【中考数学】2023-2024学年北京市海淀区学情摸底仿真模拟试卷2套(含解析)

2023-2024学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分24分）
1.|－3|等于（）
A.3
B.－3
C.1
3 D.－
1
3
2.下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是（）
A.2
0=0 B.=±2 C.2﹣1=1
2
D.23=6
4.一个五边形的5个内角中，钝角至少有（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
5.2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（）
比赛日期2012﹣8﹣42013﹣5﹣212014﹣9﹣282015﹣5﹣202015﹣5﹣31比赛地点英国伦敦中国北京韩国仁川中国北京美国尤金
成绩（秒）10.1910.0610.1010.069.99
A.10.06秒，10.06秒
B.10.10秒，10.06秒
C.10.06秒，10.10秒
D.10.08秒，10.06秒
6.据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为()
A.5.3×103
B.5.3×104
C.5.3×107
D.5.3×108
7.如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，图中全等三角形有（）
A.3对
B.5对
C.6对
D.7对
8.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中的路径的长是（
）
A.25π
2 B.13π C.25π D.2
9.若分式
29
3
x
x
-
+
的值为0，则x的值为（）
A.0
B.3
C.3-
D.3或3-
10.如图，正方形ABCD中，点E在边BC上，且CE=2BE，连接BD、DE、AE，且AE交BD于F，
OG为△BDE的中位线．下列结论：①OG⊥CD；②AB=5OG；③
1
3
ODG
ABE
S
S=
；④BF=OF；
⑤
5
cos
5
BFE
∠=，其中正确结论的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11.若x，y为实数，y＝
22
441
2
x x
x
-+-+
-
，则4y﹣3x的平方根是____．
12.如图，△ABC中，∠BAC＝75°，BC＝7，△ABC的面积为14，D为BC边上一动点（没有与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么△AEF 的面积最小值为_____．
13.已知2240a b b ++-=，则a+b=_____
14.如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则
sin∠ABC=_____．
15.抛物线y=﹣2x 2+6x ﹣1的顶点坐标为_____．
16.如图，⊙O 的直径AB 的长为12，长度为4的弦DF 在半圆上滑动，DE ⊥AB 于E ，OC ⊥DF 于C ，连接CE ，AF ，
则sin ∠AEC 的值是_________，当CE 的长取得值时AF 的长是
_________.三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17.已知关于x ，y 的没有等式组523414x k x
x x +≤-⎧⎪
⎨⎛⎫
-≥- ⎪⎪⎝
⎭⎩,（1）若该没有等式组的解为233
x ≤≤，求k 的值；
（2）若该没有等式组的解中整数只有1和2，求k 的取值范围．18.先化简，再求值：()2
2111a a a ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
-+÷++，其中21a =-．19.如图所示，在∠BAC 中
（1）利用尺规按下列要求作图，作∠BAC 的平分线与线段BC 的垂直平分线的交点D，过点D 分别作线段DE⊥AB 于点E、线段DF⊥AC 于点F．（没有写作法，保留作图痕迹）（2）求证：BE=CF．（3）求证：AB+AC=2AF．
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20.如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在水平地面上向建筑物前进了m米，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n米，请你计算出该建筑物的高度．
21.2013年5月31日是第26个“世界无烟日”，校学生会小明同学就“戒烟方式”的了解程度对本校九年级学生进行了随机问卷，如图是他采集数据后绘制的两幅没有完整的统计图（A：了解较多，B：没有了解，C：了解一点，D：非常了解）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）在扇形统计图中的横线上填写缺失的数据，并把条形统计图补充完整；
（2）2013年该初中九年级共有学生400人，按此，可以估计2013年该初中九年级学生中对戒烟方式“了解较多”以上的学生约有多少人；
（3）在问卷中，选择“A”的是1名男生，1名女生，选择“D”的有4人且有2男2女．校学生会要从选择“A、D”的问卷中，分别抽一名学生参加，请你用列表法或树状图求出恰好是一名男生一名女生的概率．
22.甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行联络（没有停顿），他跑步的速度为10千米/时．
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？
五．解答题（共3小题，满分18分）
23.某中学开学初到商场购买A、B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B种品牌的足球与购买5个A种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比次购买时提高5元，B品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？
（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
24.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，F为CD的延长线上一点，连接AF，且FA2=FD•FC．
（1）求证：FA为⊙O的切线；
（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB的值．
25.如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
2023-2024学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（一模）
一．选一选（共10小题，满分24分）
1.|－3|等于（）
A.3
B.－3
C.1
3 D.－
1
3
【正确答案】A
【详解】因为负数的值是它的相反数，
所以|﹣3|=﹣（﹣3）=3．
故选：A．
2.下列图形中既是对称图形又是轴对称图形的是()
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形和对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，故A错误；
B、是轴对称图形，没有是对称图形，故B错误；
C、既是轴对称图形，也是对称图形，故C正确；
D、既没有是轴对称图形，也没有是对称图形，故D错误；
故选：C.
