(中考精品卷)黑龙江省绥化市中考数学真题(解析版)

二○二二年绥化市初中毕业学业考试数学试题
一、单项选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）
1. 化简12-
，下列结果中，正确的是（ ） A. 1
2 B. 12- C. 2 D. -2
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的运算法则，求出绝对值的值即可． 【详解】解：1122
-
= 故选：A ．
【点睛】本题考查根据绝对值的意义求一个数的绝对值，求一个数的绝对值：①当a 是正数时，│a │=a ；②当a 是负数时，│a │=-a ；③当a =0时，│0│=0．掌握求一个数的绝对值的方法是解答本题的关键．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D ．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
3. 下列计算中，结果正确的是（ ）
A. 22423x x x +=
B. ()325x x = 2=- D.
2=±
【答案】C
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，即可一一判定．
【详解】解：A.22223x x x +=，故该选项不正确，不符合题意；
B.()3
26x x =，故该选项不正确，不符合题意；
2=-，故该选项正确，符合题意；
2=，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C ． 【点睛】本题考查了合并同类项法则、幂的乘方运算法则、开立方运算、求一个数的算术平方根，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
4. 下列图形中，正方体展开图错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【详解】D 选项出现了“田字形”，折叠后有一行两个面无法折起来，从而缺少面，不能折成正方体，A 、B 、C 选项是一个正方体的表面展开图．
故选：D ．
【点睛】此题考查了几何体的展开图，只要有“田”“凹”字的展开图都不是正方体的表面展开图．
5. 2x -+在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）
A. 1x >-
B. 1x -…
C. 1x -…且0x ≠
D. 1
x -…且0x ≠
【答案】C
【解析】 【分析】根据二次根式被开方数不能为负数，负整数指数幂的底数不等于0，计算求值即可；
【详解】解：由题意得：x +1≥0且x ≠0，
∴x ≥-1且x ≠0，
故选： C ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，负整数指数幂的定义，掌握其定义是解题关键． 6. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角一定相等
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】B
【解析】
【分析】利用三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，是真命题，故此选项不符合题意；
B. 如果两个角互为邻补角，那么这两个角不一定相等，故此选项是假命题，符合题意；
C. 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角，是真命题，故此选项不符合题意；
D. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，故此选项不符合题意； 故选：B
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的中位线定理、邻补角性质、切线长定理以及直角三角形斜边上的中线的性质．
7. 如图，线段OA 在平面直角坐标系内，A 点坐标为()2,5，线段OA 绕原点O 逆时针旋转90°，得到线段OA '，则点A '的坐标为（ ）
A. ()5,2-
B. ()5,2
C. ()2,5-
D. ()5,2-
【答案】A
【解析】
【分析】如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，证明()A OB BOA AAS '∠ ≌，根据A 点坐标为()2,5，写出5AB =，2OB =，则5OB '=，2A B '=，即可写出点A 的坐标．
【详解】解：如图，逆时针旋转90°作出OA '，过A 作AB x ⊥轴，垂足为B ，过A '作A B x ''⊥轴，垂足为B '，
∴90A BO ABO ∠'=∠=︒，OA OA '=，
∵18090A OB AOB A OA '∠+∠=︒-∠'=︒，90AOB A ∠+∠=︒，
∴A OB A ∠'=∠，
∴()A OB BOA AAS '∠ ≌，
∴OB AB '=，A B OB '=，
∵A 点坐标为()2,5，
∴5AB =，2OB =，
∴5OB '=，2A B '=，
∴()5,2A '-，
故选：A ．
【点睛】本题考查旋转的性质，证明A OB BOA '∠ ≌是解答本题的关键．
8. 学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98.下列说法中正确的是（ ）
A. 该组数据的中位数为98
B. 该组数据的方差为0.7
C. 该组数据的平均数为98
D. 该组数据的众数为96和98 【答案】D
【解析】
【分析】首先对数据进行重新排序，再根据众数，中位数，平均数，方差的定义进行求值计算即可．
【详解】解：数据重新排列为：96，96，97，98， 98，
