新教材人教A版5-3第1课时诱导公式二三四课件(37张)

故原式得证．
1．sin585°的值为( A )
A．－
2 2
2 B. 2
C．－
3 2
3 D. 2
解析：sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－ 22.故 选 A.
2．若 cos(π＋α)＝－13，则 cosα 的值为( A )
1 A.3
B．－13
C.2
2 3
D．－2 3 2
第五章
三角函数
5.3 诱导公式
第1课时 诱导公式二、三、四
[目标] 1.能借助单位圆推出公式二、三、四；2.记住诱导公 式一、二、三、四并能运用诱导公式进行求值与化简．
[重点] 诱导公式的应用． [难点] 诱导公式的推导．
要点整合夯基础 角的终边对称性
解析：cos(π＋α)＝－cosα，所以 cosα＝13.故选 A.
3．化简cos－siαntπa＋nα7π＋α＝ －1 . 解析：原式＝cossαin·taπn＋πα＋ α＝co－sαs·itnaαnα＝－sisninαα＝－1.
－α)＝4．已－知75tanα＝.43，且 α 为第一象限角，则 sin(π＋α)＋cos(π
类型三 三角函数式的化简与证明 [例 3] 化简csoins－1 414800°°＋－αα··csoins－α－α－1 018800°°. [解] 原式＝sicno4s×18306°0＋°＋αα·[－·cossinα1－803°×＋3α60]°＝ －sicnoαs·αco·ssαinα＝－cocosαsα＝－1.
提示：分别为第二、三、四象限角．
知识点二 诱导公式
(1)诱导公式二 sin(π＋α)＝ －sinα cos(π＋α)＝ －cosα
tan(π＋α)＝ tanα
[填一填]
， ， .
(2)诱导公式三 sin(－α)＝ －sinα ，
cos(－α)＝ tan(－α)＝
cosα ， －tanα .
(3)诱导公式四
[答案] (2)见解析
[解析] (1)∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z，
∴sin(α＋2β)＝sin(α＋β＋β)＝sin(π＋2kπ＋β)＝sin(π＋β)＝
－sinβ＝－13，故选 D.
(2)解：因为 cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－
33，
sin2α－π6＝sin2π6－α＝1－cos2π6－α＝23，
3．诱导公式一、二、三、四的作用分别是什么？
提示：①公式一的作用在于把绝对值大于 2π 的任一角的三 角函数问题转化为绝对值小于 2π 的角的三角函数问题．
②公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角 函数．
③公式二、公式四的作用在于把钝角或大于 180°的角的三 角函数转化为 0°～90°之间的角的三角函数．
所以－sinα＝2cosα，所以 sinα＝－2cosα.
左
边＝
－si3ncαo＋sα5＋cossinαα ＝
－2cosα＋5cosα －3cosα－2cosα
＝ －3c5ocsoαsα ＝
－
3 5
＝
右边．
所以原式得证．
——本课须掌握的两大问题
1．明确各诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一 将角转化为 0～2π 之间的角求值
[变式训练 3] 求证： tan2π－coαssαin－－π2siπn－5απ－coαs6π－α＝－tanα.
证明：原式左边＝csoins22cππo－－sααπ－·siαns－inαπ－·coαs－α＝ －cossinαα··－－csoisnαα··scinoαsα＝－cossinαα＝－tanα＝右边．
sin(π－α)＝ sinα ， cos(π－α)＝ －cosα ，
tan(π－α)＝ －tanα.
[答一答] 2．如何记忆四组诱导公式？
提示：诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”， 其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角 时原角所在象限的三角函数值的符号．α 看成锐角，只是公式记 忆的方便，实际上 α 可以是任意角．
已知 cos(508°－α)＝1123，则 cos(212°＋α)
＝ 13 .
解析：由于 cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－ α)＝1123，
所以 cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°)＝cos(α－148°)＝ cos(148°－α)＝1123.
