故选：C．3．【解答】∵由“ab＞0”，不能判断“方程ax2+by2=1表示椭圆”，例如a＜0，b＜0时，“方程ax2+by2=1不表示椭圆”．“方程ax2+by2=1表示椭圆”?“ab＞0”，∴“ab＞0”是“方程ax2+by2=1表示椭圆”的必要不充分条件．故选B．4．【解答】选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B5．【解答】抛物线y=2x2的标准方程为，∴p=，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选 B．6．【解答】∵抛物线的焦点为（2，0），椭圆焦点在x轴上，排除A、C，由排除D，故选B7．【解答】∵双曲线（a＞）的渐近线方程是∴由双曲线（a＞）的两条渐近线的夹角为可知，∴a2=6，c2=8，∴双曲线的离心率为，故选D．8．【解答】在一个圆上恰好存在两个点P、Q使得他们到直线L的距离为 1也就是说，直线PQ∥直线l，也就是说，所找的圆的圆心到直线PQ的距离小于该圆的半径因此设直线PQ为3x+4y+m=0由两平行线间的距离公式可得m=﹣7或者﹣17将两个m值分别代入直线PQ验证A、B、C、D中圆心到PQ的距离只有D符合，故选：D．二、填空题（每小题4分，共20分）9．【解答】双曲线的a=2，b=3，则双曲线的实轴长为2a=4．故答案为：4．10．【解答】命题“若x＜2，则x＜3”的否命题是“若x≥0，则x≥3”．故答案为：“若x≥2，则x≥3”．11．【解答】因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，所以由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，①又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以=，②由①②解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故答案为：．12．【解答】依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA|∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为13．【解答】设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴，即x2+y2=（2c）2=12，②由①②得，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2a′，焦距为2c′，则2a′＝|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2c′=2，∴C2的离心率是e==．故答案为：．三、计算题（每小题10分，共40分）14．【解答】（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣）∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上即D+E=﹣2，①且=2②又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0由①②解得D=2，E=﹣4∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0（Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径，即||=，∴a=﹣1或a=3所求切线方程x+y=﹣1或x+y=315．【解答】（1）由题意可知抛物线开口向左，故设抛物线的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∵，∴，∴p=2，∴抛物线的方程为y2=﹣4x；故准线方程为x=1，∴椭圆C的右焦点坐标为（1，0），∴c=1，由于点（﹣，）也在椭圆上，则解得，．∴；（2）因为双曲线与椭圆C共焦点，所以双曲线的焦点也在x轴上，且c=1，则设双曲线的方程为，由题意可知：，解得，∴．16．【解答】（1）由方程y2=﹣x，y=k（x+1）消去x后，整理得ky2+y﹣k=0．设A（x1，y1）、B（x2，y2），由韦达定理y1?y2=﹣1．∵A、B在抛物线y2=﹣x上，∴y12=﹣x1，y22=﹣x2，y12?y22=x1x2．∵k OA?k OB=?===﹣1，∴OA⊥OB．（2）设直线与x轴交于N，又显然k≠0，∴令y=0，则x=﹣1，即N（﹣1，0）．∵S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON|?|y1﹣y2|，∴S△OAB=?1?=．∵S△OAB=，∴=．解得k=±．17．【解答】（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）化简得x2+3y2=4（x≠±1）．故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）则．因为sin∠APB=sin∠MPN，所以所以=即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得因为x02+3y02=4，所以故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为（）．。

北京市西城区66中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析

北京市第六十六中学2016-2017学年第一学期期中质量检测高二年级数学（文科）学科试卷一、选择题（每小题4分，共32分）1. 在直角坐标系中，原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选．2. 圆心为，且经过点的圆的方程是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】圆心为，排除，且经过，排除，故选．3. 如果两条直线与平行，那么等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，，，，∴或，当时，，．重合（舍去），当时，，．符合要求，综上，故选．4. 如图，正方体中，下列结论不正确．．．的是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】与是两条异面直线．所以不可能平行,选C.5. 在空间中，下列命题正确的是（）．A. 如果直线平面，直线直线，那么直线平面B. 如果平面平面，那么平面内的任一直线平面C. 如果平面与平面的交线为，平面内的直线直线，那么直线平面D. 如果平面内的两条直线都平行于平面，那么平面平面【答案】B【解析】项错误，可能平行于平面，项错误，可能仅与平面相交，项错误，平面内两条相交直线都平行于，则有两平面平行，项正确，故选．6. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】，，．选B.点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．7. 过点的直线交圆于、两点，当最大时，直线的方程是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】圆标准方程为，当最大，直线经过圆心，直线斜率，，整理得，故选．点睛：与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．8. 如果实数，满足等式，那么的最大值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】过原点作该圆的切线，切线斜率，故选．点睛：与圆上点有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如型的最值问题，可转化为过点和点的直线的斜率的最值问题；②形如型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角是__________．【答案】【解析】直线为，倾斜角，．10. 圆在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】圆，点在圆上，∴其切线方程为，整理得：．11. 若圆与圆外切，则的值为__________．【答案】【解析】，，，∴．12. 一个棱长为的正方体，其八个顶点都在同一个球面上，那么这个球的表面积为__________．【答案】【解析】设球的半径为，，∴，球表面积．13. 设是圆上动点，是直线上动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】圆心为到直线的距离，，．14. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜角度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③棱始终与水面平行；④当时，是定值．其中正确说法是__________．【答案】①③④【解析】随着倾斜度的不同，但水的部分始终呈棱柱状，且棱平面，∵棱，∴平面，∵体积是定值，高为定值，则底面积为定值，则底面积为定值，即为定值，综上①③④正确．三、计算题（本题共4小题，共44分）15. 已知直线经过点，且斜率为．（I）求直线的方程．（II）求与直线平行，且过点的直线方程．（III）求与直线垂直，且过点的直线方程．【答案】（1）（2）（3）【解析】试题分析：（1）根据点斜式写直线方程（2）根据平行关系设所求直线方程为，再代入点坐标求参数m，（3）根据垂直关系设所求直线方程为，再代入点坐标求参数n试题解析：（I），整理得．（II）设所求直线方程为，代入点，解得，∴直线方程为．（III）设所求直线方程为，代入，解得，∴直线方程为．16. 已知圆经过坐标原点和点，且圆心在轴上．（I）求圆的方程．（II）设直线经过点，且与圆相交所得弦长为，求直线的方程．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求弦中垂线方程，再求与x轴交点得圆心，根据圆心到原点距离等于半径，写出圆标准方程（2）设直线的点斜式方程，根据垂径定理求出圆心到直线距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率，最后验证斜率不存在时是否满足条件试题解析：（I）∵圆经过和点，∴圆心一定在线段垂直平分线上，中点为，，∴垂直平分线为，当时，，∴圆心，，∴圆的方程为．（II）设直线为，即，圆心到直线的距离，解得，整理得，直线的方程为．17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点．（I）证明：平面．（II）证明：平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据矩形性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）先由平面，得，由矩形得，进而根据线面垂直判定定理得平面，即得，再根据等腰三角形性质得，所以根据线面垂直判定定理得结论试题解析：（I）证明：∵在矩形中，，平面，平面，∴平面．（II）∵在等腰中，是边中点，∴，又∵，平面，∴，点，，平面，∴平面，平面，∴，∵点，、平面，∴平面．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.18. 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．（I）求证：平面．（II）求证：平面．（III）求四面体的体积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：（1）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．（2）欲证AC∥平面BEF，只需证明AC平行平面BEF中的一条直线即可，利用中位线的性质证明OG平行DE且等于DE的一半，根据已知AF平行DE且等于DE的一半，所以OG与AF 平行且相等，就可得到AC平行FG，而FG为平面BEF中的一条直线，问题得证．（3）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．（）因为平面平面，，即，所以平面，因为平面，所以，因为是正方形，所以，，所以平面．（）设，取中点，连接、，如下图：所以平行且等于，因为，，所以平行且等于，从而四边形是平行四边形，，因为平面，平面，所以平面，即平面．（），，因此四面体的体积．点睛：本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直，线面平行，计算三棱锥的体积，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力．证线面垂直先证线线垂直，正线面平行先证线线平行。

北京市第六十六中学2013-高二下学期期中考试数学(文)试题

北京市第六十六中学2013-2014学年高二下学期期中考试数学（文）试题2014.5—、选择题（每小题4分，共32分） 1．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A ．(,1)-∞- B ．(1,)+∞ C ．(1,1)(1,)-+∞ D ．(,)-∞+∞2．已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是( ) A.若a +b+c≠3，则222a b c ++<3 B.若a+b+c=3，则222a b c ++<3C.若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3D.若222a b c ++≥3，则a+b+c=33. 若集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}1,3,5,7A =，{}1,3,5,6,7B =，则集合)(B A C U ⋂是( ) A ． {2,4,6}B ． {1,3,5,7}C ． {2,4}D ．{2,5,6}4. 函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．45. 下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( )A.a >b +1B. a >b -1C. 2a >2bD.3a >3b 6. 已知命题:0p x ∃≥，使23x =，则 ( )A ．:0p x ⌝∀<，使23x ≠B ．:0p x ⌝∀≥，使23x≠C ．:0p x ⌝∃≥，使23x ≠D ．:0p x ⌝∃<，使23x≠7. 函数b bx x x f 36)(3+-=在（0，1）内有极小值，则（） A ． 0>bB ． 1<bC ． 220<<b D .210<<b数在区间[,]a b 8. 若函数()y f x =的导函数．．．在区间[,]a b 上是增函数，则函上的图象可能是（）二、填空题（每小题4分，共28分） 9．计算i-13=10. 设函数,)0(log )0(51)(3⎪⎩⎪⎨⎧>≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x f x 则)]31([f f =11. 函数)11(2≤≤--=x x x y 的值域是12. 已知直线ex y =与函数xe xf =)(的图象相切，则切点坐标为 13. 函数23()()mmf x x m Z -=∈是幂函数，当0x >时，()f x 单调递减，则m =14. 若b a lg ,lg 是方程01422=+-x x 的两个实根，则ab =15. 设B B A ax x B x x x A =⋂=-==--=},01{},032{2，则实数a = 三、计算题（本题共40分） 16．（本小题满分10分）若函数3)62(32+++-=m x m mx y 在)1,(-∞上单减，求实数m 的取值范围。

