概率论与数理统计答案(2-5章)

第二章 离散型随机变量及其分布律
第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题
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1、 一个口袋里有6只球，分别标有数字-3、-3、1、1、1、2，从中任取一个球，用ξ表示
所得球上的数字，求ξ的分布律。

解答：因为ξ只能取-3、1、2，且分别有2、3、1个，所以ξ的分布律为：
2、 在200个元件中有30个次品，从中任意抽取10个进行检查，用ξ表示其中的次品数，
问ξ的分布律是什么？
解答：由于200个元件中有30个次品，只任意抽取10个检查，因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。

当次品数ξ为k 时，即有k 个次品时，则有10-k 个正品。

所以：
ξ的分布律为：1030170
10
200
{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。

3、 一个盒子中有m 个白球，n m -个黑球，不放回地连续随机地从中摸球，直到取到黑球
才停止。

设此时取到的白球数为ξ，求ξ的分布律。

解答：因为只要取到黑球就停止，而白球数只有m 个，因此在取到黑球之前，所取到的白球数只可能为0
m 中的任意一个自然数。

设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ，则第
1k +次取到是黑球，以i A 表示第i 次取到的是白球；_
i A 表示第i 次取到的是黑球。

则ξ的
分布律为：
_
_
12112111
{}()()(|)
(|)
11,0,1,,1
1k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k m
n n n k n k
ξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。

4、 汽车沿街道行驶，要通过3个有红绿灯的路口，信号灯出现什么信号相互独立，且红绿
灯显示时间相等。

以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数，求ξ的分布律。

解答：因为只有3个路口，因此ξ只可能取0、1、2、3，其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。

以i A 表示第i 个路口是红灯，因红绿灯显示时间相等，所以()1/2i P A =，又因信号灯出现什么信号相互独立，所以123,,A A A 相互独立。

因此ξ的分布律为：
_
11{0}()2
P P A ξ===
， _
_
12121{1}()()()4
P P A A P A P A ξ====
， {2}P ξ==_
_
_
_
1231231()()()()8
P A A A P A P A P A ==
， _
_
_
_
_
_
123123{3}()()()()1/8P P A A A P A P A P A ξ====。

5、 一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为
1
,(1,2,3)1
i p i i =
=+。

用ξ表示3个零件合格品的个数，求ξ的分布律。

解答：因为利用同一台机器制造3个同种零件，因此可认为这3个零件是否合格是相互独立的，以i A 表示第i 个零件是合格的，则()1/(1)i P A i =+。

因ξ表示零件的合格数，因此ξ的分布律为：
_
_
_
_
_
_
1231231111{0}()()()()(1)(1)(1)2344
P P A A A P A P A P A ξ====---=，
______
12312312311{1}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=， ___
1231231236
{2}()()()24
P P A A A P A A A P A A A ξ==++=，
1231{3}()24
P P A A A ξ===。

6、 设随机变量ξ的分布律为{},0,1,2,!
k
P k c
k k λξ===，式中λ为大于0的常数。

试
确定常数c 的值。

解答：因{},0,1,2,!
k
P k c
k k λξ===如果是随机变量ξ的分布律，则应该满足如下两个
条件：1、对任意的k ，{}0P k ξ=≥，因此可得0c ≥；2、
1{}k P k ξ∞
===∑0
!
k
k c k λ∞
==∑ce λ=，
所以可得c e
λ
-=。

7、 设在每一次试验中，事件A 发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3时，指示灯发出
信号。

（1）若进行5次独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）若进行7次独立试验，
求指示灯发出信号的概率。

解答：因为进行的是独立试验，所以如进行n 次试验，则事件A 在n 次试验中发生的次数ξ服从参数为n 和()0.3p P A ==的二项分布。

因为当A 在n 次试验中发生次数不少于3时，指示灯发出信号。

因此，{}{3}P P ξ=≥发出信号3
{}n k P k ξ==
=∑3
0.30.7n
k k n k n
k C
-==∑。

第
一小题中的n 等于5，第二小题中的n 等于7。

计算即可。

8、 某交换台有50门分机，各分机是否呼叫外线相互独立，在单位时间内呼叫外线的概率
都是10%，问在单位时间内至少有3门以上的分机需要外线的概率是多少？
解答：同上一题，因为各分机是否呼叫外线相互独立，因此在单位时间里呼叫外线的分机束缚从参数为50和0.1的二项分布。

所以所求的概率等于{3}1{0}P P ξξ≥=-={1}P ξ-=
{2}P ξ-=5049482
50*4910.950*0.9*0.10.90.12
=---。

9、 把一个试验独立重复地做n 次，设在每次试验中事件A 出现的概率为p ，求在这n 次试
验中A 至少出现一次的概率是多少。

解答：同上一题，n 次试验中A 出现的次数服从参数为n 和p 的二项分布。

因此，所要求的概率等于{1}1{0}1(1)n
P P p ξξ≥=-==--。

10、
甲乙两选手轮流射击，直到有一个命中为止，若甲命中率为0.6，乙命中率为0.7，
如果甲首先射击，求：
（1） 两人射击总次数ξ的分布律； （2） 甲射击次数1ξ的分布律； （3） 乙射击次数2ξ的分布律。

解答：因为轮流射击，直到有一个命中为止，且由甲首先射击。

因此可以看到，如果由甲射中，则总的射击次数应为奇数，乙比甲少射一次，而由乙射中的话，则甲、乙两人射击次数相同。

且可以知道，乙可能没有射击。

而由题意可知，每次是否射中是相互独立的。

令i A 表示甲第i 次射击时射中，则()0.6i P A =（1,2,
i =）；令i B 表示乙第i 次射击时射中，则
()0.7(1,2,)i P B i ==。

由此可知：
（1）__
___
_
11
1111{21}()()()()k
k k k k P k P A B A B A P A P B P A ξ+=+==0.12*0.6k =，
0,1,
k
=
_
_
__
_
111
111{2}()()()()k
k k k P k P A B A B P A P B P B ξ-===10.12*0.28k -=，1,2,k
=
（2） _
__
_
__
_
_1111
1
1
111
1{}(
)()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ--==+= +__1
11111()
()()0.88*0.12,1,2,
k k k P A P B P A k ---=
=
（3） __
____
_
_
1211
1
1
111
1{}(
)()()()()k
k k k k k P k P A B A B P A B B A P A P B P
B ξ-+==+= _
_
1
111()()()0.352*0.12,1,2
k
k
k P A P B P A k -+=
=
21{0}()0.6P P A ξ===。

