变量之间的关系（带答案）

变量之间的关系（带答案）
变量之间的关系、表达⽅法复习
知识要点
表⽰变量的三种⽅法：列表法、解析法（关系式法）、图象法
◆要点1 变量、⾃变量、因变量
(1) 在⼀变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

(2) 在⼀变化的过程中，主动发⽣变化的量，称为⾃变量，⽽因变量是随着⾃变量的变化⽽发⽣变化的量。

例如⼩明出去旅⾏，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V⼀定，路程S则随着时间T的变化⽽变化。

则T为⾃变量，路程为因变量。

◆要点2 列表法与变量之间的关系
(1) 列表法是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀，可表⽰因变量随⾃变量的变化⽽变化的情况。

(2) 从表格中获取信息，找出其中谁是⾃变量，谁是因变量。

找⾃变量和因变量时，主动发⽣变化的是⾃变量，因变量随⾃变量的增⼤⽽增⼤或减⼩
◆要点3 ⽤关系式表⽰变量之间的关系
(1) ⽤来表⽰⾃变量与因变量之间关系的数学式⼦，叫做关系式，是表⽰变量之间关系的⽅法之⼀。

(2) 写变化式⼦，实际上根据题意，找到等量关系，列⽅程，但关系式的写法⼜不同于⽅程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是⽤含⾃变量的代数式表⽰因变量。

(3) 利⽤关系式求因变量的值，①已知⾃变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每⼀个确定的⾃变量的值，因变量都有⼀个确定的与之对应的值。

◆要点4 ⽤图象法表⽰变量的关系
(1) 图象是刻画变量之间关系的⼜⼀重要⽅式，特点是⾮常直观。

(2) 通常⽤横轴（⽔平⽅向的数轴）上的点表⽰⾃变量，⽤纵轴（竖直⽅向的数轴）上的点表⽰因变量。

(3) 从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利⽤图象求两个变量的对
应值，由图象得关系式，进⾏简单计算，从图象上变
量的变化规律进⾏预测，判断所給图象是否满⾜实际
情景，所给变量之间的关系等。

(4) 对⽐看：速度—时间、路程—时间两图象
★若图象表⽰的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表⽰速度在增加；“⽔平线段”②表⽰速度不变，也就是做匀速运动，“下降的线段”③表⽰速度在减少。

★若图像表⽰的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表⽰物体匀速运动；“⽔平线段”②表⽰物体停⽌运动，“下降的线段”③表⽰物体反向运动。

如图BL—01(1)、(2)：
易错易混点
(1) 在列表中，不能够通过表格中的数据全⾯得出两个变量之间的关系规律，
易出现⽚⾯性错误；(2) 有的变量是由不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，⼀定条件下变量也可能成为不变量）⽽导致错误；
典型例题
【例1】果⼦成熟从树上落到地⾯，它落下的⾼度与经过的时间有如下的关系：
（1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是⾃变量？哪个是因变量？
（2）如果果⼦经过2秒落到地上，那么请估计这果⼦开始落下时离地⾯的⾼度是多少⽶？
相关题型：在弹性限度内，弹簧挂上物体后弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表：
所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5
16
(1) 弹簧不挂物体时的长度是多少？
(2) 如果⽤x表⽰弹性限度内物体的质量，⽤y表⽰弹簧的长度，那么随着x的
变化，y的变化趋势如何？请写出y与x之间的关系式。

(3) 如果此弹簧的最⼤挂重为25千克，您能够预测当挂重为14千克时，弹簧的
长度是多少吗？
【例2】⼀辆汽车正常⾏驶时每⼩时耗油8升，油箱现有52升汽油。

(1) 如果汽车
⾏驶时间为t(时)，那么油箱中所存油量Q (升)与t(时)的关系式是什么？(2) 油箱
中的油总共可供汽车⾏驶多少⼩时？(3) 当t的值分别为1，2，3时，Q相应的
值是多少？
【例3】⼀个梯形，它的下底长⽐上底长长2cm，它的⾼为3cm，设它的上底长为x
cm，它的⾯积为y cm2。

