大学数学教案：线性代数第一课教案2
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念、理论和方法，培养学生运用线性代数解决实际问题的能力。
2. 适用对象：本教案适用于大学本科生线性代数课程的教学。
3. 教学方式：采用讲授、讨论、练习相结合的方式进行教学。
二、教学内容1. 第一章：线性代数基本概念1.1 向量及其运算1.2 线性方程组1.3 矩阵及其运算1.4 行列式2. 第二章：线性空间与线性变换2.1 线性空间2.2 线性变换2.3 矩阵与线性变换2.4 特征值与特征向量3. 第三章：特征值与特征向量3.1 特征值与特征向量的定义3.2 矩阵的特征值与特征向量3.3 矩阵的对角化3.4 二次型4. 第四章：线性方程组的求解方法4.1 高斯消元法4.2 克莱姆法则4.3 矩阵的逆4.4 最小二乘法5. 第五章：线性代数在实际应用中的案例分析5.1 线性规划5.2 最小二乘法在数据分析中的应用5.3 线性代数在工程中的应用5.4 线性代数在计算机科学中的应用三、教学方法1. 讲授：通过讲解线性代数的基本概念、理论和方法，使学生掌握线性代数的基础知识。
2. 讨论：组织学生就线性代数中的重点、难点问题进行讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
3. 练习：布置适量的练习题，让学生通过自主练习巩固所学知识，提高解题能力。
四、教学评价1. 平时成绩：考察学生的出勤、作业、课堂表现等方面，占总评的30%。
2. 期中考试：考察学生对线性代数知识的掌握程度，占总评的40%。
3. 期末考试：全面测试学生的线性代数知识水平和应用能力，占总评的30%。
五、教学资源1. 教材：推荐使用《线性代数》（高等教育出版社，同济大学数学系编）。
2. 辅助教材：可参考《线性代数教程》（清华大学出版社，谢乃明编著）。
3. 网络资源：推荐学生浏览线性代数相关网站、论坛，拓展知识面。
4. 软件工具：推荐使用MATLAB、Mathematica等数学软件，辅助学习线性代数。
线性代数课程教案
n阶行列式的定义、代数余子式
难点
代数余子式
教学目的要求
1.会求代数余子式；
2.会用定义计算行列式。
主要内容与时间分配
1.代数余子式（30分）；
2.行列式定义（25分）；
3.举例（35分）。
教学方法和手段
课后作业练习
习题2.1 1,2
线性代数课程教案
课题
第6讲行列式性质、计算
学时数
2
时间
年月日节
教材分析
4．实对称阵的特征值（15分）；
5．实对称阵的特征向量（15分）。
教学方法和手段
课后作业练习
习题5.3 2，3，4，5（1，2，3）
线性代数课程教案
课题
第21讲实对称阵的相似（2）、约当标准形
学时数
2
时间
年月日节
教材分析
重点
实对称阵的正交相似标准形
难点
教学目的要求
1．熟练求正交阵T使 为对角阵；
2．掌握主要定理中正交阵T与对角阵排列次序；
3．非齐次线性方程组解的结构（25分）；
4．举例（20分）。
教学方法和手段
课后作业练习
习题4.6 1（1，2，4），2（1，2），3，4，5，6，8，9
线性代数课程教案
课题
第18讲特征值与特征向量
学时数
2
时间
年月日节
教材分析
重点
求特征值、特征向量
难点
教学目的要求
1．理解特征值、特征向量、特征多项式、特征子空间等概念；
学时数
2
时间
年月日节
教材分析
重点
矩阵的初等变换
难点
初等变换
教学目的要求
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标（1）理解线性代数的基本概念和原理；（2）掌握线性代数的基本运算方法和技巧；（3）能够应用线性代数解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组；（2）矩阵及其运算；（3）线性空间和线性变换；（4）特征值和特征向量；（5）二次型。
二、第一章：线性方程组1. 教学目标（1）理解线性方程组的定义和性质；（2）掌握线性方程组的求解方法；（3）能够应用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性方程组的定义和性质；（2）线性方程组的求解方法：高斯消元法、克莱姆法则；（3）线性方程组的应用：线性规划、电路方程等。
三、第二章：矩阵及其运算1. 教学目标（1）理解矩阵的定义和性质；（2）掌握矩阵的运算方法；（3）能够应用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容（1）矩阵的定义和性质；（2）矩阵的运算：加法、数乘、乘法；（3）矩阵的逆矩阵及其求法；（4）矩阵的应用：线性方程组、线性变换等。
四、第三章：线性空间和线性变换1. 教学目标（1）理解线性空间和线性变换的定义和性质；（2）掌握线性变换的表示方法；（3）能够应用线性变换解决实际问题。
2. 教学内容（1）线性空间的定义和性质；（2）线性变换的定义和性质；（3）线性变换的表示方法：矩阵表示、坐标表示；（4）线性变换的应用：图像处理、信号处理等。
五、第四章：特征值和特征向量1. 教学目标（1）理解特征值和特征向量的定义和性质；（2）掌握特征值和特征向量的求法；（3）能够应用特征值和特征向量解决实际问题。
2. 教学内容（1）特征值和特征向量的定义和性质；（2）特征值和特征向量的求法：幂法、矩阵对角化；（3）特征值和特征向量的应用：线性变换、振动系统等。
六、第五章：二次型1. 教学目标（1）理解二次型的定义和性质；（2）掌握二次型的标准形和规范形；（3）能够应用二次型解决实际问题。
2. 教学内容（1）二次型的定义和性质；（2）二次型的标准形和规范形：配方法、矩阵的对角化；（3）二次型的应用：最小二乘法、优化问题等。
线性代数教案
线性代数教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1. 了解线性代数的基本概念和相关术语；2. 理解线性方程组和矩阵的概念、性质和运算规则；3. 掌握矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、数乘和矩阵乘法；4. 能够求解线性方程组，并应用到实际问题中。
二、教学重点与难点1. 教学重点：线性方程组和矩阵的概念及其运算规则；2. 教学难点：矩阵乘法的理解和应用。
三、教学过程1. 导入（5分钟）引入线性代数的概念，向学生介绍线性方程组和矩阵的相关背景知识，并激发学生的学习兴趣。
2. 理论讲解（20分钟）2.1 线性方程组的定义和解法- 介绍线性方程组的概念以及线性方程组的解的定义；- 分析线性方程组解的情况：无解、唯一解和无穷解；- 通过实例讲解线性方程组解的求解方法。
2.2 矩阵的定义和性质- 介绍矩阵的基本概念和符号表示方法；- 讲解矩阵的加法、数乘以及矩阵乘法的规则；- 引导学生理解矩阵乘法的几何意义。
3. 实例分析与练习（25分钟）3.1 线性方程组的求解实例- 给出一些线性方程组的实际问题，引导学生运用所学知识解决；- 指导学生使用矩阵运算进行线性方程组的求解。
3.2 矩阵运算实例- 给出一些矩阵的实际运用问题，让学生通过实例进行练习；- 帮助学生熟练掌握矩阵的加法、数乘和矩阵乘法。
4. 拓展延伸（15分钟）通过引导学生思考，结合线性代数在实际问题中的应用，进一步拓展学生的知识面。
5. 归纳总结（10分钟）对本节课所学内容进行总结，强化学生对线性代数的理解和掌握。
四、教学评价1. 在教学过程中，观察学生的学习状态，及时给予指导和帮助；2. 布置相关习题，检验学生对所学知识的掌握情况；3. 根据学生的表现进行评价，及时给予反馈和指导。
五、教学资源准备1. 教材和课件；2. 相关实例分析的教学素材；3. 学生练习题、作业等。
总结：通过本节课的教学，学生能够理解线性代数的基本概念和相关术语，掌握线性方程组和矩阵的运算规则，并能够应用所学知识解决实际问题。
大学优秀教案数学
课程名称：线性代数授课班级：XX级XX班授课教师：XXX教学时间：2课时教学目标：1. 知识目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的性质和计算方法。
2. 能力目标：培养学生运用行列式解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和抽象思维能力。
3. 情感目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的严谨学风。
教学重点：1. 行列式的概念2. 行列式的性质3. 行列式的计算方法教学难点：1. 行列式的性质的理解与应用2. 行列式的计算技巧教学过程：第一课时一、导入1. 回顾上节课内容，引导学生回顾矩阵的概念。
2. 提出本节课的学习目标，引导学生思考行列式的定义。
二、新课讲授1. 行列式的概念- 通过实例引入行列式的定义，让学生理解行列式的构成。
- 通过对行列式的定义进行分析，使学生掌握行列式的构成要素。
2. 行列式的性质- 通过对行列式的性质进行举例说明，让学生理解行列式的性质。
- 讲解行列式的性质，并引导学生掌握性质的应用。
3. 行列式的计算方法- 介绍行列式的计算方法，如按行展开法、按列展开法等。
- 通过实例讲解计算方法，让学生掌握计算技巧。
三、课堂练习1. 练习行列式的定义和性质，巩固所学知识。
2. 练习行列式的计算，提高学生的计算能力。
四、小结1. 回顾本节课所学内容，强调行列式的概念、性质和计算方法。
2. 提出课后作业，让学生进一步巩固所学知识。
第二课时一、复习导入1. 回顾上节课的内容，检查学生对行列式的概念、性质和计算方法的掌握情况。
2. 引导学生思考行列式在实际问题中的应用。
