人教A版高中数学必修三课件2.2.2-2方差、标准差
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甲： 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39
乙： 25.40 25.49 25.47
25.43 26.36 25.31
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差.
2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
拓展3．为了保护学生的视力，教室内的 日光灯在使用一段时间后必须更换。已知 某校使用的100只日光灯在必须换掉前的 使用天数如下，试估计这种日光灯的平均 使用寿命和标准差。
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
x= 5 s = 2.83
O 12345678
（4）
（4）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
x b，方差仍为 s2 ．
1476.2 78.7309342
例题分析 解3：打开Excel工作表，在一列输入数据， 如将10个数据输入A1到A10单元格中.
（1）利用求和∑计算它们的和；
（2）用函数AVERAGE(A1:A10)求它 们的平均数；
（3）用函数VARPA(A1:A10)求它们的 方差；
（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们 的标准差.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差 为 [(9.8－10)2 +(9.9－10)2+(10.1－10)2+ (10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.
S5 算出方差的算术平方根，即为样本标 准差s。
例题分析 例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
4
11
8
3
9
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
乙品种的样本平均数也为10，样本方差 为 [(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+ (9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.
因为0.24>0.02， 所以，由这组数据可以认为甲种水稻 的产量比较稳定。
拓展2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一 种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他 们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺 寸如下（单位：mm）：
5.已知一个样本1，3，2，5，X，若它的平均
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 ,，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
（7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打 出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4， 9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均值和方差分别为9_._5_，_0_._0_16_
（2）新数据 ax1, ax2,, axn的平均数为ax ，
方差为 a2s2 ．
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为 ax b ，方差为 a2s2．
练习：
(1)若x1, x2 , , xn的方差为4，那么 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为_4___
解：按键 MODE 2 (进入统计计算状态)
SHIFT Scl = 将计算器存储器设置成 初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT x = SHIFT xσn =
这些组中值的方差为
[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－ 268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16× (315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2] ÷100=2128.60(天2).
故所求的标准差约 2128 .6 46（天）
天数 151~ 181~ 211~ 241~ 271~ 301~ 331~ 361~ 180 210 240 270 300 330 360 390
灯泡 数 1 11 18 20 25 16 7 2
解：各组中值分别为165，195，225，285， 315，345，375，由此算得平均数约为
165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+ 285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=2 67.9≈268(天)
25.44 25.34 25.32
25.48 25.33 25.32
25.48 25.43 25.32
25.47 25.43 25.48
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 较高？
x甲 » 25.401 x乙 » 25.406
s甲 » 0.037
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
例3.计算数据89，93，88，91，94，90， 88，87的方差和标准差。（标准差结果 精确到0.1） 解：x 90 1 (1 3 2 1 4 0 2 3) 90
8
.
所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
例题分析
例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人成绩射 击比赛，对他们的射击水平进行测试，两 人在相同的条件下各射击10次，命中环数 如下﹕ 甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平 均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪 一人参赛.
那么我们用它们的平均数，即
s2
1 n [(x1
x )2
(x2
x )2
(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它
叫做这组数据的方差，一组数据方差越
大，则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术 平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的 数字特征（二）
方差、标准差
二、用样本的标准差估计总体的标准差
数据的离散程度可以用极差、方差或 标准差来描述。
为了表示样本数据的波动幅度，通常 要求出样本方差或者它的算术平方根 （标准差）.
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平 方分别是 (x1 x )2 , (x2 x )2, , (xn x )2
五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： 用样本平均数估计总体平均数。 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样 本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大 小，反映了一组数据变化的幅度．
拓展1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年 的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 （公顷）），试根据这组数据估计哪一种 水稻品种的产量比较稳定。
样本数据 平均数 标准差
A 33333
3 0
频率分布 直方图
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
12345
数据没有离散度
B
11355 3
1.79
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
12345
数据离散程度很高
再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平 均数是25.401，样本标准差是0.056，在直 方图中用虚线标出平均数所在的位置，并 画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标 准差的区间。可以看到大约有70%的钢管 内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差 的区间内，即(x－s, x+s)
量。
s
1 n
[( x1
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2
(
x2
x
)2
计算标准差的算法：
(xn x )2 ]
S1 算出样本数据的平均数x； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
xi x （i=1，2，……，n）；
S3 算出 (xi x )2 （i=1，2，…，n）；
S4 算出 (xi x )（2 i=1，2，…，n）这n个 数的平均数，即为样本方差s2；
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7； s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
（3）标准差和频率直方图的关系
从标准差的定义可知，如果样本各数 据都相等，则标准差得0，这表明数据没 有波动幅度，数据没有离散性；若个体 的值与平均数的差的绝对值较大，则标 准差也较大，表明数据的波动幅度也很 大，数据的离散程度很高，因此标准差 描述了数据对平均数的离散程度。
大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均 数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－2s, x+2s)。
s
s
2s
2s
x
例题分析
例5 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点.