所以 cos56π＋α－sin2α－π6＝－ 33－23＝－2＋3
3 .
解决条件求值问题的两技巧 (1)寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与 所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系． (2)转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求 式进行变形向已知式转化．
[变式训练 2] 12
[填一填] (1)π＋α 的终边与角 α 的终边关于 原点 对称，如图(1)；
(2)－α 的终边与角 α 的终边关于 x 轴 对称，如图(2)； (3)π－α 的终边与角 α 的终边关于 y 轴 对称，如图(3)；
(4)π2－α 的终边与角 α 的终边关于直线 图(4)．
y＝x 对称，如
[答一答] 1．设 α 为锐角，则 180°－α ,180°＋α，360°－α 分别是第几 象限角？
1三角函数式的化简要求结果尽量简单，能求值则求其值. 不能求值也要化简成项数尽量少，次数尽量低的式子.
2关于三角恒等式的证明，常用方法： ①从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简. ②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.,无论用 哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消 除其差异.
公式二
将 0～2π 内的角转化为 0～π 之间 的角求值
公式三 将负角转化为正角求值
公式四
将角转化为 0～π2之间的角求值
2.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象 限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将 α 看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α 看成锐角，只 是公式记忆的方便，实际上 α 可以是任意角．
(2) 方 法
1
：
cos
－136π
＝
cos
16π 3
＝
cos
43π＋4π
＝
cos
4π 3
＝
cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.
方法 2：cos－163π＝cos23π－6π＝cos23π＝cosπ－π3＝－cosπ3
＝－12.
此类问题为给角求值，主要是利用诱导公式把任意角的三角 函数值转化为锐角的三角函数值求解.如果是负角，一般先将负 角的三角函数值转化为正角的三角函数值.要记住一些特殊角的 三角函数值.
解析：因为 tanα＝43，α 为第一象限角，所以 sinα＝45，cosα ＝35，所以 sin(π＋α)＋cos(π－α)＝－sinα－cosα＝－75.
5．已知 sin(α－π)＝2cos(2π－α)，求证： si3ncoπs－πα－＋α5－cossin2π－＋αα ＝－35.
解：因为 sin(α－π)＝2cos(2π－α)，
sin(180°＋30°)＝cos60°－sin30°＝12－12＝0.
类型二 给值(式)求值问题
[例 2] (1)已知 sinβ＝13，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β)的
值为( D )
A．1
B．－1
1 C.3
D．－13
(2)已知 cosπ6－α＝ 33，求 cos56π＋α－sin2α－π6的值．
[变式训练 1] 求下列各式的值： (1)sin－43π； (2)cos(－60°)－sin(－210°)．
解：(1)sin－43π＝－sin43π＝－sinπ＋π3＝sinπ3＝
3 2.
(2)cos( － 60°) － sin( － 210°) ＝ cos60°＋ sin210°＝ cos60°＋
[解] (1)方法 1： sin(－945°)＝－sin945°＝－sin(225°＋2×360°)＝－sin225°
＝－sin(180°＋45°)＝sin45°＝
2 2.
方法 2：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)＝sin135°＝sin(180°
－45°)＝sin45°＝
2 2.
4．求值：(1)sin76π＝－12；(2)cos－54π＝－ 22；(3)tan－73π ＝－ 3.
解析：(1)sin76π＝sinπ＋π6＝－sinπ6＝－12； (2)cos－54π＝cos54π＝cosπ＋π4＝－cosπ4＝－ 22； (3)tan－73π＝－tan73π＝－tan2π＋π3＝－tanπ3＝－ 3.
5．tan(π－α)＝13，则 tanα＝－13. 解析：tan(π－α)＝－tanα＝13， ∴tanα＝－13.
类型一 给角求值问题
[例 1] 利用公式求下列三角函数值： (1)sin(－945°)；(2)cos－163π. [分析] 对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三化 为正角的三角函数值；对于大于 360°或 2π 的角再用公式一、二、 四转化为锐角的三角函数值．