11、
一电话交换机每分钟收到的呼叫数服从4λ=的泊松分布。

求（1）一分钟内恰好
有8次呼叫的概率；（2）一分钟内呼叫数大于9次的概率。

解答：因每分钟受到的呼叫数(4)ξ
π，因此84
4{8}8!
P e ξ-==，而{9}1{9}P P ξξ>=-≤
=4
104!
i i e i ∞
-=∑=0.008132。

（查表得到） 12、
某路口有大量车辆通过，设每辆车在高峰时间（9点—10点）出事故的概率为0.001，
设某天的高峰时间有500辆车通过，问出事故的车数不少于2的概率（利用泊松定理来计算）。

解答：可以认为每辆车是否出事故是相互独立。

则该天高峰时间车事故的车数
(500,0.001)B ξ，因500n =较大，而0.001p =较小，因此可利用泊松定理近似计算，
则令500*0.001λ=，即近似认为(0.5)ξπ。

即{2}1{1}
P P ξξ≥=-≤0.5
20.5!
k i e k ∞
-==∑，查表可得等于0.090204。

13、
设车间内每月耗用某种零件的数量服从参数为3的泊松分布。

问月初要备该种零
件多少个才能以0.999的概率保证当月的需要量？ 解答：因每月耗用零件的数量(3)ξ
π，要保证当月的需要量，则要求当月的耗用量ξ小
于等于月初所备的零件数x ，也就是1
3
03{}10.999!
i x i P x e i ξ--=≤=-=∑，查表可得10x ≥。

14、
设ξ服从泊松分布，且{1}{2}P P ξξ===，求{4}P ξ=。

解答：因()ξπλ，即1
2
{1}{2}1!
2!
P e
P e λ
λλλξξ--==
===
，由此可得2λ=，所以
44
2{4}4!
P e ξ-==。

15、
设ξ服从参数为λ的泊松分布，即{},0,1,2,
!
k
P k e
k k λ
λξ-===，求使得
{}P k ξ=达到极大值的k ，并证明你的结论。

解答：因1{1}/(){}(1)!!k k P k e e P k k k λλξλλξ+--=+==+1
k λ
=+,因此如果1k λ<+，则
{1}{}P k P k ξξ=+<=，而若1k λ>+，则{1}{}P k P k ξξ=+>=。

所以，若存在正整
数l 使得1l l λ<<+，则{}P l ξ=取得最大；而若存在正整数l λ=，则{1}P l ξ=-与
{}P l ξ=同时达到最大。

16、
设随机变量(2,),(3,)B p B p ξ
η，若{1}5/9P ξ≥=，求{1}P η≥。

解答：因(2,),(3,)B p B p ξ
η
，所以25
{1}1{0}1(1)9
P P p ξξ=≥=-==--，由此可
得13p =。

所以3119{1}1{0}1(1)327
P P ηη≥=-==--=。

17、 设有10个同类元件，其中有2只次品。

装配仪器时从中任取1只，如果是次品则
扔掉重新任取一只。

如再是次品，继续扔掉再任取一只。

试求在取到正品前已取出的次品数的分布？
解答：因其中只有2只次品，所以取到正品前已取出的次品数ξ只可能取0、1、2，因此ξ的分布律为828218
{0},{1},{2}101091098
P P P ξξξ==
==⋅==⋅⋅。

第三节 二维离散型随机变量及其分布律习题
Page 62
1、 设二维随机变量(,)ξη可能取的值为(0,0),(1,1),(1,1/3),(2,0),(2,1/3)--，相应的概率
为1/6,1/3,1/12,1/4,1/6。

（1） 列表表示其联合分布律； （2） 分别求出ξ和η的边缘分布律；
（3） 分别求ξ在0η=和1/3η=条件下的条件分布律； （4） 求{11}P ξη-≤+≤。

解答：由题意可得二维随机变量(,)ξη的联合分布律及ξ和η的边缘分布律为：
（3） 条件概率的定义得：(1|0)05/12P ξη=-==
=，1/6(0|0)5/12P ξη===2
5
=，1/43(2|0)5/125P ξη====；11/121(1|)31/43P ξη=-===，1
(0|)03P ξη===，
11/62
(2|)31/43
P ξη====。

（4） 1
{11}(1,0){1,}{1,1}3P P P P ξηξηξηξη-≤+≤==-=+=-=+=-=
1(0,0){0,}{0,1}3P P P ξηξηξη+==+==+==7
12
=。

2、 在一个盒子中放6只球，上面分别标有号码1、1、2、2、2、3，不放回地随机摸2只
球，用ξ和η分别表示第一个与第二个球的号码。

（1） 求(,)ξη的联合分布律；
（2） 求ξ在2η=条件下的条件分布律； （3） 问ξ与η是否独立？为什么？
（4） 把摸球从不放回改成放回抽样，问此时ξ与η是否独立？ 解答：（1）(,)ξη的联合分布律为：
注：{2,2}{2}{2|2}6530
P P P ξηξηξ=======
⋅=。

（2）{2}{1,2}{2,3}{3,2}
P P P P ηξηξηξη====+==+==1530
=，因此，ξ在2η=注：{2,2}6/302
{2|2}{2}15/305
P P P ξηξηη=====
===。

（3）因为
21010
{1,1}{1}{1}303030
P P P ξηξη===≠===⋅，所以ξ与η并不独立。

（4）当从不放回改成放回抽样时，因第二次摸到什么球与第一次毫无关系，因此由题意即
可得知这两个随机变量是相互独立的。

3、 用ξ和η分别表示某地区一天内新生婴儿的人数和其中的男孩人数，设ξ和η的联合分
布律为14
7.146.86{,},0,1,2,,0,1,,!()!
m n m P n m e n m n m n m ξη--===
==-。