《解析》北京师大附中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=02．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣13．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．15．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是．11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p：“存在实数m，使方程x2+mx+1=0有实数根”，则“非p”形式的命题是．19．已知p：不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R；q：0＜a＜1．则p是q（充分，必要，充要）条件．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．2015-2016学年北京师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．经过（﹣1，2）且与直线x+y﹣1=0垂直的直线是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣y+3=0 C．x+y+1=0 D．x+y+3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由题意和垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+y﹣1=0的斜率为﹣1，∴所求垂线的斜率为1，∴方程为y﹣2=x﹣（﹣1），∴x﹣y+3=0，故选：B．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．2．已知两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，则a=（）A．﹣B．C．1 D．﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线平行可得a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解方程排除重合即可．【解答】解：∵两直线l1：（a﹣1）x﹣3y﹣10=0，l2：（a+1）x+y+3=0互相平行，∴a﹣1﹣（﹣3）（a+1）=0，解得a=，经验证当a=﹣时，两直线平行．故选：A．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．3．关于直线a、b、l，以及平面α、β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥bB．若a∥α，b⊥a，则b⊥αC．若a⊂α，b⊂α，且l⊥a，l⊥b，则l⊥αD．若a⊥α，a∥β，则α⊥β【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】利用正方体模型，举出A、B、C三项的反例，得出A、B、C三项均为假命题，通过排除法可得D选项为正确答案．【解答】解：以正方体为例对于A选项，设下底面ABCD为平面α，在上底面A1D1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a、b都平行于平面α，但直线a、b不平行，故A项不对（如图1）对于B选项，设下底面ABCD为平面α，上底面A1C1所在直线为a，B1D1所在直线为b，直线a是平面α的平行线，直线b与a垂直，但直线b与平面α不垂直，故B选项不对（如图2）对于C选项，设下底面ABCD为平面α，直线AB、CD所在直线分别为a、b，AD1所在直线为l．可见直线a、b是平面α内的平行线，虽然直线a、b都与直线l垂直，但直线l与平面α不垂直，故C选项不对（如图3）由A、B、C都不对，得应该选择D选项．故答案为D【点评】判断空间直线与平面的位置关系时，常常借助于空间几何体如长方体、正方体、三棱锥等，结合立体几何的定理或推论解决问题．4．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．1【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体为直三棱柱，且三棱柱的高为，底面是直角边长分别为1，的直角三角形，∴三棱柱的体积V==1．故选：D．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．5．下列说法中正确的是（）A．在正三棱锥中，斜高大于侧棱B．有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱C．底面是正方形的棱锥是正四棱锥D．有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥【考点】命题的真假判断与应用．【专题】阅读型；对应思想；分析法；简易逻辑．【分析】由多面体的结构特征逐一核对四个选项得答案．【解答】解：在正三棱锥中，斜高为直角三角形的直角边，侧棱为同一个直角三角形的斜边，∴斜高小于侧棱，A错误；由直棱柱的定义可知，有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，B正确；底面是正方形的棱锥是正四棱锥错误，还需满足顶点在底面的射影为底面的中心；有一个面是多边形，其余各面均为三角形的几何体是棱锥错误，还需满足三角形由公共顶点．故选：B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了多面体的结构特征，是基础题．6．长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，则它的外接球的体积是（）A．B．36πC．9πD．π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知求出外接球半径，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=AD=2，AA′=1，∴它的外接球的半径R满足：2R==3，即R=，故它的外接球的体积V==，故选：A【点评】本题考查的知识点是球的体积，球内接多面体，计算出球的半径是解答的关键．7．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后经过圆（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；规律型；数形结合；直线与圆．【分析】由题意可得反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），点P（﹣2，﹣3）关于x 轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，用斜率公式求解即可．【解答】解：由题意可得反射光线所在的直线经过圆：（x+3）2+（y﹣2）2=1的圆心M（﹣3，2），由反射定律可得点P（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点Q（2，﹣3）在反射光线所在的直线上，根据M、Q两点的坐标，所求直线的斜率为：=﹣1．故选：A．【点评】本题主要考查用两点式求直线方程，判断反射光线所在的直线经过圆心M（﹣3，2），是解题的突破口．8．在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；压轴题．【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面PAE，故B正确．由DF⊥平面PAE可得，平面PAE⊥平面ABC，故D正确．故选C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．某圆锥的母线和底面半径分别为2，1，则此圆锥的体积是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的定义与性质，算出圆锥的高h，再由圆锥的体积公式即可算出此圆锥的体积．【解答】解：∵圆锥的母线长l=52，底面圆的半径r=1，∴圆锥的高h=，因此，圆锥的体积为V=πr2h=π×12×=．故答案为：．【点评】本题给出圆锥的母线长和底面圆的半径，求此圆锥的体积．着重考查了圆锥的定义与性质、圆锥的体积公式等知识，属于基础题．10．已知某三棱锥的三视图是如图所示的三个直角三角形，那么这个三棱锥最小的一个表面的面积是6．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】根据三视图还原成原图为四个面都是直角三角形的四面体，然后求出四个面的面积，找出最小面积【解答】解：由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形的四面体（如图所示），则S ABD=×4×5=10，S ABC=×3×5=7.5，S BCD=×4×3=6，且AD＞51，AC＞5，CD=5，∴S ACD＞S BCD，∴面积最小为6．故答案为：6．【点评】本题考查了由三视图还原成原图，要注意还原前后数量的对应关系，考查了空间想象能力，属于基本题型，难度不大11．若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°，（O为坐标原点），则r=2．【考点】直线与圆相交的性质．【专题】直线与圆．【分析】若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，∠AOB=120°，则△AOB 为顶角为120°的等腰三角形，顶点（圆心）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r，代入点到直线距离公式，可构造关于r的方程，解方程可得答案．【解答】解：若直线3x﹣4y+5=0与圆x2+y2=r2（r＞0）交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB=120°，则圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=rcos=r，即=r，解得r=2，故答案为：2．【点评】本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中分析出圆心（0，0）到直线3x﹣4y+5=0的距离d=r是解答的关键．12．正三棱锥的底面边长为2，则经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积是．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】先求出正三棱锥的底面面积，再由经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，能求出结果．【解答】解：∵正三棱锥的底面边长为2，∴正三棱锥的底面面积S==，∵经过高的中点且平行于底面的平面与底面相似，且相似比为，∴经过高的中点且平行于底面的平面截该三棱锥所得的截面面积S′==．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥中截面面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正三棱锥的结构特征的合理运用．13．已知圆C1：（x﹣1）2+y2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣1）2=4，它们的位置关系是相交．【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【专题】计算题；数形结合；直线与圆．【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆的位置关系．【解答】解：由题意可得，两圆的圆心距C1C2==∈[1，3]，即两圆的圆心距大于两圆的半径之差，小于半径和，故两圆相交，故答案为：相交．【点评】本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于中档题．14．如图所示，E是正方形ABCD所在平面外一点，E在面ABCD上的正投影F恰在AC 上，FG∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°．则以下结论中正确的有（1）（2）（4）．（1）CD⊥面GEF．（2）AG=1．（3）以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是8．（4）∠EAD=60°．【考点】直线与平面垂直的判定．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知推导出FG⊥AB，CD⊥GF，EF⊥CD从而得到CD⊥平面GEF；由已知得AB=AE=BE=BC=AC=2，AF=BF=CF，从而得到AG=BG=1，以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，∠EAD=∠EAB=60°．【解答】解：在（1）中，∵E是正方形ABCD所在平面外一点，FG∥BC，∴BC⊥AB，∴FG⊥AB，∵AB∥CD，∴CD⊥GF，∵E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥CD，∵EF∩GF=F，∴CD⊥平面GEF，故（1）正确；在（2）中，∵AB=AE=2，∠EAB=60°，∴AB=AE=BE=BC=AC=2，∴AF=BF=CF，∵FG∥BC，∴AG=BG=1，故（2）正确；在（3）中，∵由（2）得AF=CF=EF=，∴=2，∴以AC，AE作为邻边的平行四边形面积是4，故（3）错误；在（4）中，由（2）得∠EAD=∠EAB=60°，故（4）正确．故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．三、解答题：本大题共3小题，共30分.15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AD，AB的中点．（1）求证：EF∥平面CB1D1；（2）求证：B1D1⊥平面CAA1C1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】（1）欲证EF∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面CB1D1内一直线平行，连接BD，根据中位线可知EF∥BD，则EF∥B1D1，又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证平面CAA1C1⊥平面CB1D1，根据面面垂直的判定定理可知在平面CB1D1内一直线与平面CAA1C1垂直，而AA1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，则AA1⊥B1D1，A1C1⊥B1D1，满足线面垂直的判定定理则B1D1⊥平面CAA1C1．【解答】（本题满分为12分）证明：（1）连接BD，因为正方体，所以BB1∥DD1，所以四边形BDD1B1为平行四边形，所以BD∥B1D1，因为EF∥BD，由平行线传递性得：EF∥B1D1，因为B1D1⊄面CB1D1，EF⊂面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（6分）（2）因为在正方体中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）【点评】本题主要考查线面平行的判定定理和线面垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．【点评】本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．17．设P为直线l1：x﹣2y+4=0与直线l：2x﹣y﹣4=0的交点，圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，l0为过点P且斜率为k的直线，（1）若k=，l0与圆C交于A，B两点，求|AB|；（2）k为何值时，l0与圆C相切？设切点分别为M，N，求cos∠MPN．【考点】圆的切线方程．【专题】综合题；数形结合；待定系数法；直线与圆．【分析】（1）联立直线方程可解得P（4，4）可得l0的方程，又可得圆C的圆心为（2，2），半径为1，可得圆心C到直线l0的距离d，由勾股定理可得；（2）由相切可得k的方程，解方程可得k值，由三角函数的定义可得sin∠MPC，由二倍角公式可得cos∠MPN．【解答】解：（1）联立可解得P（4，4），当k=时，l0的方程为y﹣4=（x﹣4），即3x﹣2y﹣4=0，配方可得圆C：x2+y2﹣4x﹣4y+7=0的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=1，故圆C的圆心为（2，2），半径为1，∴圆心C到直线l0的距离d==，∴|AB|=2=；（2）l 0的方程为y ﹣4=k （x ﹣4），即kx ﹣y+4﹣4k=0，由相切可得圆心C 到直线l 0的距离d==1，平方并整理可得3k 2﹣8k+3=0，解得k=， ∵sin ∠MPC===，∴cos ∠MPN=cos2∠MPC=1﹣2sin 2∠MPC=1﹣2×=．【点评】本题考查圆的切线方程，涉及圆的弦长和点到直线的距离以及二倍角的余弦公式，属中档题．四、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分．18．命题p ：“存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根”，则“非p ”形式的命题是对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根．【考点】复合命题的真假．【专题】规律型．【分析】根据命题的否定可知，存在的否定词为任意，再根据非p 进行求解即可．【解答】解：∵p ：存在实数m ，使方程x 2+mx+1=0有实数根，存在的否定词为任意， ∴非p 形式的命题是：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根，故答案为：对任意实数m ，方程x 2+mx+1=0没有实数根．【点评】此题主要考查命题的否定，此题是一道基础题．19．已知p ：不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ；q ：0＜a ＜1．则p 是q 必要（充分，必要，充要）条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；简易逻辑．【分析】结合二次函数的性质求出a 的范围，再由集合的包含关系判断即可．【解答】解：若不等式ax 2+2ax+1＞0的解集为R ，a=0时：1＞0，成立，a≠0时：△=4a2﹣4a＜0，解得：0＜a＜1，综上，p：0≤a＜1；q：0＜a＜1，故答案为：必要．【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道基础题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的长轴长为4．若以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，则椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意列式求出b，再由椭圆的长轴的长为4求得a，结合隐含条件求出c，则椭圆的离心率可求．【解答】解：由以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y=x+2相切，得b=．又∵2a=4，∴a=2，∴c2=a2﹣b2=2，即c=．∴e=．故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程，涉及了椭圆与直线的位置关系，以及点到直线的距离公式，是基础题．五、解答题：本大题共3小题，共38分.21．已知p：{x|x2﹣8x﹣20≤0}；q：{x|x2﹣2x﹣（m2﹣1）≤0，m＞0}，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】结合￢P和￢q的关系，得到不等式组，解出即可．【解答】解：解法一：非p：A={x|x＜﹣2或x＞10}，非q：B={x|x＜1﹣m或x＞1+m，m＞0}．∵非p是非q的必要不充分条件，∴非p推不出非q，非q⇒非p，∴B A，结合数轴分析知，B A的充要条件是：或，解得m≥9，即m的取值范围是m≥9．解法二：∵非p是非q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件．而p：M={x|﹣2≤x≤10}，q：N={x|1﹣m≤x≤1+m，m＞0}，∴M N，结合数轴分析知，M N的充要条件是：或，解得m≥9，∴m的取值范围是m≥9．【点评】本题考查了充分必要条件，是一道基础题．22．已知方程x2+y2﹣6x+2y+m=0．（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；（2）若已知（1）中的圆与直线x+2y﹣2=0相交于A，B两点，并且以线段AB为直径的圆经过坐标原点O，求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0，代入计算，即可求实数m的取值范围；（2）以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0，利用根系关系，可得结论．【解答】解：（1）方程x2+y2﹣6x+2y+m=0，由圆的一般方程知识得D=﹣6，E=2，F=m 当此方程表示圆的时候有D2+E2﹣4F＞0解之得m＜10．（2）联立直线和圆的方程，消去x并化简整理得5y2+6y+m﹣8=0设题中直线与圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则在上述方程判别式△＞0的前提下，由根系关系得到y1+y2=﹣，y1y2=．再由x=2﹣2y可得x1+x2=，x1x2=由以线段AB为直径的圆经过坐标原点O得x1x2+y1y2=0即+=0，解之得m=﹣．验证此时△＞0成立．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查根系关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．23．点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点．点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF．（1）求P点的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M 的距离d的最小值．【考点】椭圆的简单性质；点到直线的距离公式；椭圆的应用．【专题】计算题．【分析】（1）先求出PA、F的坐标，设出P的坐标，求出、的坐标，由题意可得，且y＞0，解方程组求得点P的坐标．（2）求出直线AP的方程，设点M的坐标，由M到直线AP的距离等于|MB|，求出点M 的坐标，再求出椭圆上的点到点M的距离d的平方得解析式，配方求得最小值．【解答】解：（1）由已知可得点A（﹣6，0），F（4，0），设点P（x，y），则=（x+6，y），=（x﹣4，y）．由已知可得，2x2+9x﹣18=0，解得x=，或x=﹣6．由于y＞0，只能x=，于是y=．∴点P的坐标是（，）．（2）直线AP的方程是，即x﹣y+6=0．设点M（m，0），则M到直线AP的距离是．于是=|6﹣m|，又﹣6≤m≤6，解得m=2，故点M（2，0）．设椭圆上的点（x，y）到点M的距离为d，有d2=（x﹣2）2+y2 =x2﹣4x+4+20﹣x2 =（x﹣）2+15，∴当x=时，d取得最小值．【点评】本题考查椭圆的简单性质和点到直线的距离公式，两个向量垂直的性质，求出点M 的坐标，是解题的难点．。