本题考查了轴对称图形和对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.
3.下列运算正确的是（）
A.2
0=0 B.=±2 C.2﹣1=1
2
D.23=6
【正确答案】C
【详解】分析：根据负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的定义和计算公式分别对每一项进行判断即可．
详解：A.021=，故本选项错误；
B.2=
，故本选项错误；
C.11
2
2
-=故本选项正确；
D.3 28=，故本选项错误；
故选C.
点睛：考查负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，掌握它们的运算法则是解题的关键.
4.一个五边形的5个内角中，钝角至少有（）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
【正确答案】D
【详解】分析：五边形内角和为540度，五个角平分，一个角为108度，可以都为钝角．又因外角和为360度，所以5个外角中没有能有4个或5个钝角，外角中至多有3个钝角，即内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角．
详解：∵五边形外角和为360度，∴5个外角中没有能有4个或5个钝角，外角中至多有3个钝角，即内角中至多有3个锐角，至少有2个钝角．
故选D．
点睛：本题应利用多边形的内角和解决问题．
5.2015年5月31日，我国飞人苏炳添在美国尤金举行的国际田联钻石联赛100米男子比赛中，获得好成绩，成为历史上首位突破10秒大关的黄种人，如表是苏炳添近五次大赛参赛情况：则苏炳添这五次比赛成绩的众数和中位数分别为（）
比赛日期2012﹣8﹣42013﹣5﹣212014﹣9﹣282015﹣5﹣202015﹣5﹣31比赛地点英国伦敦中国北京韩国仁川中国北京美国尤金
成绩（秒）10.1910.0610.1010.069.99
A.10.06秒，10.06秒
B.10.10秒，10.06秒
C.10.06秒，10.10秒
D.10.08秒，10.06秒
【正确答案】A
【详解】试题分析：一组数据中出现次数至多的数据叫做众数；找中位数要把数据按从小到大
的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．根据定义即可求解．解：在这一组数据中10.06是出现次数至多的，故众数是10.06；
而将这组数据从小到大的顺序排列为：9.99，10.06，10.06，10.10，10.19，处于中间位置的那个数是10.06，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是10.06．故选A ．
考点：众数；中位数．
6.据悉，超级磁力风力发电机可以大幅度提升风力发电效率，但其造价高昂，每座磁力风力发电机，其建造花费估计要5300万美元，“5300万”用科学记数法可表示为()
A.5.3×103
B.5.3×104
C.5.3×107
D.5.3×108
【正确答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的值与小数点移动的位数相同．当原数值>1时，n 是正数；当原数的值<1时，n 是负数．【详解】解：5300万==75.310⨯.故选C.
在把一个值较大的数用科学记数法表示为10n a ⨯的形式时，我们要注意两点：①a 必须满足：
110a ≤<；②n 比原来的数的整数位数少1（也可以通过小数点移位来确定n ）.