（1） 试求ξ与η的边缘分布律；
（2） 求条件分布律{|}P n m ξη==和{|}P m n ηξ==
解答：显然由题意可知，男婴数不可能大于新生婴儿数，所以：
（1）1400
7.146.86{}{,}!()!m n m n
n
m m P n P n m e m n m ξξη--=======-∑∑
14
7.146.86!n
m
m n m n
m e C
n --==∑
141414(7.14 6.86),0,1,2!!
n n e e n n n --=⋅+==，
147.14 6.86{}{,}!()!m n m n m
n m P m P n m e m n m ηξη-∞
∞
-====
==
=-∑
∑140
7.14 6.86!()!m n m
n m e m n m --==⋅-∑
14 6.867.147.147.14,0,1,2
!!
m m e e e m m m --=⋅⋅=⋅=；
（2）14
6.86
7.14
7.146.86{,} 6.86!()!
{|},7.14{}()!
!m n m n m m
e
P n m m n m P n m e n m P m n m e m ξηξηη-----==-=====≥=-⋅ 14
147.146.86{,}7.14 6.86!()!{|}(
)()14{}1414
!
m n m m m n m
n n e
P n m m n m P m n C P n e n ξηηξξ----==-======⋅，0,1,m n =。

4、 设二维随机变量(,)ξη的联合分布律如下表所示，问表中,x y 取什么值时，ξ和η独立。

解答：由二维随机变量的联合分布律及随机变量的独立性条件可知：
111111691833111{1,2}{1}{2}()939x y P P P x ξηξη⎧+=----=⎪⎪⎨
⎪=======⋅+⎪⎩，得：29
19
x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，验证可知正确。

5、 甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6和0.7。

今各投3次，求 （1） 两人投中次数相等的概率； （2） 甲比乙投中次数多的概率； （3） 写出它们的联合分布律。

解答：以ξ表示甲投中的次数、η表示乙投中的次数。

由题意，假设每次是否投中是相互独立的，则可得(,)ξη的联合分布律为：
其中：3333{,}0.60.40.70.3,,0,1,2,3i i i j j j
P i i C C i j ξη--===⋅⋅=。

由此可得：
{}0.0017280.0544320.1905120.0740880.32076P ξη==+++=
{}0.0077760.0116640.0058320.0816480.0408240.095256P ξη>=+++++
0.243=。

第四节 离散型随机变量函数的分布律习题
Page 66
1、 设ξ的分布律如下表所示，试求（1）ξ+2；（2）2
ξ-；（3）2
(1)ξ-的分布律。

解答：
由此得到：（1）2ξ+的分布律为：
（2）2
ξ-的分布律为：
（3）2
(1)ξ-的分布律为：
2、 设ξ与η独立，(,),(,)B m p B n p ξ
η,求ξ+η的分布律。

解答：因ξ与η独立，则0
{}{,}{}{}k k
i i P k P i k i P i P k i ξηξηξη==+==
==-===-∑∑
()
()
(1)
(1)
(1)
k
k
i
i
m i
k i k i
n k i k
m n k i k i m
n
m n
i i C p p C
p
p p p C
C -----+--===--=-∑∑()(1)
k k m n k n m C p p +-+=-，0,1,,()k m n =+，即(,)B m n p ξη++。

3、 12,,,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，其分布律为{1}i P p ξ==，{0}1i P p ξ==-，
1,2,
,i n =，求证：12(,)n
B n p ηξξξ=+++。

解答：因为12,,
,n ξξξ相互独立，都服从0-1分布，因此0
n
i i ηξ==∑的可能取的值为0,1,
n ，
事件{}k η==1{10}n k n k ξξ-到中有个取，个取，由此对任意k (0)k n ≤≤，{}P k η=
11(1)(0)(1)k k n k k k n k n n C P P C p p ξξ--====-，即η
(,)B n p 。

4、 设(,)ξη的联合分布律同第二章第三节中第2题，求（1）ξη+；（2）2ξ；（3）2ξηη-的分布律。

解答：因为(,)ξη的联合分布律如下表：
因此：
（1）ξη+的分布律为：
注：{3}{1,2}{2,1}303030
P P P ξηξηξη+====+
===+=。

（2）2ξ的分布律为：
注：3
1
66315
{24}{2}{2,}30303030
j P P P j ξξξη========
++=∑。

（3）2ξηη-的分布律为：
注：3
1
66315
{20}{2}{2,}30303030j P P P j ξηηξξη=-====
===++=∑。

5、 设(,)ξη的联合分布律如下表所示，
（1） 求η在1ξ=条件下的条件分布律； （2） 求max(,)V ξη=的分布律；
（3） 求min(,)U ξη=的分布律； （4） 求(,)U V 的联合分布律； （5） 求W ξη=+的分布律。

解答：（1）5
0{1}{1,}0.010.020.040.050.060.080.26j P P j ξξη===
===+++++=∑，
注：{1,}
{|1},0,1,
,5{1}
P j P j j P ξηηξξ=====
==。

（2）max(,)V ξη=的分布律为：
注：3
2
{3}{max(,)3}{,3}{3,}i j P V P P i P j ξηξηξη========+==∑∑0.28=。

（3）min(,)U ξη=的分布律为：
注：5
2
{2}{min(,)2}{2,}{3,2}0.25i P U P P j P ξηξηξη=======+===∑。

（4）(,)U V 的联合分布律为：
注：{1,3}{min(,)1,max(,)3}{1,3}{3,1}P U V P P P ξηξηξηξη========+== 0.050.020.07=+=。

（5）W ξη=+的分布律为：
注：3
{5}{5}{,5}i P W P P i i ξηξη===+==
==-∑0.090.060.050.040.24=+++=。

6、 设随机变量12,ξξ独立，分别服从参数为1λ与2λ的泊松分布，试证：
1111212
12
{|}(
)(1),0,1,2,
,k
k n k n P k n C k n λλξξξλλλλ-=+==-
=++
解答：1122(),()ξπλξπλ，且1ξ与2ξ相互独立，所以（例2.13）：1212()ξξπλλ++。

因此：112121121212{,}{,}
{|}{}{}
P k n P k n k P k n P n P n ξξξξξξξξξξξξ=+===-=+==
=+=+=
1212{}{}{}P k P n k P n ξξξξ==-=+=1
2
1212()12!()!()!
k
n k
n e
e k n k e n λλλλλλλλ----+-=+1112121k
n k
k n C λλλλλλ-⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，
0,1,
k n =。