∴数据的中位数为：97，故A 选项错误； 该组数据的平均数为
9696979898975
++++= ，故C 选项错误； 该组数据的方差为：()()()()()22222196979697979798979897=0.85⎡⎤-+-+-+-+-⎣
⎦，故B 选项错误；
该组数据的众数为：96和98，故D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】本题主要考查数据中名词的理解，掌握众数，中位数，平均数，方差的定义及计算方法是解题的关键．
9. 有一个容积为243m 的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟，设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，由题意列方程，正确的是（ ）
A. 1212304x x +=
B. 1515244x x +=
C. 3030242x x +=
D. 1212302x x
+= 【答案】A
【解析】
【分析】由粗油管口径是细油管的2倍，可知粗油管注水速度是细油管的4倍．可设细油管的注油速度为每分钟x 3m ，粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ，继而可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：∵细油管的注油速度为每分钟x 3m ，
∴粗油管的注油速度为每分钟4x 3m ， ∴1212304x x
+=． 故选：A ．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，准确找出数量关系是解题的关键．
10. 已知二次函数2y ax bx c =++的部分函数图象如图所示，则一次函数
24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x
++=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据2y ax bx c =++的函数图象可知，0a >，240b ac ->，即可确定一次函数图象，根据2x =时，420y a b c =++>，即可判断反比例函数图象，即可求解．
【详解】解：∵二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，则0a >，与x 轴存在2个交点，则240b ac ->，
∴一次函数24y ax b ac =+-图象经过一、二、三象限，
二次函数2y ax bx c =++的图象，当2x =时，420y a b c =++>，
∴反比例函数42a b c y x
++=图象经过一、三象限 结合选项，一次函数24y ax b ac =+-与反比例函数42a b c y x
++=
在同一平面直角坐标系中的图象大致是B 选项
故选B 【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
11. 小王同学从家出发，步行到离家a 米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y （单位：米）与出发时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为（ ）
A. 2.7分钟
B. 2.8分钟
C. 3分钟
D. 3.2分
钟
【答案】C
【解析】
【分析】先根据题意求得A 、D 、E 、F 的坐标，然后再运用待定系数法分别确定AE 、AF 、OD 的解析式，再分别联立OD 与AE 和AF 求得两次相遇的时间，最后作差即可．
【详解】解： 如图：根据题意可得A （8，a ），D (12,a )，E （4,0），F （12,0） 设AE 的解析式为y =kx +b ，则048k b a k b =+⎧⎨=+⎩ ，解得4a k b a
⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线AE 的解析式为y =4
a x -3a 同理：直线AF 的解析式为：y =-
4a x +3a ,直线OD 的解析式为：y =12a x 联立124a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得62x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 联立1234a y x a y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
，解得934x a y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 两人先后两次相遇的时间间隔为9-6=3min ．
故答案为C ．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键．
12. 如图，在矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一个动点，连接BP ，CP ，过点B 作射线，交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =，其中25x <…．则下列结论中，正确的个数为（ ）
（1）y 与x 的关系式为4y x x =-
；（2）当4AP =时，ABP DPC ∽；（3）当4AP =时，3tan 5
EBP ∠=．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【答案】C
【解析】 【分析】（1）证明ABM APB ∽，得
AB AM AP AB