7.如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 与BD 交于点O ，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于E ，图中全等三角形有（
）
A.3对
B.5对
C.6对
D.7对
【正确答案】D
【详解】分析：根据题目的意思，可以推出△ABE ≌△CDF ，△AOE ≌△COF ，△ABO ≌△CDO ，△BCO ≌△DOA ，△ABC ≌△CDA ，△ABD ≌△CDB ，△ADE ≌△CBF ．再分别进行证明．
详解：①△ABE ≌△CDF ．
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴AB =CD ，∠ABE =∠CDF ．
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于E，
∴∠AEB=∠CFD，
∴△ABE≌△CDF；
②△AOE≌△COF．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC为ABCD对角线，
∴OA=OC，∠EOA=∠FOC．
∵∠AEO=∠CFO，
∴△AOE≌△COF；
③△ABO≌△CDO．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，
∴OD=OB，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△ABO≌△CDO；
④△BOC≌△DOA．
∵AB∥CD，AD∥BC，AC与BD交于点O，
∴OD=OB，∠BOC=∠DOA，OC=OA，
∴△BOC≌△DOA；
⑤△ABC≌△CDA．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴BC=AD，DC=AB，∠ABC=∠CDA，
∴△ABC≌△CDA；
⑥△ABD≌△CDB．
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，
∴△ABD≌△CDA；
⑦△ADE≌△CBF．
∵AD=BC，DE=BF，AE=CF，
∴△DEC≌△BFA．
故选D．
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS，ASA、HL．同时考查了平行四边形的性质，题目比较容易．
8.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中的路径的长是（）
A.
25π2
B.13π
C.25π
D.2
【正确答案】A
【详解】解：连接BD ，B′D ，∵AB=5，AD=12，∴2251213
+=∴ 9013131802
BB ππ'⨯==
，∵ 9012
6180
BB ππ''⨯=
=，
∴点B 在两次旋转过程中的路径的长是：1325622
ππ
π+=．故选A ．
考点：1．弧长的计算；2．矩形的性质；3．旋转的性质．
9.若分式29
3
x x -+的值为0，则x 的值为（）
A.0
B.3
C.3
- D.3或3
-【正确答案】B
【分析】由分式的值为0的条件，即可求出答案．【详解】解：根据题意，则
29
03
x x -=+，∴290x -=，∴29x =，∴3x =±，
∵30x +≠，
∴3x ≠-．
∴3x =；
故选：B ．
本题考查了分式的值为0的条件，解题的关键是正确求出x 的值．
10.如图，正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且CE=2BE，连接BD、DE、AE，且AE 交BD 于F，
OG 为△BDE 的中位线．下列结论：①OG⊥CD；②AB=5OG；③13
ODG ABE S S = ；④BF=OF；⑤5cos 5BFE ∠=，其中正确结论的个数是（
）
A.2
B.3
C.4
D.5
【正确答案】B 【详解】分析：①由正方形的性质与OG 为BDE 的中位线，即可证得OG CD ⊥；②由OG 为BDE 的中位线的性质与2CE BE ，=可求得6AB OG =；
③由相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高等底三角形的面积相等，即可求得14
ODG ABE S S = ；④由相似三角形的对应边成比例，易求得BF OF =；
⑤首先过点B 作BH AE ⊥，首先设BH x =，由相似三角形的性质与勾股定理，可求得BF 与FH 的长，继而求得答案．
详解：①∵四边形ABCD 是正方形，
∴90C ∠=︒，
即BC CD ，
⊥∵OG 为BDE 的中位线，
∴OG ∥BC ，
∴OG CD ⊥；故正确；
②∵OG 为BDE 的中位线，
∴2BE OG =，
∵2CE BE ，
=∴4CE OG ，
=∴6BC BE CE OG =+=，故错误；
③∵OG ∥BC ，2BE OG =，
∴ODG BDE ∽，∴14
ODG BDE S S ；=∵ABE BDE S S ，
=∴14
ODG ABE S S = ；故错误；④∵2CE BE ，
=∴::1:3BE BC BE AD ==，
∵BC ∥AD ，
∴::1:3BF DF BE AD ==，
111424
BF BD OB OD BD BF OF BD ∴===∴== ，，；故正确；
⑤过点B 作BH AE ⊥
，
∵90AHB ABE BAH EAB ∠=∠=︒∠=∠，，
∴BAH EAB ∽，
∴::AH AB BH BE =，
∴::3AH BH AB BE ==，
∵设BH x ，=则3AH x =，
在Rt ABH △
中AB ==，
∴142
BD BF BD x ==∴==，，
在Rt BFH △中，12FH x =
=，∴5cos 5
FH FH BFE BF BF ∠=
=故正确．故选B ．点睛：考查相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，正方形的性质，锐角三角函数的定义，综合性比较强，难度较大.