2015北京67中高二(上)期中数学(文)

A．（ 6， 1） B．（﹣ 2， 1） C．（ 4，﹣ 3） D．（﹣ 4， 1）
7．（ 4 分）已知点 P（ 2，﹣ 3）、Q（ 3， 2），直线 ax﹣ y+2=0 与线段 PQ相交，则 a 的取值范围是（
）
A． a≥ B． a≤
C． ≤a≤ 0 D． a≤ 或 a≥
8．（ 4 分）如图正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1 上有两个动点 E、F，且 EF= ，则下列结论中错误的是
（Ⅲ）在 y 轴上是否存在点 M，使△ MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点 M的坐标；若不存在，说明理由．
数学试题答案
一、选择题（共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 . 在每小题列出的 4 个选项中，选出符合题目要求的一项 . ） 1．【解答】直线 x﹣y+1=0 可化为 y=x+1，易知两直线斜率相同，截距不同， ∴两直线平行，故选： A
．
11．（ 4 分）如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱 AA1⊥底面 ABC，其正（主）视图是边长
为 2 的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
．
Байду номын сангаас
12．（ 4 分）已知平面 α ， β 和直线 m，则满足下列条件中
（填上所有正确的序号）能使 m⊥ β 成立．
① m∥ α ，② m⊥ α ；③ m? α；④ α ∥β ．
18．（ 10 分）如图直线 l 过点（ 3， 4），与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A、 B 两点，△ ABC的面积为 24．点 P 为线段 AB上一动点，且 PQ∥ QB交 OA于点 Q．（Ⅰ）求直线 AB斜率的大小；