复习题
Page68
1、 掷两粒骰子，用ξ表示两粒骰子点数之和，η表示第一粒与第二粒点数之差，试求ξ和
η的联合分布律，并讨论ξ与η是否独立。

解答：以U 表示第一粒骰子的点数、V 表示第二粒骰子的点数，则由题意可知随机变量U 和V 相互独立，且1
{}{},,1,2,,66
P U i P V j i j ====
=。

则ξ和η的联合分布律为： {,
}{,}{,}22
k l k l
P k l P U V k U V l P U V ξη+-===+=-==== {}{},2,3,,12;5,4,
,5
22
k l k l
P U P V k l +-==
===--。

它们的联合分布表如下表：
由随机变量独立性的定义可知，ξ和η相互不独立。

2、 设,ξη相互独立，{},{
},,i j P i p P j q i j ξη====可取任意非负整数值，试求：{}P ξη=和{}P ξη≥。

解答：因,ξη相互独立，则0
{}{,}{}{}i
i
i i i P P i i P i P i p q ξηξηξη∞∞∞
=====
======⋅∑∑∑。

000
00
{}{,}{,}{}{}i
i
i i j i j P P i i P i j P i P j ξηξηξηξη∞
∞
∞
=====≥==≤======∑∑∑∑∑
00
i
i
j
i j p q
∞
===
⋅∑∑。

3、 在盒子中有N 只球，分别标上号码1,2,
,N ，现有放回地随机摸n 次球，设ξ是n 次
中得到的最大号码，试求ξ的分布律。

解答：令(1,2,
,)i i n η=表示第i 次摸到球的号码，则可得{}i k
P k N
η≤=
(1,,)k N =。

由题意可知每次摸到什么号码是相互独立的。

而事件{}k ξ=12{,,}n k k k ηηη=≤≤≤
1{1,1}n k k ηη-≤-≤-。

即1
{}{,}n P k P k k ξηη==≤≤1{1,1}n P k k ηη-≤-≤-
111({})({1}),1,2,
,n
n
n n k k P k P k k N N N ηη-⎛⎫⎛⎫
=≤-≤-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

4、 设在贝努里试验中（成功的概率为p ），直到第k 次成功出现就停止试验，到此时为止
所进行的试验次数为ξ，求证：11{}(1),,1,2,
k k n k
n P n C p p n k k k ξ---==-=++。

解答：假设到第k 次成功时已进行的试验次数为n ，则我们可以知道，在第n 次试验是成功的，并且在前1n -试验中有1k -次试验是成功的、有n k -次试验是不成功的，但显然的是：这1k -次成功的试验可以发生在前1n -试验中的任意1k -次。

并且由于每次试验是相
互独立的，因此，我们可得11{}(1),,1,2,
k k n k
n P n C p p n k k k ξ---==-=++。

5、 作5次独立重复试验，设()1/3P A =，已知5次中A 至少有一次不发生。

求A 发生次
数与A 不发生次数之比的分布律。

解答：以ξ表示A 在5次独立重复试验中发生的次数，则1
(5,)3
B ξ。

已知A 至少有一次
不发生，令η表示A 发生次数与A 不发生次数之比，则可知η的概率分布律为：
注：2{2}{|4}{2|4}3{4}P P P P ξηξξξξ==≤==≤=≤()()()
2
3
2
55
12380242113C ==-。

6、 设,ξη相互独立，且服从相同分布{}{}1/2,1,2,3,
n
P n P n n ξη=====。

（1） 求12ζξ=的分布律； （2） 求2ζξη=+的分布律。

解答：（1）11
{2}{22}{},1,2,2k
P k P k P k k ζξξ======
=；
（2）121
{}{}{,}{,}k i j k
i P k P k P i j P i k i ζξηξηξη-+====+==
=====-∑∑
111
1
111{}{}222k k i k i k
i i k P i
P k i ξη---==-=
==-=⋅=∑∑
，2,3,k =。

7、 设随机变量,ξη相互独立，下表列出了二维随机变量(,)ξη的联合分布律及关于ξ和关
于η的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。

解答：因随机变量,ξη相互独立，因此
2121{,}{}{}8
P x y P x P y ξηξη====== 21{}6P x ξ==⋅，即得：23{}4P x ξ==，继而得到11{}4P x ξ==，11{,}P x y ξη==1146
=⋅ 124=，1311112{,}{}{,}{,}P x y P x P x y P x y ξηξξηξη====-==-==112=， 由18=121221{,}{}{}{}4P x y P x P y P y ξηξηη=======，得到21{}2
P y η==， 222123
{,}{}{,}8
P x y P y P x y ξηηξη====-===，31{}1{}P y P y ηη==-=
21{
}3P y η-==，233131
{,}{}{,}3
P x y P y P x y ξηηξη====-===。

第三章 连续型随机变量及其分布
习题3.1（p.86）
1、 设随机变量ξ的分布律如下表所示，
试求ξ的分布函数，并利用分布函数求{}20≤≤ξP 。

解：()⎪⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥
<≤<≤<≤<=27127385
3
124111031
00x x x x x x F
{}{}{}()()()()24
11
02411000220020=
-=-+-=≤<+==≤≤-
F F F F P P P ξξξ 2、 函数x sin 在下列范围内取值
⑴ []2/π,0；⑵ []π,0；⑶ []2/π3,0； 它是否可作为一个连续型随机变量的密度函数？
解：作为连续型随机变量的密度函数，()x f 在定义范围内满足
①()0≥x f ； ②
()1d =⎰+∞
∞
-x x f
⑴ 1d sin 2
π
=⎰
x x 且当[]2/π,0∈x 时，0sin ≥x ，
故可作为连续型随机变量的密度函数； ⑵ 12cos d sin π
0π
0≠=-=⎰
x x x ，故不可以作为连续型随机变量的密度函数；
⑶1cos d sin 23π0
2
3π
=-=⎰
x
x x ，但当[]2/π3,π∈x 时，0sin <x ，故不可以作为连续型
随机变量的密度函数。