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11.若x ，y 为实数，y ＝12
x ++-，则4y ﹣3x 的平方根是____．
【正确答案】
同时成立，
∴224040
x x ⎧-≥⎨-≥⎩故只有x 2﹣4=0，即x =±2，又∵x ﹣2≠0，
∴x =﹣2，y =12x -=﹣14
，4y ﹣3x =﹣1﹣（﹣6）=5，
∴4y ﹣3x 的平方根是
故答案：12.如图，△ABC 中，∠BAC ＝75°，BC ＝7，△ABC 的面积为14，D 为BC 边上一动点（没有与B ，C 重合），将△ABD 和△ACD 分别沿直线AB ，AC 翻折得到△ABE 与△ACF ，那么△AEF 的面积最小值为_____．
【正确答案】4
【分析】如图，作E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，利用折叠的性质得出AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ，然后进一步得出EG ＝
12AE ＝12
AD ，根据当AD ⊥BC 时，AD 最短进一步求取最小值即可.
【详解】
如图，过E 作EG ⊥AF ，交FA 的延长线于G ，
由折叠可得，AF ＝AE ＝AD ，∠BAE ＝∠BAD ，∠DAC ＝∠FAC ，
又∵∠BAC ＝75°，
∴∠EAF ＝150°，
∴∠EAG ＝30°，
∴EG ＝12AE ＝12
AD ，当AD ⊥BC 时，AD 最短，
∵BC ＝7，△ABC 的面积为14，
∴当AD ⊥BC 时，AD ＝4＝AE ＝AF ，
∴△AEF 的面积最小值为：
12AF ×EG ＝12
×4×2＝4，故4．
本题主要考查了几何折叠的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
13.已知40b +-=，则a+b=_____
【正确答案】-4【详解】分析：首先根据值和算术平方根的非负性，求出a 、b ，然后代入多项式．
40b ，
+-=∴22040a b b +=-=，，
∴a =−8，b =4，
∴a +b =−4，
故答案为:−4.
点睛：考查非负数的性质，注意两个非负数的和为零，那么它们的每一项都为零.
14.如图所示方格纸中每个小正方形的边长为1，其中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=_____．
【正确答案】9145
145
【分析】首先过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC .进而ABC S 得出AD 的长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
【详解】解：如图所示：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，连接AC .
∵111202524149222
ABC S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= ，19
2ABC S BC AD ，=⨯⨯=∴192
⨯=，解得：95,5AD =
故sin ∠ABC 9145.145AD AB ==
故答案为145
点睛：考查锐角三角函数，涉及三角形面积和勾股定理，根据面积求出5AD =
是解题的关键.
15.抛物线y=﹣2x 2+6x ﹣1的顶点坐标为_____．
【正确答案】(32,72
)【详解】试题解析：∵y=﹣2x 2+6x ﹣1=-2（x-
32）2+72∴抛物线y=﹣2x 2+6x ﹣1的顶点坐标为（
37,22）.故答案为（37,22
）.16.如图，⊙O 的直径AB 的长为12，长度为4的弦DF 在半圆上滑动，DE ⊥AB 于E ，OC ⊥DF 于C ，连接CE ，AF ，则sin ∠AEC 的值是_________，当CE 的长取得值时AF 的长是_________.