北京市第六十六中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案

高二上学期期中考试数学（理）试题2014.11—、选择题（每小题5分，共40分）1. 已知命题 :p x ∀∈R ，2x >，那么命题p ⌝为（）A ．2R x x ∀∈<，B ．2R x x ∃∈≤，C ．2R x x ∀∈≤，D ．2R x x ∃∈<， 2. 圆22240x y x y ++-=的半径为（）A ． 3B ．C ．D ． 53． “0ab >”是“方程221ax by +=表示椭圆”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不是充分条件又不是必要条件4( ) A.22124y x -= B.22142y x -= C.22146y x -= D.221410y x -= 5. 抛物线22y x =的焦点坐标是（）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛081，B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛021，D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛810，6．设椭圆22221(00)x y m n m n +=>>，的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A ．2211216x y += B ．2211612x y +=C ．2214864x y += D ．2216448x y +=7．已知双曲线2221(2x y a a -=>的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为（）A B C D ．28．已知直线:34120l x y +-=，若圆上恰好存在两个点P Q 、，它们到直线l 的距离为1，则称该圆为“理想型”圆．则下列圆中是“理想型”圆的是（）A ．221x y +=B ．2216x y += C ．22(4)(4)1x y -+-= D ．22(4)(4)16x y -+-= 二、填空题（每小题4分，共20分）9．双曲线22149x y -=的实轴长为 .10．命题“若2x <，则3x <”的否命题是 .11．已知双曲线22221(0-=>,x y a a bb>0)的一条渐近线方程是y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上,则双曲线的方程为 .12．已知1(0)2A B -,,是圆F:221()4(2x y F -+=为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则动点P 的轨迹方程为 .13．如图,21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C 的离心率是 .三、计算题（每小题10分，共40分）14．已知圆C ：2230x y Dx Ey ++++=，圆C 关于直线10x y +-=对称，圆心在第二象．（1）求圆C 的方程；（2）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程．15．抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，并与椭圆的长轴垂直，已知抛物线与椭圆的一个交点为2(3-．（1）求抛物线的方程和椭圆C 的方程；（2）若双曲线与椭圆C 共焦点，且以x y 34±=为渐近线，求双曲线的方程． 16．已知抛物线x y -=2与直线)1(+=x k y 相交于A 、B 两点．（1）求证：OB OA ⊥；（2）当OAB ∆的面积为10时，求k 的值．17．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点()1,1A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-.(1)求动点P 的轨迹方程;(2)设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.2014.11 —、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题4分，共20分）三、解答题（每小题10分，共40分）14．解：（Ⅰ）由知圆心C的坐标为又∵圆心C在第二象限∴由①②解得D=2，E=－4 …………4分∴所求圆C的方程为：…………………………5分（Ⅱ）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设：………6分圆C:15．解：由题意可知抛物线开口向左，故设抛物线的标准方程为…1分，…………2分，…………4分故准线方程为，，…………5分………7分（2）因为双曲线与椭圆C共焦点，所以双曲线的焦点也在轴上，且则设双曲线的方程为由题意可知：………8分解得，………10分16．解：（1）设…………2分易得，所以，………3分∴=0，∴…………5分（2）∵，…………6分17．解:(1)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1). ……1分设点P的坐标为(x,y).由题意得…………3分化简得. …………4分故动点P的轨迹方程为. …………5分(2)解法一:设点P的坐标为点M (3,y,(3,y||. …………7分又直线AB的方程为x+y=0,|AB|点P到直线AB的距离于是△PAB的面积|AB|||. …………8分当时,得||.又||所以||,解得.…………9分因为所以.故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为. ………10分解法二:若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,设点P的坐标为则|PA||PB|sin|PM||PN|sin. ………6分因为sin sin所以.………7分故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等,此时点P的坐标为.…10分。

北京市第六十六中学第一学期高二数学期中试卷(解析版)