BL—01
BL —02 BL —03 BL —04
(1) 写出y 与x 之间的关系式，并指出哪个变量是⾃变量，哪个变量是因变量？ (2) 当x 由5变到7时，y 如何变化？
(3) ⽤表格表⽰当x 从3变到10时(每次增加1)，y 的相应值； (4) 当x 每增加1时，y 如何变化？并说明你的理由；
(5) 这个梯形的⾯积能等于9cm 2吗？能等于2cm 2吗？为什么？
相关题型：长⽅形的长是20cm ，当宽由⼩到⼤地变化时，长⽅形⾯积也随之变化。

(1) 在这个变化过程中，⾃变量是____________，因变量是___________。

(2) 如果长⽅形的宽为a cm ，⾯积为S cm 2，则S 与a 之间的关系式为_________。

(3) 当a=15cm 时，S 是__________。

(4) 当⾯积S 是280时，这时的宽a 是______________。

【例4】⼩丽和她的邻居⼩明⼀起离家步⾏上学。

(1) ⼩丽⼀开始就跑，跑累了便⾛着去，⼩明开始⾛着，当他快到学校时跑了起来，他们同时到达学校。

图BL —02中，图________表⽰⼩丽的⾏程，图______表⽰⼩明的⾏程最好。

(2) 若⼩丽在上学的路上以固定的速度前进，如图BL —03中虚线所⽰，⼩明在上学的路上以⼩丽速度的2倍⾏进，⼩名的速度以实线表⽰，他们先后到达学校，则图______可以描述这种情况。

相关题型：⼩明所在学校离家距离为2千⽶，某天他放学后骑⾃⾏车回家，⾏使了5分钟后，因故停留10分钟，继续骑了5分钟到家，如图BL —04中，哪⼀个图象能⼤致描述他回家过程中离家的距离s(千⽶)与所⽤的时间t （分）之间的关系（）【例5】某中学校长决定带领市级“三好学⽣”去北京旅游，甲旅⾏社承诺：“如果
校长买全票⼀张，则学⽣可享受半价优惠”；⼄旅⾏社承诺：“包括校长在内所有⼈按全票的6折优惠”，若全票价甲⼄旅⾏社均为240元。

(1) 设学⽣为x ，甲⼄旅⾏社收费分别为y 甲(元)和y ⼄(元)，分别写出两个旅⾏社
收费的关系式；
(2) 哪家旅⾏社收费更优惠？
【例6】某移动通信公司开设了“全球通”和“⾦卡快捷通”两种业务，前者每⽉
先缴30元⽉租费，每通话1分钟付费0.4元，后者不缴⽉租费，但每分钟付费0.6元，若某⼈的每⽉通话时间在200分钟左右，则他应选⽤哪种业务⽐较合算？并简明叙述理由。

（思路1：直接计算200分钟应付的话费进⾏⽐较；思路2：先求出付费相同的通话时间，再看200分钟⽐这个时间多还是少。

）练习提⾼
1. ⼀棵树苗栽下去时⾼0.8m ，以后10年内每年平均长⾼0.4m ，x 年后树⾼y
m 。

(1) 这个问题中，常量是_________，变量是_________； (2) 这个问题中x 值是________量，y 值是_________量；
(3) ⽣长5年后树⾼_______m ，⽣长了10年树⾼__________m ； (4) 请你写出y 随x 变化⽽变化的关系式_______________。

2. 长⽅形的长为a cm ，宽为6 cm ，则它的周长C 与长a 之间的关系为______。

3. 某种情况下，声⾳在空⽓中传播的速度y(m/s)与⽓温x (℃)之间存在如下关
系：3315
3
+=
x y ，(1) 当⽓温x=15℃时，声⾳的速度y=________ m/s ； (2) 当⽓温x=22℃时，某⼈看到烟花燃放5s 后才听到声⾳响，则此⼈与燃放的烟花所在地相距________m 。

4. 某⼈购进⼀批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x 与售价y 的关
系如下表：
数量x(kg) 1 2 3 4 5 售价y(元) 2+0.1 4+0.2 6+0.3 8+0.4
10+0.5
则y 与x 的关系式为___________。