【正确答案】①.223，②.【详解】分析：
详解：如图1，
连接OD ，∴162DO AB =
=，∵OC DF ⊥，∴19022
OCD CD CF DF ∠=︒===，，
在Rt OCD △中，根据勾股定理得，OC ==∴sin ∠ODC 422363
OC OD ===∵DE AB ⊥，
∴90DEO OCD ∠=︒=∠，
∴点O ，C ，D ，E 是以OD 为直径的圆上，
∴AEC ODC ∠=∠，∴23sin sin 3AEC ODC
∠=∠=
，如图2，
∵CD 是以OD 为直径的圆中的弦，CE 要，
即：CE 是以OD 为直径的圆的直径，∴690CE OD COE ==∠=︒，，
∵90OCD OED ∠=∠=︒，
∴四边形OCDE 是矩形，∴DF ∥AB ，
过点F 作FG AB ⊥于G ，
易知，四边形OCFG 是矩形，
∴242OG CF FG OC ====，，
∴4,
AG OA OG =-=连接AF ，
在Rt AFG △中，根据勾股定理得，2243,
AF AG FG =+=故答案为:23433
，．点睛：题目难度较大，涉及解直角三角形，勾股定理，圆的相关知识，综合性比较强，对学生能力要求较高.
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17.已知关于x ，y 的没有等式组523414x k x x x +≤-⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝
⎭⎩,（1）若该没有等式组的解为233
x ≤≤，求k 的值；
（2）若该没有等式组的解中整数只有1和2，求k 的取值范围．
【正确答案】(1)k =﹣4；(2)﹣4＜k ≤﹣1．
【分析】（1）求出没有等式组的解集，把问题转化为方程即可解决问题；
（2）根据题意把问题转化为没有等式组解决；
【详解】解：(1)523414x k x x x ①②+≤-⎧⎪⎨⎛⎫-≥- ⎪⎪⎝
⎭⎩由①得：53k x -≤
，由②得：23
x ≥，∵没有等式组的解集为
233x ≤≤，∴533
k -=，解得k =−4(2)由题意5233k -≤
<，解得4 1.
k -<≤-考查一元没有等式组的整数解，解一元没有等式组，掌握没有等式组解集的求法是解题的关键.18.先化简，再求值：()22111a a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
-+÷++
，其中1a =-．【正确答案】11a +，22【分析】先将分式化简得11
a +
，然后把1a =代入计算即可.【详解】解：（a -1+21
a +）÷（a 2+1）=2121
a a -++·211a +
=1
1
a +
当1a =
-时
原式.
2
本题考查分式的化简求值，关键在于熟练掌握分式的运算.
19.如图所示，在∠BAC 中
（1）利用尺规按下列要求作图，作∠BAC 的平分线与线段BC 的垂直平分线的交点D，过点D 分别作线段DE⊥AB 于点E、线段DF⊥AC 于点F．（没有写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：BE=CF．（3）求证：AB+AC=2AF．
【正确答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【详解】分析：（1）利用基本作图（作角的平分线、线段的垂直平分线和过一点作直线的垂线）作BAC ∠的平分线和线段BC 的垂直平分线得到点D ，然后DE AB ⊥于点E 、DF AC ⊥于点F ；
（2）利用角平分线和线段的垂直平分线的性质得到DE DF DB DC ==，，则可证明Rt DBE ≌Rt DCF ，从而得到BE CF =；
（3）先证明Rt ADE △≌Rt ADF 得到AE AF =，然后利用等线段代换证明结论．详解：(1)如图，DE 、DF 为所作；
(2)证明：连接DB 、DC ，如图，
∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE =DF ，
∵点D 在线段BC 的垂直平分线上，
∴DB =DC ，
在Rt △DBE 和Rt △DCF 中
DB DC DE DF =⎧⎨=⎩，
∴Rt DBE ≌Rt DCF ，
∴BE =CF ；
(3)证明：在Rt △ADE 和Rt △ADF 中
AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，
∴Rt ADE △≌Rt ADF
∴AE =AF ，
∵AE =AB −BE ，BE =CF ，
∴AE =AB −CF ，
而CF =AF −AC ，
∴AE =AB −(AF −AC )=AB +AC −AF ，
∴AB +AC −AF =AF ，
∴AB +AC =2AF .