二、新课讲授1. 行列式在实际问题中的应用- 通过实例讲解行列式在解决实际问题中的应用，如求解线性方程组的解的个数、判定矩阵的秩等。
- 讲解行列式在物理学、经济学等领域的应用。
2. 行列式的拓展- 介绍行列式的拓展知识，如克莱姆法则、逆矩阵等。
三、课堂练习1. 练习行列式在实际问题中的应用，提高学生的应用能力。
2. 练习行列式的拓展知识，拓宽学生的知识面。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、行列式等；（2）掌握线性方程组的求解方法，如高斯消元法、矩阵的逆等；（3）熟悉线性代数在实际问题中的应用。
2. 过程与方法：（1）通过实例讲解，培养学生的空间想象能力；（2）运用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；（3）引导学生运用线性代数的知识，分析、解决身边的数学问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）感受数学在生活中的重要性，培养学生的应用意识；（3）引导学生树立正确的数学观念，克服对数学的恐惧心理。
二、教学内容1. 第一章：向量（1）向量的概念及几何表示；（2）向量的线性运算；（3）向量的数量积与向量垂直；（4）向量的坐标表示与运算。
2. 第二章：矩阵（1）矩阵的概念与运算；（2）矩阵的行列式；（3）矩阵的逆；（4）矩阵的应用。
3. 第三章：线性方程组（1）线性方程组的解法；（2）高斯消元法；（3）矩阵的逆与线性方程组的解；（4）线性方程组的应用。
4. 第四章：矩阵的特征值与特征向量（1）特征值与特征向量的概念；（2）矩阵的特征值与特征向量的求解；（3）矩阵的对角化；（4）矩阵的特征值与特征向量的应用。
5. 第五章：二次型（1）二次型的概念；（2）二次型的标准形；（3）二次型的判定；（4）二次型的应用。
三、教学方法1. 采用启发式教学，引导学生主动探索、思考；2. 结合实例讲解，培养学生的空间想象能力；3. 利用数学软件或工具，提高学生解决实际问题的能力；4. 组织课堂讨论，促进学生交流与合作；5. 注重练习与反馈，巩固所学知识。
四、教学评价1. 平时成绩：课堂表现、作业、小测验等；2. 期中考试：检测学生对线性代数知识的掌握程度；3. 期末考试：全面考察学生的线性代数知识、技能及应用能力。
五、教学资源1. 教材：《线性代数》；2. 辅助教材：《线性代数学习指导》；3. 数学软件：如MATLAB、Mathematica等；4. 网络资源：相关在线课程、教学视频、练习题等。
线性代数教案(正式打印版)
第（1）次课授课时间（）基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义一、二阶行列式的定义从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。
设二元线性方程组⎩⎨⎧=+=+22222211212111bxaxabxaxa用消元法,当021122211≠-aaaa时,解得211222111212112211222112121221,aaaababaxaaaababax--=--=令2112221122211211aaaaaaaa-=,称为二阶行列式,则如果将D中第一列的元素11a,21a换成常数项1b,2b,则可得到另一个行列式,用字母1D表示,于是有2221211ababD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：212221abab-,这就是公式（2）中1x的表达式的分子。
同理将D中第二列的元素a 12,a 22换成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母2D表示,于是有2121112babaD=按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和：121211baba-,这就是公式（2）中2x的表达式的分子。
于是二元方程组的解的公式又可写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==DDxDDx2211其中0≠D例1.解线性方程组.1212232121⎪⎩⎪⎨⎧=+=-xxxx同样,在解三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义.二、三阶行列式的定义设三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa用消元法解得定义设有9个数排成3行3列的数表333231232221131211aaaaaaaaa记333231232221131211aaaaaaaaaD=322113312312332211aaaaaaaaa++=332112322311312213aaaaaaaaa---,称为三阶行列式,则三阶行列式所表示的6项的代数和,也用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素相乘取正号,从右上角到左下角三个元素取负号,即例2. 计算三阶行列式243122421----=D.(-14)例3. 求解方程094321112=xx（32==xx或）例4. 解线性方程组.5573422⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++-zyxzyxzyx解先计算系数行列式573411112--=D069556371210≠-=----+-=第（ 2 ）次课授课时间（）第（ 3 ）次课授课时间（）基本内容备注第六节行列式按行（列）展开定义在n阶行列式中，把元素ija所处的第i行、第j列划去，剩下的元素按原排列构成的1-n阶行列式，称为ija的余子式，记为ijM；而ijjiijMA+-=)1(称为ij a的代数余子式.引理如果n阶行列式中的第i行除ija外其余元素均为零，即：nnnjnijnjaaaaaaaD11111=.则：ijijAaD=.证先证简单情形：nnnnnaaaaaaaD212222111=再证一般情形：定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代数余子式乘积之和，即按行：()jiAaAaAajninjiji≠=+++02211按列：()jiAaAaAanjnijiji≠=+++02211证：（此定理称为行列式按行（列）展开定理）nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110+++++++++=nnnninnnnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa211121121211211211112110+++=).,2,1(2211niAaAaAaininiiii=+++=例1：335111243152113------=D.解:例2:21122112----=nD解: 21122112----=n D 211221100121---=+++nr r1+=n D n .从而解得 1+=n D n .例3．证明范德蒙行列式112112222121111---=n nn n nnn x x x x x x x x x D()1i j n i j x x ≥>≥=-∏.其中，记号“∏”表示全体同类因子的乘积.证 用归纳法因为 =-==1221211x x x x D ()21i j i j x x ≥>≥-∏ 所以，当2=n n=2时，（4）式成立.现设（4）式对1-n 时成立，要证对n 时也成立.为此，设法把nD 降阶；从第n 行开始，后行减去前行的1x 倍，有()()()()()()213112213311222221331111110000n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x ---------=---（按第一列展开，并提出因子1x x i -）行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应第（ 4 ）次课授课时间（）线性代数教案(正式打印版)线性代数教案(正式打印版) 第（5）次课授课时间（）基本内容备注第一节矩阵一、矩阵的定义称m行、n列的数表mnmmnnaaaaaaaaa212222111211为nm⨯矩阵，或简称为矩阵；表示为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211或简记为nmijaA⨯=)(,或)(ijaA=或n m A⨯；其中ij a表示A中第i行，第j列的元素。
线性数学Ⅰ课程教案