2021北京第六十六中学高二（上）期中数学一､选择题1.数列{}n a 的通项公式为1(1)(1)2n a n n =-+，则5a =（） A. 10 B. 12C. 14D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据数列的通项公式，代入5n =，即可求解. 【详解】由题意，通项公式为1(1)(1)2n a n n =-+，则51(51)(51)122a =-+= 故选：B【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题.2.椭圆22142x y +=的焦点坐标为（）A. (0)±B. (0,±C. (D. (0,【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求出22a b ，，可求c ，即可求解焦点坐标.【详解】由题意，椭圆标准方程是22142x y +=则24a =，22b =，22c ∴=，c ∴=则焦点坐标是( 故选：C【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标，属于基础题.3.已知2，x ，8成等比数列，则x 的值为（） A. 4 B. 4-C. 4±D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据题意，三个数成等比数列，满足等比中项公式，即可求解. 【详解】由题意，2，x ，8成等比数列，则2=28x ⨯，解得=4x ± 故选：C【点睛】本题考查等比中项公式，属于基础题.4.已知等差数列{}n a ，115415,9a a a +==，则12a 等于（） A. 6 B. 10C. 12D. 15【答案】A 【解析】【分析】由题意，根据等差数列性质m n s t m n s t a a a a +=+⇔+=+，即可求解. 【详解】由题意，等差数列中，115412a a a a +=+，126a ∴= 故选：A【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题. 5.不等式11x<的解集是（） A. (,1)-∞ B. (1,)+∞C. (0,1)D. (,0)(1,)-∞⋃∞【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分类讨论解不等式，即可求解. 【详解】由题意，当0x >时，解得1x >；当0x <时，则11x<恒成立，即解集为(,0)(1,)-∞⋃∞；故选：D【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题 6.已知0,0a b <>，那么下列不等式中一定成立的是 A. 0b a -< B. a b >C. 2a ab <D.11a b< 【答案】D 【解析】【分析】根据a ，b 的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．【详解】若0a <，0b >，则0a ->，则0b a ->，故A 不成立；a b >不一定成立，如a=-5,b=6,故B 不成立；∵0a <，0b >，∴20a ab >>,故C 不成立，10a <，10b >，则11a b<，成立，故D 正确，故选D ．【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键.比较基础． 7.已知等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，则公比q 的值为（） A. 1 B. 12-C. 1或12-D. 112-或【答案】C 【解析】【分析】先验证1q =合题意，1q ≠时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可. 【详解】等比数列{}n a 中，37a =，前三项之和321S =，若1q =，37a =，33721S =⨯=，符合题意；若1q ≠，则()213171211a q a q q ⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解得12q =-，即公比q 的值为1或12-，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 8.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是A. 1a b +＞B. 1a b -＞C. 22a b ＞D. 33a b ＞【答案】A 【解析】试题分析：由，但无法得出，A 满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.考点：不等式性质、充分必要性.9.已知椭圆221259x y +=上一点M 到焦点1F 的距离为2，N 是1MF 的中点，O 为坐标原点，则ON =A. 2B. 4C. 8D. 32【答案】B 【解析】分析】根据椭圆定义，求得2MF 的值，连接ON ，可知ON 为21MF F 的中位线，进而求得ON 的值．【详解】由已知及椭圆的定义可得28MF =，由于在21MF F 中，N ，O 分别是1MF ，12F F 的中点，所以根据中位线定理可得4ON =，故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的定义，根据定义将线段进行转化，属于基础题．10.已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=A. 0B. 100C. 100-D. 10200【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.二､填空题11.已知x 11的等差中项，则x 的值为________.【解析】【分析】根据等差中项的定义，即可求解.【详解】由题意，x11的等差中项则))211x =+=x【点睛】本题考查等差中项的定义，属于基础题.12.命题“25,250x x ∀>->”的否定是____________. 【答案】25,250x x ∃>-≤ 【解析】【分析】根据题意，写出全称命题的否定形式，即可求解.【详解】由题意，命题“25,250x x ∀>->”的否定是25,250x x ∃>-≤ 故答案为：25,250x x ∃>-≤【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24n S n n =-，则1a =______，45a a +=_______.【答案】 (1). 3- (2). 8 【解析】【分析】根据数列前n 项和公式定义，令1n =，可求1a ，再求5345S S a a -=+，即可求解. 【详解】由题意，24n S n n =- 则令1n =，113a S ==-；45538a a S S +=-=；故答案为：3-；8【点睛】本题考查数列前n 项和公式定义，考查计算能力，属于基础题. 14.当且仅当x =______时，函数14(0)y x x x=+>取得最小值为_________. 【答案】 (1).12(2). 4【解析】【分析】利用基本不等式时，等号成立，即()140x x x=>时，得出x 的值. 【详解】由于0x >，由基本不等式可得144y x x =+≥=，当且仅当()140x x x =>，即当12x =时，等号成立. 故答案为：12；4. 【点睛】本题考查基本不等式成立条件，属于基础题. 15.1111122334910S =++++=⨯⨯⨯⨯__________. 【答案】910【解析】11111111119111223349102239101010S =++++=-+-++-=-=⨯⨯⨯⨯ 故答案为91016.已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF 是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．【解析】【分析】根据2ABF 是正三角形，且直线AB 与椭圆长轴垂直，得到21F F 是正三角形2ABF 的高，2130.AF F ∠=在21Rt AF F 中，设1AF m =，可得1212AF AF =，所以22AF m =，用勾股定理算出12F F ，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率．【详解】2ABF 是正三角形，260AF B ∴∠=，直线AB 与椭圆长轴垂直，21F F ∴是正三角形2ABF 的高，21160302AF F ∠=⨯=，21Rt AF F 中，设1AF m =，121sin302AF AF ==， 22AF m ∴=，221221||3F F AF AF m =-=因此，椭圆的长轴1223a AF AF m =+=，焦距23c m =∴椭圆的离心率为232c c e a a ===3【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题． 17.在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S ，且1015S S =，当n 取_____________取，n S 取得最大值是_______________.【答案】 (1). 12或13 (2). 130 【解析】【分析】根据题意，求出公差d ，根据等差数列的前n 项和公式表示出n S ，配方后，根据二次函数求最大值的方法，即可求出n S 最大时序号n 的值. 详解】1015S S =，11121314150a a a a a ∴++++=，1350a ∴= 130a ∴= 120a =13151313a a d -∴==--()152023n n n S n -⎛⎫∴=+⋅- ⎪⎝⎭252531256224n ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭12n ∴=或13时，n S 取得最大值130.故答案为：12或13；130【点睛】本题考查等差数列前n 项和公式的二次函数性质，考查计算能力，属于基础题.18.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理､生物､政治这三科，且生物在B 层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有__________种【答案】5 【解析】【分析】根据分类计数原理即可求出.【详解】由于生物在B 层，只有第2,3节有，故分2两类，若生物选第2节，地理有2种选法，其他任意选即可，故有2224A =种，若生物选第3节，则地理只能选第一节，政治只能选第4节，自习选在第二节，故有1种，根据分类计数原理可得415+=. 故答案为：5【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.三､解答题19.等差数列{}n a 中，356,10a a == （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若48,a a 分别是等比数列{}n b 的第4项和第5项，试求数列{}n b 的通项公式及前n 项和. 【答案】（1）2n a n =；（2）12n n b -=，21n n S =-【解析】【分析】（1）在等差数列{}n a 中，由已知求得d ，代入等差数列的通项公式即可；（2）在等比数列{}n b 中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式和前n 项和公式，即可求解.【详解】（1）在等差数列{}n a 中，由356,10a a ==，得531062532a a d --===- ()3236262n a a n n n ∴=+-=+-=；（2）在等比数列{}n b 中，由4458816b a b a ====，，∴公比542b q b ==，则4414822n n n n b b q---==⋅=.设等比数列的前n 项和为n S ，则21nn S =- 【点睛】本题考查（1）等差数列通项公式（2）等比数列通项公式及前n 项和公式，属于基础题.20.已知椭圆2222:14x y W m m+=的长轴长为4，左､右顶点分别为,A B .经过点(0,0)O 的在直线与椭圆W 相交于不同的两点,C D （不与点,A B 重合）.（1）求椭圆方程､离心率及短轴长；（2）当直线CD x ⊥轴时，求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）椭圆方程2214x y +=，2e =，短轴长为2（2）4 【解析】【分析】（1）根据题意，长轴长为4，得2244a m ==，求得椭圆方程，再根据离心率和短轴长定义，即可求解.（2）当直线CD x ⊥轴时，易得()0,1C ，()0,1D -，且()2,0A -，()2,0B ，所以AB 4=，2CD =，显然此时四边形ABCD 为菱形，可得面积.【详解】（1）由题意，得2244a m ==，解得1m =，所以椭圆W 方程为2214x y +=，2a ∴=，1b =，c =则离心率为c e a ==，短轴长为22b =. （2）当直线CD x ⊥轴时，易得()0,1C ，()0,1D -，且()2,0A -，()2,0B ，所以AB 4=，2CD =，显然此时四边形ABCD 为菱形，所以四边形ABCD 的面积为14242⨯⨯=. 【点睛】本题考查（1）椭圆的标准方程求法（2）椭圆的对称性求解菱形面积，属于基础题.21.已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，且23a =，又458,,a a a 成等比数列（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求使n n a S =成立的所有n 的值.【答案】（I ）27n a n =-+；（II ）1n =或7n =【解析】【分析】（I ）由2548a a a =可得关于d 的方程，解方程求得d ，根据等差数列通项公式求得结果；（II ）根据等差数列求和公式求得n S ，利用n n a S =得到关于n 的方程，解方程求得结果.【详解】（I ）458,,a a a 成等比数列 2548a a a ∴=设等差数列{}n a 的公差为d ，则()()()2222326a d a d a d +=++即：()()()2333236d d d +=++，整理得：220d d += 0d ≠ 2d ∴=-()()2232227n a a n d n n ∴=+-=--=-+（II ）由题意得：()()12227622n n n a a n a d n S n n +--+===-+ n n a S = 2627n n n ∴-+=-+解得：1n =或7n =【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式的应用，关键是能够根据已知中的等比关系求得等差数列的基本量，从而利用公式求得通项，并得到前n 项和，考查学生对于基础公式的应用.22.不等式2260kx x k -+<（1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．【答案】（1）25k =-；（2）k < 【解析】分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得.（2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R 当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0. 详解：(1)不等式的解集是或方程的两个根为-3,-2 ,(2):①k=0时，显然不满足题意②0k ≠时，解得，综上：点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论0k =，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．23.在数列{}n a 中，(1,2,3)n n S n a n =-=.（1）求123,,a a a 的值；（2）求证:数列{}1n a -是等比数列，并求{}n a 通项n a .【答案】（1）112a =，234a =，378a =（2）证明见解析；通项公式为12n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】（1）在递推公式中依次令123n =，，，计算求解即可.（2）由已知可得，n n S n a =-，当2n ≥时，()111n n S n a --=--，111n n n n n a S S a a ---=-+=，继而()11112n n a a --=-，所以数列{}1n a -是等比数列. 【详解】（1）由题意可知：当1n =时，111a a =-，解得：112a =同理可得：当2n =时，1222a a a +=-，解得：234a =当3n =时，12333a a a a ++=-，解得：378a =（2）证明：由已知可得，n n S n a =- 当2n ≥时，()111n n S n a --=--，则111n n n n n a S S a a ---=-+=，整理得()11112n n a a --=-，且首项为1112a -=- 即数列{}1n a -是等比数列，其首项为12-，公比为12. 则通项公式为：1111222n n n a -⎛⎫⎛⎫=-⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查（1）数列递推公式求值（2）已知n S 求n a 公式，考查构造法求通项公式，考查计算能力，属于中等题型.24.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为(2,0)A -，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点(1,0)P 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆交于,M N 不同的两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）当AM 与MN 垂直时，求AM 长.【答案】（1）22142x y +=（2）AM =【解析】【分析】（1）由已知可得2a =，b c =，又222b c a +=，求得b c ==.（2）设(),m m M x y ，可得22221924142m m m m x y x y ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，解得0m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩AM =【详解】（1）因为(2,0)A -，所以2a =，因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以b c =，又222b c a +=，所以b c == 所以椭圆方程为22142x y +=（2）设(),m m M x y ，因为AM 与MN 垂直，所以点M 在以AP 为直径的圆上，又以AP 为直径的圆的圆心为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为32，方程为221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭ 则22221924142m m m m x y x y ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩，0m m x y =⎧⎪⎨=⎪⎩20m m x y =-⎧⎨=⎩（舍）则(0,M所以AM =【点睛】本题考查（1）由a b c ，，的求解椭圆方程（2）直线的垂直关系转化为圆上一点问题，考查计算能力，考查函数与方程思想解决问题，属于中等题型.：。

2015北师大附中高二(上)期中数学(文)

