2.2.向量加减法、数乘运算及其几何意义
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向量加减法向量的加减法平面向量加减法加减法运算加减法互为逆运算加减法简便运算小数加减法简便运算向量运算空间向量与立体几何向量的运算
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
相反向量 定义：
与
a 长度相同、方向相反的向量.记作 a
b a
；当 与
a与b 反向时 ， 有 b a
a 综上，如果 （a 数 使 b a
0)
b 共线，那么有且只有一个实
例1：
向量加法的结合律：
( a b ) c a (b c )
证：如图：使 AB a
BC b
CD c
则 ( a b ) c AD
a ( b c ) AD (a b ) c a (b c )
∴
例2、 已知向量a、 c、, 求作a b, c d b、d
解：在平面上取一点O，作 OA a, OB b, OC c, OD d
a b a b
第二分配律
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有 且仅有一个实数 ，使得 b a ． 证明：（1）对于向量
（a 0) a
，如果有一个实数
使 b a 那么，由向量数乘的定义知，a与b共线 （2）已知 a与b共线 ， a 0 ，且向量 b 的长度是 向量 a 的 倍，即 b a ，那么当 a与b 同向时，有
位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。 B
还有没有其他的做法？
b a
o·
B
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a ,OB = b (3)作 OC = a + b
C
结论
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
方向规定如下：
（） a a 1
（2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0 时， a 0
数乘向量的运算律：
结合律 第一分配律
a a
a a a
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
已知向量a , b, 作向量a + b 求
已知向量a , b, 作向量a + b 求
b a
o·
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a , AB = b (3)作 OB = a + b
作BA, DC
则BA a b, DC c d
A
B D
d b a
c
C O
例3.如图：已知 AD 3 AB， 3BC，试判断 AC与 AE DE
是否共线．
解： AE AD DE 3 AB 3 BC C A B D
规定：零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.
如果
a b,b a, a b 0
a ( a ) (a a ) 0 a、 互为相反向量，则 b
向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
a b a ( b ) 在平面内取一点O，作 OA a, OB b ，则BA a b
减法法则：
B
OA OB BA
O
A
向量减法几何意义
同始点尾尾相接,指向被减向量
数乘向量的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和
2.2.向量加法、减法运算 及其几何意义
1、位移
AB + BC = AC
C A B F1
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
(1)同向
a
(2)反向
a
b
A
B C B C
b
A
AC = a + b
规定： a + 0 = 0 + a = a
AC = a + b
当向量a ,b不是共线向量时,a + b又如何 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b| 一般地，有 | a + b |? | a | |b|
E
3AB BC
3 AC
∴ AC与 AE 共线．
作业：
课本P 4, P 5, P 4 84 90 91
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a
任意向量
a、 b
(a+b)+c=a+(b+a)
的加法是否也满足交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
相反向量 定义：
与
a 长度相同、方向相反的向量.记作 a
b a
；当 与
a与b 反向时 ， 有 b a
a 综上，如果 （a 数 使 b a
0)
b 共线，那么有且只有一个实
例1：
向量加法的结合律：
( a b ) c a (b c )
证：如图：使 AB a
BC b
CD c
则 ( a b ) c AD
a ( b c ) AD (a b ) c a (b c )
∴
例2、 已知向量a、 c、, 求作a b, c d b、d
解：在平面上取一点O，作 OA a, OB b, OC c, OD d
a b a b
第二分配律
定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充分必要条件是有 且仅有一个实数 ，使得 b a ． 证明：（1）对于向量
（a 0) a
，如果有一个实数
使 b a 那么，由向量数乘的定义知，a与b共线 （2）已知 a与b共线 ， a 0 ，且向量 b 的长度是 向量 a 的 倍，即 b a ，那么当 a与b 同向时，有
位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。 B
还有没有其他的做法？
b a
o·
B
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a ,OB = b (3)作 OC = a + b
C
结论
当向量a ,b是共线向量时,a + b又如何 作出来?
方向规定如下：
（） a a 1
（2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时， a 的方向与 a 的方向相反；特别地，当 0 或 a 0 时， a 0
数乘向量的运算律：
结合律 第一分配律
a a
a a a
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
已知向量a , b, 作向量a + b 求
已知向量a , b, 作向量a + b 求
b a
o·
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a , AB = b (3)作 OB = a + b
作BA, DC
则BA a b, DC c d
A
B D
d b a
c
C O
例3.如图：已知 AD 3 AB， 3BC，试判断 AC与 AE DE
是否共线．
解： AE AD DE 3 AB 3 BC C A B D
规定：零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.
如果
a b,b a, a b 0
a ( a ) (a a ) 0 a、 互为相反向量，则 b
向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
a b a ( b ) 在平面内取一点O，作 OA a, OB b ，则BA a b
减法法则：
B
OA OB BA
O
A
向量减法几何意义
同始点尾尾相接,指向被减向量
数乘向量的定义：
实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a ，它的长度和