《线性代数》课程教案第一章线性空间一、教学目标与基本要求数学的特点之一是抽象.从实数、复数、实值函数、无穷级数、向量等数学对象中,可以抽象出它们的共同特点:同一集合中的元素彼此可以相加,可与数相乘,这些运算还遵从一些共同规律.本章讨论的线性空间,就是针对上述特点建立的一种一般性的数学概念.它包括了所有前面提到的实例,另有许多数学对象也可归属其中.数学中所谓空间,就是具有某些特性的集合.所谓线性空间,概言之就是这样一个集合:在其上定义了称为加法和数乘的两种运算,并可在该集合上实施(准确的定义见后详述).在此,既不强调集合元素的本来属性,又不规定这两种运算是如何实施的,只规定运算具有称为公理的某些性质.1 线性空间的定义及例定义1.1.1设V是一个非空集合,其元素用x、y、z等表示.V被称为一个线性空间,如果它满足以下被分为三组由10条公理构成的公理体系:1.1.1 封闭公理公理1(加法封闭公理)在V中定义了加法运算:对于V中任意两个元素x和y,有唯一的V中的元素与之对应并被称为x与y的和,记为x＋y.公理2(数乘封闭公理)在V中定义了实数乘法(简称数乘)运算:对于V中任意元素x和任意实数a,有唯一的V中的元素与之对应并被称为a与x的积,记为a x.加法运算和数乘运算合称线性运算.1.1.2 加法公理公理3 (交换律)对于任意x,y∈V,有x++.=xyy公理4(结合律) 对于任意x,y,z∈V,有+x+y+.z+=()x)(zy公理5 (零元素存在性)V中存在一个记为θ的零元素,对于任意x∈V,有+.x=xθ-的x的负元素,使公理6 (负元素存在性)对于任意x∈V,V中存在记为x+)(.-θxx=1.1.3 数乘公理公理7(结合律) 对于任意x ∈V ,任意实数a 和b ,有x x )()(ab b a =.公理8 (加法分配律)对于任意x ,y ∈V 及任意实数a ,有y x y x a a a +=+)(.公理9(实数相加分配律)对于任意x ∈V ,任意实数a 和b ,有x x x b a b a +=+)(.公理10(单位元素存在性)对于任意 x ∈V ,有x x =1.以上定义的线性空间,有时被称为实线性空间,以强调数乘运算是实数相乘.数乘运算也可以是复数相乘,此时的线性空间被称为复线性空间.线性空间又被称为向量空间,其元素可被称为向量.实数和复数被统称为数.本书主要讨论实线性空间,但所得结果在复线性空间中也成立.从线性空间的公理体系容易推得以下结论:(1)零元素是唯一的.(2)任意元素的负元素是唯一的.将差y x -定义为)(y x -+.(3)如果θx =a ,则0=a 或θx =.(4)θx =0；θθ=a ；)()()(x x x -=-=-a a a(5)若a x =a y 且0≠a ,则x =y .(6)若a x =b x 且θx ≠,则a =b .(7)y x y x y x --=-+-=+-)()()(.(8)x x x 2=+,x x x x 3=++,一般地有:n 个x 相加等于n x .定义1.1.2 设V 是一个线性空间,S 是V 的一个非空子集.如果S 对于V 中定义的加法和数乘也构成一个线性空间,则称S 为V 的子空间.推论:线性空间V 的非空子集S 成为V 的子空间的充分必要条件是:S 中加法和数乘两种运算满足封闭公理.定义1.1.3 设S 是线性空间V 的一个非空子集.集合{x ＝∑=k i i a1x i ︱k x x ,, 1∈S ；k a a ,, 1∈R ；k 是任意正整数}被称为S 中元素的有限线性组合.由于这是V 的一个子空间,故又被称为S 生成的子空间,记为L (S )2 线性空间中的相关集和独立集定义1.2.1 设S 是线性空间V 的一个子集合.如果S 中存在由不同元素构成的有限集}{1k x x ,, ,以及不全为零的一组数k a a ,,1,使∑=k i i a1x i θ= (1.2.1)则S 称是相关集(又称线性相关集).当k a a ,, 1不全为零时,(1.2.1)式被称为零元素θ的一种非平凡表示.若S 不是相关集,则被称为独立集(又称线性无关集).等价说法是:对于S 中任意选定的不同元素k x x ,, 1,等式∑=k i i a1x i θ=蕴涵了01===k a a ,则S 是独立集.定理1.2.1 设S =}{1k x x ,, 是线性空间V 中k 个元素构成的独立集,L (S )是S 生成的子空间.则L (S )中任何k ＋1个元素构成的集合是相关的.3 基 维数与坐标定义1.3.1 设S 是线性空间V 中的一个有限集.若S 是独立集且V 由S 生成,则称S 是V 的一组有限基.若V 有一组有限基或V 只含零元素,则称V 为有限维空间；否则称为无限维空间.定理1.3.1 设V 是有限维线性空间,则V 的任何一组有限基与别的有限基所含元素个数相同.定义1.3.2 若线性空间V 有一组由n 个元素组成的基,则称整数n 为V 的维数,记为dim V n =.若}{θ=V ,则规定dim V 0=.R n 的维数是n (这是称R n 为n 维向量空间的缘由),}{1n e e ,, 是其一组基,被称为R n 的常用基.定理1.3.2 设V 是n 维线性空间,则(a )V 中任何独立集必是V 的某组基的子集；(b )V 中任何由n 个元素组成的独立集必是V 的一组基.定义1.3.3 在n 维线性空间V 中,给定确定了元素顺序的一组基}{1n e e ,, ,则对任意x ∈V ,有x ini i c e ∑==1. (称x 可表为这组基的线性组合,或称x 可被这组基线性表示)其中系数n c c ,, 2是由元素x 及这组基唯一确定的.这组系数就被称为x 在基}{1n e e ,, 下的坐标,记为)(1n c c ,, .4 内积 欧氏空间 范数定义1.4.1 设V 是实线性空间.如果对于V 中任意元素x 和y ,对应着唯一的实数,记为(x ,y ),满足以下4条公理:公理1(对称性) )()(x y y x ,,=,公理2(加性) )()()(z y y x z y x ,,,+=+,任意z ∈V ,公理3(齐性) )()(y x y x ,,c c =,任意c ∈R ,公理4(正定性) )(x x ,≥0,当且仅当x =θ时,0)(=x x ,,则称)(y x ,是x ,y 的内积.并称V 是一个欧几里德(Euclid )空间,简称欧氏空间.定义1.4.2 在欧氏空间中,非负实数)(x x ,被称为元素x 的范数,记为||||x .为了在欧氏空间中引入两向量间夹角的概念,需要下面的定理.定理1.4.1(柯西—许瓦兹(Cauchy —Schwarz )不等式) 在欧氏空间中,有|)(|y x ,≤||||x ||||y .这里x ,y 是该空间中任意元素.当且仅当x 与y 相关时,上式取等号.定义1.4.3 在欧氏空间中,任意两非零元素x 和y 之间的夹角ϕ(0≤ϕ≤π)按下式定义|||| |||| )(cos y x y x ,=ϕ. 注意:正是柯西—许瓦兹不等式保证了这个定义的准确性.关于范数,本书将作较深入的讨论.定理1.4.2 在欧氏空间中,范数具有以下性质:(1) ||||x ≥0,当且仅当θx =,0||||=x (正定性)；(2) ||||||c c =x ||||x (正齐性)；(3) ||||y x +≤||||x +||||y (三角不等式).这里, x ,y 是该空间任意元素,c 是任意实数.5 欧氏空间中的正交性定义1.5.1 设是V 一个欧氏空间.对于任意x ,y ∈V ,如果0),(=y x ,则称x 与y 正交.又:设S 是V 的一个子集,若对于任意相异的x ,y ∈S 有0),(=y x ,则称是S 一个正交集.若一个正交集中任何元素的范数均为1,则称它是一个标准正交集.显然,零元素与V 中任何元素正交；零元素是唯一的与自己正交的元素.下面的定理表明了正交和独立之间的关系.定理1.5.1 在欧氏空间V 中,一个不含零元素的正交集是独立集.若dim V =n ，则任何一个包含n 个非零元素的正交集是V 的一组基.定理1.5.2 设V 是有限维欧氏空间, dim V =n ，}{1n S e e ,, =是V 的一组正交基.对于任意x ∈V ,若x 关于基S 的坐标是)(1n c c ,, ,则 )()(j j j j c e e e x ,,=,n j ,, 1=.若进一步假设S 是一组标准正交基,则j c =)(j e x ,,n j ,, 1=.定理1.5.3 设V 是一个维欧氏空间,}{1n e e ,, 是V 的一组标准正交基.对于任意x ,y ∈V ,若设x ,y 在这组基下的坐标分别是)(1n a a ,, ,)(1n b b ,, ,则有)()()(1in i i e y e x y x ,,,∑==∑==n i i i b a 1 (1.5.1)∑∑====n i n i i ia 11222|)(|||||e x x ,. (1.5.2)定理1.5.4 设}{21 ,,x x 是欧氏空间V 中的一个有限或无限序列,)(1k L x x ,, 表示由该序列前k 个元素生成的子空间.那么,V 中存在序列}{21 ,,y y ,对于可能取到正整数k ,具有以下性质:(1) 元素k y 与)(11-y y k L ,， 中任意元素正交；(2) )()(11k k L L x x y y ,，,， =；(3)除去数量因子,序列}{21 ,,y y 是唯一的(即若另有序列}{21 ,,y y ''满足性质(1)和(2),则有实数k c 使k y 'k k c y =, ,,21=k ). 1y =1x ,∑=+++-=r i i i i i r r r 1111)()(y y y y x x y ,,,11-=k r ,, . 这里给出的由一组独立集}{1k x x ,， 来构造由非零元素组成的正交集}{1k y y ,， 的过程,称为施密特(Schmidt )正交化过程.而且,}{1k y y ,， 生成的子空间与}{1k x x ,， 生成的子空间完全相同.而当}{1k x x ,， 是有限维欧氏空间的一组基时,}{1k y y ,， 就是一组正交基.而且,每一个i y 除以它的范数,就得到一组标准正交基.定理1.5.5 任何有限维欧氏空间均存在标准正交基.它可由任何一组基经施密特正交化过程然后单位化而得到.6 同 构定义1.6.1 设V ,W 是两个非空集合.若给定一个法则T ,使V 中任何元素x 都有W 中唯一确定的元素y 与之对应,则称T 是V 至W 的一个映射,记为T : V →W . y 被称为x 在T 下的像,记为)(x T y =.x 被称为y 在T 下的原像.称V 为T 的定义域.称V 中全体元素在T 下的像集合为T 的值域,记为T (V ).