2015北师大附中高二（上）期中数学（文）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．（5分）已知两条相交直线a，b，a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．b⊂平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b与平面α相交，或b∥平面α2．（5分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．103．（5分）过点M（﹣1，5）作圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的切线，则切线方程为（）A．x=﹣1 B．5x+12y﹣55=0C．x=﹣1或5x+12y﹣55=0 D．x=﹣1或12x+5y﹣55=04．（5分）设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n5．（5分）已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程为（）A．4x+2y﹣5=0 B．4x﹣2y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y﹣5=06．（5分）在△ABC中，AB=4，BC=3，∠ABC=90°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A．36π B．28π C．20π D．16π7．（5分）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．B．C．D．8．（5分）已知点A（0，2），B（2，0）．若点C在函数y=x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是．10．（5分）棱锥的高为16cm，底面积为512cm2，平行于底面的截面积为50cm2，则截面与底面的距离为．11．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则球O的表面积为．12．（5分）如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在平面互相垂直，则cosα：cosβ=．13．（5分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）15．（10分）在平面直角坐标系xOy内有三个定点A（2，2）．B（1，3），C（1，1），记△ABC的外接圆为E．（I）求圆E的方程；（Ⅱ）若过原点O的直线l与圆E相交所得弦的长为，求直线l的方程．16．（10分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=AB=2，BC=3，∠ABC=90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分别为AB、AC中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求证：AB⊥PE．17．（10分）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，O为A1C1与B1D1交点，已知AA1=AB=1，∠BAD=60°．（Ⅰ）求证：A1C1⊥平面B1BDD1；（Ⅱ）求证：AO∥平面BC1D；（Ⅲ）设点M在△BC1D内（含边界），且OM⊥B1D1，说明满足条件的点M的轨迹，并求OM的最小值．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填在横线上）18．（4分）已知直线ax+y﹣2=0与圆心为C的圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a= ．19．（4分）空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA=BD=1，则AC的取值范围是．20．（4分）从直线y=2上的点向圆x2+y2=1作切线，则切线长的最小值为．21．（4分）已知正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，E，F分别是PB，PC上的点，则△AEF的周长的最小值为．22．（4分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）23．（10分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C中，AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AA1，E、F分别是棱BC、CC1的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C；（Ⅱ）若线段AC上的点D满足平面DEF∥平面ABC1，试确定点D的位置，并说明理由；（Ⅲ）证明：EF⊥A1C．24．（10分）已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0关于直线x+y﹣1=0对称，圆心C在第二象限，半径为．（1）求圆C的方程；（2）是否存在直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．25．（10分）已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（Ⅰ）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；（Ⅱ）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆的方程；（Ⅲ）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．【解答】根据空间中直线与平面的位置关系可得：b可能与平面α相交，也可能b与平面相交α，故选D．2．【解答】∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选 B．3．【解答】①斜率不存在时，过点M（﹣1，5）的直线方程为x=﹣1．此时，圆心（1，2）到直线x=﹣1的距离d=2=r．∴x=﹣1是圆的切线方程．②斜率存在时，设直线斜率为k，则直线方程为：y﹣5=k（x+1）．即kx﹣y+k+5=0．∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离．解得，．∴直线方程为5x+12y﹣55=0．∴过点M（﹣1，5）且与圆相切的直线方程为x=﹣1或5x+12y﹣55=0．故选：C．4．【解答】A选项中命题是真命题，m⊥α，m⊥β，可以推出α∥β；B选项中命题是真命题，m∥n，m⊥α可得出n⊥α；C选项中命题是真命题，m⊥α，n⊥α，利用线面垂直的性质得到n∥m；D选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D．5．【解答】设P（x，y）为线段AB的垂直平分线上的任意一点，则|PA|=|PB|，∴=，化为4x﹣2y﹣5=0．故选：B．6．【解答】将△ABC绕直线BC旋转一周，得到一个底面半径为4，高为3的一个圆锥，故所形成的几何体的体积V=×π×42×3=16π，故选：D7．【解答】因为正三棱柱的三视图，其中正（主）视图是边长为2的正方形，棱柱的侧棱长为2，底面三角形的边长为2，所以表面积为：2×+2×3×2=12+2．故选C．8．【解答】设C（a，a2），由已知得直线AB的方程为，即：x+y﹣2=0 点C到直线AB的距离为：d=，有三角形ABC的面积为2可得：=|a+a2﹣2|=2得：a2+a=0或a2+a﹣4=0，显然方程共有四个根，可知函数y=x2的图象上存在四个点（如上面图中四个点C1，C2，C3，C4）使得△ABC的面积为2（即图中的三角形△ABC1，△ABC2，△ABC3，△ABC4）．故应选：A二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．【解答】由直线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0平行，得m=8．∴直线6x+my+2=0化为6x+8y+2=0，即3x+4y+1=0．∴平行线3x+4y﹣9=0和6x+my+2=0的距离是==2．故答案为：2．10．【解答】设截取棱锥的高为：h，则，∴h=5，所以截面与底面的距离：16﹣5=11cm 故答案为：11cm11．【解答】因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，所以球的半径为：=．所以球O的表面积为4π×3=12π．故答案为：12π．12．【解答】由题意，两个矩形的对角线长分别为5，=2，∴cosα==，cosβ=，∴cosα：cosβ=，故答案为：．13．【解答】圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，可得圆心为（0，1），再根据半径等于1，可得所求的圆的方程为x2+（y﹣1）2=1，故答案为：x2+（y﹣1）2=1．14．【解答】∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）15．【解答】（I）设圆E的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A（2，2）、B（1，3）、C（1，1）都在圆E上∴，解之得因此，圆E的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+4=0；（II）将圆E化成标准方程，可得（x﹣1）2+（y﹣2）2=1∴圆心为E（1，2），半径r=1设直线l方程为y=kx，则圆心E到直线l的距离为d=∵直线l与圆E相交所得弦的长为，∴由垂径定理，得d2+（）2=r2=1可得d2=，即=，解之得k=1或7∴直线l的方程是y=x或y=7x．16．【解答】（1）∵D、E分别为AB、AC中点，∴DE∥BC．∵DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴DE∥平面PBC．…（4分）（2）连接PD，∵PA=PB，D为AB中点，∴PD⊥AB．…．（5分）∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB…（6分）又∵PD∩DE=D，PD，DE⊂平面PDE∴AB⊥平面PDE…（8分）∵PE⊂平面PDE，∴AB⊥PE…（9分）17．【解答】（Ⅰ）依题意，因为四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，所以BB1⊥底面A1B1C1D1．又A1C1⊂底面A1B1C1D1，所以BB1⊥A1C1．因为A1B1C1D1为菱形，所以A1C1⊥B1D1．而BB1∩B1D1=B1，所以A1C1⊥平面B1BDD1．（Ⅱ）连接AC，交BD于点E，连接C1E．依题意，AA1∥CC1，且AA1=CC1，AA1⊥AC，所以A1ACC1为矩形．所以OC1∥AE．又，，A1C1=AC，所以OC1=AE，所以AOC1E为平行四边形，则AO∥C1E．又AO⊄平面BC1D，C1E⊂平面BC1D，所以AO∥平面BC1D．（Ⅲ）在△BC1D内，满足OM⊥B1D1的点M的轨迹是线段C1E，包括端点．分析如下：连接OE，则BD⊥OE．由于BD∥B1D1，故欲使OM⊥B1D1，只需OM⊥BD，从而需ME⊥BD．又在△BC1D中，C1D=C1B，又E为BD中点，所以BD⊥C1E．故M点一定在线段C1E上．当OM⊥C1E时，OM取最小值．在直角三角形OC1E中，OE=1，，，所以．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填在横线上）18．【解答】圆心C（2，2），半径r=2，∵△ABC为等边三角形，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=±，故答案为：±．19．【解答】0为BD中点，∵AB=BC=CD=DA=BD=1，∴|OA|=||=，|OB|=，||=|+|==，θ∈（0°，180°] ∴AC的取值范围是（0，]故答案为：（0，]20．【解答】∵圆的方程为x2+y2=1，∴圆心O（0，0），半径r=1．由题意可知，点P到圆x2+y2=1的切线长最小时，OP⊥直线y=2．∵圆心到直线的距离d=2，∴切线长的最小值为．故答案为：．21．【解答】∵正三棱锥P﹣ABC的每个侧面是顶角为30°，腰长为4的三角形，∴侧面展开为下图连接AA得：RT△中，长度为4，∴△AEF的周长的最小值为4，故答案为：4，22．【解答】由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）23．【解答】（I）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴A1A⊥AB，（2分）∵AB⊥AC，A1A∩AC=A，∴AB⊥面A1CC1．（4分）（II）解：∵面DEF∥面ABC1，面ABC∩面DEF=DE，面ABC∩面ABC1=AB，∴AB∥DE，（7分）∵在△ABC中，E是棱BC的中点，∴D是线段AC的中点．（8分）（III）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A=AC，∴侧面A1ACC1是菱形，∴A1C⊥AC1，（9分）由（Ⅰ）得AB⊥A1C，∵AB∩AC1=A，∴A1C⊥面ABC1，（11分）∴A1C⊥BC1．（12分）又∵E，F分别为棱BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，（13分）∴EF⊥AC1．（14分）24．【解答】（1）将圆C化成标准方程，得（x+）2+（y+）2=（D2+E2﹣12）∴圆C的圆心坐标为（﹣，﹣），半径r=∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称，半径为．∴﹣﹣﹣1=0且=，解之得或结合圆心C在第二象限，得C的坐标为（﹣1，2），（舍去C（1，﹣2））∴圆C的方程是（x+1）2+（y﹣2）2=2（2）当直线l过原点时，设为y=kx，可得=，解之得k=，得直线l方程为y=（）x，当直线l不过原点时，设l：x+y﹣m=0可得=，解之得m=﹣1或3此时直线l的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0综上所述，与圆C相切且在x轴、y轴上的截距相等的直线l方程为y=（）x或x+y+1=0或x+y﹣3=0．25．【解答】（Ⅰ）设直线l的斜率为k（k存在）则方程为y﹣0=k（x﹣2）．又圆C的圆心为（3，﹣2），半径r=3，由，解得．所以直线方程为，即3x+4y﹣6=0；当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2也满足条件；（Ⅱ）由于，而弦心距，所以d=，所以P为MN的中点，所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；（Ⅲ）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．设符合条件的实数a存在，由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．所以l2的斜率k PC=﹣2，而，所以．由于，故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．word下载地址。

北京六十七中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)

