九年级数学下册第三章圆2圆的对称性 教学课件

1.我们这节主要研究的是圆的旋转不变性，即同圆或等 圆中圆心角、弦、弧之间的关系. 2.我们使用了折叠、旋转、证明等方法.
忍耐和时间往往比力量和愤怒更有效。 ——拉封丹
在⊙O中，直径CD⊥AB， ∴ AB =2AM，
△OMA是直角三角形.
C
M └
B
O
在Rt △OMA中，AO = 10，OM = 6，
D
根据勾股定理，得：AO2 OM2 AM2，
AM ∴ AO2 OM2 102 62 8， ∴ AB = 2AM = 2 × 8 = 16.
例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的 弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？ 为什么？
OE CD,
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2 ,即
R 2 3002 R 902.
解这个方程,得R 545.
这段弯路的半径为545m.
C E
F D
O
【跟踪训练】
1.判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两
C D
A
O
B
答案：40°
2.（南宁·中考）如图,AB为半圆O的直径，OC⊥AB，OD
平分∠BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则∠AEO的度
数是
.
答案:67.5°
【规律方法】在同圆或等圆中运用两个圆心角、弧、弦 之间的相互关系解决一些数学问题，最常见的辅助线是 过圆心作弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理解决 问题.
A．19 答案:D
B．16
C．18
D．20
3．（烟台·中考）如图，△ ABC内接于⊙O，D为线段AB的
中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，则下列五个结论
①AB⊥DE,②AE=BE,③OD=DE,④∠AEO=∠C,⑤ A»E 1 A»B
正确结论的个数是（ ）
2
A.2个 答案:B
B.3个
C.4个
C
A
M ┗
O
在⊙O中，直径CD平分弦AB
B ∴ CD⊥AB
AC BC AD BD
D
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
结论：
平分 弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的弧
C
A
M B
O
AC O
D
DB
【巩固练习】
1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB = 8，
OA = 5，则AC= 4 ，OC = 3 .
圆是轴对称图形， 对称轴是任意一条过圆心的直线. 圆是中心对称图形， 对称中心为圆心. 我们已经学过的图形中，有哪些既是轴对称图形，又是中 心对称图形？
同圆 能够重合的两个圆 等圆 半径相等的两个圆 同圆或等圆的半径相等
【揭示新知】
B A
圆心角
O C
D
∠AOB ∠AOC ∠AOD
∠COD ∠BOD ∠BOC
●M
B
●O
1.（上海·中考）如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB， ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝ ________.
【解析】由垂径定理得AN=CN，AM=BM，所以 BC=2MN=6. 答案：6
2.（芜湖·中考）如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
B
D
在同圆或等圆中，
相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦相等
在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们 所对的圆心角.
D B
C O A
两位同学作一条长度相同的弦，看一看它们所对 的圆心角是否相同？
B
O
A
B'
O'
A'
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
结论：
前提条件
在同圆或等圆中，
如果两个圆心角、 两条弧、 两条弦
2 圆的对称性
第1课时
1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性. 2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定 理. 3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理 进行有关的计算和证明.
点与圆的位置关系
点在圆外, 这个点到圆心的距离大于半径
点在圆上, 这个点到圆心的距离等于半径
点在圆内, 这个点到圆心的距离小于半径
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等.
【想一想】
B
O A
C 如果AB=CD，则图中有哪些弧相等？
⌒⌒ AB = CD
⌒⌒
AC = BD？
D⌒ AB +
⌒ BC
=
⌒ CD
+
⌒ BC
A⌒C = B⌒D
B¼AD A¼DC
1.（扬州·中考）如图，AB为⊙O直径，点C，D在⊙O上，
已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝________．
D.5个
4.（湖州·中考）如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E， 下列结论中一定正确的是（ ）
A．AE＝OE ．
C．OE＝ 1 CE
2
答案:B
B．CE＝DE D．∠AOC＝60°
5.（襄阳·中考）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点， 且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（ ）
A．5cm 答案:D
如：弧AB 记作 A»B注意３：.经直过径圆是心弦的，弦但叫弦做不直一径定.是直径；
如：弦AB
半圆是弧，但弧不一定是半圆；
半圆既不是劣弧，也不是优弧.