据此定义知, V 中元素x 在T 下的像是唯一的,但W 中元素y 在T 下未必有原像,若有也未必唯一.定义1.6.2 设T 是V 至W 的映射.若T (V )=W ,则称为满射.据此定义知,T 为满射的充分必要条件是:对任意y ∈W ,存在x ∈V ,使y =T (x ).但这样的x 未必唯一.定义1.6.3 设T 是V 至W 的映射.若V 中相异的元素在映射T 下的像也相异,即若有21x x ≠,则必有)()(21x T x T ≠,则称T 为单射.据此定义知,若)()(21x T x T =蕴涵21x x =,则T 为单射.定义1.6.4 若V 至W 的映射T 既是满射又是单射,则称T 为双射,又称为1-1映射. 下面给出两个线性空间同构的定义.定义1.6.5 设V ,V '均是线性空间.如果存在一个V 至V '的1-1映射T ,对任意x ,y ∈V 及任意实数c ,满足性质:(1))()()(y x y x T T T +=+,(2))()(x x T c c T =.则V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.通常把满足上述性质(1)和(2)的任何映射称为线性映射.所谓同构映射,就是一个线性1-1映射.定理1.6.1 任何n 维线性空间与nR 是同构的.定义1.6.6 设V ,V '均是欧氏空间,如果存在V 至V '的线性1-1映射T , 对任意x ,y ∈V ,满足性质)())()((y x y x ,,=T T , (1.6.1)则称V 和V '是同构的.这样的映射T 被称为V 至V '的同构映射.由(1.6.1)式可以推得:对任何x ∈V ,有||||||)(||x x =T .故具有(1.6.1)式性质的映射又称为保范映射.因此,欧氏空间间的同构映射,必是一个保范的线性1-1映射.由于内积可用坐标表达(见定理1.5.3),故任何n 维欧氏空间与n R 是同构的.第二章 线性变换与矩阵代数学最基本的研究对象是代数系统本身的结构和不同代数系统之间的联系.上一章,对线性空间这种最重要和最基本的代数系统作了比较深入的研究.本章讨论线性空间之间的联系,即线性空间之间的映射,而很多时候这种映射被称为变换.一、教学目标与基本要求线性变换和矩阵 掌握线性变换的概念及性质，以及逆变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示方法，掌握矩阵线性空间的概念以及矩阵的乘法，了解矩阵的转置及分块，掌握方阵的逆的概念及其求法，了解矩阵的初等变换及初等方阵的概念（一）重要内容及定理1．线性变换概念及其性质设V ,W 是两个线性空间.一个V 至W 的线性映射T ,就被称为V 至W 的线性变换. 定义2.1.1 集合})(|{θx x x =∈T V 且被称为线性变换T 的零空间(或称为T 的核),记为)(T N .定理2.1.1 T 的值域W V T ⊂)(是W 的一个子空间. T 映V 的零元素为W 的零元素. 定理2.1.2 若V 是有限维的,则)(V T 也是有限维的,且有dim N (T )+dim )(V T =dim V即一个线性变换的零维与秩之和等于其定义域的维数.定义2.1.2 设S ,T 是任意的V 至W 的线性变换,c 是任意实数.按如下方式定义线性变换的加法和数乘:)()())((x x x T S T S +=+.)())((x x cT cT =.这里x 是V 中任意元素.容易验证,按此定义的线性变换的加法和数乘,使全体V 至W 的线性变换构成之集成为一个线性空间,将其记为)(W V L ,. 定义2.1.3 设U ,V ,W 是任意三个集合.T : U →V ,S : V →W 是两个映射,复合映射ST : U →W 按如下方式定义:)]([))((x T S x ST =,任意U ∈x .映射的复合显然不满足交换律.但满足结合律,即若T : U →V ,S : V →W ,R : W →X ,则有T RS ST R )()(=.定义2.1.4 对映射T : V →V 按如下方式定义其幂:I T=0,1n-n TT T =(n ≥1取整数) 这里I 是恒等映射.2．逆 变 换定义2.2.1 给定集合V ,W 及映射T : V →W .映射S :)(V T →V 被称为T 的左逆,如果对任何x ∈V ,有x x T S =)]([.此时,若用V I 记V 中的恒等映射,则有=ST V I .映射R :)(V T →V 被称为T 的右逆,如果对任意y ∈)(V T ,有y y R T =)]([.此时,若用V)T (I 记)(V T 中的恒等映射,则有=TR V)T (I .定义2.2.2 设T : V →W 是1-1映射,则T 有唯一左逆(它同时是T 的右逆),将其记为1-T .此时称T 是可逆映射,并称1-T 为的T 逆.定理2.2.1 一个映射T : V →W 最多有一个左逆.若T 有左逆S ,则S 也是T 的右逆. 定理2.2.2 若映射T : V →W 是单射,则T 必有左逆.反之亦真.定理2.2.3 设V ,W 是线性空间,)(W V L T ,∈,则下列命题等价:(1)T 是V 和)(V T 间的1-1映射.(2)T 是可逆映射,其逆1-T :)(V T →V 是线性变换.(3)θx =)(T 蕴涵θx =.换言之,零空间N (T )只含V 的零元素.定理2.2.4 设V ,W 是线性空间, V 是有限维的(设dim V n =),)(W V L T ,∈.则下列命题等价:(1)T 是V 和)(V T 间的1-1映射.(2)若}{1k e e ,, 是V 中独立集,则)}()({1k T T e e ,,是)(V T 中独立集. (3) dim )(V T n =.(4)若}{1n e e ,, 是V 的一组基,则)}()({1n T T e e ,,是)(V T 的一组基.3 线性变换的矩阵表示定理2.3.1 设}{1n e e ,, 是n 维空间V 的一组基,n u u ,, 1是线性空间W 中任意n 个元素.则唯一存在线性变换T : V →W , 使k k T u e =)(,n k ,,1=. (2.3.1) 而且,此变换对任意∑==n k k kx 1e x ∈V ,有∑==nk k kx T 1)(u x .定理2.3.2 设V 是n 维线性空间, }{1n e e ,, 是V 的一组基；W 是m 维线性空间, }{1m w w ,, 是W 的一组基. T : V →W 是线性变换, ][ik a 是T 在给定基下的矩阵表示.则对任意∑==n k k kx 1e x ∈V ,若设∑==mi i i y T 1)(w x , 则 ∑==n k k ik i x a y 1，m i ,, 1=. 定理2.3.3 设V 和W 是有限维线性空间,dim V n =,dim W m =,)(W V L T ,∈,)(dim V T r =是T 的秩.则存在V 中一组基}{1n e e ,, 及W 中一组基}{1m w w ,, ,使i i T w e =)(,r i ,,1=, θe =)(i T ,n r i ,,1+=.4 矩阵线性空间定义2.4.1 设][ik a A =,][ik b B =是两个同型矩阵,c 是任意数.矩阵A 与B 的和(记为B A +)及数c 与矩阵A 的乘积(记为cA 或Ac )定义为][ik ik b a B A +=+,cA =][ik ca Ac =.重要结论：设V 和W 是两个线性空间,dim V n =,dim W m =,V 和W 的基已经取定.则线性空间)(W V L ,与线性空间n m M ,是同构的5 矩阵乘法定义2.5.1 设p m ij a A ⨯=][及n p ij b B ⨯=][是任意两个p m ⨯及n p ⨯矩阵.则矩阵A 与矩阵B 的乘积AB 定义为n m ij c ⨯][,这里∑==p k kj ik ij b a c 1,m i ,, 1=；n k ,, 1=. 6 矩阵的转置及分块定义2.6.1 给定矩阵n m ij a A ⨯=][.称第i 行第j 列元素为ji a 的m n ⨯矩阵为A 的转置矩阵,记为TA .定义2.6.2 设][ij a A =为n 阶方阵.若有A A =T ,即A 的元素满足ji ij a a = )1(n j i ,,, =,则称A 为对称阵.7 方阵的逆 矩阵的初等变换和初等方阵定义2.7.1 设A 是一个n 阶方阵.若另有n 阶方阵B 使得n E BA =,则称A 是非奇异方阵,并称B 是A 的左逆.(1)对调两行(对调i ,j 两行,记着ij R ).(2)以数0≠k 乘某一行中所有元素(第i 行乘k ,记着i kR ).(3)把某一行所有元素的k 倍加到另一行相应元素上去(第j 行的k 倍加到第i 行上,记着j i kR R +).定理2.7.2 设A 是一个n m ⨯矩阵,对A 施行一次行初等变换,相当于以相应的m 阶初等方阵左乘A ；对A 施行一次列初等变换, 相当于以相应的n 阶初等方阵右乘A .定理2.7.3 设A 是可逆方阵,则存在有限个初等方阵1F ,2F ,…, l F ,使 l F F F A 21=.第三章 行列式及其应用本在线性代数应用于几何、分析等领域时,行列式理论起着重要的作用,线性代数范畴的矩阵理论的进一步深化,也要以行列式作工具.本章研究行列式理论以及它的一些作用.一、教学目标与基本要求（一）知识1 n 阶行列式的定义及性质现将这些性质作为公理体系来定义n 阶行列式.设][ij a =A 是任意一个n 阶方阵,用i A 记其第i 行元素为分量的n 元向量,即)(21in i i i a a a ,,, =A ,n i ,,,21=, 并称其为行向量.