北京六十七中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（4分）直线y=x+2和直线x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合2．（4分）如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α3．（4分）已知直线mx+2y﹣5=0与直线2x+y﹣1=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．0C．P AD D．44．（4分）已知a，b，c为直线，γ为平面，给出下列例题：①若a∥b，b∥c，则a∥c②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c③若a∥γ，b∥γ，则a⊥b④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④5．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π6．（4分）直线l与两直线y=1，x﹣y﹣7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是（1，﹣1）则P 点的坐标为（）A．（6，1）B．（﹣2，1）C．（4，﹣3）D．（﹣4，1）7．（4分）已知点P（2，﹣3）、Q（3，2），直线ax﹣y+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A．a≥B．a≤C．≤a≤0 D．a≤或a≥8．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．A C⊥BEB．E F∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分.）9．（4分）直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0的交点坐标为．10．（4分）已知直线l经过点A（0，4），且与直线2x﹣y﹣3=0垂直，那么直线l的方程是．11．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为．12．（4分）已知平面α，β和直线m，则满足下列条件中（填上所有正确的序号）能使m⊥β成立．①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β．13．（4分）点P（x，y）是直线x﹣y+2=0上的一个动点，则xy有最（填大或小）值，xy的取值范围为．14．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．三、解答题（共4小题，共44分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；（Ⅱ）求证：AC⊥PB．16．（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（0，0），B（5，0），C（2，﹣4）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求的顶点D的坐标及对角线BD的长度；（Ⅲ）求平行四边形ABCD的面积及边AD所在的直线方程．17．（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求证：FG∥平面BCD；（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER⊥平面DCB，并说明理由．18．（10分）如图直线l过点（3，4），与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABC的面积为24．点P为线段AB上一动点，且PQ∥QB交OA于点Q．（Ⅰ）求直线AB斜率的大小；（Ⅱ）若S△PAQ=时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；（Ⅲ）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．北京六十七中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项.）1．（4分）直线y=x+2和直线x﹣y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由题意可得两直线斜率相同，截距不同，可得两直线平行．解答：解：直线x﹣y+1=0可化为y=x+1，易知两直线斜率相同，截距不同，∴两直线平行，故选：A点评：本题考查两直线的平行关系，属基础题．2．（4分）如果两直线a∥b，且a∥平面α，则b与α的位置关系是（）A．相交B．b∥α或b⊂αC．b⊂αD．b∥α考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：若两直线a∥b，且a∥平面α，根据线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，分b⊂α和b⊄α两种情况讨论，可得b与α的位置关系解答：解：若a∥平面α，a⊂β，α∩β=b则直线a∥b，故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b⊂α若b⊄α，则由a∥平面α，令a⊂β，α∩β=c则直线a∥c，结合a∥b，可得b∥c，由线面平行的判定定理可得b∥α故两直线a∥b，且a∥平面α，则可能b∥α故选：B点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理和性质定理是解答的关键．3．（4分）已知直线mx+2y﹣5=0与直线2x+y﹣1=0垂直，则m的值为（）A．﹣1 B．0C．P AD D．4考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：直线与圆．分析：由直线的垂直关系可得2m+2×1=0，解方程可得．解答：解：∵直线mx+2y﹣5=0与直线2x+y﹣1=0垂直，∴2m+2×1=0，解得m=﹣1故选：A点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．4．（4分）已知a，b，c为直线，γ为平面，给出下列例题：①若a∥b，b∥c，则a∥c②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c③若a∥γ，b∥γ，则a⊥b④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．①④D．③④考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：常规题型．分析：可由排除法选出答案：根据空间中直线平行关系的传递性可知①对，而在空间中垂直于同一直线的两条直线可以平行也可以相交也可以异面故②错，故答案选C解答：解：对于①由空间中平行的传递性可知①正确．对于②若a⊥b，b⊥c，则a也可能与c平行故②错．对于③若a∥γ，b∥γ，则a也可能与b平行故③错．对于（4）由线面垂直的性质定理可得④正确．故①④对故答案选C点评：本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系，属基础题，较易．解题的关键是熟记空间中点线面的公理和判定定理和性质定理！5．（4分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．πB．2πC．4πD．8π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三视图可知，该几何体为底面半径直径为2，高为2的圆柱的一半，求出体积即可．解答：解：由三视图可知，该几何体为一圆柱通过轴截面的一半圆柱，底面半径直径为2，高为2．体积V==π．故选：A．点评：本题的考点是由三视图求几何体的体积，需要由三视图判断空间几何体的结构特征，并根据三视图求出每个几何体中几何元素的长度，代入对应的体积公式分别求解，考查了空间想象能力．6．（4分）直线l与两直线y=1，x﹣y﹣7=0分别交于P，Q两点，线段PQ的中点是（1，﹣1）则P 点的坐标为（）A．（6，1）B．（﹣2，1）C．（4，﹣3）D．（﹣4，1）考点：两条直线的交点坐标；中点坐标公式．专题：直线与圆．分析：设P（x，1），由于线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），可得Q（2﹣x，﹣3）．把Q代入直线x﹣y﹣7=0，解得x即可得出．解答：解：设P（x，1），∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），∴Q（2﹣x，﹣3）．把Q代入直线x﹣y﹣7=0可得2﹣x﹣（﹣3）﹣7=0，解得x=﹣2．∴P（﹣2，1）．故选：B．点评：本题考查了直线点斜式、中点坐标公式，属于基础题．7．（4分）已知点P（2，﹣3）、Q（3，2），直线ax﹣y+2=0与线段PQ相交，则a的取值范围是（）A．a≥B．a≤C．≤a≤0 D．a≤或a≥考点：直线的斜率．专题：计算题．分析：首先将方程转化成点斜式，求出斜率以及交点坐标，画出图象，即可求出结果．解答：解：直线ax﹣y+2=0可化为y=ax+2，斜率k=a，恒过定点A（0，2）．如图，直线与线段PQ相交，0≥k≥k A P，即≤a≤0．故选C．点评：本题考查了直线的斜率，解题的关键是通过数形结合的方法求解，属于基础题．8．（4分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．A C⊥BEB．E F∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．解答：解：A．AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确，不是正确选项；B．EF∥平面ABCD，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确，不是正确选项；C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确，不是正确选项；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确，故D是错误的．综上应选D故选D点评：本题考查棱柱的结构特征，解答本题关键是正确理解正方体的几何性质，且能根据这些几何特征，对其中的点线面和位置关系作出正确判断．熟练掌握线面平行的判断方法，异面直线所成角的定义以及线面垂直的证明是解答本题的知识保证．二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分.）9．（4分）直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0的交点坐标为（1，4）．考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：直接联立方程组，求解即可．解答：解：由题意可得：，解得，∴直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0的交点坐标为：（1，4）．故答案为：（1，4）．点评：本题考查两条直线的交点坐标的求法，基本知识的考查．10．（4分）已知直线l经过点A（0，4），且与直线2x﹣y﹣3=0垂直，那么直线l的方程是x+2y﹣8=0．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意可求出直线l的斜率，由点斜式写出直线方程化简即可．解答：解：∵直线l与直线2x﹣y﹣3=0垂直，∴直线l的斜率为﹣，则y﹣4=x，即x+2y﹣8=0．故答案为：x+2y﹣8=0．点评：本题考查了直线方程的求法，属于基础题．11．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题．分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高×侧棱长，把相关数值代入即可求解．解答：解：：∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高CD后，∴等边三角形的高CD==，∴侧（左）视图的面积为2×=2故选：B．∵三棱柱的底面为等边三角形，边长为2，作出等边三角形的高后，组成直角三角形，底边的一半为1，∴等边三角形的高为；∴侧（左）视图的面积为：2×=2．故答案为：2．点评：解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面积的宽度．12．（4分）已知平面α，β和直线m，则满足下列条件中②④（填上所有正确的序号）能使m⊥β成立．①m∥α，②m⊥α；③m⊂α；④α∥β．考点：平面与平面之间的位置关系．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：利用线面垂直的判定方法，可得m⊥α，α∥β能使m⊥β成立，即可得出结论．解答：解：利用线面垂直的判定方法，可得m⊥α，α∥β能使m⊥β成立，故答案为：②④点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．13．（4分）点P（x，y）是直线x﹣y+2=0上的一个动点，则xy有最小（填大或小）值，xy的取值范围为﹣1，+∞）．点评：本题考查了二次函数的单调性，属于基础题．14．（4分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是．．考点：直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离．分析：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．解答：解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，A1M===，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，A1O===，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P点位置．三、解答题（共4小题，共44分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）15．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AC与BD 交于点O，E为PB的中点．（Ⅰ）求证：EO∥平面PAD；（Ⅱ）求证：AC⊥PB．考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）通过三角形中位线的性质可得OE∥PD，进而根据线面平行的判定定理可以证明出EO∥平面PAD；（2）先分别证明出AC⊥BD，PD⊥AC，进而根据线面垂直的判定定理证明出AC⊥平面PBD，即可得出结论．解答：证明：（1）因为底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．又E为PB的中点，所以EO∥PD．因为EO⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以EO∥平面PAD．（2）∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC，又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD．所以AC⊥⊥PB．点评：本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理的应用．考查了学生对线面平行，线面垂直判定定理的记忆．16．（12分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（0，0），B（5，0），C（2，﹣4）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求的顶点D的坐标及对角线BD的长度；（Ⅲ）求平行四边形ABCD的面积及边AD所在的直线方程．考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：（1）先根据中点坐标求出（1，﹣2），进而求出直线BM得斜率，再由点斜式求出直线方程即可；（2）根据M为线段BD中点，由中点坐标公式求出D的坐标，再由两点间得距离公式求出对角线的长；（3）求出AC以及点D到直线AC的距离，再由面积公式得出结果，最后根据点D和A写出直线方程即可．解答：解：（1）设AC中点为M，由中点坐标公式得（1，﹣2）又B（5，0）所以k BM=所以直线BM的方程为：y=（x﹣5）即x﹣2y﹣5=0．（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有解，得所以D点坐标为：（﹣3，﹣4）…（6分）∴…（8分）（3）∵|AC|=5…（9分）点D到直线AC的距离为4所以平行四边形ABCD面积S=4×5=20…（10分）D点坐标为：（﹣3，﹣4），A点坐标为（0，0），所以直线AD的方程为：…（12分）点评：本题考查直线方程的求法，考查四边形面积的求法，解题时要认真审题，注意两点式方程、点到直线距离公式的合理运用．17．（12分）如图，已知直角梯形ABCD中，E为CD边中点，且AE⊥CD，又G，F分别为DA，EC的中点，将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：AE⊥平面CDE；（2）求证：FG∥平面BCD；（3）在线段DC上找一点R，使得平面AER⊥平面DCB，并说明理由．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．根据线面垂直的判定定理，我们可得AE⊥平面CDE；（2）取AB中点H，连接GH，FH，由三角形中位线定理，我们易得到GH∥BD，FH∥BC，由面面平行的判定定理得到面FHG∥面BCD，再由面面平行的定义，得到FG∥平面BCD；（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB，根据线面垂直判定定理，及面面垂直判定定理，得到结论．解答：证明：（1）由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．∵DE∩EC=E，DE、EC⊂平面DCE．…（2分）∴AE⊥平面CDE．…（4分）（1）取AB中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥面BCD，FH∥面BCD．∴面FHG∥面BCD，∵GF⊂面FHG∴GF∥平面BCD．…（8分）（3）取线段DC中点R，则平面AER⊥平面DCB∵在△DEC中，DE=EC，R为DC中点∴ER⊥DC …（9分）∵AE⊥平面CDE，DC⊂平面DCE∴AE⊥DC…（10分）又ER∩AE=E，AE、ER⊂平面AER．∴DC⊥平面AER…（11分）∵DC⊂平面DCB∴平面AER⊥平面DCB即取DC中点R时，有平面AER⊥平面DCB …（12分）点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面之间平行及垂直的判定定理、性质定理、定义、几何特征是解答此类问题的关键．18．（10分）如图直线l过点（3，4），与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABC的面积为24．点P为线段AB上一动点，且PQ∥QB交OA于点Q．（Ⅰ）求直线AB斜率的大小；（Ⅱ）若S△PAQ=时，请你确定P点在AB上的位置，并求出线段PQ的长；（Ⅲ）在y轴上是否存在点M，使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系；三角形的形状判断；直线的斜率．分析：（Ⅰ）设直线l方程为y﹣4=k（x﹣3），易得A（3﹣，0），B（0，4﹣3k），由三角形的面积公式可得k的方程，解方程可得；（Ⅱ）可得直线l的方程4x+3y﹣24=0，B（0，8），由S△PAQ=和PQ∥QB可得△PAQ与△ABO 相似，可得=进而可得的PQ=4，即P点在线段AB的中点的时候，S△PAQ=；（Ⅲ）设M（0，b），Q（a，0），则P（a，8﹣a），由题意可知k MP•k MQ=﹣1且b=（8﹣a），解方程组可得答案．解答：解：（Ⅰ）当直线l斜率不存在时，易知不符合题意．∴设直线l方程为y﹣4=k（x﹣3），∵A、B是直线l与x轴、y轴的正半轴的交点，∴A（3﹣，0），B（0，4﹣3k），∴S△ABO=（3﹣）（4﹣3k）=24，解得k=﹣（Ⅱ）解：由（1）知直线l的方程为：即4x+3y﹣24=0，可得此时B的坐标为（0，8），∵S△PAQ=，∴S△PAQ=S△ABO，∴=，∵PQ∥QB，∴△PAQ与△ABO相似，∴=，∴=，∴PQ=4∴P点在线段AB的中点的时候，S△PAQ=；（Ⅲ）存在点M（0，），理由如下：设M（0，b），Q（a，0），则P（a，8﹣a），由题意可知k MP•k MQ=﹣1且b=（8﹣a），解方程组可得a=b=，故存在点M（0，）满足题意．点评：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及三角形的面积公式和相似问题，属中档题．。