点睛：考查了角平分线，线段垂直平分线的做法和性质，直角三角形全等的判定与性质.要熟练掌握三角形全等的判定.
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20.如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是α，然后在水平地面上向建筑物前进了m 米，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是β．已知测角仪的高度是n 米，请你计算出该建筑物的高度．
【正确答案】该建筑物的高度为：（
tan ·tan tan tan m n αβ
βα
+-）米．
【详解】试题分析：首先由题意可得，,CE CE
BE AE tan tan ，βα
=
=由AE −BE =AB =m 米，可得CE CE
m tan tan αβ
-=，继而可求得CE 的长，又由测角仪的高度是n 米，即可求得该建筑物的高度．
试题解析：由题意得：,CE CE
BE AE tan tan ，βα
==∵AE −BE =AB =m 米，
CE CE
m tan tan αβ
∴
-=(米)，mtan tan CE tan tan αβ
βα⋅∴=
-(米)，
∵DE =n 米，
mtan tan CD n tan tan αβ
βα
⋅∴=
+-(米).
∴该建筑物的高度为：
mtan tan n tan tan αβ
βα
⋅+-米21.2013年5月31日是第26个“世界无烟日”，校学生会小明同学就“戒烟方式”的了解程度对本校九年级学生进行了随机问卷，如图是他采集数据后绘制的两幅没有完整的统计图（A ：了解较多，B ：没有了解，C ：了解一点，D ：非常了解）．请你根据图中提供的信息解答以下问题：（1）在扇形统计图中的横线上填写缺失的数据，并把条形统计图补充完整；
（2）2013年该初中九年级共有学生400人，按此，可以估计2013年该初中九年级学生中对戒烟方式“了解较多”以上的学生约有多少人；
（3）在问卷中，选择“A”的是1名男生，1名女生，选择“D”的有4人且有2男2女．校学生会要从选择“A 、D”的问卷中，分别抽一名学生参加，请你用列表法或树状图求出恰好是一名男生一名女生的概率．
【正确答案】(1)答案见解析；(2)120人；(3)1
2
．
【详解】分析：（1）由条形统计图中A对应的数据和扇形统计图中A对应的百分比可知抽取样本的容量，进而求出选B、D的人数，求出C、D所占的百分比；
（2）找出“了解较多”与“非常了解”的总人数除以样本的容量，再乘以400即可求出结果；（3）选“A”的是一男一女，记作男1、女1，根据题意可知：选择“D”的有4人且有2男2女，分别记作男2、男3、女2、女3，列出相应的表格，找出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
详解：
(1)由题意得：抽取的样本容量为2÷10%=20，
则选B的有20×30%=6(人);选D的有20−2−6−8=4(人)；C占8÷20=0.4=40%，D占4÷20=20%，补全统计图，如图所示；
(2)∵选项“了解较多”以上的学生占抽取样本容量的：(2+4)÷20=30%，
则M初中九年级学生中对羽毛球知识“了解较多”以上的学生约有400×30%=120人；
(3)选“A”的是一男一女，记作男1、女1，
根据题意可知：选择“D”的有4人且有2男2女，分别记作男2、男3、女2、女3，
列表如下：
男2男3女2女3
男1(男1,男2)(男1,男3)(男1,女2)(男1,女3)
女1(女1,男2)(女1,男3)(女1,女2)(女1,女3)
由上面可知共有4种可能，其中，1男1女的由4种，则选择1名男生1名女生的概率为
41.82
=22.甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米．甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时．甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行联络（没有停顿），他跑步的速度为10千米/时．（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？【正确答案】(1)2小时;（2）25
3千米;（3）2.5小时或3.5小时或14
5.75小时两队间间隔的路程为1千米
【详解】(1)设乙队追上甲队需要x 小时，根据题意得：()641x x ，=+解得：2x =，
答：乙队追上甲队需要2小时．
