2018年高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.1 命题

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判断命题的真假
[典例] 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)正方形既是矩形又是菱形； (2)当 x＝4 时，2x＋1<0； (3)若 x＝3 或 x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)一个等比数列的公比大于 1 时，该数列一定为递增数列．
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[解] (1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩 形又是菱形．
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[解] (1)若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数，是 真命题．
(2)若 a>－1，则方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根， 是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平 分，是真命题．
(4)已知 x，y 为非零自然数，若 y－x＝2，则 y＝4，x＝2， 是假命题．
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判断语句是否是命题的策略 (1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、 祈使句、感叹句等都不是命题． (2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范 围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就 不是命题．
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[活学活用] 判断下列语句是否为命题，并说明理由． (1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形； (2)任何集合都是它自己的子集； (3)对顶角相等吗？ (4)x>3. 解：(1)是陈述句，能判断真假，是命题． (2)是陈述句，能判断真假，是命题． (3)不是陈述句，不是命题． (4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
()
(2)“x2－3x＋2＝0”是命题
()
答案：(1)√ (2)×
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2．语句“若 a>b，则 a＋c>b＋c”
()
A．不是命题
B．是真命题
C．是假命题
D．不能判断真假
答案：B 3．下列语句中，是假命题的是
()
A．一条直线有且只有一条垂线
B．不相等的两个角一定不是对顶角
C．直角的补角必是直角
D
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4．命题“一个正整数不是合数就是素数”的条件 p 为 ______，结论 q 为________．
答案：一个正整数 不是合数就是素数
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命题的判断
[典例] 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)π3是有理数； (2)3x2≤5； (3)梯形是不是平面图形呢？ (4)x2－x＋7>0.
(2)是假命题，x＝4 不满足 2x＋1<0. (3)是真命题，x＝3 或 x＝7 能得到(x－3)(x－7)＝0. (4)是假命题，因为当等比数列的首项 a1<0，公比 q>1 时，该数列为递减数列．
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命题真假的判定方法 (1)真命题的判定方法： 真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正 确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题 为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法． (2)假命题的判定方法： 通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命 题为假命题的常用方法．
[点睛] (1)判断一个语句是命题的两个要素： ①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言； ②可以判断真假． (2)命题的条件与结论之间的关系属于因果关系，真命题可以给出证 明，假命题只需举出一个反例即可．
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[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“集合{a，b，c}有 3 个子集”是命题
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[活学活用]
下列命题中真命题有
()
①mx2＋2x－1＝0 是一元二次方程；
②抛物线 y＝ax2＋2x－1 与 x 轴至少有一个交点；
③互相包含的两个集合相等；
④空集是任何集合的真子集．
A．1 个 C．3 个 解析：选 A
B．2 个 D．4 个 ①中当 m＝0 时，是一元一次方程；②中当 Δ＝
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命题及其关系
1．1.1 命 题
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预习课本 P2～3，思考并完成以下问题
1．命题、真命题、假命题的概念分别是什么？
2．在命题“若 p，则 q”的形式中，p、q 分别叫做命题的什么？
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[新知初探]
定义：用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假
的陈述句.
命题分类：真假命命题题：：判判断断为为_真假___的的语语句句. . 形q叫式做：命“题若的p，结则论q”. .其中p叫做命题的 条件 ，
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[解] (1)“π3是有理数”是陈述句，并且它是假的，所以 它是命题．
(2)因为无法判断“3x2≤5”的真假，所以它不是命题． (3)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是 命题． (4)因为 x2－x＋7＝x－122＋247>0，所以“x2－x＋7>0” 是真的，故是命题．
4＋4a<0 时，抛物线与 x 轴无交点；③是正确的；④中空集不
是本身的真子集.
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命题的结构形式
[典例] 将下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命 题的真假．
(1)6 是 12 和 18 的公约数； (2)当 a>－1 时，方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等实根； (3)平行四边形的对角线互相平分； (4)已知 x，y 为非零自然数，当 y－x＝2 时，y＝4，x＝2.
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把一个命题改写成“若 p，则 q”的形式，首先要确 定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，则要补充 完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条 件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
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[活学活用] 把下列命题改写成“若 p，则 q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被 2 整除； (2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0 时，a＝b＝1； (3)两个相似三角形是全等三角形； (4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行． 解：(1)若一个数是奇数，则它不能被 2 整除，是真命题． (2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则 a＝b＝1，是真命题． (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角 形，是假命题． (4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线 平行，是假命题．