=，将2AB =，AP x =，PM y =代入，即可得y 与x 的关系式； （2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定ABP DPC ∽；
（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，在Rt APB △中，由勾股定理得BP 的长，证明FPM APB ∽，求出MF ，PF ，BF 的长，在Rt BMF △中，求出tan EBP ∠的值即
可．
【详解】解：（1）∵在矩形ABCD 中，
∴AD BC ∥，90A D ∠=∠=︒，5BC AD ==，2AB DC ==， ∴APB CBP ∠=∠，
∵ABE CBP =∠∠，
∴ABE APB ∠=∠，
∴ABM APB ∽， ∴AB AM AP AB
=， ∵2AB =，AP x =，PM y =， ∴22
x y x -=， 解得：4y x x =-
， 故（1）正确；
（2）当4AP =时，541DP AD AP =-=-=， ∴12
DC DP AP AB ==， 又∵90A D ∠=∠=︒，
∴ABP DPC ∽，
故（2）正确；
（3）过点M 作MF BP ⊥垂足为F ，
∴90A MFP MFB ∠=∠=∠=︒，
∵当4AP =时，此时4x =，4413y x x =-
=-=， ∴3PM =，
在Rt APB 中，由勾股定理得：222BP AP AB =+，
∴BP ===，
∵FPM APB ∠=∠，
∴FPM APB ∽， ∴MF PF PM AB AP PB
==，
∴24MF PF ==
∴MF =
，PF =
∴BF BP PF =-=-
=
∴3tan 4
MF EBP BF ∠=== 故（3）不正确；
故选：C ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出相似三角形是解答本题的关键．
二、填空题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
13. 一个不透明的箱子中有5个红球和若干个黄球，除颜色外无其它差别.若任意摸出一个球，摸出红球的概率为
14
，则这个箱子中黄球的个数为______个． 【答案】15
【解析】
【分析】设黄球个数为x 个，根据概率计算公式列出方程，解出x 即可．
【详解】解：设：黄球的个数为x 个， 5154
x =+ 解得：15x =，
检验：将15x =代入520x +=，值不为零，
∴15x =是方程的解，
∴黄球的个数为15个，
故答案为：15．
【点睛】本题考查概率计算公式，根据题意列出分式方程并检验是解答本题的关键． 的
14. 因式分解：()()269m n m n +-++=________．
【答案】()2
3m n +-
【解析】
【分析】将()m n +看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：()()269m n m n +-++ ()()22233m n m n =+-⨯⨯++
()23m n =+-．
【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．
15. 不等式组360x x m ->⎧⎨
>⎩
的解集为2x >，则m 的取值范围为_______． 【答案】m ≤2
【解析】
【分析】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m 范围即可． 【详解】解：360x x m ->⎧⎨>⎩
①②， 解①得：2x >，
又因为不等式组的解集为x >2
∵x >m ，
∴m ≤2，
故答案为：m ≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m 的范围是解此题的关键．
16. 已知圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，则其侧面展开图的面积为_______．
【答案】60πcm 2
【解析】
【分析】利用勾股定理易得圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
【详解】解：圆锥的高为8cm ，母线长为10cm ，由勾股定理得，底面半径=6cm ，底面周长=12πcm ，
侧面展开图的面积=1
2×12π×10=60πcm 2．
故答案为：60πcm 2．
【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．
17. 设1x 与2x 为一元二次方程
213202x x ++=的两根，则()212x x -的值为________． 【答案】20
【解析】
【分析】利用公式法求得一元二次方程的根，再代入求值即可； 【详解】解：∵
213202x x ++= △=9-4=5＞0，
∴13x =-+23x =-，
∴()212x x -=((223320-++==，
故答案为：20；
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握公式法解一元二次方程是解题关键． 18. 定义一种运算；sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，
sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-．例如：当45α=︒，30β=︒时，
()sin 4530︒+︒=
12=，则sin15︒的值为_______．
【解析】 【分析】根据sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-代入进行计算即可．
【详解】解：sin15sin(4530)︒=︒-︒
=sin 45cos30cos 45sin 30︒︒︒︒-
12
【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的