【问题】
AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
A M└ ●O
D
你能发现图中有哪些等量关系?与同 B 伴说说你的想法和理由.
小明发现图中有:
在同圆中,在自己的圆内作两个度数相同的圆心角.
D C
O
这两个相等的圆心角所对的弦
B
分别是哪两条？
它们相等吗？
A
用直尺量一量！
这两个相等的圆心角所对的弧
分别是哪两条？
它们相等吗？
D B
C O A
B
O
A
B'
O'
A'
在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等.
前提条件
A
O
C
O'
A»B C»D
解:作OG⊥AB， ∵AG=BG,CG=DG， ∴AC=BD.
G
└
例O是3.如图的,一圆条心公),路其的中转CD弯=6处00是m,一E是段圆弧上(即一图点中,且C»ODE⊥,点CD, 垂足C为»DF,EF=90m,求这段弯路的半径C».D
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
【探究新知】
D
C
A
B
弦 弧 等弧
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的两条弧叫做等弧.
议一议
在等圆中,两位同学先作一个度数相同的圆心角.
B
O
A
B'
O'
A'
这两个相等的圆心角所对的弦分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用直尺量一量！
这两个相等的圆心角所对的弧分别是哪两条？ 它们相等吗？ 用什么方法验证的? 叠合法
①CD是直径 ②CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A»C B»C, ⑤A»D B»D.
理 由：
连接OA,OB,则OA=OB.
C
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
AM
B
└
●O
∴AM=BM∴.点A和点B关于CD对称.
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
A»C和B»C重合, A»D和B»D重合.
A»C B»C,A»D B»D.
定理：
垂直于弦 的直径 平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
C 在⊙O中，直径CD⊥弦AB，
∴ AM = BM =1 AB，
A
2
M B
A»C B»C，
O
A»D B»D.
D
定理：
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧. 2.垂径定理及推论、圆的对称性. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧.
善良和谦虚是永远不应令人厌恶的两种品德。 ——斯蒂文生
2 圆的对称性
第2课时
1．理解圆的旋转不变性. 2．利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等 关系的定理． 3.经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体 会和理解研究几何图形的各种方法.
A
B
O C
1.圆是轴对称图形吗？ 是 2.它的对称轴是什么?
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
它有无数条对称轴.
●
O
圆的相关概念
弧、弦、直径
B
1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，
简称弧.
A
大于半圆的弧叫做优弧，
D 小于半圆的弧叫做劣弧
O
C
如：优弧ADB 记作A¼DB
２.连接圆上任意两点的线段叫做弦.
O
5
2.在⊙O中，OC平分弦AB，AB = 16， A
┏
C8
B
OA = 10，则∠OCA = °，
OC =
. 90
6
O 10
A
C 16 B
【例题】
例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已
知CD = 20，CM = 4，求AB.

C
A
M └
B
O
D
解：连接OA， ∵ CD = 20， ∴ AO = CO = 10. ∴ OM = OC – CM = 10 – 4 = 6. A
条弧.
（）
⑵的平另分 一弦条所弧对. 的一条弧的直径一定平分这条弦（所对错 ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.
（）
(4)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（ 对 ）
错
对
2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB
过点M.并且AM=BM. A
解：连接OM,过M作AB⊥OM，
交⊙O于A，B两点.
B．2．5cm
C．2cm
D．1cm
6.（襄阳·中考）已知⊙O的半径为13cm，弦AB∥CD，
AB=24cm，CD=10cm，则AB，CD之间的距离为（ ）
A．17cm
B．7 cm
C．12 cm
D．17 cm或7 cm
答案：D
CN D
AM
B
O
图(1)
C ND
O
A
B
M
图(2)
【规律方法】运用垂径定理及其推论解决一些数学问题. 最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过 圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决 问题.