有序向量组}{1n A A ,, 所定义的实值函数)(d 1n A A ,, 被称为n 阶行列式函数,如果它满足下列公理:公理1 对每行具有齐性,即对任意实数t ,有)(d )(d ,,,,k k t t A A =,n k ,,1=. 公理2 对每行都具加性.即对任意n 元向量B ,有.,, ,,,,,,,,,n k k k k k 1)(d )(d )(d 11=+=++-A B A A B A公理3若任意相邻两行相等,则行列式为零.即若1+=k k A A )11(-=n k ,, ,则0)(d 1=n A A ,, .公理4 对于nR 中常用基}{1n e e ,, ,有 1)(d 1=n e e ,, .当}{1n A A ,, 取定,则称)(d 1n A A ,, 为一个n 阶行列式.有时也简称为n 阶行列式函数为n 阶行列式.n 行列式常被记为det A ,| A |,或nnn n nn a a a a a a a a a212222111211.公理4意味着,对于n 阶单位方阵E ,有 1det ==||E E .前两个公理意味着,行列式函数是它每一行的线性函数,即对任意一行(如第1行)而言,若p t t ,, 1是任意p 个实数,p B B ,, 1是任意p 个n 元向量(p 是任意正整数),有)d()(d 2121n pk k k n p k k k t t A A B A A B ,,,,,, ∑∑===定理3.1.1 满足公理1,2,3的行列式函数)(d 1n A A ,, 具有以下性质: (1)若行列式某一行为零,则此行列式为零. (2)对调行列式任意两行,则行列式变号. (3)若行列式任意两行相等,则此行列式为零.(4)若向量组}{1n A A ,, 是相关的,则行列式0)(d 1=n A A ,, . (5)把行列式某行乘以数加到另一行去,行列式值不改变.2 行列式的计算例3.2.2 设A 是形如下式的n 阶对角方阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn a a a00002211 )0(j i a ij≠=,则nn a a a A 2211det =.由该例可得到:例3.2.3 设A 是形如下式的n 阶上三角方阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 022211211 (主对角线下方各元素为零) 则nn a a a A 2211det =.定理3.2.1 设d 是满足行列式公理1～4的n 阶行列式函数,f 是满足行列式公理1～3的n 阶行列式函数,则对任意选定的n 元向量n A A ,, 1及nR 中常用基}{1n e e ,, ,有)()()(111n n n f d f e e A A A A ,,,,,, =. (3.2.2) 若f 还满足行列式公理4,则有)(d )(11n n f A A A A ,,,, =.定理3.2.2 若A 是一个非奇异方阵(即1-A 存在),则0det ≠A ,且 AA det 1det 1=- 定理3.2.3 设n A A ,, 1是n 个n 元向量.该向量独立的充要条件是0)(d 1≠n A A ,, . 本节最后,讨论分块对角方阵的行列式的简便算法. 定理3.2.3 形如式(3.2.10)的分块对角方阵成立着B A B O O A det det det =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡本定理可以推广到一般情形:若C 是一个具有对角子块n A A ,, 1的分块对角方阵,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n A OA OA C21, 则)det ()det )(det (det 21n A A A C =.3行列式的展开公式定义3.3.1 给定n 阶方阵][kj a A =(n ≥2).去掉其元素kj a 所在的第k 行和第j 列后,余下元素按原来位置构成的1-n 阶方阵,被称为元素kj a 的余子阵,记为kj A .而称kj A det 为kj a 的余子式.定理3.3.1 对任意n 阶方阵][kj a A =(n ≥2),有kj jk kjA A det )1(det +-=',n k ,,1=. (3.3.2) 从而有∑=+-=nj kj j k kjA aA 1det )1(det ,n k ,,1=. (3.3.3) 此式被称为行列式按第k 行的展开式.定义3.3.2 对行列式det A 而言,称kj jk A det )1(+-为元素kj a 的代数余子式,记为kj a cof .下面将利用数学归纳法来证明n 阶行列式函数的存在性,从而在理论上确立了n 阶行列式函数的存在唯一性.与此同时,可得到行列式按列展开的公式.定理3.3.2 设1-n 阶行列式函数存在.对任意n 阶方阵][kj a A =,定义函数∑=+-=nk k k k n A a A A f 11111det )1()(,, , (3.3.4)则它是n 阶行列式函数定理3.3.3 对任意n 阶方阵][kj a A =,有∑=+⎩⎨⎧≠==-nj ij kj ji k i k i A A a 1det det )1( 0, ,(3.3.6)∑=+⎩⎨⎧≠==-nj jijk ji k i k i A A a 1det det )1( 0,, (3.3.7) 定理3.3.4 对任意n 阶方阵][kj a A =,有T det det A A =. 4 伴随阵及方阵的逆定义3.4.1 给定n 阶方阵][ij a A =,称n 阶方阵T][cof ij a 为A 的伴随阵,记为*A .据此定义知: A 的伴随阵*A 位于第j 行第i 列的元素,就是A 的元素ij a 的代数余子式 ij ji ij A a det )1(cof +-=.定理3.4.1 对任意n 阶方阵][ij a A =(n ≥2),有 E A AA )(det *=.又:若0det ≠A ,则1-A 存在,且有*det 11A AA=-. 定理3.4.2 对任意n 阶方阵A 而言,1-A 存在得充分必要条件是0det ≠A .当0det ≠A ,就有*det 11A A A =-,AA det 1det 1=- 5 矩 阵 的 秩定义3.5.1 在一个n m ⨯矩阵A 中,任取k 行k 列(k ≤min(m ,n )),位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的k 阶行列式,被称为矩阵A 的k 阶子式. A 中不为零的子式. A 中不为零的子式的最高阶数,被称为矩阵A 的秩,记为)(A R .若A 没有不为零的子式(等价的说法是: A 是零矩阵),则认为其秩为零.推论 若A 有一个r 阶子式不为零,而所有1+r 阶子式全为零,则r A R =)(.定理3.5.1 初等变换不改变矩阵的秩.等价的说法是:若A ～B (即A 与B 等价),则)()(B R A R =.若A 是n 阶方阵且n A R =)(,则称A 为满秩方阵.显然,下列命题等价: (1) A 是满秩方阵. (2)0det ≠A .(3) A 是可逆的(非奇异的).6 克莱姆法则定理3.6.1 对于含有n 个未知量n x x ,, 1的n 个线性代数方程构成的方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,,,n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (3.6.1)(或写为∑==nj i j ijb x a1,n i ,,1=.) 如果其系数方阵][ij a A =是非奇异的(即0det ≠A ),则它是唯一解. 这里kj a cof 是方阵A 的元素kj a 的代数余子式.式(3.6.2)表示的线性代数方程组(3.6.1)的解亦可表示为 AC x j j det det =,n j ,, 1=. (3.6.3)这里方阵j C 是A 中第j 列换为列阵b 所成的n 阶方阵.读者容易验证(3.6.3)式右端与(3.6.2)式右端相等.第四章：线性方程组一、 本章的教学目标及基本要求所谓线性方程组,其形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212********* (4.0.1)其中n x x ,, 1代表n 个未知量,m 是方程个数,)11(n j m i a ij ,,；,, ==被称为方程组的系数,)1(m i b i , ,=是常数项.方程组中未知量个数n 与方程个数m 不一定相等.系数ij a 的第一个角标i 表示它在第i 个方程,第二个角标j 表示它是未知量j x 的系数.因为未知量的幂次是1,故称为线性方程组.如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项,这个线性方程组就确定了.确切地说,线性方程组(4.0.1)可以用下列矩阵来表示:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡m mnm m nn b a a a b a a a b a a a21222221111211 (4.0.2) 实际上,给定矩阵(4.0.2),除去代表未知量的字母外,线性方程组(4.0.1)就确定了,而采用什么字母来代表未知量是无关紧要的.以后如无特别声明,类似(4.0.2)的矩阵就被看做一个线性方程组.对于线性方程组(4.0.1),设n m ij a A ⨯=][,T 1)(n x x ,, =x ,T 1)(m b b ,, =b ,由矩阵乘法的定义知,它可被表为b x =A . (4.0.3)当n m =,A 是一个n 阶方阵.若0det ≠A ,它存在唯一解,可用克莱姆法则求得.