关键．
，且有公共顶点A，则19. 如图，正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于O
的度数为______度．
BOH
【答案】12
【解析】
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
20. 某班为奖励在数学竞赛中成绩优异的同学，花费48元钱购买了甲、乙两种奖品，每种奖品至少购买1件，其中甲种奖品每件4元，乙种奖品每件3元，则有______种购买方案．
【答案】3##三
【解析】
【分析】设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，列出关系式，并求出3124y x =-，由于1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，所以y 是4的整数倍，由此计算即可．
【详解】解：设：购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，
4348x y +=，解得3124
y x =-， ∵1≥x ，1y ≥且x ，y 都是正整数，
∴y 是4的整数倍，
∴4y =时，341294
x ⨯=-=， 8y =时，381264
x ⨯=-=， 12y =时，3121234
x ⨯=-=， 16y =时，3161204x ⨯=-
=，不符合题意， 故有3种购买方案，
故答案为：3．
【点睛】本题考查列关系式，根据题意判断出y 是4的整数倍是解答本题的关键． 21. 如图，60AOB ∠=︒，点1P 在射线OA 上，且11OP =，过点1P 作11PK OA ⊥交射线OB 于1K ，在射线OA 上截取12PP ，使1211PP
PK =；过点2P 作22P K OA ⊥交射线OB 于2K ，在射线OA 上截取23P P ，使2322P P P K =.按照此规律，线段20232023P K 的长为________．
2022
1+
【解析】
【分析】解直角三角形分别求得11
PK，
22
P K，
33
P K，……，探究出规律，利用规律即可解决问题．
【详解】解：11
PK OA
⊥
，
11
OPK
∴△是直角三角形，
在11
Rt OPK
中，60
AOB
∠=︒，11
OP=，
12111
tan60
PP PK OP
∴==⋅︒=
11
PK OA
⊥
，
22
P K OA
⊥，
1122
PK P K
∴∥，
2211
OP K OPK
∴△∽△，
222
111
P K OP
PK OP
∴=，
=
22
1
P K
∴=，
同理可得：2331P K =+，3
441P K =，……， 1
1n n n P K -∴=+，
2022
202320231P K ∴=，
20221．
【点睛】本题考查了图形的规律，解直角三角形，平行线的判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会探究规律的方法．
22. 在长为2，宽为x （12x <<）的矩形纸片上，从它的一侧，剪去一个以矩形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的矩形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则x 的值为________． 【答案】
65 或32
【解析】
【分析】分析题意，根据x 的取值范围不同，对剩下矩形的长宽进行讨论，求出满足题意的x 值即可．
【详解】解：第一次操作后剩下的矩形两边长为2x - 和x ， (2)22x x x --=- ，
又12x <<Q ，
220x ∴-＞ ，
2x x ∴-＞ ，
则第一次操作后，剩下矩形的宽为2x -，
所以可得第二次操作后，剩下矩形一边为2x - ，
另一边为：(2)22x x x --=- ，
∵第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，
∴第二次操作后剩下矩形的长是宽的2倍，
分以下两种情况进行讨论：
①当222x x --＞ ，即43
x ＜时 ，
第三次操作后剩下的矩形的宽为22x - ，长是2x - ，
则由题意可知：22(22)x x -=- ，
解得：65
x = ； ②当222x x --＜ ，即43x ＞
时， 第三次操作后剩下的矩形的宽为2x - ，长是22x - ，
由题意得：222(2)x x -=- ， 解得：32
x = ， 65x ∴= 或者32
x = ．
故答案为：65 或32
． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质以及分类讨论的数学思想方法，熟练掌握矩形，正方形性质以及分类讨论的方法是解题的关键．
三、解答题（本题共6个小题，共54分）
23. 已知：ABC ．
（1）尺规作图：用直尺和圆规作出ABC 内切圆的圆心O ；（只保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）如果ABC 的周长为14cm ，内切圆的半径为1.3cm ，求ABC 的面积．
【答案】（1）作图见详解
（2）9.1
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的性质可知角平分线的交点为三角形内切圆的圆心，故只要作
出两个角的角平分线即可；
（2）利用割补法，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，这样将△ABC 分成三个小三角形，这三个小三角形分别以△ABC 的三边为底，高为内切圆的半径，利用提取公因式可将周长代入，进而求出三角形的面积．
【小问1详解】
解：如下图所示，O 为所求作点，
【小问2详解】
