圆锥曲线(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版)

第2章 圆锥曲线（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练
【基础】
一、单选题
1．（2023秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知点()1,1在圆220x y ax a +++=外，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,0-
C ．()()1,04,-⋃+∞
D ．()(),04,-∞⋃+∞
2．（2021春·上海·高二专题练习）关于以下两个命题的真假判断，正确的是（ ）. 命题① 双曲线绕其中心逆时针旋转90°后，所得曲线即为原双曲线的共轭双曲线； 命题② 经过双曲线中心的直线不可能与双曲线相切. A ．命题①为真命题，命题②为真命题； B ．命题①为真命题，命题②为假命题； C ．命题①为假命题，命题②为真命题；
D ．命题①为假命题，命题②为假命题.
3．（2022秋·上海浦东新·高二上海市进才中学校考期末）已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．(),2-∞ C ．[)2,+∞ D ．()
(),22,-∞+∞
二、填空题
4．（2021秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）设方程221x y m -=表示双曲线，则实数m 的取值范围
是________．
5．（2021秋·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知点00(,)M x y 是圆222:()0O x y r r +=>外一点，则直线2
00x x y y r +=与圆O 的位置关系为__．
6．（2022秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．
7．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期中）双曲线22
19
y x -=的实轴长为_____.
8．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）抛物线24y x =的焦点坐标是_______．
9．（2022春·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期中）圆225x y +=的过点(1,2)M 的切线方程为_____________.
10．（2022秋·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知圆心()1,1C -且经过点()1,3A 圆的标准方程为_________． 11．（2021秋·上海青浦·高二校考阶段练习）已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为________.
12．（2021春·上海·高二专题练习）设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和
为_________.
13．（2021秋·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）抛物线2y x =的准线方程为________．
14．（2021春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22
19
y x
m -=的
一个焦点，则m =___________ 三、解答题
15．（2021秋·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A ．
(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的方程； (2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且||||BC OA =，求直线l 的方程； (3)设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ，使得PQ TA =，求实数t 的取值范围．
16．（2022·上海·高二专题练习）抛物线的顶点在原点，准线过椭圆()22
2210x y a b a b +=>>的一个焦点，且垂
直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为23P ⎛ ⎝⎭
，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．
17．（2022春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知直线:(21)(1)74l m x m y m +++=+，圆22:(1)(2)25C x y -+-=
(1)证明直线l 与圆C 恒相交；
(2)若(,)P x y 是圆C 上任意一点，求x y +的取值范围．
18．（2023秋·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末）（1）若直线1l 过点()1,2P -，且与直线
3450x y -+=垂直，求直线1l 的方程；
（2）若直线2l 过点()1,2Q -，且与圆221x y +=相切，求直线2l 的方程.
19．（2023秋·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期末）已知圆C ：()2
221x y -+=.
(1)判断直线y x =与圆的位置关系并说明理由； (2)过点()3,2向圆作切线，求切线的方程.
20．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知圆22
1:2210C x y x y +---=和圆
222:8C x y +=.
(1)证明：圆1C 和2C 相交；
(2)求圆1C 和2C 公共弦所在的直线方程.
21．（2022秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）设t 为实数，若关于,x y 的方程22
1
31
x y
t t +=--表示的是曲线C ，求满足下列条件的t 的取值范围． (1)曲线C 是椭圆；
(2)曲线C 是焦点在y 轴上的双曲线．
【常考】
一．选择题（共1小题）
1．（2022•迎泽区校级模拟）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共12小题）
2．（2022春•青浦区校级期末）直线l：x+my﹣m﹣1＝0被圆O：x2+y2＝3截得的弦长最短，则实数m＝．3．（2022春•青浦区校级期末）已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点的距离与P 到y轴的距离之和的最小值为．
4．（2022春•崇明区校级期中）与双曲线x2﹣y2＝1有相同的渐近线，且过点（1，2）的双曲线的标准方程为．
5．（2022春•嘉定区校级月考）已知2a2x2+（a+1）y2+2x+1＝0表示圆，则实数a的值是．6．（2022春•长宁区校级期末）若双曲线的一个焦点为F（2，0），则实数m＝．7．（2022春•闵行区校级期末）已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点的距离之和取得最小值时，点P的坐标为．
8．（2022春•金山区期中）已知F1，F2是椭圆＝1的两个焦点，过F1的直线交此椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|＝8，则|AB|＝．
9．（2022春•宝山区校级期中）已知直线l1：4x﹣3y+11＝0和直线l2：x＝﹣1，抛物线y2＝4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．
10．（2022春•徐汇区校级期末）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1
的直线分别交双曲线的两条渐近线于点P，Q．若点P是线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的离心率等于．
11．（2022春•奉贤区校级期末）已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|＝．
12．（2022春•长宁区校级期末）若将方程||＝6化简为的形式，则a2﹣b2＝．