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x=﹣ 2，则抛物线的方程是（
A． y 2=﹣ 8x B． y 2=﹣ 4x C． y2=8x D． y 2=4x
3．（ 4 分）命题“若 a＞ b，则 a+c＞ b+c”的逆否命题为（
）
A．若 a＜ b，则 a+c＜ b+c B．若 a≤ b，则 a+c≤ b+c C．若 a+c＜ b+c，则 a＜ b D．若 a+c≤b+c，则 a≤ b
x=﹣ 2
∴ 2p=8 ∴抛物线的方程为 y2=8x 故选 C．
3．【解答】把“若 a＞ b，则 a+c＞ b+c”看做原命题，它的逆否命题是题设和结论否定并且要交换位置， ∴它的逆否命题是：“若 a+c≤ b+c，则 a≤b”，故选 D．
4．【解答】 ∵双曲线
的焦点为（ 0， 4），（ 0，﹣ 4）
BC边
9．（ 4 分）已知 P 是双曲线
右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为
y=3x，设 F1、F2 分别是双曲线的
左、右焦点．若 |PF 2|=3 ，则 |PF 1|= （）
A． 5 B． 4 C． 3 D． 2
2
10．（ 4 分）已知点 P 在抛物线 y =4x 上，那么点 P 到点 Q（2，﹣ 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小
顶点为（ 0， 2 ）（ 0，﹣ 2 ） ∴以双曲线的顶点为焦点，长半轴长为 ∴ b=2
4 的椭圆 a=4， c=2
∴椭圆的方程是
，
故选 D．
3/7
5．【解答】双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，
∴ m＜ 0，且双曲线方程为

，
∴ m= ，
故选： A．
6．【解答】双曲线
的右焦点为（ 5， 0），渐近线方程为 y=
2015 北京 66 中高二（上）期中数
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．（ 4 分）若 p， q 是两个简单命题，且“ｐ或 q”是假命题，则必有（
）
A． p 真 q 真 B． p 真 q 假 C． p 假 q 假 D． p 假 q 真
2．（ 4 分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为
的离心率 e= ．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设 F1、F2 分别为椭圆的左、右焦点，求证：
．
2/7
数学试题答案
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．【解答】根据复合命题的真假判断表：
p
q
pvq
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
“ｐ或 q”是假命题，
说明： p 假 q 假
故选 C．
2．【解答】 ∵抛物线的顶点在原点，准线方程为 ∴可设抛物线的方程为 y 2=2px（p＞ 0） ∵ =2
）
A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 7．（ 4 分）已知△ ABC的顶点 B，C 在椭圆
+y2=1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在
上，则△ ABC的周长是（
）
A．
B． 6 C．
D． 12
8．（ 4 分）
的一个充分不必要条件是（
）
A． x＞ y B ． x＞ y＞ 0 C． x＜y D ． y＜x＜ 0
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即
，所以圆 C 的方程为（ x+1） 2+y2=2；
22
故答案为（ x+1） +y =2
12．【解答】 ∵
表示椭圆，
∴
，
解得 3＜ k＜ 5， ∴ k 的取值范围是（ 3， 5）．故答案为：（ 3， 5）．
13．【解答】 “若 x=y，则 x2=y 2”的逆命题是“若 x 2=y2，则 x=y”，举反例： x=﹣2， y=2 时不成立，则为假命题，故答案为：假．
+ =﹣ 1 表示椭圆，则实数 k 的取值范围是
．
22
13．（ 4 分）“若 x=y，则 x =y ”的逆命题是
命题（填“真”或“假”）．
14．（ 4 分）若双曲线
的离心率 e∈（ 1， 2），则 k 的取值范围是
．
15．（ 4 分）“ ? x∈N， x 2≤0”的否定是
（写出命题）．
三、计算题（本题共 3 小题，共 40 分） 16．（ 12 分）已知圆 C： x 2+y2﹣ 4x﹣ 6y+12=0，求过点 A（ 3， 5）的圆的切线方程．
17．（ 14 分）椭圆 C： + =1（ a＞ b＞0）的离心率为
，短轴一个端点到右焦点的距离为
．
（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 y=x+1 与椭圆 C 交于 A， B 两点，求 A， B 两点间的距离．
18．（ 14 分）如图，椭圆
=1（ a＞ b＞ 0）与过点 A（ 2， 0） B（0， 1）的直线有且只有一个公共点 T，且椭圆
学（文）
）
4．（ 4 分）以 ﹣ =1 的顶点为焦点，长半轴长为 4 的椭圆方程为（
）
A． + =1 B． + =1
C． + =1 D． + =1
5．（ 4 分）双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m=（
）
A．
B．﹣ 4 C． 4 D．
6．（ 4 分）双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离为（
值时，点 P 的坐标为（
）
1/7
A．
B．
C．（ 1， 2） D．（ 1，﹣ 2）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11．（ 4 分）已知圆 C 的圆心是直线 x﹣y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切．则圆 C的方程为
．
12．（ 4 分）若方程
10．【解答】点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离，如图 PF+PQ=PS+P，Q故最小值在 S，P，Q三点共线时取得，此时 P， Q的纵坐标都是﹣ 1，故选 A．
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二、填空题（本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
11．【解答】令 y=0 得 x=﹣ 1，所以直线 x﹣ y+1=0，与 x 轴的交点为（﹣ 1，0）
；
∴（ 5， 0）到 y= 的距离为：
．
故选 C． 7．【解答】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长可得△ ABC的周长为 4a= ，故选 C
2a，
8．【解答】 ∵ x＞ y＞0?
，
? x＞ y＞ 0 或 x＜ y＜0．故选 B．
9．【解答】 ∵双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣ y=0， ∴ a=1，由双曲线的定义知 |PF1| ﹣ |PF 2|=2a=2 ， ∴ |PF 1| ﹣ 3=2， ∴ |PF 1|=5 ．故选 A．