解：如图所示，连接OA ，OB ，OC ，作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，
∵内切圆的半径为1.3cm ，
∴OD =OF =OE =1.3，
∵三角形ABC 的周长为14，
∴AB +BC +AC =14， 则111222
ABC AOB COB AOC S S S S AB OD BC OE AC OF =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅△△△△ 111.3() 1.3149.122
AB BC AC =⨯⨯++=⨯⨯= 故三角形ABC 的面积为9.1．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，角平分线的性质，割补法求几何图形的面积，能够将角平分线的性质与三角形的内切圆相结合是解决本题的关键．
24. 如图所示，为了测量百货大楼CD 顶部广告牌ED 的高度，在距离百货大楼30m 的A 处用仪器测得30DAC ∠=︒；向百货大楼的方向走10m ，到达B 处时，测得
48EBC ∠=︒，仪器高度忽略不计，求广告牌ED 的高度．
（结果保留小数点后一位）
1.732≈，sin 480.743︒≈，cos 480.669︒≈，tan 48 1.111︒≈）
【答案】4.9m
【解析】
【分析】先求出BC 的长度，再分别在Rt △ADC 和Rt △BEC 中用锐角三角函数求出EC 、DC ，即可求解．
【详解】根据题意有AC =30m ，AB =10m ，∠C =90°，
则BC =AC -AB =30-10=20，
在Rt △ADC 中，tan 30tan 30DC AC A =⨯∠=⨯=o ，
在Rt △BEC 中，tan 20tan 48EC BC EBC =⨯∠=⨯o ，
∴20tan 48DE EC DC =-=⨯-o
即20tan 4820 1.11110 1.732 4.9DE =⨯-≈⨯-⨯=o
故广告牌DE 的高度为4.9m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的性质是解答本题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，
50,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点，且与反比例函数22k y x =的图象在第一象限内交于P ，K 两点，连接OP ，OAP △的面积为54
．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当21y y >时，求x 的取值范围；
（3）若C 为线段OA 上的一个动点，当PC KC +最小时，求PKC 的面积．
【答案】（1）115,22y x =-+22.y x
= （2）01x <<或4x >，
（3）65
【解析】 【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据OAP △的面积为
54和直线解析式求出点P 坐标，从而可求出反比例函数解析式；
（2）联立方程组并求解可得点K 的坐标，结合函数图象可得出x 的取值范围； （3）作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '，PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，求出点C 的坐标，再根据PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--求解即可．
【小问1详解】
解：∵一次函数11y k x b =+与坐标轴分别交于()5,0A ，50,
2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， ∴把()5,0A ，50,2B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
代入11y k x b =+得， 1505,2k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，11252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴一次函数解析式为115,22
y x =-+ 过点P 作PH x ⊥轴于点H ，
∵(5,0),
A
∴5, OA=
又
5
,
4
PAO
S
∆
=
∴15 5
24
PH
⨯⨯=
∴
1
,
2 PH=
∴
151 222
x
-+=，
∴4,
x=
∴
1 (4,
2 P
∵
1
(4,
2
P在双曲线上，
∴
2
1 42,
2
k=⨯=
∴
22 .
y
x
=
【小问2详解】
解：联立方程组得，
15
22
2
y x
y
x
⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
解得，1
11 2
x y =
⎧
⎨
=⎩，
2
2
4
1
2
x
y
=⎧
⎪
⎨
=⎪⎩
∴(1,2),k
根据函数图象可得，反比例函数图象直线上方时，有01x <<或4x >，
∴当21y y >时，求x 的取值范围为01x <<或4x >，
【小问3详解】
解：作点K 关于x 轴的对称点K '，连接KK '交x 轴于点M ，则K '（1，-2），OM =1， 连接PK '交x 轴于点C ，连接KC ，则PC +KC 的值最小，
设直线PK '的解析式为,y mx n =+ 把1(4,(1,2)2P K '-代入得，2142m n m n +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得，56176m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线PK '的解析式为517,66y x =