3、 要使下列函数成为密度函数，问式中的参数c b a ,,应满足什么条件（21,l l 是已知数）？
⑴ ()()
⎩⎨
⎧>=-其它
e c x a x
f c x b ；
解：()()()
()b
a b a b a x a x x f c b c
c x b c
c x b c
-=
⋅===
-∞+∞+-+∞
-+∞
⎰⎰
e e 1
d e d 1 c b
a
b ,1,0=-<∴任意。

⑵ ()⎩
⎨
⎧≤≤-=其它
2
1l x l b x a x g
解：()⎰⎰-==
+∞
∞
-2
1
d d 1l l x b x a x x g
①1l b <，()()2
1
21
2
d 12
l l l l b x a x b x a -⋅
=-=⎰， ()()
[
]22
12
2=---∴b l b l a
②21l b l <≤，()()()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-+
--
⋅=⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡-+-=⎰⎰2
1
212
2d d 122l b
b
l l b b l b x x b a x b x x x b a ()()
[
]22
12
2=-+-∴b l b l a
③2l b ≥，()()()
2
1
2
1
12
d 12
l l l l x b a x x b a --⋅
=-=⎰
， ()()
[
]22
22
1=---∴l b l b a
4、 设连续型随机变量ξ的分布函数为
()1
100,1,
,03
≥<≤<⎪⎩
⎪⎨⎧=x x x Ax x F ⑴求常数A ； ⑵求ξ的密度函数； ⑶求{
}5.0>ξP ，{}13.0≤≤ξP ，{}43>ξP 。

解：⑴ ()x F 连续，()()111
===+
-
F F A ，1=∴A
⑵ ()()⎩⎨
⎧<≤='=其它
1
032
x x x F x f
⑶ {}875.0d 35.015
.031
0.5
2
==>⎰
x
x x P ＝ξ {}973.0d 313.01
3
.02==≤≤⎰x x P ξ
{}
{
}{}64
37d 34343431
4
3
2
==-<+>=>⎰
x x P P P ξξξ 5、 设随机变量ξ的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-
,e 0
,042x Kx x x f x ⑴求未知常数K ； ⑵求{}11≤≤-ξP 。

解：⑴ ()K K x K x Kx x x f x x x 2e 24d e
2d e
d 10
4
2
4
4
2
22
=⋅-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--===
+∞
-∞
+-∞
+-∞
+∞
-⎰⎰⎰
2
1=
∴K ⑵ {}4
11
4
4
1
e
1e
d e
2112
2-
-
--=-==≤≤-⎰x x x x
P ξ
6、设随机变量ξ的密度函数为
⑴()⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤-=其它,02π2π,cos 21
x x x f ⑵()⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤<≤--+=其它1001,0,1,1x x x x x f
求ξ的分布函数()x F ，并画出()x f 和()x F 的图形。

解：()()⎰∞
-=
x
t t f x F d
⑴ 2π
-<x ，()0d 0==⎰∞
-x
t x F
2
π
2π<≤-x ，()()1sin 21sin 21d cos 212
π2
π+===
-
-
⎰x t t t x F x
x
2
π
≥x ，()1sin 21d cos 212π
2
π2
π
2
π===
--
⎰t t t x F ()()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≥
<≤--<+=∴2π2π2π2
π11s i n
2
1
0x x x x x F ⑵ 1-<x ，()0d 0==
⎰∞
-x
t x F
01<≤-x ，()()()21
2d 1d 0d 21
1
++=++==⎰⎰⎰--∞-∞-x x t t t t t f x F x
x
10<≤x ，()()()()21
2d 1d 1d 0d 20
11
++-=-+++==⎰⎰⎰⎰--∞-∞-x x t t t t t t t f x F x
x
1≥x ，()()()()1d 0d 1d 1d 0d 1
10
01
1=+-+++==
⎰⎰⎰⎰⎰--∞
-∞
-x
x t t t t t t t t f x F
()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
≥<≤+
+-<≤-++-<=∴1
110212
121
21022x x x x x x x x x F
7、 设随机变量ξ的密度函数为
()⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤<≤-=其它2110,0,2,
x x x x x f
求⎭⎬⎫⎩⎨
⎧<<4321ξP ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2321ξP ，⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≥21ξP 。

解：⑴ 32
52d 4321
432
124
32
1
=
==⎭⎬⎫⎩⎨⎧<
<⎰x x x P ξ ⑵ ()43
222d 2d 2321
2
312
1
2
122
3
1
1
2
1=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=
+=⎭⎬⎫⎩⎨
⎧≤≤⎰⎰x x x x -x x x P ξ ⑶()87
222d 2d 212
1
2
1
2
122
1
1
2
1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≥
⎰⎰x x x x -x x x P ξ 8、 设k 在[]5,0上服从均匀分布，求方程02442
=+++k kx x 有实根的概率。

解：()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
05
0,51
x x f
倘若方程有实根，则()()()012162161642
2
≥+-=+-=-=∆k k k k ac b
()舍去或12-≤≥k k {}53d 5125
2
==≥∴⎰x k P
9、 在区间[]a ,0上任意选取一点，用ξ表示该点的坐标，试求坐标ξ的分布函数和密度函
数。

解：当0<x 时，{
}x ≤ξ是不可能事件， (){}0=≤=x P x F ξ 当a x ≤≤0时，依题意{}kx x P =≤≤ξ0，k 是某一常数。

而{}a x ≤≤0是必然事件，
故{}10==≤≤ka a x P ，所以a k 1=
，从而{}a
x
x P =≤≤ξ0，于是 (){}{}{}a
x
a x x P P x P x F =+=≤≤+≤=≤=000ξξξ
当a x >时，{}x ≤ξ是必然事件， (){}1=≤=x P x F ξ，故有 ()⎪⎩⎪⎨
⎧>≤≤<=a
x a x x a x
x F 001
0 ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,1
a
x a x f
10、在ABC ∆内任取一点P ，用ξ表示点P 到底边AB 的距离，AB 上的高的长度为h ，
求ξ的分布函数和密度函数。

解：0<x ，()0=x F ；h x >，()1=x F
h x ≤≤0，概率为梯形面积与整个三角形面积之比，即为
()()2
222
121h x hx ah x h x h a a x F -=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-+=，故有 ()⎪
⎩
⎪⎨⎧
≥<<≤-=a
x a x x h x hx x F 001202
2
()⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它,00,222h
x h x
h x f
11、设()16,1~-N ξ
⑴ 求{
}5.1->ξP ，{}15≤<-ξP ，{}1<ξP ，{}21≥+ξP ；
⑵ 求常数c ，使{}{}c P c P ≤=≥ξξ。

