第二章 被控过程的数学模型

第二节 解析法建立过程的数学模型
解析法建模的一般步骤
1） 明确过程的输出变量、输入变量和其他中间变量； 2） 依据过程的内在机理和有关定理、定律以及公式列写
静态方程或动态方程；
3） 消去中间变量，求取输入、输出变量的关系方程； 4） 将其简化成控制要求的某种形式，如高阶微分（差分） 方程或传递函数（脉冲传递函数）等；
2、参数模型：微分方程、传递函数、脉冲 响应函数、状态方程、差分方程等，即都是 用数学方程式和函数表示
被控过程分为：
1、多输入、单输出
2、多输入、多输出
如图:
单回路控制系统框图
过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
y(2T0 ) 86.5% y()
在阶跃响应曲线上求得 三个状态下的时间t1、t2、t3，计算出 T0
（二）由阶跃响应曲线确定一阶时延过程的参数
曲线特点：t=0时曲线斜率几乎 为零，之后斜率增大，到某点后 斜率又减小，曲线呈S形。

1. 作图法确定模型参数 K 0 - s 对象 G( s) e T0 s 1
的生产工艺设备
被控过程的数学模型：指过程在各输入量作用
下，其相应输出量变化函数关系的数学表达式。
一、过程建模的目的
1、设计过程控制系统和整定调节器参数 2、指导设计生产工艺设备 3、进行仿真试验研究 4、培训运行操作人员
二、过程的数学模型类型
1、非参数模型：阶跃响应曲线、脉冲响应 曲线、频率特性曲线，即都是用曲线表示
图2-5 电加热器温度对象
W0 ( s) T1 ( s) R K Q1 ( s) RCs 1 Ts 1
例2-3 无自衡单容过程
根据动态物料平衡关系
Q1 Q2 h
Q1 Q2 C
dh dt
Q2 常数
定量泵
写成增量的形式为：
Q1 C dh dt
传递函数为
图2-6 单容无自衡液位过程 及其相应曲线
一、 阶跃响应曲线法
注意事项 1）试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态； 2）在相同条件下应重复多做几次试验 ，减少随机干扰的影响 3）对正、反方向的阶跃输入信号进行试验，以衡量过程的 非线性程度； 4）一次试验后，应将被控过程恢复到原来的工况并稳定一段 时间再做第二次试验 ； 5）输入的阶跃幅度不能过大，以免对生产的正常进行产生不利 影响。但也不能过小，以防其它干扰影响的比重相对较大而影 响试验结果。
T0 的确定还可以使用计算法：
y(t ) K 0 x0 (1 e t / T0 )
y(t ) |t y() K 0 x0
令t分别为 T 2
0
} y(t) y()(1 e
y(T0 ) 63% y()
t / T0
)
T0 2T0
时，则有 y(T0 /2) 39% y()
h1 d h1 q1 q2 q2 R2 dt
C1
Q2 (s) H 2 (s) 1 R3 G( s) Q1 (s) Q2 (s) T1s 1 T2s 1
其中
h2 d h2 q3 C2 q2 q3 R3 dt
T1 R2C 为槽1的时间常数
T2 R3C2 为槽2的时间常数
进行拉普拉斯变换，整理 得到传递函数、数学模型
与单容的自平衡阶跃响应过程相比较
二阶过程的阶跃响应曲线特点：被控参数的变化速度 不是一开始就最大，而是要经过一段延时时间后才达到最 大值，这段时延时间称为容量时延。 双容过程也可以用有时延的单容过程来近似：在S形 曲线的拐点上作一切线，若将它与时间轴的交点近似为反 应曲线的起点，
G( s)
1 - s e T0 s
G( s)
K0 (T1s 1)(T2 s 1)
1 G( s) T1s(T2 s 1)
二阶惯性+纯滞后
K0 G( s) e- s (T1s 1)(T2 s 1)
G( s)
1 e- s T1s(T2 s 1)
注意： 对于更高阶或其它较复杂的系统，应在保证辨识精度的前提下， 数学模型结构应尽可能简单
第二章 被控过程的数学模型
第一节 概述
第二节 解析法建立过程的数学模型
第三节 响应曲线辨识过程的数学模型
第四节 相关函数法辨识过程的数学模型
重点内容

对象模型（连续、离散）
理论建模


实验建模
混合建模
第一节 概述
过程控制系统的品质是由组成系统的各个环节的结构 及其特性所决定。
基本概念：
被控过程：指正在运行中的多种多样的被控制
（一）由阶跃响应曲线确定一阶过程的参数

曲线特点：t=0时曲线斜率最大，
之后斜率减小，逐渐上升至稳态值。 1. 直角坐标图解法 对象 G( s)
K0 T0 s 1
t / T0
y(t ) K0 x0 (1 e

