1函数的概念

函数的概念

1．函数的概念：

初中函数的定义：在某变化过程中，有两个变量x ，y ，如果对于x 在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y 都有唯一确定的值和它对应，那么y 就是x 的函数，x 叫自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做值域．

我们分析这个定义，能够看出，函数是两个变量之间的一种制约关系。

在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ）．记作： y=f(x)，x ∈A ．

函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域（range ）．

注意：

○1 “y=f(x)”是函数符号，能够用任意的字母表示，如“y=g(x)，s=h(t)”；

○

2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x ． 能够看出，函数是两个非空数集之间的一种特殊对应。

*两种定义的比较：

①相同点：1°实质一致；2°定义域，值域意义一致；3°对应法则一致；

②不同点：1°传统定义从运动变化观点出发，对函数的描述直观，具体生动.

2°近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛，更具有一般性.

2． 构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

1°核心 —— 对应法则

y=f(x)表明，对于定义域中的任意x ，在“对应法则f ”的作用下，即可得到y.所以，f 是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x 与y 的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数时，对应法则能够用一个解析式来表示，但在很多较为复杂的问题中，函数的对应法则f 也能够采用其他方式（如图表或图象等）. 2°定义域

定义域是自变量x 的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数.

在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x 的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. 3°值域

值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.所以，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数.

注意：在函数定义中集合B 不一定的值域，一般地值域B ⊆。

3．两个函数相同的条件

例1 判断下列对应是否为函数

（1）2,0,x x x R x

→≠∈ （2）x y →，这里2,,y x x N y R =∈∈

（3）t s →，其中2,,s t t R s R =∈∈

课后练习

⒈下列说法中不准确的是 （ ）

A.函数定义域中的每一个数都有值域中的一个数与之对应；

B.函数的定义域和值域一定是无限集合；

C.定义域和对应关系确定以后，函数的值域也就随之确定；

D.若函数的定义域中只有一个元素，则值域中也只有一个元素．

2．对于函数()y f x =，以下说法准确的是 （ ）

①y 是x 的函数； ②对于不同的x ，y 的值也不同； ③()f a 表示当x a =时函数()f x 的值；④()f x 一定能够用一个具体的式子表示出来．

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 3．给出以下四个命题：①函数就是定义域到值域的对应关系；②若函数的定义域有两个元素，则值域也必有两个元素；③因()5f x =()x R ∈的函数值不随x 的变化而变化，所以(0)5f =也成立；④{A x x =是平面上的三角形}，{B y y =是平面上的圆}，:f A B →作三角形的外接圆，这种对应关系是函数关系．其中，正确的命题个数是 （ ）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4．下列图象中不能作为函数图象的是 （ ）

5．已知f （x ）＝2

x ＋x ＋1，则(2)f ＝______；f ［(2)f ］＝______．

6．已知函数22()1x f x x =＋，那么(1)f ＋(2)f ＋1()2f ＋f （3）＋f （13）＋f （4）＋f （14）＝________． 7思考：对于对应法则:f x y →，其中21y x =+，,x R y R ∈∈。如果x 是输入值，y 是输出值，那么你能解决下面的输入输出的问题吗？

①输入值1x =-，1x =，2x =，2x =，那么输出值_______________

②输出值是 5 y=1 y=0y =，那么输入值为_______________

③能输入“a ”？能输入“1x +”这样的式子吗？

参考答案

1．B 2．B 3．A 4．B 5．32+ 57

6．

2

2

()

1

x

f x

x

=

＋

，

2

11

()

1

f

x x

=

＋

，

1

()()

f x f

x

+＝1．

则(1)

f＋(2)

f＋

1

()

2

f＋f（3）＋f（1

3

）＋f（4）＋f（1

4

）＝

1

2

＋1＋1＋1＝

7

2

．