直线、平面平行的判定与性质 高考考点精讲

1．线面平行的判定定理和性质定理

2.面面平行的判定定理和性质定理

【知识拓展】

重要结论：

(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β；

(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b；

(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．(×)

(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．(×)

(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(×)

(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(√)

(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(×)

(6)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(×)

1．(教材改编)下列命题中正确的是()

A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面

B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行

C．平行于同一条直线的两个平面平行

D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α

答案 D

解析A中，a可以在过b的平面内；B中，a与α内的直线可能异面；C中，两平面可相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．

2．设l，m为直线，α，β为平面，且l⊂α，m⊂β，则“l∩m＝∅”是“α∥β”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 B

解析当平面与平面平行时，两个平面内的直线没有交点，故“l∩m＝∅”是“α∥β”的必要条件；当两个平面内的直线没有交点时，两个平面可以相交，∴l∩m＝∅是α∥β的必要不充分条件．

3．(2016·济南模拟)平面α∥平面β的一个充分条件是()

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

答案 D

解析若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B.若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，b⊂β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与平面AEC的位置关系为________．

答案平行

解析连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO，在△BDD1中，O为BD的中点，所以EO为△BDD1的中位线，

则BD1∥EO，而BD1⊄平面ACE，EO⊂平面ACE，

所以BD1∥平面ACE.

5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．

答案平行四边形

解析∵平面ABFE∥平面DCGH，

又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，

∴EF∥HG.同理EH∥FG，

∴四边形EFGH的形状是平行四边形.

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1 直线与平面平行的判定

例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1

2AD ，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，

CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．

(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面P AD . 证明 (1)连接EC ，

∵AD ∥BC ，BC ＝1

2AD ，

∴BC 綊AE ，

∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．

又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ， FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ， ∴AP ∥平面BEF . (2)连接FH ，OH ，

∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面P AD .

又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点， ∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面P AD .

又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面P AD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面P AD . 命题点2 直线与平面平行的性质

例2 (2017·长沙调研)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH .

(1)证明：GH ∥EF ；

(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积．

(1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .

同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .

(2)解 如图，连接AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连接OP ，GK .

因为P A ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .

又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .

又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .

所以GK 是梯形GEFH 的高．

由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝1

2OB ，即K 为OB 的中点．

再由PO ∥GK 得GK ＝1

2PO ，

即G 是PB 的中点，且GH ＝1

2BC ＝4.

由已知可得OB ＝42，

PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6， 所以GK ＝3.