山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

山东省烟台市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题

（提升题）知识点分类

一．二次函数综合题（共3小题）

1．（2023•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．（1）求直线AD及抛物线的表达式；

（2）在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+PA的最小值．

2．（2021•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴正半轴交于点C，且OC＝2OA，抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线y＝mx+n经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线BC的函数表达式；

（2）点F是抛物线对称轴上一点，当FA+FC的值最小时，求出点F的坐标及FA+FC 的最小值；

（3）连接AC，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线BC上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的Rt△PEQ，且满足tan∠EQP＝tan∠OCA．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（2022•烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S 的最大值及此时D点的坐标；

（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．

二．等腰三角形的性质（共1小题）

4．（2023•烟台）如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为等腰三角形的底边，在

AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A＝∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF＝AD，连接BF，DE．

（1）如图1，求证：DE＝BF；

（2）如图2，若AD＝2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．

三．四边形综合题（共2小题）

5．（2023•烟台）【问题背景】

如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形ABCD进行如下操作：①分别以点B，C为圆心，以大于BC的长度为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交BC于点O，连接AO；②将△ABO沿AO翻折，点B的对应点落在点P处，作射线AP交CD于点Q．

【问题提出】

在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，求线段CQ的长；

【问题解决】

经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下：

方案一：连接OQ，如图2．经过推理、计算可求出线段CQ的长；

方案二：将△ABO绕点O旋转180°至△RCO处，如图3．经过推理、计算可求出线段CQ 的长．请你任选其中一种方案求线段CQ的长．

6．（2021•烟台）有公共顶点A的正方形ABCD与正方形AEGF按如图1所示放置，点E，F分别在边AB和AD上，连接BF，DE，M是BF的中点，连接AM交DE于点N．【观察猜想】

（1）线段DE与AM之间的数量关系是 ，位置关系是 ；

【探究证明】

（2）将图1中的正方形AEGF绕点A顺时针旋转45°，点G恰好落在边AB上，如图2，其他条件不变，线段DE与AM之间的关系是否仍然成立？并说明理由．

四．切线的判定与性质（共1小题）

7．（2023•烟台）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连接OF交AD于点G，且AG＝GD．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5：8，求tan∠ADB的值．

五．圆的综合题（共1小题）

8．（2021•烟台）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°．

（1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．

①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D；

②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O；

③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M．

（2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线；

（3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径．

六．相似形综合题（共1小题）

9．（2022•烟台）【问题呈现】

如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

【类比探究】

如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出的值．

【拓展提升】

如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且＝＝．连接BD，CE．

（1）求的值；

（2）延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

七．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）

10．（2022•烟台）如图，某超市计划将门前的部分楼梯改造成无障碍通道．已知楼梯共有五

级均匀分布的台阶，高AB＝0.75m，斜坡AC的坡比为1：2，将要铺设的通道前方有一井盖，井盖边缘离楼梯底部的最短距离ED＝2.55m．为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于多少度？（结果精确到1°）

（参考数据表）

计算器按键顺序计算结果（已精

确到0.001）

11.310

0.003

14.744

0.005八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）

11．（2023•烟台）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．（参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325）