若0det =A ,或n m ≠,方程组(4.0.3)在什么条件下有解；如果有解,解是否唯一；如果解不唯一而且有无穷个,这些解是否可用简要形式表示以及如何表示等等问题,即为本章讨论的主要内容.1 齐次线性方程组在线性方程组(4.0.3)中,若T)00(,, ==θb ,则有θx =A . (4.1.1)这被称为与线性方程组(4.0.3)对应的齐次线性方程组,A 被称为它的系数矩阵.线性方程组的三种初等变换,与矩阵的三种行初等变换完全对应. 任何矩阵均可经有限次行初等变换化为行最简形.性质1 若1ξx =,2ξx =是θx =A 的解,则21ξξx +=也是θx =A 的解. 性质2 若ξx =是θx =A 的解,k 为任意实数,则ξx k =也是θx =A 的解.θx =A 的全部解构成一个线性空间,记为S ,被称为齐次线性方程组θx =A 的解空间.定理4.1.1 齐次线性方程组(4.1.1)有非零解的充要条件是n A R <)(. 解空间S 的基又被称为方程组(4.1.1)的基础解系.求得基础解系,就求得了全部解. 通解.显然, T )00(,, =θ是齐次线性方程组的解,被称为零解或平凡解.2 非齐次线性方程组在线性方程组(4.0.3)中,若T )00(,, =≠θb ,则它被称为非齐次线性方程组.与它对应的矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mnm m nn b a a a b a a a b a a a B21222221111211是一个)1(+⨯n m 矩阵,它由系数矩阵n m ij a A ⨯=][加上一列T 1)(m b b ,, =b 组成,即 ][b A B =.称B 为线性方程组(4.0.3)的增广矩阵.性质1 若1ηx =,2ηx =是b x =A 的解,则12ηηx -=是对应齐次线性方程组θx =A 的解.性质2 若ηx =是b x =A 的解,ξx =是对应齐次线性方程组θx =A 的解,则ηξx +=是b x =A 的解.性质3 非齐次线性方程组的通解是对应齐次方程组的通解加上自身的任意一个解. 定理4.2.1 非齐次线性方程组b x =A 有解的充要条件是)()(B R A R =,即系数矩阵和增广矩阵有相同的秩.定理4.2.2 设非齐次线性方程组b x =A 的系数矩阵A 及增广矩阵B 的秩相等:r B R A R ==)()(,未知量个数为n .则它有唯一解的充要条件是n r =；它有无穷多解的充要条件是n r <.第五章 特征值和特征向量特征值和特征向量理论,不仅用于解决上述求线性变换的对角阵表示这个问题,在诸如几何中的变换,振动问题中的稳定性,微分方程的边值问题等许多方面都有广泛应用.由于一个矩阵在一定意义下就是一个线性变换,本章着重讨论矩阵的特征值和特征向量.一、 教学目标与基本要求1 线性变换的特征值和特征向量定义5.1.1 设V 是一个线性空间,T :V →V 是一个线性变换.若对于数λ,存在一个非零向量x ,使得x x λ=)(T (5.1.1) 则称λ为T 的一个特征值,而称x 为T 的属于特征值λ的特征向量.定义5.1.2 设][ik a A =是一个n 阶方阵,λ是一个变量,矩阵A E -λ的行列式nnn n nn a a a a a a a a a A E ---------=-λλλλ212222111211)det( 被称为A 的特征多项式,记为)(λf .这是一个变量λ的n 次多项式.而称以λ为未知量的方程=-)det(A E λ0)(=λf 为A 的特征方程.讨论一个方阵A (被视着某个线性变换的矩阵)的特征值和特征向量的求法.这可以归纳为以下步骤:1.求出方阵A 的特征方程0)det(=-A E λ的全部根,它们就是A 的特征值.2.将求得的特征值逐个代入齐次线性方程组θx =-T )(A E λ,求其通解,就得到了属于每个特征值的全部特征向量.2 特征值和特征向量的性质性质1 若λ是方阵A 的特征值,则2λ是2A 的特征值；若A 可逆,则1-λ是1-A 的特征值. 性质2 设1λ,2λ是方阵A 的相异的特征值,1ξ,2ξ是分别属于1λ及2λ的A 的特征向量,则1ξ,2ξ是独立的.性质3 设V 是n 维线性空间,T :V →V 是一个线性变换,它有n 个彼此相异的特征值n λλ,, 1,n ξξ,,1是分别属于它们的特征向量.则}{1n ξξ,, 是V 的一组基,且T 在此基下的矩阵表示就是对角阵)diag(1n A λλ,, =.性质4 若A 是实对称方阵,1λ,2λ是其相异特征值,1ξ,2ξ是分别属于它们的特征向量,则1ξ与2ξ正交.性质5 设n λλλ,,, 21是n 阶方阵][ik a A =的全部特征值,则(1)A a a a A E f n n nn n det )1()(||)(12211-+++++-=-=- λλλλ,(2)∑==ni iA 1tr λ,(3)n A λλλ 21det =3 相 似 矩 阵定义5.3.1 设A ,B 都是n 阶方阵,若有可逆方阵C ,使B AC C =-1, (5.3.5)则称B 是A 的相似矩阵,或说B 与A 相似.对A 进行运算AC C 1-,被称为对A 进行相似变换.可逆方阵C 被称为将A 变成B 的相似变换矩阵. 相似关系是同阶方阵之间的一种关系,具有:(1)自反性: A 与A 相似.因为取单位阵E ,有A AE E =-1.(2)对称性:若B 与A 相似,则A 与B 相似.因为(5.3.5)式两端左乘C ,右乘1-C ,有A CBC =-1.(3)传递性:若B 与A 相似,D 与B 相似,则D 与A 相似.因为据假设,有可逆方阵1C 及2C ,使B AC C =-111,D BC C =-212,故有121211112)()(---==C C C AC C C D A )(21C C ,故D 与A 相似.定理5.3.1 若n 阶方阵A 与B 相似,则A 与B 的特征多项式相同,从而A 与B 的特征值亦相同.而且B A det det =.推论 若n 阶方阵A 与对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,则n λλ,, 1即为A 的n 个特征值. 若一个n 阶方阵A 与一个对角阵)diag(1n λλ,, =Λ相似,就称A 可以对角化.定理5.3.2 实对称阵的特征值为实数.定理5.3.3 设A 为n 阶实数对称阵,λ是A 的特征方程的r 重根,则方阵A E -λ的秩是r n -,从而属于λ的特征向量中,恰有r 个独立的特征向量.定义5.3.2 由n 个两两正交的n 元单位列向量所构成的n 阶方阵,被称为正交阵.第六章 二 次 型二次型的一个重要议题就是化二次型为标准型,即通过变量的代换,将其化简为一个只含平方项的二次型.一个二次型总可与一对实对称方阵联系着,这实际上就是用一个线性变换将此方阵对角化.本章内容即以此议题为中心展开,兼及正定二次型及正定矩阵的一些基本性质.一、教学目标与基本要求：。
大学数学线性代数教案
大学数学线性代数教案一、教学目标1.了解线性代数的基本概念和方法；2.掌握线性方程组和矩阵的运算；3.理解向量空间和线性变换；4.熟悉矩阵的特征值和特征向量；5.学习线性代数在其他学科中的应用。
二、教学内容1. 线性代数基础1.1 向量和向量运算•向量的概念和表示•向量的线性运算•向量的模长和方向1.2 线性方程组•线性方程组的定义•线性方程组的解法•列向量和矩阵表示2. 矩阵和矩阵运算2.1 矩阵的定义和性质•矩阵的基本运算•矩阵的转置和逆矩阵2.2 矩阵的乘法和行列式•矩阵的乘法规则•行列式的计算和性质3. 向量空间和线性变换3.1 向量空间的定义和性质•向量空间的基本概念•向量空间的性质和运算规则3.2 线性变换和线性映射•线性变换的定义和表示•线性变换的特征和性质4. 特征值和特征向量4.1 特征值和特征向量的定义•特征值和特征向量的概念•特征值和特征向量的性质4.2 矩阵的对角化•对角化的条件和方法•矩阵的相似和可逆性5. 线性代数的应用5.1 物理学中的向量和矩阵•向量在力学中的应用•线性方程组在电路分析中的应用5.2 计算机图形学中的线性代数•矩阵在图形变换中的应用•线性变换在图像处理中的应用三、教学方法1.理论讲授：通过讲解概念、定义和定理，引导学生掌握基本知识；2.示例分析：通过具体的例子，演示和分析线性代数的应用过程；3.答疑讨论：充分利用课堂时间，解答学生的疑问和困惑；4.实践操作：设计实验和习题，培养学生的动手能力和解决问题的能力。
四、教学评价1.思考题：出示一些思考题目，要求学生用线性代数的知识解决实际问题；2.课堂练习：在课堂上布置一些练习题，检测学生对知识点的掌握情况；3.实验报告：要求学生进行实验操作，并撰写实验报告，评估其实践能力和表达能力；4.期末考试：综合考察学生对整个课程的掌握情况，包括理论知识和应用能力。
五、教学资源1.课本教材：《线性代数》，郑欣蘅著，清华大学出版社；2.课件和讲义：准备相应的电子课件和讲义，供学生预习和复习使用；3.实验设备和材料：针对实验操作的实验设备和材料。
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、前言1. 教学目标：使学生理解线性代数的基本概念和性质，掌握线性代数的基本运算和应用，提高学生解决实际问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组、矩阵及其运算、线性空间和线性变换。
3. 教学方法：采用讲解、案例分析、练习相结合的方法，引导学生主动探究、积极参与，培养学生的逻辑思维和抽象思维能力。
二、第一节线性代数的基本概念1. 教学目标：使学生了解线性代数的发展历程，理解向量、线性方程组、线性空间等基本概念。