)
参数K0
K0
y ( ) x0

参数T0：过原点作曲线的切线，该切线与y(∞)交于A点， 则OA在时间轴上的投影即为时间常数
二阶惯性
K0 G( s) (T1s 1)(T2 s 1)
注意：用这种方法确定T1和T2时，应满足 因为，当
被控过程的特点：
1、被控量 的变化往往 是不震荡、 单调的、有 滞后和惯性 的。
如图：
过程的阶跃响应曲线 a)
2、有的过 程响应也 可能不断 变化
如图：
过程的阶跃响应曲 b)
被控过程的自平衡能力和无自平衡能力
自平衡能力：
过程在输入量作用下，平衡状态被破坏后，无须人或仪器的干扰，依 靠过程自身能力，逐渐恢复达到另一新的平衡状态，此特性称为自平 衡能力
二、矩形脉冲响应曲线的测定
矩形脉冲响应曲线是在正常输入的基础上，施加一矩形脉冲输入，并测取 相应输出的变化曲线，据此估计过程参数。
通常在实验获取矩形脉冲响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然 后再按阶跃响应法确定有关参数 。 如图所示、输出响应由两个时间相 差t0、极性相反、形状完全相同的 阶跃响应的叠加而成。
H (s) R2 K G( s) Q1 (s) R2Cs 1 Ts 1
C
为被控过程的容量系数，或称
过程容量，这里
CA
在工业过程中，被控过程一般都有一定的贮存物料和能量的能力，贮存 能力的大小通常用容量或容量系数表示，其含义为引起单位被控量变化时被 控过程贮存量变化的大小。 在有些被控过程中，还经常存在纯滞后问题，如物料的皮带输送过程， 管道输送过程等 。
∆h2(t)=
K0∆μ1 (1－e 0
-( t－τc) T0
)
t ≥τ
c c
t <τ
Δh2（∞）
W(S) e
s c
K0 T0S 1
0
τ
c
T0
t
补充： 容量滞后与纯滞后
1. 容量滞后 切线在时间轴上截出的时间段τc为容量滞后。 被控过程的容量系数C越大，τc越大；容量个数越多 （阶数n越多），阶跃响应曲线上升越慢。
在完成阶跃响应试验后，应根据试验所得的响应曲线确定模型的结构 对于大多数过程，数学模型 和传递函数分别为： 一阶惯性 对于某些无自衡特性过程， 其对应的传递函数为：
G( s)
K0 T0 s 1
G( s)
1 T0 s
一阶惯性+纯滞后 G ( s) 二阶惯性
K 0 - s e T0 s 1
℃
v ——水的流速；
0
τ0
t

有些对象容量滞后与 Δh2（∞）
纯滞后同时存在，很难严格
区分。常把两者合起来，统 称为滞后时间τ
τ=τ
o
+τc
0
τ0 τc
T0
t
例2-5
无自衡能力的双容过程
分别对水箱1和水箱2列写物料平衡方程，可以得 到无自平衡能力的多容对象的传递函数为：
若多容无自平衡对象具有纯迟延时，则
解
根据动态物料平衡关系，即在单位时间内贮罐的液体流入量与单位 时间内贮罐的液体流出量之差应等于贮罐中液体贮存量的变化率
写为增量形式为
则有： q1 q2 A dh
dt
d h q1 q2 A dt
其中 q1 , q 2 , h 分别为偏离某平衡状态的增量，A为贮罐的截面积。
Δh Δh
(∞)
n= n= 1 2 n= n=
3
Δh2（∞）
O
4
n=
5
t
0 τ
T0
t
2、纯滞后
由信号或能量的传输时间造成的滞后现象。 如图是一个用蒸汽来控制水温的系统。蒸汽作用点与被 调量测量点相隔 l 距离，蒸汽量阶跃增大引起的水温升高， 要经过路程 l 后才反应出来。
℃
0
τ
0
t
纯滞后时间
l τ0 v
在上例中，如果以体积流量 q0 为过程的输入量，那么，当阀1的开度产生
q 变化后， 0 需流经长度为 l 的管道后才能进入贮罐而使液位发生变化。
即 q0 需经一段延时才能被控制 可以得到纯滞后的单容过程的 微分方程和传递函数
T d h h K q0 (t 0 ) dt H (s) K 0 s G(s) e Q0 ( s ) Ts 1
W0 ( s)
H ( s) 1 1 Q1 ( s) Cs Ta s
二、多容过程的建模
以自衡特性的双容过 程为例，如图设q1为过程 输入量，第二个液位槽的 液位h2为过程输出量，若 不计第一个与第二个液位 槽之间液体输送管道所形 成的时间延迟，试求q1与 h2之间的数学关系。 解 根据动态平衡关系， 列出以下增量方程