5. 如图BL —05，⼀个矩形推拉窗⾼1.5⽶，则活动窗扇的通风⾯积a(平⽅⽶)
与拉开长度b(⽶)之间的关系式为__________。

6. 某电影院有1000个座位，门票每张3元可达客满，若每张票提⾼x 元，将
BL —05 BL —06 BL —07
BL —08
BL —11
有200x 张门票不能售出，提价后每场电影票房收⼊y 元与提⾼的票价x 元之间的关系是_______________。

7.
⼩亮早晨从家骑车到学校，先上坡后下坡，形成情况如图BL —06所⽰，若返回时上坡、下坡的速度仍保持不变，那么⼩亮从学校骑车回家⽤的时间是________分钟。

8.
根据河道的剩⽔量Q(m 3)与⽔泵抽⽔时间t (h)的关系图象如图BL —07，回答下列问题：
(1) ⽔泵抽⽔前，河道内有_________的⽔，⽔泵最多抽________⼩时； (2) ⽔泵抽8⼩时后，河道剩⽔量为_________ m 3；
(3) 当河道剩⽔量为100 m 3时，⽔泵已抽⽔__________⼩时； (4) ⽔泵平均每⼩时抽⽔_________ m 3。

9. 有⼀边长为2 cm 的正⽅形，若边长增加x cm ，⾯积就增加y (cm 2)，则y =________。

10. ⼀杯开⽔10分钟后冷却下来，在这个变化过程中，⾃变量是_________，因变量是________。

11. 亮亮拿6元钱去邮局买⾯值为0.80元的邮票，买邮票所剩钱数y(元)与买邮票的枚数x(枚)的关系式为______________，最多可以买
________枚。

12.
根据图BL —08所⽰的程序计算，若输⼊的
x 的值是
23
，则输出的结果是（） A. 27 B.49 C.23 D. 2
9
13. 在关系式y=3x+5中，下列说法：
① x 是⾃变量，y 是因变量；②x 的数值可以任意选择；③ y 是变量，它的值与x ⽆关；④⽤关系式表⽰的不能⽤图象表⽰；⑤y 与x 的关系还可以⽤列表法和图象法表⽰。

其中说法正确的是（） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③⑤ D. ①②⑤
14. 中国⼯程院院⼠袁隆平研究的超级杂交⽔稻以单季亩产1138kg 创世界纪
录，农户王⽂清家有x 亩地，今年晚稻改种超级杂交⽔稻，如果每亩产量达到1130kg ，那么王⽂清家⽔稻的总产量y 与x 之间的关系为（）A. y=1130x B. y=1138x C. y=(1138-1130)x D. y=(1130+1138)x 15. 托运⾏李p 千克(p 为整数)的费⽤为c 元，已知托运第⼀个1千克需付2元，以后每增加1千克(不⾜1千克按1千克计)需增加费⽤5⾓，则计算托运⾏李费⽤c 的公式是（）
A. c=0.5p
B. c=0.5p+1
C. c=0.5p+1.5
D. c=0.5p+2
16. 在地球某地，温度T(℃)与⾼度d (m)的关系
可近似地⽤150
10d T -=来表⽰，则当⾼度
d=900 m 时，温度T 为（）
A. 4℃
B. 3℃
C. 2℃
D. 1℃
17. 如图BL —09是某市5⽉1⽇⾄5⽉7⽇每天最⾼、最低⽓温的折线统计图，
在这7天中，⽇温差最⼤的⼀天是（）
A. 5⽉1⽇
B. 5⽉2⽇
C. 5⽉3⽇
D. 5⽉5⽇
18. 从⼭顶上滚到⼭脚下的⼀块⽯头，图BL —10中能⼤致描述速度v 随时间t
变化的图象是（）
19. 某礼堂的座位排列呈弧形，横排座位按下列⽅式设置：
则第n 排有座位( )个
A. 10n+4
B. 20+4n
C. 20+4(n-1)
D. 20+3(n-1) 20. 丽丽放学回家进门后觉得⼝渴，
可家⾥没有凉开⽔，于是她⽤⽔壶接了⽔，放在炉⼦上烧开，烧开后⼜倒⼊⽔杯中晾凉后才喝到嘴⾥，如图BL —11中，可以近似地刻画出⽔
的温度随时间的变化⽽变化的图象是（）
21. 三峡⼯程在2003年6⽉1⽇⾄10⽇下闸蓄⽔期间，⽔库⽔位由106⽶升
⾄135⽶，⾼峡平湖初现⼈间，假设⽔库⽔位匀速上升，那么如图BL —12
所⽰的图象中，能正确反映这10天⽔位h(⽶)随时间t (天)变化的是（）
排数 1 2 3
4 … 座位数 20 24 28 32 … BL —10
BL —12
22. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔⼦看着缓慢爬⾏的乌龟，骄傲
起来，睡了⼀觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点，⽤s 1、s 2分别表⽰乌龟和兔⼦所⾏的路程，t 为时间，则下图BL —13的图象中与故事情节相吻合的是（）
23. ⼩明早上7:00点出发到社区作义务劳动，开始匀速步⾏，后碰上⼩亮，⼩
明就停下和⼩亮聊了⼀会⼉，为了保证能准时到达，他加快了速度，但仍然保持匀速步⾏，结果准时到达，如图BL —14中，以下四个图象中能准确描述⼩明离家的距离与时间的关系的是（）
24. 下表给出了桔农⽼李去年卖桔⼦的收⼊随桔⼦卖出的质量变化的有关数
据。