2. 教学内容：a. 线性代数的起源和发展；b. 向量的定义和性质；c. 线性方程组的解法；d. 线性空间的定义和性质。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，让学生了解线性代数的历史背景，通过练习，巩固基本概念。
三、第二节线性方程组1. 教学目标：使学生掌握线性方程组的求解方法，会运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：a. 线性方程组的矩阵表示；b. 高斯消元法求解线性方程组；c. 克莱姆法则；d. 线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握线性方程组的求解方法，培养学生解决实际问题的能力。
四、第三节矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算规则，会运用矩阵解决实际问题。
2. 教学内容：a. 矩阵的定义和性质；b. 矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；c. 逆矩阵的概念和性质；d. 矩阵的应用。
3. 教学方法：通过讲解和练习，使学生掌握矩阵的基本运算，培养学生解决实际问题的能力。
五、第四节线性空间和线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间和线性变换的概念，理解它们在数学和其他领域的应用。
2. 教学内容：a. 线性空间的概念和性质；b. 线性变换的定义和性质；c. 线性变换的应用。
3. 教学方法：通过讲解和案例分析，使学生了解线性空间和线性变换的基本概念，培养学生的抽象思维能力。
六、第五节行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，会运用行列式解决实际问题。
线性代数大学生公开课教案
课程名称：线性代数授课对象：本科生课时：1课时教学目标：1. 了解线性代数的基本概念和基本运算。
2. 掌握矩阵、向量、线性方程组等基本内容。
3. 培养学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学重点：1. 矩阵、向量、线性方程组的基本概念和运算。
2. 矩阵的秩、逆矩阵、特征值和特征向量等概念。
教学难点：1. 矩阵运算的技巧和性质。
2. 线性方程组的解法。
教学过程：一、导入1. 引入线性代数的实际应用背景，如工程、物理、经济等领域。
2. 强调线性代数在各个学科中的重要性。
二、教学内容1. 矩阵的基本概念和运算- 矩阵的定义、表示方法- 矩阵的加法、数乘、乘法- 矩阵的转置、共轭转置- 矩阵的行列式、逆矩阵- 矩阵的秩、性质2. 向量的基本概念和运算- 向量的定义、表示方法- 向量的加法、数乘- 向量的长度、单位向量- 向量的线性相关性、线性无关性3. 线性方程组- 线性方程组的定义、表示方法- 线性方程组的解法（高斯消元法、克莱姆法则）- 线性方程组的解的性质三、课堂练习1. 学生独立完成以下练习题：- 计算矩阵的逆矩阵。
- 判断矩阵的秩。
- 求解线性方程组。
2. 教师巡视指导，解答学生在练习过程中遇到的问题。
四、总结与反馈1. 教师总结本节课的主要内容，强调重点和难点。
2. 学生反馈学习过程中的收获和困惑，教师进行解答和指导。
教学评价：1. 课堂练习的正确率。
2. 学生对线性代数基本概念和运算的掌握程度。
3. 学生运用线性代数知识解决实际问题的能力。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况调整教学内容和进度。
2. 注重培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 加强与学生的互动，提高课堂氛围。
《线性代数》教案
1、理解矩阵的定义，知道零矩阵、单位阵、对角阵、行阶梯形阵、行最简阶梯阵、对称矩阵等特殊矩阵，知道两矩阵相等的概念；
2、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其它运算规律；
3、知道矩阵的分块方法和在矩阵运算中的作用。
《线性代数》教案
1、理解齐次线性方程组的基础解系，线性方程组解的结构，并能熟练的求出它们的通解；
2、熟练掌握用初等行变换求线性方程组通解的方法；
《线性代数》教案
1、知道向量的内积与正交，了解正交矩阵的概念及性质。
2、理解方阵的特征值和特征向量的概念，掌握其求法。
1、了解相似矩阵的概念及其性质，知道矩阵对角化的充分必要条件。
会求实对称矩阵的相似对角矩阵；
2、掌握线性无关的向量组的Schmidt正交规范化的方法；
1、掌握二次型及其矩阵的表示，了解二次型秩的概念；
2、会用正交变换和配方法把二次型化为标准形的方法；
3、知道惯性定理，掌握正定二次型的判定。
线性代数教案
线性代数教案课程名称：线性代数课程目标：1. 掌握线性代数的基本概念和基本运算规则；2. 理解向量空间和矩阵的性质；3. 学会解线性方程组和矩阵的运算；4. 掌握线性变换和特征值、特征向量的概念与性质。
教学内容：第一课：向量及其运算1. 向量的概念和表示方法；2. 向量的线性组合、线性相关、线性无关的概念；3. 向量的加法和数乘运算规则；4. 向量空间的定义和基本性质；5. 向量空间的子空间和余子空间。
第二课：矩阵及其运算1. 矩阵的概念和表示方法；2. 矩阵的加法和数乘运算规则；3. 矩阵乘法和矩阵的转置；4. 矩阵的逆和矩阵的行列式；5. 线性方程组的矩阵表示和增广矩阵。
第三课：线性方程组与矩阵的解法1. 线性方程组的概念和表示方法；2. 线性方程组的解集和解的存在定理；3. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法；4. 矩阵的秩和线性方程组的解的关系；5. 矩阵的初等行变换及其应用。
第四课：特征值与特征向量1. 线性变换的概念和矩阵表示；2. 特征值和特征向量的定义与性质；3. 特征值和特征向量的计算方法；4. 对称矩阵和正交矩阵的特征值和特征向量；5. 线性变换的对角化和相似矩阵的概念。
教学方法：1. 理论讲解，通过示例引导学生理解概念和性质；2. 计算题练习，巩固和应用所学的基本运算规则；3. 探究式学习，鼓励学生自主思考和发现问题的解决方法；4. 课堂讨论，促进学生思维的活跃和合作交流。
教学评价：1. 课堂参与度，包括学生是否积极参与讨论和问题解答；2. 作业完成情况，检查学生对概念和运算规则的掌握程度；3. 期中和期末考试，考查学生综合应用所学知识解决问题的能力；4. 课堂小测验，定期检查学生对重要概念和定理的理解程度。
教学资源：1. 教科书和参考书籍：《线性代数及其应用》、《线性代数教程》等；2. 多媒体教学工具：投影仪、电脑等；3. 练习题集和习题课辅导材料；4. 在线学习资源：相关概念的视频、练习题和解析等。
线性代数大学生讲课教案
课程名称：线性代数授课对象：大学生授课时间：2课时教学目标：1. 理解线性代数的基本概念，如向量、矩阵、线性方程组等。
2. 掌握线性代数的基本运算，如矩阵的加减、乘法、逆矩阵等。
3. 理解并运用线性代数的理论，解决实际问题。
教学重点：1. 线性代数的基本概念和运算。
2. 线性方程组的求解方法。
教学难点：1. 向量空间和线性变换的理解。
2. 特征值和特征向量的计算。
教学准备：1. 多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
2. 教学课件、习题册、参考书籍。
教学过程：第一课时一、导入1. 介绍线性代数的起源和发展。
2. 简述线性代数在各个领域的应用。
二、基本概念1. 向量：讲解向量的定义、表示方法、运算规则等。
2. 矩阵：讲解矩阵的定义、分类、运算规则等。
3. 线性方程组：讲解线性方程组的定义、求解方法（高斯消元法）。
三、课堂练习1. 让学生练习向量、矩阵的基本运算。
2. 解答学生提出的问题。
四、小结1. 总结本节课所学内容。
2. 强调重点、难点。
第二课时一、向量空间1. 介绍向量空间的概念，包括线性空间、子空间等。
2. 讲解向量空间的性质和运算。
二、线性变换1. 介绍线性变换的概念，包括线性映射、特征值、特征向量等。
2. 讲解线性变换的性质和计算方法。
三、课堂练习1. 让学生练习向量空间和线性变换的运算。
2. 解答学生提出的问题。
四、案例分析1. 通过实际案例，让学生了解线性代数在实际问题中的应用。
2. 引导学生思考如何运用线性代数解决实际问题。
五、小结1. 总结本节课所学内容。
2. 强调重点、难点。
教学反思：1. 课后检查学生的学习情况，了解学生对线性代数知识的掌握程度。
2. 针对学生在学习过程中遇到的问题，及时调整教学内容和方法。
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学习兴趣和主动性。
线性代数新版教案
线性代数新版教案篇一：线性代数教案第一章线性方程组的消元法与矩阵的初等变换教学目标与要求1. 了解线性方程组的基本概念2. 掌握矩阵的三种初等变换教学重点运用矩阵的初等变换解一般的线性方程组教学难点矩阵的初等变换1.1 线性方程组的基本概念一、基本概念定义：m个方程n个未知数的线性方程组为如下形式：?a11x1?a12x2???a1nxn?b1?ax?ax???ax?b?2112222nn2(1) ????????????????am1x1?am2x2???amnxn?bm称(1)为非齐次线性方程组；当b1?b2???bm?0时则称为齐次线性方程组。