(1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５； (2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６；
频率
x= 5
1.0
0.8
s= 0
0.6
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为___1_2____
4.在数据统计中，能反映一组数据变化
范围大小的指标是
（A）
A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
例题分析 例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机 地抽取10只进行寿命测试，得数据如下 （单位：h）:
1458，1395，1562，1614，1351，1490， 1478，1382，1536，1496
使用函数型计算器或计算机的Excel软件 求样本的平均数x和样本的标准差。
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（2）
(3) ３，３，４，４，５，６，６，７，７； (4) ２，２，２，２，５，８，８，８，８.
频率
x= 5
1.0
0.8
s = 1.49
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（3）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约 为268天,标准差约为46天.
乙： 25.40 25.49 25.47
25.43 26.36 25.31
说明：1.生产质量可以从总体的平均数与标准差 两个角度来衡量，但甲、乙两个总体的平均数与 标准差都是不知道的，我们就用样本的平均数与 标准差估计总体的平均数与标准差.
2.问题中25.40mm是内径的标准值，而不是 总体的平均数.
拓展3．为了保护学生的视力，教室内的 日光灯在使用一段时间后必须更换。已知 某校使用的100只日光灯在必须换掉前的 使用天数如下，试估计这种日光灯的平均 使用寿命和标准差。
频率
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
x= 5 s = 2.83
O 12345678
（4）
（4）方差的运算性质：
如果数据 x1, x2,, xn 的平均数为 x ，
方差为 s 2，则
（1）新数据 x1 b, x2 b,, xn b 的平均数为
x b，方差仍为 s2 ．
1476.2 78.7309342
例题分析 解3：打开Excel工作表，在一列输入数据， 如将10个数据输入A1到A10单元格中.
（1）利用求和∑计算它们的和；
（2）用函数AVERAGE(A1:A10)求它 们的平均数；
（3）用函数VARPA(A1:A10)求它们的 方差；
（4）用开方函数Sqrt(方差)计算它们 的标准差.
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解：甲品种的样本平均数为10，样本方差 为 [(9.8－10)2 +(9.9－10)2+(10.1－10)2+ (10－10)2+(10.2－10)2]÷5=0.02.
S5 算出方差的算术平方根，即为样本标 准差s。
例题分析 例1. 计算数据5，7，7，8，10，11的标准差.
解：S1 x= —5+—7+—7+—8+—10—+1—1 =8
6
数据 xi
S1 x
S2 xi－x
5
8
－3
S3 (xi－x)2 9
7
8
－1
1
7
8
－1
1
8
8
0
0
10
8
2
4
11
8
3
9
S4 s2= —9+—1+—1+—0+—4+—9— =4； 6
乙品种的样本平均数也为10，样本方差 为 [(9.4－10)2+(10.3－10)2+(10.8－10)2+ (9.7－10)2+(9.8－10)2]÷5=0.24.
因为0.24>0.02， 所以，由这组数据可以认为甲种水稻 的产量比较稳定。
拓展2 甲、乙两人同时生产内径为25.40mm的一 种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他 们生产的零件中各随机抽取20件，量得其内径尺 寸如下（单位：mm）：
5.已知一个样本1，3，2，5，X，若它的平均
数是3，则这个样本的标准差是 ___2___.
6.若样本x1, x 2 ,，x n的方差为0，则表示
（B）
A.x 0
B.x1 x 2 x n
C.x1 x 2 x n 0 D.总体方差一定是0
（7）在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打 出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4， 9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据 的平均值和方差分别为9_._5_，_0_._0_16_
（2）新数据 ax1, ax2,, axn的平均数为ax ，
方差为 a2s2 ．
（3）新数据 ax1 b, ax2 b,, axn b
的平均数为 ax b ，方差为 a2s2．
练习：
(1)若x1, x2 , , xn的方差为4，那么 x1 3, x2 3, , xn 3的方差为_4___
解：按键 MODE 2 (进入统计计算状态)
SHIFT Scl = 将计算器存储器设置成 初始状态
1458 DT 1395 DT 1562 DT 1614 DT 1351 DT 1490 DT 1478 DT 1382 DT 1536 DT 1496 DT
继续按下表按键
按键
显示结果
SHIFT x = SHIFT xσn =
这些组中值的方差为
[1×(165－268)2+11×(195－268)2+18×(225－ 268)2+20×(255－268)2+25×(285－268)2+16× (315－268)2+7×(345－268)2+2×(375－268)2] ÷100=2128.60(天2).
故所求的标准差约 2128 .6 46（天）
天数 151~ 181~ 211~ 241~ 271~ 301~ 331~ 361~ 180 210 240 270 300 330 360 390
灯泡 数 1 11 18 20 25 16 7 2
解：各组中值分别为165，195，225，285， 315，345，375，由此算得平均数约为
165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+ 285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=2 67.9≈268(天)
25.44 25.34 25.32
25.48 25.33 25.32
25.48 25.43 25.32
25.47 25.43 25.48
25.49 25.32
从生产零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量 较高？
x甲 » 25.401 x乙 » 25.406
s甲 » 0.037
s乙 » 0.068
甲生产的零件内径更接近内径标准，且稳定 程度较高，故甲生产的零件质量较高.