- 当0y =时，
106657x -=，解得，751x =， ∴17(,0)5
C ∴175
OC = ∴17121,55
MC OC OM =-=-= 178555AC OA OC =-=-
= 514AM OA OM =-=-=，
∴PKC AKM KMC PAC S S S S ∆∆∆∆=--
1112181422225252
=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ 122455
=-- 65
= 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关在
键．
26. 我们可以通过面积运算的方法，得到等腰三角形底边上的任意一点到两腰的距离之和与一腰上的高之间的数量关系，并利用这个关系解决相关问题．
（1）如图一，在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G .利用面积证明：DE DF CG +=．
（2）如图二，将矩形ABCD 沿着EF 折叠，使点A 与点C 重合，点B 落在B ′处，点G 为折痕EF 上一点，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N .若8BC =，3BE =，求GM GN +的长．
（3）如图三，在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，连
接BD ，且AB AE CD DE
=，BC =，3CD =，6BD =，求ED EA +的长． 【答案】（1）证明见解析
（2）4
（3【解析】
【分析】（1）根据题意，利用等面积法ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+，根据等腰ABC 中，AB AC =，即可得到结论；
（2）根据题中条件，利用折叠性质得到AFE CFE ∠=∠，结合矩形ABCD 中AD BC ∥得到AFE FEC ∠=∠，从而有CFE FEC ∠=∠，从而确定EFC ∆是等腰三角形，从而利用（1）中的结论得到=GM GN FH +，结合勾股定理及矩形性质即可得到结论；
（3）延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，根据AB AE CD DE =，EA AB ⊥，ED CD ⊥，得到ABC ∆是等腰三角形，从而由（1）知ED EA BG +=，在
Rt BCG ∆中，BG ==，在Rt BDG ∆中，6BD =，
BG ==BG ==求解得1x =，从而得到结论．
【小问1详解】
证明：连接AD ，如图所示：
在等腰ABC 中，AB AC =，BC 边上有一点D ，过点D 作DE AB ⊥于E ，
DF AC ⊥于F ，过点C 作CG AB ⊥于G ， ∴由ABC ABD ACD S S S ∆∆∆=+得
111222AB CG AB ED AC FD ⋅=⋅+⋅， ∴DE DF CG +=；
【小问2详解】
解：连接CG ，过点F 作FH BC ⊥于H ，如图所示：
根据折叠可知AFE CFE ∠=∠，
在矩形ABCD 中，AD BC ∥，则AFE FEC ∠=∠，
CFE FEC ∴∠=∠，即EFC ∆等腰三角形，
是
在等腰EFC ∆中，FC EC =，EF 边上有一点G ，过点G 作GM FC ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，过点F 作FH BC ⊥于H ，由（1）可得=GM GN FH +，
在Rt ABE ∆中，90B ∠=︒，3,835BE AE EC BC BE ===-=-=，则
4AB ===，
在四边形ABHF 中，90B BAF FHB ∠=∠=∠=︒，则四边形ABHF 为矩形， 4FH AB ∴==，即4GM GN FH AB +===；
【小问3详解】
解：延长BA CD 、交于F ，连接EF ，过点B 作BG FC ⊥于G ，
在四边形ABCD 中，E 为线段BC 上的一点，EA AB ⊥，ED CD ⊥，则
90BAE CDE ∠=∠=︒，
又 AB AE CD DE
=， ∴ABE DCE ∆∆ ，
ABE C ∴∠=∠，即ABC ∆是等腰三角形，
∴由（1）可得ED EA BG +=，
设=GD x ，
90EDC BGC ∠=∠=︒ ，BC =，3CD =，
在Rt BCG ∆中，BG ==，
在Rt BDG ∆中，6BD =，BG ==，
∴BG ==1x =，
BG ∴==ED EA BG +==
【点睛】本题考查几何综合，涉及到等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、折叠的性质、勾股定理求线段长、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂题意，掌握（1）中的证明过程与结论并运用到其他情境中是解决问题的关键．
27. 如图所示，在O 的内接AMN 中，90MAN ∠=︒，2AM AN =，作AB MN ⊥于点P ，交O 于另一点B ，C 是¼AM 上的一个动点（不与A ，M 重合）
，射线MC 交线段BA 的延长线于点D ，分别连接AC 和BC ，BC 交MN 于点E ．
（1）求证：CMA CBD △∽△．
（2）若10MN =， MC
NC =，求BC 的长． （3）在点C 运动过程中，当3tan 4MDB ∠=时，求ME NE 的值． 【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）32
【解析】
【分析】（1）利用圆周角定理得到∠CMA =∠ABC ，再利用两角分别相等即可证明相似； （2）连接OC ，先证明MN 是直径，再求出AP 和NP 的长，接着证明