（2）联络员追上甲需要的时间：4×1÷（10-4）=2
3
（小时），返回到乙需要的的时间：[4-（6-4）×2
3]÷（10+6）=16
（小时），（
23+16
）×10=25
3（千米）．
答：他跑步的总路程是
25
3
千米．（3）要分三种情况讨论：
设t 小时两队间间隔的路程为1千米，则①当甲出发后，乙为出发前，甲乙相距1千米，t=
1
4
②当甲队出发1小时后，相遇前与乙队相距1千米，
由题意得()()6141411
t t ---=⨯-，解得： 2.5t =．
③当甲队出发1小时后，相遇后与乙队相距1千米，
由题意得：()()6141411
t t ，---=⨯+解得： 3.5t =．
答：2.5小时或3.5小时或5.75小时两队间间隔的路程为1千米．
五．解答题（共3小题，满分18分）
23.某中学开学初到商场购买A 、B 两种品牌的足球，购买A 种品牌的足球20个，B 种品牌的足球30个，共花费4600元，已知购买4个B 种品牌的足球与购买5个A 种品牌的足球费用相同．
（1）求购买一个A 种品牌、一个B 种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习“足球进校园”的号召，决定再次购进A 、B 两种品牌足球共42个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A 品牌足球售价比次购买时提高5元，B 品牌足球按次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A 、B 两种品牌足球的总费用没有超过次花费的80%，且保证这次购买的B 种品牌足球没有少于20个，则这次学校有哪几种购买？（3）请你求出学校在第二次购买中至多需要多少资金？
【正确答案】（1）购买一个A 种品牌的足球需要50元，购买一个B 种品牌的足球需要80元；（2）有三种，具体见解析；（3）3150元．
【分析】(1)、设A 种品牌足球的单价为x 元，B 种品牌足球的单价为y 元，根据题意列出二元方程组，从而求出x 和y 的值得出答案；
(2)、设第二次购买A 种足球m 个，则购买B 种足球(42－m )个，根据题意列出没有等式组求出m 的取值范围，从而得出答案；
(3)、设学校在第二次购买中的费用为w 元，再列出函数的关系式，然后利用函数性质得出答案.【详解】解：(1)设A 种品牌足球的单价为x 元，B 种品牌足球的单价为y 元
2030460045x y y x +=⎧⎨
=⎩，解得80
100
x y =⎧⎨=⎩答：购买一个A 种品牌、一个B 种品牌的足球分别需要80元，100元；(2)设第二次购买A 种足球m 个，则购买B 种足球(50－m )个
(805)1000.9(42)460080%
4220m m m ++⨯-≤⨯⎧⎨
-≥⎩
，解得：2022m ≤≤∵m 为整数∴20,21,22m =，
所以一共有三种：种：购买A 种足球20个，则购买B 种足球22个，第二种：购买A 种足球21个，则购买B 种足球21个，第三种：购买A 种足球22个，则购买B 种足球20个．(3)设学校在第二次购买中的费用为w 元，则()85904253780,
w m m m =+-=-+5k =- ＜0,则w 随m 的增大而减小，
所以当20m =时，w 为：52037803680-⨯+=元；答：学校在第二次购买中至多需要3680元．
24.如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E，F 为CD 的延长线上一点，连接AF，且FA 2
=FD•FC．
（1）求证：FA 为⊙O 的切线；
（2）若AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求AB 的值．
【正确答案】(1)见解析;(2)10
【详解】分析：
详解：(1)证明：连接BD 、AD ，如图，∵2FA FD FC =⋅，∴
.FA FC
FD FA
=∵∠F =∠F ，∴△FAD ∽△FCA .
∴∠DAF =∠C .∵∠DBA =∠C ，∴∠DBA =∠DAF .∵AB 是⊙O 的直径，
∴90.ADB ∠=
∴90.DBA DAB ∠+∠=
∴90.
DAF DAB ∠+∠=
∴90FAB ∠= ，即AF ⊥AB .∴FA 为⊙O 的切线.
(2)设CE =6x ，AE =2y ，则ED =5x ，EB =3y .由相交弦定理得：EC ⋅ED =EB ⋅EA .∴22306.x y =
∴.
y =
∴.AE =∵90FAB ∠= ，∴222.AF EF AE =-∴22.