解：⑴{
}{}()5498.0125.0125.0415.1415.1=Φ=->=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+->+=->ηξξP P P {}()()5328.015.05.041
115=-Φ-Φ=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧≤+<
-=≤<-ξξP P {}
{}()()1915.005.05.041
0111=Φ-Φ=⎭⎬⎫
⎩
⎨⎧<+<
=<<-=<ξξξP P P {}{}
⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧<+<
--=<+-=≥+5.041
5.0121121ξξξP P P ()()[]617.05.05.01=-Φ-Φ-=
⑵{
}{}{}c P c P c P ≤=<-=≥ξξξ1 {}5.0=≤c P ξ
5.04141=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤+c P ξ 5.041=⎪⎭
⎫
⎝⎛+Φc
04
1
=+c 1-=c 12、设测量误差ξ的密度函数 ()()3200
202
e
π
2401--
=
x x f ， +∞<<∞-x
⑴ 求测量误差的绝对值不超过30的概率；
⑵ 如果接连测量3次，每次测量相互独立，求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率。

解：⑴ 40,20==σμ，
{}{}⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-<-<--=<<-=<402030402040
2030303030ξξξP P P
()()()()4931.01125.025.0125.025.0=-Φ+Φ=-Φ-Φ=
⑵ 设η表示“测量误差的绝对值不超过30”，()4931
.0,3~B η
{}{}{}()()8698.04931.014931.01011113
3
=--==-=<-=≥C P P P ηηη 13、一工厂生产的电子管寿命ξ服从参数为μ和2
σ的正态分布，160=μ，若要求
{}80.0200120≥≤≤ξP ，问σ最大允许为多少？ 解：{
}⎭⎬⎫
⎩⎨⎧-≤-≤-=≤≤σσξσξ160200160160120200120P P 8.014024040≥-⎪⎭
⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫
⎝⎛Φ=σσσ 9.040≥⎪⎭
⎫
⎝⎛Φσ，从而
28.140≥σ，25.31≤σ，即允许σ最大为31.25。

14、某地会考中学生成绩服从正态分布，现知不及格人数占总数15.9%，96分以上占总数
2.3%，问成绩在60～84之间的占总数多少？
解：{
}159.060=<ξP 159.06060=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-σμσμσμξP 841.060=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φσμ
160=-σμ ① {
}{}023.096196=≤-=>ξξP P 977.096=⎪⎭
⎫
⎝⎛-Φσμ
296=-σμ ② 由①，②得：12,72==σμ {}()()6826.01112728412721272608460=-Φ-Φ=⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-<-<-=<<ξξP P 15、设某元件寿命ξ是个随机变量，其密度为
()⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=1000,10001000,02
x x x x f
问在1500小时内
⑴ 三个元件中没一只损坏的概率α；⑵ 三个元件全部损坏的概率β。

这里假设三个元件是否损坏是相互独立的。

解：{}()3
2
1000d x 1000d 15001500150021500
=
-===
>=+∞
∞
+∞
+⎰⎰
x x x x f P p ξ ⑴ 27/83
==p α ⑵()27/113
=-=p β
16、设随机变量ξ的密度函数为
()⎩
⎨⎧<<=其它,01
0,2x x x f
用η表示对ξ进行三次独立重复观察中事件{
}21≤ξ出现的次数 ⑴ 求η的分布律； ⑵ 求{}2=ηP 。

解：⑴ {
}4
1d 221210
2210
=
==≤⎰
x
x x P ξ
⑵{}64
9
434122
23=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P η
17、设随机变量ξ服从在[]5,2上的均匀分布，现在对ξ进行4次观察，试求至少有2次观
察值大于3的概率。

解： ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,
05
2,31x x f {}32d 31353==>=⎰x P p ξ
()()
9831323111113
1443
1
144
004=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=----=C p p C p p C P
第三章 连续型随机变量及其分布
习题3.2（p.105）
1、 设 ),(ηξ的联合分布函数为 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=3arctan 2arctan
),(y C x B A y x F , +∞<<-∞+∞<<∞-y x ,
⑴ 求参数C B A 、、的值； ⑵ 求),(ηξ的联合密度函数；
⑶ 求ξ和η的边缘分布函数与边缘密度函数。

解：⑴
()ππ,122F A B C ⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()ππ,022F A B C ⎛
⎫⎛⎫-∞-∞=--= ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭，
2π1
,2π
B C A ∴==
=
⑵()()()()2
222222
11
,1632,ππ461123F x y f x y x y x y x y ∂==⋅⋅=∂∂++⎛⎫⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,x y -∞<<+∞-∞<<+∞ ⑶()()1π,arctan π22x F x F x ξ⎛⎫=+∞=
+ ⎪⎝⎭，()()212
π4f x F x x x ξξ'==-∞<<+∞+
()()1π,arctan π32y F y F y η⎛⎫=+∞=
+ ⎪⎝⎭，()()2
13π9f y F y y y η
η'==-∞<<+∞+
2、设),(ηξ的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它当,02
0,10,3
1
),(2y x xy x y x f ⑴求ξ和η的边缘密度函数；
⑵求{
}ηξ≤P 和{}1≥+ηξP 。

