第2章 力系的等效与简化

第2章力系的等效与简化

§2.1 力对点之矩与力对轴之矩

一、力对点之矩

1、力矩的概念

物理学过，用板手转动螺栓，施加在板手上的力必须要产生力矩，力矩=力³力臂

力臂是转动中心到力作用线垂直距离，转动中心称为矩心。

例如用板手拧螺栓力矩的表示方法:M O(F)=±Fd，其中M力

矩,Ｏ矩心,F产生力矩的力,F力,d力臂。规定逆时针转动,力矩

为正；顺时针转动,力矩为负。

2、力矩的性质

从力矩的定义式可知，力矩有下列几个性质：

（1）力F对点O之矩不仅取决于F的大小，同时还与矩心的

位置即力臂d有关。

（2）力F对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变。

（3）力的大小等于零或力的作用线通过矩心时，力矩等于零。

二、力对轴之矩

力矩使物体转动,该物体总是绕着一个轴转动，力F对点0的转动效应描述实际是对绕过O点垂直于r与F所在平面的轴OZ在转动效应的描述，力对点0的矩也就是力F对OZ轴的矩M OZ(F)。

注意：此时力与轴是垂直的。

要是力与轴不垂直会出现什么结果？以转动门为例，大家讨论？

结果：M Z(F)=M OZ(F)=M O(F XY)

M Y(F)=M OY(F)=M O(F XZ)

M X(F)=M OX(F)=M O(F YZ)

力对轴之矩为代数量，按右手定则：四指握拳方向与力对轴之矩方向一致，拇指指向与坐标轴正向一致者为正，反之为负。

三、合力矩定理

合力与分力的作用效果等效。

合力矩定理：对平面汇交力系，合力对平面内任一点的矩，等于各分力对该点之矩的代数和。

用合力投影定理证明，此处书写略。

对于有合力的更普遍的力系，合力矩定理仍然适应。

应用举例：

例1：P31例2-1

例2、已知:D2=300mm，F n=1kN，a=20°

求：M O(F n)。

例3、已知:F＝300 N，a＝30°，a＝0.25 m，b＝0.05 m

求：M B(F)

如果按力矩的定义计算，力矩＝力³力臂，图示力臂d的尺寸太难求了

题目给了力F作用点与矩心Ｂ的铅直距离尺寸a＝0.25 m，水平距离尺

寸b＝0.05 m将F力分解为水平和铅直方向两分力Fx、Fy，这两分力的

力臂就是a和b，计算两分力的力矩即…

Fx=Fcosa=300³cos30°＝260 N

Fy=Fsina=300³sin30°＝150 N

MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=Fx a-Fyb=260³0.25-150³0.05=57.5 N²m

注意：力臂不好计算的题目，一定不要花很多时间去寻找力臂的计算方法，一定要用合力矩定理计算力矩。将力分解为与尺寸线平行或垂直的两个分力，计算两分力力矩代数和。

§2.2 力偶与力偶系

一、力偶与力偶系的概念

1、力偶的概念

一对大小相等、方向相反、作用线平行的两个力所组成的力系称为力偶。

组成力偶的两个力作用线之间的垂直距离，称为力偶臂，用符号d表示。

力偶中两个力所组成的平面称为力偶面。

力偶的一个力和力偶臂的乘积，称为力偶矩，用符号M表示，即M=±Fd。

力偶矩和力矩的单位相同，法定计量单位为牛顿²米（N²m）。

力偶的图示方法：。

力偶三要素:力偶矩大小、力偶的转向、力偶作用面。

力偶实例:汽车司机左右手作用在方向盘上的两个力组成一个力偶；电机通过联轴器带动机器时，联轴器凸缘四个螺栓孔的受力组成两个力偶；在日常生活中，用钥匙开门，拧水龙头，拧毛巾、

转动螺丝刀等等，都是力偶使物体转动的实例。

2、力偶系的概念

由两个以上的力偶所组成的力系称为力偶系。 二、力偶的基本性质

性质1．力偶没有合力

矢量和为零，所以力偶没有合力，力偶不能与力平衡，力偶只能与力偶平衡。 性质2.力偶在其作用面上任一轴的投影恒等于零

力偶F 和F /

两力等值、反向、平行，两力与某一轴夹角a 相同，在该轴投影绝对值相等，因两

力方向相反，在一轴投影正负号相反。所以，两个力在其作用面上任一轴投影的代数和等于零。

性质3．力偶对其作用面上任一点的力矩恒等于其力偶矩

例，力偶的两力F 和F 、

，两力作用线之间的距离为d ，计算两力对两力中间的O 点的力矩。 设O 点到两力作用线的垂直距离为a 和b ，有a+b=d

MA(F )+MA(F ‘ )=-Fa-F ‘b=-F(a+b)=-Fd “-”号表示顺时针转向 这说明,力偶两力对作用面任点之矩和矩心位置无关。（所以不用写下标）

由上述力偶的三要素和力偶的性质，可以对力偶作以下等效处理：只要保持力偶矩的大小和转向不变，力偶可以在其作用面内任意移动，且可以同时改变力偶力的大小和力偶臂的长短，而不改变其作用效应。

三、力偶系的合成

1、平面力偶系的合成

作用在同一物体上同一平面或者平行平面内的多个力

偶称为平面力偶系。

同平面内的力偶，由力偶性质的推论，可同时改变其

臂长，使其臂长相等，并将它们在平面内转移，使力的作

用线重合，然后相加形成新的力偶，这就是合力偶。

推导过程如图所示。

所以，平面力偶系的合成仍是力偶，合力偶矩等于各

分力偶矩的代数和。

2、空间力偶系

矢量和。

§2.3 力系等效定理

（自学）

§2.4 力系的简化

一、力的平移定理

前面讲过力沿刚体的作用线平移不改变作用效果。那么如果移到作用外会是什么效果？

可以把作用在刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力对新作用点B的矩。

力向一点平移的结果 : 一个力和一个附加力偶,附加力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩。力的平移定理提示了力对刚体产生移动和转动两种运动效应的实质。