直线的投影

2、侧垂线的V、H投影反映直线的真长，且平行于OX轴。
3、一般线的实长与倾角
b′ Z B a′ β A X a b △YAB Y
量取 △ZAB
量取 △YAB
AB真长 b′ △ZAB
b″
α
γ a″
β
a′
b α AB真长
直角三角形法
a
直角三角形法
在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长， 另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的 真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的 倾角。
o
两 直 线 交 叉
c
b
=1′d′
=1′c′
【例题10】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。
d′
e′
l′
f′
作kˊlˊ∥e ˊf ˊ
a′ (b′) (k′)
作kl∥ef
c′
b d k
l
e
f
c
a
【例题11】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影， 求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30º 夹角。
b
f
【例题14】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试 完成该正方形的正面、侧面投影。
e′ e″ d″
=△XAO
d′
a′ o′
a″
o″
△XAO
c′ b′ f′
c″
半对角线长
b″ f″
【例题15】求两直线AB、CD之间的距离。
bˊ
cˊ
nˊ
mˊ
aˊ
dˊ m
b
a
两交叉线间距离
c (d)(n)
水平线
Z
a′
b′ B b″
a′ X
b′ Z
b″
a″ YW
X
A
a
β
b
γ
a″
γ Y a
β
b
水平线的投影特性：
反映真长TL YH
1.水平线的H投影反映真长，真长投影与OX夹角为β；与 OY轴的夹角为γ；α= 0°。
2.水平线的V投影 a′b′∥OX；W投影 a″b″∥OY；
正平线
b′ Z B α γ A X
两直线平行
b ´ a x´ d ´ Co D a´
b´ c´
c B´
d´
A
x
b b c d
o
b
a c
两直线平行的投影特性：
a
两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即AB∥CD， 则：ab∥cd ；a′b′∥c′d′；a″b″∥c″d ″。
两直线相交
d’ b’ k’ B K D k’ a’ d’ b’
B Z b″ A X
a′b′) (
Z b″
a″
YW
X b
a″
b
a
Y
a
YH
正垂线投影特性：
1、正垂线的V投影积聚为一点； 2、正垂线的H、W投影反映直线的真长，且平行于OY轴。
侧垂线
a′
A X b′ Z Z
a′ a″b″) (
X
b′
a（b″） ″
YW
B
a
b
Y
a
b YH
侧垂线投影特性： 1、侧垂线的W投影积聚为一点；
Z
b′ a′ b″ a″ YW b
β γ α A b
a
a″
X
X
Y
a
一般线的投影特性：
YH
一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长， 也不反映直线与投影面的倾角。
投影面平行线
直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为： 水平线 直线平行于H面，倾斜于V、W面。
投影面 平行线 正平线 直线平行于V面，倾斜于H、W面。 侧平线 直线平行于W面，倾斜于H、V面。
△YAB
a′
a
量取△YAB
b
【例题6】已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。
β
△YAB
b′
a′
a
量取△YAB
b
【例题7】已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。
b′
Δ zAB
直线AB真长
a′
α
a
b
直线的H投影长 以直线的H投影长 为半径，作圆弧
4、两直线的相对位置
两直线平行 两直线的 相对位置 两直线相交 两直线交叉
反映真长TL
Z b′
b″
a′
b″
α γ a′ Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a″
YW
a″
b Y
a
a
b YH
正平线的投影特性： 1、正平线的V投影反映真长，真长投影与OX夹角为α； 与OZ轴的夹角为γ;β = 0°。 2、正平线的H投影 a b∥OX；W投影 a″b″∥OZ；
侧平线
b′ Z B
b″
β
b′
Z
b″ 反映真长TL
β
a′
投影面 垂直线 正垂线 直线垂直于V面，平行于H、W面。 侧垂线 直线垂直于W面，平行于H、V面。
铅垂线
b′
Z B
b″ a″
b′
Z
b″
a′
X
A
b (a)