解：⑴当01x ≤≤时，()()2
22012,d d 233f x f x y y x xy y x x ξ+∞
-∞
⎛
⎫=
=+=+ ⎪⎝
⎭⎰
⎰
()22
201
3
0x x x f x ξ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它 当02y ≤≤时，()()1
2011,d d 363y f y f x y x x xy x η+∞
-∞
⎛
⎫=
=+=+ ⎪⎝
⎭⎰
⎰
()1
02630
y y f y η⎧+
≤≤⎪=⎨⎪⎩其它
⑵{}()1220117
,d d d d 364x x y
P f x y x y x x xy y ξη≤⎛⎫≤=
=+=
⎪⎝
⎭⎰⎰
⎰⎰ {}()1
2
2011
1651,d d d d 372x x y P f x y x y x x xy y ξη-+≥⎛⎫
+≥=
=+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 3、设),(ηξ的联合密度函数为),(y x f ，分别求ηξ、的边缘密度函数
⑴⎪⎩⎪⎨⎧>>=--其它,
01
,1,e 2),(3)1(y x x y x f y
解：当1x >时，()()()133
1
22
,d e d y f x f x y y y x x
ξ+∞
+∞
---∞
=
==⎰
⎰
()3
2
10
x f x x ξ⎧>⎪
=⎨⎪⎩其它
当1y >时，()()()()
113
1
2,d e d e y y f y f x y x x x
η+∞+∞
-----∞
=
==⎰
⎰
()()1e
1
y y f y η--⎧>⎪=⎨
⎪⎩其它
⑵⎪⎩
⎪⎨
⎧>>=+-其它
,00
,0,e 4),()
(22
y x xy y x f y x
解：当0x >时，()()222
,d 2e 2e d 2e x y x f x f x y y x y y x ξ+∞
+∞
----∞
=
=⋅=⎰
⎰
()2
200
x xe x f x ξ-⎧>⎪=⎨
⎪⎩其它
当0y >时，()()2
2
2
,d 2e 2e d 2e x y y f y f x y x x y x y η+∞
+∞
----∞
=
=⋅=⎰
⎰
()2
2e 00
y
y y f y η-⎧>⎪=⎨
⎪⎩其它
⑶⎩
⎨
⎧<<<<--=其它,01
0,10),2(6),(y x y x xy y x f
解：当01x <<时，()()()1
20
,d 62d 43f x f x y y xy x y y x x ξ+∞
-∞
=
=--=-⎰
⎰
()2
43010
x x x f x ξ⎧-<<=⎨
⎩其它
当01y <<时，()()()1
20
,d 62d 43f y f x y x xy x y x y y η+∞
-∞
=
=--=-⎰
⎰
()2
4301
y y y f y η⎧-<<=⎨
⎩其它
⑷⎩
⎨
⎧≤≤≤≤-=其它,00,10),2(8.4),(x
y x x y y x f
解：当01x ≤≤时，()()()()20
,d 4.82d 2.42x
f x f x y y y x y x x ξ+∞
-∞
=
=-=-⎰
⎰
()()22.4201
0x x x f x ξ⎧-≤≤=⎨⎩
其它
当01y ≤≤时，()()()()1
2,d 4.82d 2.434y
f y f x y x y x x y y y η+∞
-∞
=
=-=-+⎰
⎰
()()2
2.43401
0y y y y f y η⎧-+≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
⑸[]
⎪⎩
⎪⎨⎧≤++-=其它,01
,)(1π2
),(2222y x y x y x f
解：当11x -≤≤时，()()
)()3
22228,d 1d 13πf x f x y y x y y x ξ+∞
-∞
=
=--=-⎰
()()3
2281113π0x x f x ξ⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
同理，()()32281113π0y y f y η⎧--≤≤⎪=⎨⎪⎩
其它
⑹)
1(π1
),(2
2222y x y x y x f +++=
解：()()()()()()
222222
d 11,d arctan π11π1π1y f x f x y y y x y x x ξ+∞
+∞
+∞
-∞-∞
-∞
=
===++++⎰
⎰
()
()
2
1
,π1f x x x ξ
∴=
-∞<<+∞+，同理，
()()
2
1
,π1f y y y η∴=-∞<<+∞+
4、设),(ηξ的密度函数为 ⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其它0
1
0,101),(y x y x f
求下列事件的概率
⑴{
}21,21≤≤ηξP ；⑵⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+21ηξP ；⑶{}ηξ2≥P ⑷{}31≥ηP ；
⑸{
}ηξ=P ⑹已知2
1
>η时，ηξ>的概率。

解：⑴ 11
22
00111,d d 224
P x y ξη⎧
⎫≤≤
==⎨⎬⎩
⎭⎰⎰ ⑵ 2
111712228P ξη⎧
⎫⎛⎫+>=-=⎨⎬ ⎪⎩
⎭⎝⎭
⑶ {}()()1
21
1
20
0,012,d d d d d 244
x
x y G
x x P f x y x y x y x ξη∈≥=
====⎰⎰
⎰⎰
⎰
⑷ 11103
12d d 33P x y η⎧
⎫≥==⎨⎬⎩⎭⎰⎰
⑸ 2
111,11222112422P P P ξηηξηηη⎧
⎫⎛⎫>>⎨⎬ ⎪⎧⎫⎩⎭⎝⎭>>===⎨⎬⎧⎫⎩⎭>⎨⎬
⎩
⎭
6、第3题各随机变量是否独立？
解：若随机变量ξ与η相互独立，则()()()y f x f y x f ηξ=,，因此⑴、⑵、⑹相互独立；⑶、⑷、⑸不独立。

7、设二维随机变量),(ηξ在图示的区域G 上服从均匀分布。

试求 ⑴),(ηξ的联合密度和边缘密度函数； ⑵求),(ηξ落在区域2
1x y -≤内的概率。

解：⑴ ()()6
1d d 1
2
1
0=-=-=
⎰⎰x x x x y y A 下上 ⎩
⎨⎧≤≤≤≤=∴其它,0,10,6),(2x
y x x y x f
当01x ≤≤时，
()()()
26d 6d ,2
x x y y y x f x f x
x
-===⎰⎰+∞∞-ξ
()()⎩⎨⎧≤≤-=其它0
1062x x x x f ξ
当01y ≤≤时，()()()
y y x x y x f y f y
y
-===
⎰
⎰+∞∞
-6d 6d ,η
()(
)
⎩
⎨
⎧≤≤-=其它
106
y y y y f η
⑵ 求交点，⎪⎩⎪⎨⎧-==2
2
1x
y x
y ，211=x ；⎩⎨⎧-==21x y x y ，2512+-=x 222
5
57d 6d d 6d 2
221212
5125
10
+-=
+=
⎰⎰
⎰⎰-+-+-x x
x
x y x y x P 8、设ηξ，相互独立，ξ在[]20，
上服从均匀分布，η的密度函数为 ⎩⎨
⎧≤>=-0
,
00,
e 5)(5y y y
f y η
⑴求ξ和η的联合密度函数； ⑵求{
}ηξ≤P 。

