人教版必修二 万有引力和航天专题 开普勒三定律(学案含答案)

重点：理解和掌握开普勒行星运动定律，感悟科学精神、科学方法。 难点：利用开普勒三大定律解决相关问题。 1. 两种学说

（1）地心说：地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动。

（2）日心说：太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动。 （3）局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，这与丹麦天文学家第谷的观测数据不符。 2. 开普勒定律

（1）开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

（2）开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

（3）开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟它的公

转周期的二次方的比值都相等，即23

T

R ，k 是一个对所有行星而言都相同的常量。

3. 行星运动的近似处理

（1）行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

（2）对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的线速度（或角速度）大小不变，即行星做匀速圆周运动。

（3）所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 例题1 关于行星运动，下列说法正确的是（ ）

A. 地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动

B. 太阳是宇宙的中心，地球是围绕太阳运动的一颗行星

C. 宇宙每时每刻都是运动的，静止是相对的

D . 不论是日心说还是地心说，在研究行星运动时都是有局限性的

思路分析：宇宙是一个无限的空间，太阳系只是其中很小的一个星系，日心说的核心是认为太阳是各行星运动的中心。

答案：

例题2 下列说法中正确的是（ ）

A . 太阳系中的八大行星有一个共同的轨道焦点

B . 太阳系中的八大行星的轨道并不都是椭圆

C . 行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向

D . 行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直

思路分析：太阳系中的八大行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，而太阳位于八大行星椭圆轨道的一个共同焦点上，选项A 正确，B 错误；行星的运动是曲线运动，运动方向总是沿着轨道的切线方向，选项C 正确。行星从近日点向远日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角大于90°；行星从远日点向近日点运动时，行星的运动方向和它与太阳连线的夹角小于90°，选项D 错误。

答案：

例题3 关于开普勒行星运动的公式23

T

R ＝k ，以下理解正确的是（ ）

A. k 是一个与行星无关的量

B. 若地球绕太阳运转轨道的半长轴为R 地，周期为T 地；月球绕地球运转轨道的半长轴为R 月，周期为T 月，则

23

2

3

月

月地

地T

R T R =

C. T 表示行星运动的自转周期

D. T 表示行星运动的公转周期

思路分析：23

T

R ＝k 是指围绕太阳运动的行星或者指围绕某一行星运动的卫星的周期与

半径的关系，T 是公转周期，k 是一个与环绕星体无关的量，只与被环绕的中心天体有关，中心天体不同，其值不同，只有围绕同一天体运动的行星或卫星，它们半长轴的三次方与公转周期的二次方之比才是同一常数，故

23

2

3

月

月地

地T

R T R ≠

。

答案：

例题4 如图所示，飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，地球半径为R 0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A 处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B 点相切，求飞船由A 点到B 点所需要的时间。

思路分析：当飞船做半径为R 的圆周运动时，由开普勒第三定律23

T

R ＝k 知，当飞船返

回地面时，从A 处降速后沿椭圆轨道运动至B ，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T ''，椭圆

的半长轴为a ，则23

T a ＝k

可解得T ''＝T k a ⋅3

)(

由于a ＝20R R +，由A 运动到B 的时间为t ＝2

'

T

可知t ＝R T R R T R R R T 4)()

2(212'03

30+=⋅+=·R R R 20+

答案：

R

T R R 4)(0+·R R R 20

+

如图所示，发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法：点火，卫星进入停泊轨

道（圆形轨道）；当卫星穿过位于赤道平面上的A 点时，点火，卫星进入转移轨道（椭圆轨道）；当卫星到达远地点B 时，点火，进入静止轨道（同步轨道）。已知停泊轨道的轨道半径为r 0、周期为T 0，同步轨道的轨道半径为r 1、周期为T 1，则（ ）

A. 卫星在同步轨道上运行的线速度比在圆形轨道上时大

B. 卫星在椭圆轨道上运行的周期为

2

1

0T T + C. 卫星在椭圆轨道上运行从A 到B 时间为3

100)2(2r r r T +

D. 卫星在椭圆轨道上运行经过A 点的速度等于在停泊轨道运行经过A 点的速度

思路分析：卫星在两个圆轨道上，轨道半径r 1>r 0，由万有引力公式可得：r

v m r GMm 2

2=，

v ＝r

GM ，卫星的轨道半径越大，其运行的线速度越小，选项A 错误；根据开普勒第三定

律，所有地球的卫星，无论轨道是圆，还是椭圆，它们半长轴的三次方和运动周期的平方之比是定值。设卫星在椭圆轨道上运行的周期为T ，椭圆轨道的半长轴为a ，a ＝

2

1

0r r +，由开普勒第三定律得：3010023

20

3

0)2(,r r r T T T a T r +⨯==，选项B 错误；卫星在椭圆轨道上运行

从A 到B 的时间为

2

T

，即30100)2(r r r T +⋅，选项C 正确；卫星在停泊轨道上运行经过A 点

时，点火，速度变大，做离心运动，进入椭圆轨道，故卫星在椭圆轨道上运行经过A 点的

速度大于在停泊轨道上运行经过A 点的速度，选项D 错误。

答案：C 【方法提炼】

（1）开普勒第二定律不仅适用于以太阳为中心天体的运动，而且也适用于以地球或其他星体为中心天体的运动。

（2）由开普勒第二定律可知：行星从近日点向远日点运动，其速率减小，而由远日点向近日点运动，其速率增大。

（3）在很短的一段时间内，可以认为行星在近日点和远日点都做圆周运动，根据弧长公式θ和扇形面积公式

21知，2

1

2θ。 满分训练：1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一

号”发射成功，开创了我国航天事业的新纪元。如图所示，“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点M 和远地点N 的高度分别为439 和2384 ，则（ ）

A . 卫星在M 点的线速度等于N 点的线速度

B . 卫星在M 点的线速度小于N 点的线速度

C . 卫星在M 点的线速度大于N 点的线速度

D . 卫星在M 点的角速度大于N 点的角速度 思路分析：由于卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，所以相等的时间内通过的曲线长度不同，线速度和角速度都不相同。由开普勒第二定律可知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，连线r 越短，单位时间内通过的弧长越长，线速度v 越大，C 正确；又因为ω=

r

v

，可知D 正确。 答案：