X Y
a′
a″
YW
b(a)
YH
铅垂线投影特性： 1、铅垂线的H投影积聚为一点；
2、铅垂线的V、W投影反映直线的真长，且平行于OZ轴。
正垂线
a′b′) (
a’
x
c’ C A c a
o
b
d
x
c’ c
o
b k
k
a d
两直线相交的投影特性：
两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投 影的交点符合点的投影规律。
两直线交叉
d’ b’ 1’(2’)
a’ c’ 2 2 a 1 d’ 1’(2 ’) c’ 2 a c b b’
X
A
B D O
b d
a’
X
O
C 1
c
f
直线上点的投影特性: 1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。 2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于 它们的投影之比，即：
ED:DF = e d:d f = e′d′: d′f′=e″d″:d″f″
【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？
Z
b′ k′ b″
a′
a″
X O
k″
Cˊ
CD真长
△ZCD
aˊ
α
dˊ bˊ
有 两 解
CD水平投影长
d
b
a
c
以CD水平投影长为半径作弧
5、一边平行于投影面的直角投影
A
B
a′ c′
b′
C c
X
a b c
O
a
b H
直角投影规律：
空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的 平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投 影反映直角关系。
两直线交叉垂直
A
B
a′
b′ n
N
C a c M m n b H
X
m a n b
O
m
【例题12】求点K到直线AB的距离 。
k′
△ZK
L
a′
l′
b′
a
l b
k
△ZK
L
垂线KL的实长
【例题13】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上， 长30mm，试完成三角形ABC的投影。
a′
e′ c′ b′
f′
e c
a
量取bc=30mm
2.2 直线的投影
• 直线的投影
• 直线上的点
V a′ A b aH Z b′ B b″ β γ α a″ W
• 直线的真长及其倾角
• 两直线间的相对位置 •一边平行于投影面的直 角投影规律
X
Y
1、直线的投影
直线的投影特性： 一般来说，直线的投影 仍然为直线。当直线垂直于 投影面时，直线的投影则积 聚为一点。
YW
a
k b
K 点 在 直 线 AB 上
YH
【例题2】判断点K是否在直线AB上。 a′
Z a″
k′ b′ X O
k″ b″ YW
a
k b
K 点 不 在 直 线 AB 上
YH
【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点 的两面投影。
b′
C′
a′
X O
a c
b
一般位置线
Z b′ B b″ a′
X b A
α
a′
α
a″
YW
a″
Y
X b
a
侧平线的投影特性： 1.侧平线的W投影反映真长，真长投影与OY夹角为α；与 OZ轴的夹角为β ；γ = 0°。 2.侧平线的V投影 a′b′∥OZ；H投影 a b∥OY；
a
YH
投影面垂直线 按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线 又可分为：
铅垂线 直线垂直于H面，平行于V、W面。
1
d
两直线交叉的投影特性：
既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相 交的投影特性，均属于两直线交叉.
【例题8】判断两直线的相对位置（方法一）
c′
Z
b′
d″ a″
c″ b″
a′
d′
X
a d
o
YW
两 直 线 交 叉
c
b
YH
【例题9】判断两直线的相对位置(方法二） c′ b′
1′
a′ d′
x
a d 1
A B b C D E F
a c
d
e(f)
H
直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：
一般位置直线 —— 直线与三个投影面均倾斜。
投影面平行线 —— 直线平行于其中的一个投影面， 倾斜于另外两个投影面。 投影面垂直线 —— 直线垂直于某一投影面。
2、直线上的点
A
C B E D F
a (b) (c) e d
真长（TL) 坐标差 △Z、△Y、△X
α 、β 、γ
H、V、W投影长
【例题4】试在直线AB上其一点 C，使AC = 25 mm， 求点 C的投影。
b′
c′ a′
X
Δ ZAB
a A
O
C
B
=Δ ZAB
在AB上量取 AC=25mm
c
b
【例题5】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影。
b′