解：⑴ ()⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤=其它
202
1
x x f ξ
因为ξ与η相互独立，所以()()()⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤==-其它
,20e
2
5,5y x y f x f y x f y
ηξ
⑵{}()
1020552
e 110
1
d e 21d e 25d --+∞
--===
≤⎰⎰
⎰
x y x P x x
y ηξ 9、设一电子器件包含两个部分，分别用ξ和η表示它们的寿命（单位：小时）。

设),(ηξ的联合分布为
⎩
⎨⎧>>+--=+---其它,00
,0,e e e 1),()(01.001.001.0y x y x F y x y x
⑴问ξ和η是否独立；
⑵求{
}120,120>>ηξP 。

解：⑴ ()()x
x F x F 01.0e
1,--=+∞=ξ，()()y
y F y F 01.0e
1,--=∞+=η
因为()()()y F x F y x F ηξ⋅=,， 所以ξ和η相互独立。

⑵{}{}{}()[]()[]
4
.2e 12011201120120120,120-=--=>⋅>=>>ηξηξηξF F P P P
10、设),(ηξ服从二维正态分布
⑴设参数539511
2
222121===-==ρσσμμ，，，，，写出它的联合密度函数和边缘密度函数；
⑵若),(ηξ的联合密度函数为
[]
22)1(9)1)(4(6)4(46
1
e
23),(+++----
=
y y x x y x f π
求参数,,21μμ2
22
1,σσ和ρ的值，并写出ξ和η的边缘密度函数。

解：⑴5
412
=
-ρ
()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2
231315156513225exp π241,y y x x y x f +∞<<-∞+∞<<∞-y x ,
()--
x 12
()+-
y 12
⑵ 由公式，，，，，9
4
1142
22
121==-==σσμμ 3
1132122
21=-=
-ρρ
σσ，2312
=-ρ，21=ρ
()--
x 42
()+-
y 192
12、设),(ηξ的联合密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=+-000,e π
1),()(2122xy xy y x f y x 当当
求证：ξ和η的边缘分布分别为)1,0(N 。

（注记：本题说明，即使),(ηξ的边缘分布分别为正态分布，也不能保证联合分布函数为二维正态分布。

） 解：当0x >时，()()()
2
2
2
2
122222e
2π
1d e
e π
1d e π
1
d ,x y x y x y y y y x f x f -
∞
+-
-
∞
++-
∞
+∞
-=
=
==
⎰
⎰
⎰
ξ
当0<x 时，()()()2
2
2
21222
22e
2π
1d e
e
π
1d e π1d ,x y x y x y y y y x f x f -
∞
--
-∞-+-∞
+∞
-=
===
⎰
⎰⎰
ξ
（式中高斯积分
2πd e
2
2=⎰
∞+∞
--
y y ，且2
2
e
y -为偶函数，故
2
2πd e
2
2=
⎰
∞
+-
y y ） ()+∞<<-∞=
∴-
x x f x ,e
2π
12
2ξ即)1,0(~N ξ，同理，)1,0(~N η。

第三章 连续型随机变量及其分布
习题3.3（p.122）
1、⑴设ξ的密度函数为
()⎩⎨⎧≤>=-0,
00
,e x x x f x λλ
求3
ξη=的密度函数。

解：3
x y =，3
1y x =，032
>='x y ，y 严格单调。

由0>x ，则0>y 。

当0>y 时，()()()()32
3
1e
3--⋅='=y y h y h f y f y
λξηλ ()⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=∴--0
,00,
e 3
3
32y y y y f y ληλ
⑵若ξ的密度函数为()x f ，求3
ξη=的密度函数。

解：解法同上，()()
32
3
3
1-
⋅=y y f
y f η
2、设随机变量ξ在[]1,0上服从均匀分布 ⑴求ξη21=的密度函数；
解：()[]⎩
⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ， x y 2=，严格单调，由10≤≤x ，得20≤≤y 。

当20≤≤y 时，()()()()2
12111=⋅
='=y h y h f y f ξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它
,
02,0,
2
11y y f η
⑵求ξ
ηe 2=的密度函数； 解：()[]⎩⎨
⎧∈=其它
,01,0,1x x f ξ， x y e =，y x ln =严格单调，由10≤≤x ，得e 1≤≤y 。

当e 1≤≤y 时，()()()()()()y
y y y f y h y h f y f 111ln ln 2=⋅
='
='=ξξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它
,
0e ,1,
12y y
y f η
⑶求ξηln 23-=的密度函数。

解：()[]⎩⎨
⎧∈=其它
,01,0,1x x f ξ， x y ln 2-=，2
e y x -=严格单调，由10≤≤x ，得0>y 。

当0>y 时，()()()()2
222e 21e 211e e 3y y y y f y h y h f y f ----=⋅='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=ξξη
()⎪⎩⎪
⎨⎧>=∴-其它,
00,e 2123y y f y
η
3、设()1,0~N ξ，求下列各随机变量函数的密度函数。

⑴ξ
ηe 1=； 解：()+∞<<-∞=
-
x x f x ,e
π
212
2
ξ
x y e =，y x ln =严格单调，由R x ∈得0>y 。

当0>y 时，()()()()()()2
ln 21e
π21ln ln y y
y y f y h y h f y f -
=
'
='=ξξη
()⎪⎩
⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e π212ln 2
1y y f y
η
⑵122
2+=ξη； 解：()+∞<<-∞=
-
x x f x ,e
π
212
2
ξ
122+=x y ，2
1
-±
=y x 分段单调，由R x ∈得1>y 。

当1>y 时，
()()41
e 1π21212121212--='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+'⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
--
=y y-y y f y y f y f ξξη ()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>-=∴--其它,01,e 1π21
41
2y y y f y η
⑶求ξη=3。

解：()+∞<<-∞=
-x x f x ,e
π212
2
ξ
x y =，y x ±=分段单调，由R x ∈得0>y 。

当0>y 时，()()()()()2
23e π
2y y y f y y f y f -
=
'
+'--=ξξη
()⎪⎩
⎪
⎨⎧>=∴-其它,00,e π222
3y y f y
η
4、设ξ的密度函数为
()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+=其它,
021,192
x x x f。