FD FC EF AE ⋅=-
∴22(11)(5)).FD FD x FD x ⋅+=+-∴FD =5x .
∴2280.AF FD FC x =⋅=
∴.
AF =
∵905FAE FD ED x ∠=== ，，∴5.AD ED x ==∵△FAD ∽△FCA .∴
.AD DF
AC AF
=
∵5,8,AD DF x AC AF ，====∴
5
8x =解得：25
.5
x =
∴510.AB y ===∴AB 的值为10.
点睛：考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，切线的判定是一个，熟练掌握相似三角形的判定和性质.
25.如图1，在矩形ABCD 中，AB=6cm，BC=8cm，E、F 分别是AB、BD 的中点，连接EF，点P 从点E 出发，沿EF 方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q 在线段DF 上运动时，若△PQF 的面积为0.6cm 2
，求t 的值；（3）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形？试说明理由．
【正确答案】(1)见解析;(2)t=
9
2
或t=2秒；(3)见解析.【详解】分析：()1根据两组角对应相等的两个三角形相似即可证明.
()2用t 表示出PQF △，列方程求解即可.
()3分4种情况进行讨论.
详解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴8AD BC ==，AD ∥BC ，90A C ∠=∠=︒，在Rt △ABD 中，10BD =，∵E F 、分别是AB BD 、的中点，∴EF ∥AD ，1
452
EF AD BF DF =
===，，∴90BEF A C ，∠=∠=︒=∠EF ∥BC ，∴BFE DBC ∠=∠，∴BEF DCB ∽；
（2）如图1，过点Q 作QM EF ⊥于M ，
∴QM ∥BE ，∴QMF BEF ∽，
,QM QF
BE BF ∴=52,35
QM t
-∴
=()3
525
QM t =
-，∴()()11334520.62255
PFQ S PF QM t t =⨯=-⨯-== ，∴9
2
t =
（舍）或2t =秒；（3）当点Q 在DF 上时，如图2，PF QF =，
∴452t t -=-，
∴1t =.
当点Q 在BF 上时，PF QF =，如图3
，
∴425t t -=-，∴ 3.
t =PQ FQ =时，如图4
，
∴()1
442
,
255
t t -=-∴20
7
t ，=
PQ PF =时，如图5
，
∴()1
2542
,
45
t t -=-∴19.6
t =
综上所述，t =1或3或
207或196
秒时，△PQF 是等腰三角形．点睛：考查了矩形的性质，相似三角形的判定，三角形的面积公式，等腰三角形的判定与性质等，综合性比较强，需要加强对各知识点的掌握.
2023-2024学年北京市海淀区中考数学专项突破仿真模拟试题
（二模）
一、选一选
1.﹣
1
2
的值为（）
A.﹣2
B.﹣
12
C.
12
D.1
2.如图所示的几何体的主视图是（
）
A.
B. C. D.
3.下列运算正确的是（）A.a 2•a 3=a 6
B.﹣2a ﹣2=﹣
2
14a C.（﹣a 2）3=a 5 D.a 2+2a 2=3a 2
4.为了解居民用水情况，在某小区随机抽查了15户家庭的月用水量，结果如下表：月用水量（吨）
45689户数
2
5
4
31
则这15户家庭的月用水量的众数与中位数分别为（）A.9、6
B.6、6
C.5、6
D.5、5
5.如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于(
)
A .
80°
B.70°
C.60°
D.50°
6.若代数式
1
1
x 有意义，则实数x的取值范围是（）
A.x≠1
B.x≥0
C.x＞0
D.x＞0且x≠1
7.下列图形中，不是对称图形是（）
A.矩形
B.菱形
C.正五边形
D.圆
8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连结OC，若OC=5，CD=8，则tan∠COE=（）
A.3
5 B.
4
3 C.
3
4 D.
4
5
9.在同一坐标系中，函数y=ax+1与二次函数y=x2+a的图像可能是（）
A. B. C. D.
10.如图，在△ABC中，AB=AC=5，CB=8，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中暗影部分面积是（）。