充分条件与必要条件

§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．
知识点一 充分条件与必要条件
“若p ，则q ”为真命题
“若p ，则q ”为假命题
推出关系
p ⇒q p ⇏q
条件关系
p 是q 的充分条件
q 是p 的必要条件
p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件
定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？
答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．
思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .
思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；
③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件
1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．
2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．
思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？
答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．
思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要
解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，
即q⇒p，所以p是q的必要条件．
2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．
答案充分
解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，
所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．
3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．
答案必要
解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，
∴p是q的必要条件．
4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．
答案充分
解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，
即p⇒q，所以p是q的充分条件．
5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．
答案必要不充分
解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，
故p是q的必要不充分条件．
6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．
答案充分不必要
7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要
解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，
所以p是r的充要条件．
一、充分条件的判断
例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；
(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.
解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．
(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．
方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，
所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．
反思感悟充分条件的判断方法
(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．
(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．
跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．
答案充分
解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．
二、必要条件的判断
例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？
(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；
(3)p：a>b，q：ac>bc.
解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．
(2)因为p⇒q，
所以q是p的必要条件．
(3)因为p⇏q，
所以q不是p的必要条件．
反思感悟必要条件的判断方法
(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的
必要条件．
(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．
跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.
解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，
所以q 是p 的必要条件．
(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用
例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．
q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以
3a ≥－2，a ≤3，
a <0
⇒－2
3≤a <0，
所以a 的取值范围是－2
3≤a <0. 延伸探究
将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．
解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以
3a >3，a <－2，
a >0
⇒a ∈∅.
反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问
题．
(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．
跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5
解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，
所以
a －4≤1，a ＋4≥3，即
a ≤5，
a ≥－1，
所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断
例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；
当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，
得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．
(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但1
2不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．
反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．
(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．
跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件
(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．
(1)p：x2>0，q：x>0；
(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；
(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.
解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，
故p是q的必要不充分条件．
(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，
故p是q的充分不必要条件．
(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，
∴p是q的充要条件．
五、充要条件的证明
例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
证明
必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，
则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.
两式相减，得x0＝b2
c－a，
将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，
可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.
充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①
将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，
可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，
即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.
将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，
可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，
即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.
故两方程有公共根x＝－(a＋c)．
∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.
反思感悟充要条件证明的两个思路
(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．
(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．
跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，
当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．
②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.
综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用
例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，
即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，
故有
1－m ≥－2，1＋m <10或
1－m >－2，
1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，
所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究
1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．
解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，
设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .
所以 1－m ≤－2，1＋m >10或
1－m <－2，
1＋m ≥10.
解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，
即实数m 的取值范围是m ≥9.
反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．
(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．
跟踪训练6
已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，
B＝{x|x<－4或x≥－2}．
因为p是q的充分不必要条件，
所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，
即a≤－4或a≥－2 3.
又∵a<0，∴a≤－4或－2
3≤a<0，
即实数a的取值范围为a≤－4或－2
3≤a<0.
1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()
A．充分条件
C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．使x>3成立的一个充分条件是()
A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()
A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件
4．“a<b”是“a b<1”的()
A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件
5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)
6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．
7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．
【答案与解析】 1、答案 B
解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A
解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A
解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要
解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1
解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要
解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；
因为ab >0，所以a 与b 同号，
又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2
解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m
2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，
则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．
1．知识清单：
(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．
(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．
(4)充分条件、必要条件的判断．
(5)充分条件与必要条件的应用．
(6)充要条件的证明．
(7)充要条件的应用．
2．方法归纳：
等价转化．
3．常见误区：
充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。