例3.计算数据89，93，88，91，94，90， 88，87的方差和标准差。（标准差结果 精确到0.1） 解：x 90 1 (1 3 2 1 4 0 2 3) 90
8
.
所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
例题分析
例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人成绩射 击比赛，对他们的射击水平进行测试，两 人在相同的条件下各射击10次，命中环数 如下﹕ 甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平 均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪 一人参赛.
那么我们用它们的平均数，即
s2
1 n [(x1
x )2
(x2
x )2
(xn x )2 ]
来衡量这组数据的波动大小，并把它
叫做这组数据的方差，一组数据方差越
大，则这组数据波动越大。
（2）标准差：我们把数据的方差的算术 平方根叫做这组数据的标准差，它也是一
个用来衡量一组数据的波动大小的重要的
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
2.2.2 用样本的数 字特征估计总体的 数字特征（二）
方差、标准差
二、用样本的标准差估计总体的标准差
数据的离散程度可以用极差、方差或 标准差来描述。
为了表示样本数据的波动幅度，通常 要求出样本方差或者它的算术平方根 （标准差）.
（1）方差：设在一组数据，x1，x2，…， xn中，各数据与它们的平均数x的差的平 方分别是 (x1 x )2 , (x2 x )2, , (xn x )2
五、回顾小结：
1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类： 用样本平均数估计总体平均数。 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样 本容量越大，估计就越精确。
2．方差、标准差描述一组数据围绕平均数波动的大 小，反映了一组数据变化的幅度．
拓展1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年 的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2 （公顷）），试根据这组数据估计哪一种 水稻品种的产量比较稳定。
样本数据 平均数 标准差
A 33333
3 0
频率分布 直方图
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
12345
数据没有离散度
B
11355 3
1.79
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2
12345
数据离散程度很高
再看钢管内径尺寸的例子，它的样本平 均数是25.401，样本标准差是0.056，在直 方图中用虚线标出平均数所在的位置，并 画出距平均数两侧各一倍标准差和两倍标 准差的区间。可以看到大约有70%的钢管 内径尺寸落在距平均数两侧各一倍标准差 的区间内，即(x－s, x+s)
量。
s
1 n
[( x1
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)2
(
x2
x
)2
计算标准差的算法：
(xn x )2 ]
S1 算出样本数据的平均数x； S2 算出每个样本数据与样本平均数的差
xi x （i=1，2，……，n）；
S3 算出 (xi x )2 （i=1，2，…，n）；
S4 算出 (xi x )（2 i=1，2，…，n）这n个 数的平均数，即为样本方差s2；
解：（1）计算得x甲=7，x乙=7； s甲=1.73，s乙=1.10.
（2）由（1）知，甲、乙两人平均成绩相 等，但s乙<s甲，这表明乙的成绩比甲的成 绩稳定一些，从成绩的稳定性考虑，可以 选乙参赛。
（3）标准差和频率直方图的关系
从标准差的定义可知，如果样本各数 据都相等，则标准差得0，这表明数据没 有波动幅度，数据没有离散性；若个体 的值与平均数的差的绝对值较大，则标 准差也较大，表明数据的波动幅度也很 大，数据的离散程度很高，因此标准差 描述了数据对平均数的离散程度。
大约有95%的钢管内径尺寸落在距平均 数两侧各两倍标准差的区间内，即(x－2s, x+2s)。
s
s
2s
2s
x
例题分析
例5 画出下列四组样本数据的条形图， 说明他们的异同点.
(1) ５，５，５，５，５，５，５，５，５； (2) ４，４，４，５，５，５，６，６，６；
频率
x= 5
1.0
0.8
s= 0
0.6
(2)若x1, x2 , , xn的方差为2，那么 这组数据均乘以4后的方差为 _3_2__
（3）若k1,k2,…, k8的方差为3，则2(k1－3), 2(k2－3), …, 2(k8－3)的方差为___1_2____
4.在数据统计中，能反映一组数据变化
范围大小的指标是
（A）
A.极差 B.方差 C.标准差 D.以上都不对
S5 s 4 2.
所以这组数据的标准差是2.
例题分析 例2. 从某灯泡厂生产的一批灯泡中随机 地抽取10只进行寿命测试，得数据如下 （单位：h）:
1458，1395，1562，1614，1351，1490， 1478，1382，1536，1496
使用函数型计算器或计算机的Excel软件 求样本的平均数x和样本的标准差。
0.4
0.2
O 12345678
（1）
频率 x = 5
1.0
0.8
s = 0.82
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（2）
(3) ３，３，４，４，５，６，６，７，７； (4) ２，２，２，２，５，８，８，８，８.
频率
x= 5
1.0
0.8
s = 1.49
0.6
0.4
0.2
O 12345678
（3）
答：估计这种日光灯的平均使用寿命约 为268天,标准差约为46天.