质量(千克) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 收⼊(元) 2 4 6 8 10 12 14 16 18
(1) 上表反映了那两个变量之间的关系？哪个是⾃变量？哪个是因变量？ (2) 当桔⼦卖出5千克时，收⼊是多少？当桔⼦卖出50千克时，收⼊⼜是多少？ (3) 如果⽤x 表⽰桔⼦卖出的质量，y 表⽰收⼊，按表中的关系，⽤⼀个式⼦表⽰出来。

25. 在课堂45分钟内，什么时候学⽣的接受能⼒最强?⼼理学家发现，学⽣对
概念的接受能⼒与⽼师提出概念所在的时间(单位：分钟)之间，有如下关系：
时间(分钟) 0
2 10 12 1
3 1
4 16 24 26 接受能⼒ 43 47.8 59 59.8 59.9 59.8 59 47.8 43
(1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是⾃变量？哪个是因变量
(2) 根据表中的数据，你认为⽼师在第_________分钟提出概念⽐较适宜？
说说你的理由。

26. 如图BL —15，⼀边靠墙，其他三边⽤12⽶长的篱笆
围成⼀个矩形(ABCD)花圃。

(1) 如果设花圃靠墙的⼀边的长为x(⽶)，花圃的⾯积为y(平⽅⽶)，求x ，y 满⾜的关系式；
(2) 当长x 从4⽶变到6⽶时，⾯积y 变化如何？ (3) 当长x 从6⽶变到8⽶时，⾯积y 变化如何？
27. 某⽠果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的⽣产和销售，在对历年市场⾏
情和⽣产情况进⾏调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和⽣产成本进⾏了预测，获得了每千克蔬菜的利润与⽉份的关系如下表(表中数据前“－”表⽰亏损)
⽉份
2 3 4 5 6 7 8 利润(元·千克) -0.67 1 2.33 2.67 2 1
-0.67
(1)
上表反映了哪两个变量间的关系？⾃变量和因变量各是什么？
(2) 如果4⽉份该基地⽣产这种蔬菜4.5吨，则4⽉份该基地可获得多少利润？
(3) 如果你是该市场负责⼈之⼀，你认为这种蔬菜应在哪⼏个⽉上市最好？为什么？
28. 某市为了⿎励市民节约⽤⽔，规定⾃来⽔的收费标准如下表：
每⽉每户⽤⽔量每吨价(元)
不超过10吨部分
0.50 超过10吨⽽不超过20吨部分
0.75 超过20吨部分
1.50 (1) 现已知⼩明家4⽉份⽤⽔21吨，应缴⽔费_______元；
(2) 写出每⽉⽤户的⽔费y （元）与⽤⽔量x(吨)之间的关系式； (3) 若⼩明家某⽉缴⽔费17元，问：他家该⽉⽤⽔多少吨？
BL —13
BL —14
BL —15
29.如图BL—16，已知△ABC中，AB=AC=5 ，BC=6，F为BC的中点，P是BF上⼀动点，连接AP，在这个变化过程中，设BP=x，且把x看成是⾃变量。