13．（2022春•宝山区校级月考）已知AC、BD为圆O：x2+y2＝4的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为．
三．解答题（共5小题）
14．（2022春•闵行区校级期末）已知直线l过点A（﹣3，1），且与直线4x﹣3y+t＝0垂直．（1）求直线l的一般式方程；
（2）若直线l与圆C：x2+y2＝m相交于点P，Q，且|PQ|＝8，求圆C的方程．
15．（2022春•黄浦区校级期中）设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已
知|OA|＝2|OB|（O为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．
16．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2﹣12x ﹣14y+60＝0及其上一点A（2，4）．
（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+＝，求实数t的取值范围．
17．（2022春•黄浦区校级期中）如图，已知动圆M过定点F（1，0）且与y轴相切，点F关于圆心M的对称点为F′，点F′的轨迹为H．
（1）求曲线H的方程；
（2）一条直线AB经过点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线x＝1上的动点．
①求证：∠ACB不可能是钝角；
②是否存在这样的点C，使得△ABC是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由．
18．（2021秋•崇明区期末）圆拱桥的一孔圆拱如图所示，该圆拱是一段圆弧，其跨度AB＝20米，拱高OP ＝4米，在建造时每隔4米需用一根支柱支撑．
（1）建立适当的坐标系，写出圆弧的方程；
（2）求支柱A2B2的高度（精确到0.01米）．
【易错】
一．填空题（共2小题）
1．（2022春•徐汇区校级期末）抛物线y2＝﹣2x的焦点坐标为．
2．（2022春•杨浦区校级期中）双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为．
二．解答题（共3小题）
3．（2022春•金山区期中）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C过点（0，2），其焦点为
．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知点P在椭圆C上，且|PF1|＝4，求△PF1F2的面积．
4．（2022春•浦东新区校级期末）已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若G（s，0），H（k，0），且，（s＜k），分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标．
5．（2022•宝山区校级开学）（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，﹣）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．
（1）求直线l方程；
（2）求椭圆C长轴长取值的范围．
【压轴】
一．填空题（共1小题）
1．（2022秋•浦东新区校级期中）已知点P（0，2），圆O：x2+y2＝16上两点M（x1，y1），N（x2，y2）满足，则|3x1+4y1+25|+|3x2+4y2+25|的最小值为．
二．解答题（共9小题）
2．（2022•宝山区校级开学）（理科）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，一条经过点（3，﹣）且方向向量为的直线l交椭圆C于A、B两点，交x轴于M点，又．
（1）求直线l方程；
（2）求椭圆C长轴长取值的范围．
3．（2022春•徐汇区校级期末）已知反比例函数y＝的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线．（1）求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；
（2）设A1、A2为双曲线C的两个顶点，点M（x0，y0）、N（y0，x0）是双曲线C上不同的两个动点．求直线A1M与A2M交点的轨迹E的方程；
（3）设直线l过点P（0，4），且与双曲线C交于A、B两点，与x轴交于点Q．当＝λ1＝λ2，且λ1+λ2＝﹣8时，求点Q的坐标．
4．（2022春•浦东新区校级期末）已知椭圆C的长轴长与短轴长之比为，焦点坐标分别为F1（﹣2，0），F2（2，0）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知A（﹣3，0），B（3，0），P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线AP、BP分别交y轴于M、N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若G（s，0），H（k，0），且，（s＜k），分别以OG、OH为边作两正方形，求此两正方形的面积和的最小值，并求出取得最小值时的G、H点坐标．
5．（2021秋•徐汇区期末）在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点A（，0）且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点．
（1）求曲线K的方程；
（2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若l∥OP且直线OP与直线x＝1交于Q点．求的值；
（3）若点D、E在y轴上，△PDE的内切圆的方程为（x﹣1）2+y2＝1，求△PDE面积的最小值．
6．（2022秋•静安区校级期中）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上与A，B均不重合的相异两点，设直线AM，BN，AN的斜率分别是k1，k2，k3．
（1）求k2•k3的值；
（2）若直线MN过点，求证：；
（3）设直线MN与x轴的交点为（t，0）（t为常数且t≠0），试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
7．（2021秋•闵行区校级期末）已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）经过点M（1，），且其右焦点与抛
物线C2：y2＝4x的焦点F重合，过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点N（n，0），使得•＝•？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点P0（4，0）且不垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为E，试证明：直线AE过定点．
8．（2021秋•浦东新区校级期末）如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，
短轴长分别为2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；
（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由．
9．（2021秋•静安区校级期末）如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2＝4，定直线m：x+3y+6＝0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．
（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；
（Ⅱ）当时，求直线l的方程；
（Ⅲ）设t＝，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．10．（2022春•虹口区校级月考）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2
（c，0），Q是椭圆外的动点，满足||＝2a．点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足•＝0，||≠0．
（Ⅰ）设x为点P的横坐标，证明||＝a+x；
（Ⅱ）求点T的轨迹C的方程；
（Ⅲ）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S＝b2．若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由．。