勾股定理种证明(有图)

勾股定理的9种证明（有图）
【证法1】（邹元治证明）
以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直
角三角形的面积等于ab
21.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、
E 、B 三点在一条直线上，B 、
F 、C 三点在一条直线上，C 、
G 、D 三点在一条直线上.
∵Rt ΔHAE ≌Rt ΔEBF, ∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90º,
∴∠AEH+∠BEF=90º. ∴∠HEF=180º―90º=90º.
∴四边形EFGH 是一个边长为c 的 正方形.它的面积等于c 2
.
∵Rt ΔGDH ≌Rt ΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90º, ∴∠EHA+∠GHD=90º. 又∵∠GHE=90º,
∴∠DHA=90º+90º=180º.
∴ABCD 是一个边长为a+b 的正方形，它的面积等于()2
b a +.
∴()2
2214c ab b a +⨯=+.∴2
22c b a =+.
【证法2】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上.过C 作AC 的延长线交DF 于点P. ∵D 、E 、F 在一条直线上,且Rt ΔGEF ≌Rt Δ∴∠EGF=∠BED ， ∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
∴∠BEG=180º―90º=90º. 又∵AB=BE=EG=GA=c ，
∴ABEG 是一个边长为c 的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90º.
∵Rt ΔABC ≌Rt ΔEBD, ∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90º. 即∠CBD=90º.
又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，
BC=BD=a.
∴BDPC 是一个边长为a 的正方形.
同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则
ab
S c 21
22⨯+=,
∴2
22c b a =+. 【证法3】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P.
过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点
F 作FN ⊥PQ ，垂足为N.
∵∠BCA=90º，QP ∥BC ，
∴∠MPC=90º，
∵BM ⊥PQ ， ∴∠BMP=90º，
∴BCPM 是一个矩形，即∠MBC=90º.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º， ∴∠QBM=∠ABC ，
又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c ， ∴Rt ΔBMQ ≌Rt ΔBCA.
同理可证Rt ΔQNF ≌Rt ΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法4】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD.过C 作CL ⊥DE ， 交AB 于点M ，交DE 于点
L.
∵AF=AC ，AB=AD ，
∠FAB=∠GAD ， ∴ΔFAB ≌ΔGAD ，
∵ΔFAB 的面积等于221a
，
ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，
∴矩形ADLM 的面积=2
a .
同理可证，矩形MLEB 的面积=2
b .
∵正方形ADEB 的面积
=矩形ADLM 的面积+矩形MLEB 的面积 ∴222b a c +=，即2
22c b a =+. 【证法5】（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R.过B 作BP ⊥AF ，垂足为P.过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H.
∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º， AD=AB=c ， ∴Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.
∴DH=BC=a ，AH=AC=b.
由作法可知，PBCA 是一个矩形， 所以Rt ΔAPB ≌Rt ΔBCA.即PB= CA=b ，AP=a ，从而PH=b ―a.
∵Rt ΔDGT ≌Rt ΔBCA, Rt ΔDHA ≌Rt ΔBCA.
∴Rt ΔDGT ≌Rt ΔDHA.
∴DH=DG=a ，∠GDT=∠HDA. 又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º， ∴DGFH 是一个边长为a 的正方形. ∴GF=FH=a.TF ⊥AF ，TF=GT ―GF=b ―a. ∴TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP=b ，高FP=a+（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为
543212S S S S S c ++++=①
∵
()[]()[]a b a a b b S S S -+∙-+=
++21
438=
ab b 212-， 985S S S +=，
∴824321
S ab b S S --=+=
812S
S b --.② 把②代入①，得
=922S S b ++=22a b +.
∴2
22c b a =+.
【证法6】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c.做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.
∵∠TBE=∠ABH=90º， ∴∠TBH=∠ABE. 又∵∠BTH=∠BEA=90º，
BT=BE=b ， ∴Rt ΔHBT ≌Rt ΔABE. ∴HT=AE=a. ∴GH=GT ―HT=b ―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90º，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB ―ED=b ―a ，
∠HGF=∠BDC=90º， ∴Rt ΔHGF ≌Rt ΔBDC.即27S S =.
过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE =∠QAM ，而AB=AQ=c ，所以Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM.又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE.所以Rt ΔHBT ≌Rt ΔQAM.即58S S =.
由Rt ΔABE ≌Rt ΔQAM ，又得QM=AE=a ，∠AQM=∠BAE. ∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE ， ∴∠FQM=∠CAR.
又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a ，
∴Rt ΔQMF ≌Rt ΔARC.即64S S =.
∵543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，
又∵27S S =，58S S =，64S S =，
∴
8736122S S S S S b a ++++=+
=52341S S S S S ++++ =2
c ，
即2
22c b a =+. 【证法7】（利用多列米定理证明）
在Rt ΔABC 中，设直角边BC=a ，AC=b ，斜边AB=c （如图）.过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
BD AC BC AD DC AB ∙+∙=∙， ∵AB=DC=c ，AD=BC=a ， AC=BD=b ， ∴222AC BC AB +=，即2
22b a c +=， ∴2
22c b a =+.
【证法8】（利用反证法证明）
如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC
b ，斜边AB 的长为
c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D.
假设222
c b a ≠+，即假设2
22AB BC AC ≠+，则由
AB AB AB ∙=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB ∙+∙
可知AD AB AC ∙≠2，或者BD AB BC ∙≠2
.即AD ：AC ≠AC ：AB ，或者BD ：BC ≠BC ：AB.
在ΔADC 和ΔACB 中，
∵∠A=∠A ，
∴若AD ：AC ≠AC ：AB ，则
∠ADC ≠∠ACB. 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵∠B=∠B ， ∴若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB. 又∵∠ACB=90º，
∴∠ADC ≠90º，∠CDB ≠90º.
这与作法CD ⊥AB 矛盾.所以，2
22AB BC AC ≠+的假设不能成立.
∴2
22c b a =+. 【证法9】（辛卜松证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c.作边长是a+b 的正方形ABCD.把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形
ABCD 的面积为
()ab b a b a 2222
++=+；把正方形
ABCD 划分成上方右图所示的
几个部分，则正方形ABCD 的面积为
()2
22
14c ab b a +⨯=+=2
2c ab +.
∴2
2222c ab ab b a +=++,
∴2
22c b a =+.。