(1) 图中哪些三⾓形的⾯积可以看成是因变量？
(2) 图中哪些线段可以看成是因变量？
(3) 试⼀试，你能求出⾃变量x的取值范围吗？
30.两个⼈分别骑⾃⾏车和摩托车从甲地到⼄地，时间与路程关系如图BL—17
所⽰，根据图象回答下列问题：
(1) 甲地到⼄地的路程是多少千⽶？⾃⾏车的速度与摩托车的速度各是多
少？
(2) ⾃⾏车⽐摩托车早出发⼏⼩时？摩托车⽐⾃⾏车早到⼏⼩时？
(3) 摩托车出发后⼏⼩时追上骑⾃⾏车的⼈？31.⼩丽家离学校2 km ，步⾏到校需30 min ，⼩丽的同学⼩军上学要经过⼩
丽家，⼩军骑车上学⾏驶的路程与时间的关系如图BL—18所⽰．
(1)⼩军家离学校多远？骑车上学的平均速度是多少？
(2)如果⼩丽与⼩军同时从家⾥出发上学，试在⼩军上学的路程与时间的关
系图上画出⼩丽上学的路程与时间的关系图．
(3)他们同时从家⾥出发，途中能相遇吗？
BL—16
BL—
17
BL—18
参考答案
例1：(1)时间与⾼度两个变量的关系；时间t是⾃变量，⾼度h为因变量。

(2) 关系式为h=5t2，当t=2时，h=20 (⽶)。

相关题1：(1) 12 cm；
(2) y随着x的增⼤⽽增⼤；y=12+0.5x。

(3) 当x=14 (kg)时，y=19 (cm)
例2：(1) Q=52-8t;
(2) 当Q=0时，t=6.5(⼩时)
(3) 当t=1, 2 ,3时，Q=44，36，28（⼩时）
例3：(1) y=3x+3，期中x为⾃变量，y为因变量；
(2) 当x由5变到7时，y由18变为24(cm2)
(3). 略
(4) 当x每增加1时，y增加3(cm2) 。

(5) 令y=9，则x=2，可以等于9，令y=2，则x=-1/3，因为x表⽰的是线段，所以不能。

例4：(1) C，E；
(2) C
相关题2：D
例5：(1) y甲=240+120x
y⼄=240·60%(x+1)
(2) 令y甲=y⼄, y甲＜y⼄,
y甲＞y⼄,得：当x=5时，两家收费⼀样，当x＞5时，甲⽐⼄优惠，当x＜5时，⼄⽐甲优惠。

例6：略（思路同例5）
参考答案
1.(1) 每年平均长的⾼度，树⾼及年数
(2) ⾃变量，因变量
(3) 2.8，4.8
(4) y=0.8+0.4x
2.C=2a+12
3.(1)340, (2) 1721
4.y=2.1x
5.a=1.5b
6.3
7.2分钟
7.(1) 600m3，12
(2) 200 ；(3) 10 ；(4) 50
8.y=x2+2x
9.时间，温度
10.y=6-0.8x, 7
11. C
12. D
13. A
14. C
15. A
16. D
17. C
18.C
19. C
20. B
21. D
22. C
23.(1) 质量与收⼊；质量是⾃变量，收⼊是因变量；
(2) 10元，100元；
(3) y=2x
24.上课时间与接受能⼒，时间是⾃变量，接受能⼒是因变量。

10~16分钟
25.(1)
()
2
12x
x
y
-
=；
(2) 略；(3)略
26.(1) ⽉份与利润，⽉份是⾃变量，利润是因变量。

(2) 4500×2.33=10485元；
(3) 3~7⽉份
27.(1) 14元；
(2) y=0.5x(x≤10); y=5+0.75(x-10) (10＜x≤20); y=12.5+1.5(x-20) (20＜x)
(3) 23吨
28.(1) ABP，APE，APC (2) PF，PC (3) 0≤x≤3
29.(1) 80千⽶，⾃⾏车是10千⽶/时，摩托车是40千⽶/时
(2) ⾃⾏车⽐摩托车早出发3⼩时，摩托车⽐⾃⾏车早到3⼩时
(3) 1⼩时
30.(1) ⼩军离学校3千⽶，平均速度是200⽶/分钟；
(2)
(3)能
⽴⾝以⽴学为先，⽴学以读书为本。