方程组(1)a12a22?am2?a1n???a2n?为系????amn???a11??a21TA?的一个解为：x?(c1,c2,?,cn)（或称为解向量）；此时称?? ??a?m1?a11a12?a1n??a21a22?a2n数矩阵，称B???????a?m1am2?amn二、线性方程组的消元法b1??b2?为增广矩阵。
???bm???2x1?x2?3x3?1?例1：解线性方程组?4x1?2x2?5x3?4?2x?2x?63?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?3x3?1???解：?4x2?x3?2，?x2?x3?5，?x2?x3?5；?x?x?5?4x?x?2?3x??18?23?23?3?2x1?x2?3x3?1?2x1?x2?19?2x1?1 8?x1?9???? ?x2?x3?5，?x2??1，?x2??1，?x2??1?x??6?x??6?x??6?x??6?3?3?3?3从上面可以看出，整个消元过程和回代过程都只与x1,x2,x3的系数有关，且仅用了以下3种变换：①交换两行；②某行乘k倍；③某行乘k倍加至另一行（即初等行变换）。
故我们隐去x1,x2,x3,?，得到一个数字阵（即矩阵B），对B进行初等行变换：?2?131??2?131??2?131???????B??4254???04?12???01?15??2026??01?15??04?12???????1??2?131??2?1019??2?13????????0 1?15???01?15???010?1? ?003?18??001?6??001?6????????20018?? 1009???????010?1???010?1? ?001?6??001?6?????1??2?13?1009?????其中?01?15?称为行阶梯形矩阵，?010?1?称为行最简形矩阵。
大学线性代数的教案
课程名称：线性代数授课对象：大学本科生授课时间：2课时教学目标：1. 理解向量空间、线性变换等基本概念。
2. 掌握矩阵的运算、行列式、逆矩阵等基本知识。
3. 能够运用线性代数知识解决实际问题。
教学内容：一、向量与线性方程组1. 向量的基本概念：向量的定义、坐标、线性运算等。
2. 向量空间：向量空间的概念、基、维数、坐标等。
3. 线性方程组：线性方程组的解法、齐次方程组、非齐次方程组等。
二、矩阵1. 矩阵的基本概念：矩阵的定义、运算、特殊矩阵等。
2. 矩阵的秩：矩阵的秩的定义、性质、计算方法等。
3. 矩阵的逆：矩阵的逆的定义、性质、计算方法等。
教学过程：第一课时一、导入1. 回顾初中阶段所学的向量知识，引导学生进入大学线性代数的领域。
2. 介绍线性代数的应用领域，激发学生的学习兴趣。
二、教学内容1. 向量的基本概念- 讲解向量的定义、坐标、线性运算等。
- 通过实例演示向量运算，让学生理解向量的概念。
2. 向量空间- 讲解向量空间的概念、基、维数、坐标等。
- 通过实例让学生理解向量空间的性质。
三、课堂练习1. 让学生独立完成向量运算的练习题，巩固所学知识。
2. 讲解线性方程组的解法，让学生掌握线性方程组的求解方法。
第二课时一、导入1. 复习上一节课所学的内容，回顾向量与线性方程组的基本知识。
2. 引入矩阵的概念，让学生了解矩阵在向量空间中的作用。
二、教学内容1. 矩阵的基本概念- 讲解矩阵的定义、运算、特殊矩阵等。
- 通过实例演示矩阵运算，让学生理解矩阵的概念。
2. 矩阵的秩- 讲解矩阵的秩的定义、性质、计算方法等。
- 通过实例让学生理解矩阵秩的计算方法。
3. 矩阵的逆- 讲解矩阵的逆的定义、性质、计算方法等。
- 通过实例让学生掌握矩阵逆的计算方法。
三、课堂练习1. 让学生独立完成矩阵运算、矩阵秩和矩阵逆的练习题，巩固所学知识。
2. 通过实际问题，让学生运用线性代数知识解决实际问题。
教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的学习态度、参与程度和课堂练习的完成情况。
大一数学教案高等数学中的线性代数
大一数学教案高等数学中的线性代数大一数学教案：高等数学中的线性代数一、引言线性代数是高等数学中重要的基础课程之一。
通过学习线性代数，我们可以理解向量空间、线性变换、矩阵运算等概念，为后续课程的学习打下坚实的基础。
本教案将重点介绍线性代数的基本内容、学习目标和教学方法，帮助学生全面掌握线性代数的基础知识。
二、教学目标1. 理解向量空间的定义和性质；2. 熟悉线性变换及其相关概念；3. 掌握矩阵运算的基本法则；4. 发展解线性方程组的能力；5. 培养抽象思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 向量空间a. 向量的概念和基本运算法则；b. 向量空间的定义和性质；c. 子空间和线性无关的概念及其判定方法。
2. 线性变换a. 线性变换的定义和基本性质；b. 线性变换的矩阵表示和矩阵的运算；c. 特征值和特征向量的概念及其计算方法。
3. 矩阵运算a. 矩阵的基本运算法则；b. 矩阵乘法的定义和性质；c. 矩阵的逆和转置运算。
4. 线性方程组a. 线性方程组的概念和解的存在性；b. 齐次线性方程组和非齐次线性方程组；c. 初等行变换和高斯消元法。
四、教学方法1. 讲授与示范：通过教师的详细讲解和实例演示，介绍各个概念和运算法则。
2. 案例分析：选取一些实际问题，引导学生应用线性代数的知识进行分析和求解。
3. 小组讨论：组织学生分组进行讨论和交流，激发学生的思维，培养团队合作能力。
4. 解题演练：提供大量的练习题和解题技巧，让学生熟练掌握各个概念和解法。
5. 课堂测试：定期进行测试，检验学生的学习效果，及时发现和解决问题。
五、教学评价方式1. 平时表现：包括课堂参与、作业完成情况等；2. 课堂测试：定期进行测试，考察学生对基本概念和解题方法的理解；3. 期末考试：综合考察学生对整个线性代数课程的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：推荐使用高等数学线性代数教材；2. 讲义：提供详细的教学讲义和习题答案；3. 多媒体教学：利用投影仪、电子白板等多媒体技术辅助教学。
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大学数学教案：线性代数第一课教案2。
对于教师而言，编写好的教案是教授线性代数的重要方式之一。
本文将以《大学数学教案：线性代数第一课教案》为例，从教材分析、教学设计、教学方法以及评估考核等方面，对线性代数的教学进行探讨，旨在为相关教师提供经验借鉴和参考。
一、教材分析
第一节课是线性代数教学中的开端，按照大多数教材的编写顺序，这一节课往往是讲解向量、矩阵及其运算的基础知识。
不同的教材在内容和难度方面会有不同的安排，但大体上内容都是类似的。
在本教案中，教师在教学前要充分研究和把握所使用的教材。
本教案中所使用的教材是《线性代数及其应用》（第四版），该教材具有良好的编排、明确的实例和丰富的练习题，既能够指导学生掌握基本概念，又能够为学习线性代数打下坚实的基础。
二、教学设计
针对第一节课的教学设计，本教案以培养学生的基础概念和思维方法为重点，主要包括以下几个方面：
1.通过多种方式引入向量的概念，激发学生的学习兴趣。
在
课堂开始的时候，可以使用一些生动形象的实例，比如：让两个学
生站在黑板前，表示一个二维向量，让其他学生伸手触摸、量长、夹角等，进而引出向量的概念和基本性质。
2.通过讲解基本概念和定义，帮助学生理解向量的本质。
教
师可以用简单的语言和图示，让学生理解向量的定义、零向量、向量的相等性、向量的加法和数量积等基本概念，并且说明这些概念在实际中的应用。
3.给出生动的实例，帮助学生掌握向量的运算。
向量的加
法、数量积以及向量的标准化等操作，教师可以使用生动的实例来讲解，以便学生更加深刻地理解向量的运算和特性，并能够熟练地运用到实际应用中去。
4.通过让学生做练习题和实践题目，加深学生对向量的理解
和应用。
在课堂结束之前，可以预留一些时间，让学生在课堂上完成一些简单的计算练习。
这些习题可以在课后作全班讨论，帮助学生巩固所学知识。
此外，组织学生进行实践，如编写计算向量长度、向量的夹角、判断向量的相等性的程序，以便学生更好地掌握和应用所学的知识。
三、教学方法
在教学过程中，教师要注意使用多种教学方法，以便更好地满足学生的学习需求。
本教案中所采用的方法包括：
1.讲解法。
在课堂上，教师要讲解向量的基本概念、定义和
性质，提高学生对向量的理解和应用水平。
2.演示法。
在讲解向量运算时，可使用演示板书或幻灯片等
形式，让学生通过图形认识向量的加法和数量积，并能够熟练运用到实际应用中去。
3.交互式授课法。
在讲解过程中，教师应该通过提问、回
答、举手发言等方式，与学生进行交互式沟通，以加深学生对知识点的理解和掌握。
4.实践法。
在教学过程中，教师应该通过实验、仿真和练习
等方式，让学生能够掌握和运用所学的知识。
四、评估考核
在线性代数的教学中，评估考核是重要的环节之一。
从教学目标出发，教师可以设计如下几种考核方式：
1.上课测验。
通过上课测验，可以检测学生对所学内容的掌
握情况，帮助教师了解学生在课堂上的学习情况和反馈。
2.作业评估。
通过课后作业的评估，可以了解学生的自学能
力和掌握情况，并能够帮助学生巩固所学的知识。
3.期末考试。
通过期末考试，可以检测学生对整个课程的掌
握情况，促进教学效果的提高。
此外，教师应该及时反馈学生的成绩和情况，对学习成果进行评估和总结，以改进教学方法和提高教学效果。
结语
通过分析《大学数学教案：线性代数第一课教案》，我们了解到了基本的线性代数教学思路和教学方法。
当然，教学的成功还需要教师的努力和学生的积极参与。
希望广大教师通过深入研究教材和教学设计，并运用多种教学方法，将线性代数课程教得更好，为学生掌握相关知识和技能打下坚实的基础。