41动量定理

t0
Fi dt miVi miVi 0
t
n t n
i
Fi 内
Fi 外
对所有质点求和得：
Fi dt
i 1 t 0 n miVi miVi 0 i 1 i 1
Fi 1 内
i 1
Fi 1 外
左边的式子可以表示为内力与外力之和：
8
动量守恒定律：当质点系不受外力或质点系所受外力的 矢量和为0时，系统的动量守恒。（注意：不取冲 n n 量为0）即
P
注意：
mV
i 1 i
i

mV
i 1 i
i0
1、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。 2、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程中， 往往可以忽略外力（如弹力、重力）。 3、当某一方向的外力为0时，动量守恒可在这个方向上 成立。
第四章 动量和角动量
§4.1动量定理，
动量守恒定律
1
三、动量定理 由牛顿第二定律
动量定理：
I Fdt dp mv mv0
dv d ( m v ) F ma m dt dt
t Fx dt I x Px Px 0 m vx m vx 0 0 t Fy dt I y Py Py 0 m vy m vy 0 0 t Fz dt I z Pz Pz 0 m vz m vz 0 0
将上式改写为：
i 外 t 0 t n n （ Fi外）dt miVi miVi 0 Fi外 dt t t0 i 外 i 1 i 1
其意义为：质点系所受外力的冲量等于系统动量的增 量。
n n F外dt miVi miVi 0 i 1 i 1
12

将上式推广到一般情况有： rc

i 1 N
N
mi ri mi

i 1


i 1
N
mi ri M
对于质量是连续分布的物体
rc

r dm dm

r dm M
对于上述的质心的定义可以证明质心运动定理
N M rc mi ri i 1
两边对时间求导得：
14
3、变质量物体的运动(质点系的方法求解）：
变质量物体运动的微分方程（以火箭为例）：
设：火箭的初速度为v,初始质量 为m。
以u的速度喷出质量为 － △m 的燃料后，获得速度△v： 初动量为 P0=mv
－ △m m+△m
u
v+△v
末动量为 P=(m + △m)(v+△v) － △m(v+△v + u)
F’dt = dp=dmv=λdxv λ=M/L 是细绳的质量密度
0
N F’
5
dp dx 2 F' V v (2 gx) dt dt
N=λxg
带入 F 中得：
F=N+F’= λxg +2 λxg =3 λxg
注意： 得
F=3mg
λx是已落到桌面上的绳子的质量，可记为m，
6
2、质点组的动量定理:当系统是由多个质点组成时， 对其中的第i个质点运用动量定理。
3
解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽 略重力影响。设挡板对球的冲力F为则有：
Ix=mv2cos 300－(－mv1cos 450)=0 .0 61NS
Iy=mv2sin300－(mv1sin450)=0.007NS
I I I y 0.061NS
2 x 2
平均冲力
v2 30o 45o v1 x
I 0.061 F 6.1N t 0.01
4
例2、一质量均匀分布的 柔软细绳铅直地悬挂着，绳的 下端刚好接触到水平的桌面上。如果把绳的上端放开， 绳将落在桌面上，试证明绳在下落过程中，任意时刻作 用于桌面的压力等于已落到桌面上的绳子重量的3倍。 如图：作用于桌面上的压力F由已在桌面上的 X 绳的重量N，及绳下落的冲力F’构成。 x F=N+F’ dx 长度为dx、初始位置为x的质元 落到桌面时的动量为：
Fi dt
t t0 t Fi内dt Fi外 dt t i 1 t 0 i 1 t 0
7
系统的内力总是成对出现、并且是等值反向的。
t0

t
Fi内dt 0
i
质点系的动量定理可以表示为：
i 外 t0
Fi外 dt
t
n miVi miVi 0 n i 1 i 1
将上式左边的积分称为合力 F 的冲量，Fra Baidu bibliotek矢量 I 来 表示。上式表明：作用于质点的合力的冲量等于质点 动量的增量。
2
F为恒力时，可以得出I= F t F作用时间很短时，可用力的平均值
来代替。
v2
30o
I Fdt ＝P
I F t P
45o
x
v1
例1、如图质量为2.5g的乒乓球以10m/s 的速率飞来，被板推挡后，又以20m/s的 速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且 它们与板面法线的夹角分别为45o和30o，求：（1）乒 乓球得到的冲量；（2）若撞击时间为0.01s，求板施 于球的平均冲力的大小和方向
F Fx2 Fy2 802 1252 148N
125 tg Fx 80 Fy
57.4
0
11
§4 － 2质心：质点系在运动时存在着一个点，该点的 运动与整个质点系的质量都集中于这一点，外力也都 集中于这一点时的单个质点的运动相同。称该点为质 心。 设质量为m1、m2的两个质点，位置分别在x1、x2则该 两质点的质心为： m1 x1 m2 x2 xc m1 m2 对于在三维直角坐标系的情况下 m1 y1 m2 y2 yc m1 m2 其矢量形式是： m1 z1 m2 z2 zc m1r1 m2 r2 rc m1 m2 m1 m2
若初速度为0， v = uln(m0/mr）
从结果可见： v = uln(m0/mr）
v与u成正比，加大u对提高速度较有效。增加m0也可 以改进，需综合应用。
17
4、定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动量和应 是同一时刻的动量之和。 5、动量守恒定律只适用于惯性系。
9
例3：传送带由马达牵引以 v = 2m/s 的速率水平匀速 前进。漏斗中的沙子以 40kg/s 的速率落料。漏斗口 在传送带上方 h=0.5m处。求落料过程中落沙对传送带 的作用力以及马达对传送带的牵引力。 解：落料过程中沙对传送带的作 用力由：
dv m F Fp dt
上式改写为
火箭的运动：当没有外力时F=0,取运动方向为轴。并 设u是常量(u的方向与火箭的运动方向相反）。
dv dm m u dt dt
16
移项得并求积分： 解为：
dm dv u m v0 m0
v
mr
v = v0+uln(m0/mr）
N N d ri d rc mi vi M M vc mi dt dt i 1 i 1
13
这个结果表明质点系的动量等于 总质量与质心速度的乘积。
N M vc mi vi i 1
在次对上式求导得： N N N d vc d vi M mi mi ai Fi Fi dt dt i 1 i 1 i 1 外力
由动量定理 ：
F△t=P - P0 =(m + △m)(v+△v) － △m(v+△v + u) － mv
= m△v － △m u
15
解出F ：
mv u m F t
对时间取极限得 这里
dv dm dv F m u m Fp dt dt dt
dm 称为反推力。 Fp u dt
F yΔt=ΔmVy F y= ΔmVy/Δt=(Δm/Δt)×Vy
Δm/Δt= 40kg/s
Vy 2 gh 2 9.8 0.5 3.13m / s
F y=40×3.13=125N
10
马达对传送带的牵引力为：
FxΔt=ΔmVx
Fx=(Δm/Δt)×Vx=40×2=80N
传送带对沙的作用力的大小和方向为：