COE BPE △∽△，利用相似三角形的性质求出OE 和PE ，再利用勾股定理求解即可； （3）先过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，设出34GM x CG x ==，，再利用三角函数和勾股定理分别表示出PB 和PG ，最后利用相似三角形的性质表示出EG ，然后表示出ME 和NE ，算出比值即可．
【小问1详解】
解：∵AB ⊥MN ，
∴∠APM =90°，
∴∠D +∠DMP =90°，
又∵∠DMP +∠NAC =180°，∠MAN =90°， ∴∠DMP +∠CAM =90°，
∴∠CAM =∠D ，
∵∠CMA =∠ABC ，
∴CMA CBD △∽△．
【小问2详解】
连接OC ，
∵90MAN ∠=︒，
∴MN 是直径，
∵10MN =，
∴OM =ON =OC =5，
∵2AM AN =，且222A M A N M N +=，
∴AN AM == ∵1122
AMN S AM AN MN AP =⋅=⋅△， ∴4AP =，
∴4BP AP ==，
∴2NP ==，
∴523OP =-=，
∵ MC
NC =， ∴OC ⊥MN ，
∴∠COE =90°，
∵AB ⊥MN ，
∴∠BPE =90°，
∴∠BPE =∠COE ，
又∵∠BEP =∠CEO ，
∴COE BPE △∽△ ∴CO OE CE BP PE BE
==， 即
54OE CE PE BE == 由3OE PE OP +==，
∴5
433
OE PE ==，，
∴CE ===，
BE ===
∴BC =+=
【小问3详解】
过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ， ∵MN 是直径，
∴∠MCN =90°，
∴∠CNM +∠DMP =90°，
∵∠D +∠DMP =90°，
∴∠D =∠CNM ， ∵3tan 4MDB ∠=
， ∴3tan 4
CNM ∠=， 设34GM x CG x ==，，
∴5CM x =， ∴203x CN =
， ∴163
x NG =，
∴253
x NM = ∴256x OM ON ==
， ∵2AM AN =，且222A M A N M N +
=，
∴AN x =
，AM x =， ∵1122AMN S AM AN MN AP =
⋅=⋅△， ∴103AP x PB =
=， ∴53NP x =
， ∴16511333
PG x x x =-=， ∵∠CGE =∠BPE =90°，∠CEG =∠BEP ， ∴CGE BPE △∽△， ∴CG GE CE BP PE BE
==， 即4103
x GE CE PE BE x == ∴2GE x =，53PE x =
∴5ME x =，103
x NE =， ∴:3:2ME NE =， ∴ME NE 值为32． 的
【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．
28. 如图，抛物线2y ax bx c =++交y 轴于点()0,4A -，并经过点()6,0C ，过点A 作AB y ⊥轴交抛物线于点B ，抛物线的对称轴为直线2x =，D 点的坐标为()4,0，连接
AD ，BC ，BD .点E 从A 点出发，以每秒个单位长度的速度沿着射线AD 运动，设点E 的运动时间为m 秒，过点E 作EF AB ⊥于F ，以EF 为对角线作正方形EGFH ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G 随着E 点运动到达BC 上时，求此时m 的值和点G 的坐标；
（3）在运动的过程中，是否存在以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，如果存在，直接写出点G 的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）214433
y x x =--
（2）165m =，2412,5
5G ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （3）368,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）1216,5
5⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）求出直线BC 解析式，通过△EGF 为等腰直角三角形表示出G 点坐标，将G 点代入BC 解析式即可求得m 的值，从而求得G 点坐标；
（3）将矩形转化为直角三角形，当△BGC 是直角三角形时，当△BCG 为直角三角形时，当△CBG 为直角三角形时，分情况讨论分别列出等式求得m 的值，即可求得G 点坐标．
【小问1详解】
将点A （0，-4）、C （6，0）代入解析式2y ax bx c =++中，以及直线对称轴2x =，可得4036622c a b c b a ⎧⎪-=⎪=++⎨⎪⎪-=⎩
， 解得13434a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩
， ∴抛物线的解析式为214433
y x x =
--； 【小问2详解】
∵A （0，-4），D ()4,0，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∵AB y ⊥轴交抛物线于点B ，
∴B （4，-4），
设直线BC 解析式为y =kx +b ，
将B （4，-4），C （6，0）代入解析式得， 4406k b k b -=+⎧⎨=+⎩，解得212k b =⎧⎨=-⎩
， ∴直线BC 解析式为y =2x -12，
由题意可得AE =
，△ADB 为等腰直角三角形，
∴AF EF AE m ===， ∵四边形EGFH 正方形，
∴△EGF 为等腰直角三角形， ∴11,422G m m m ⎛⎫+-+ ⎪⎝
⎭， 点G 随着E 点运动到达BC 上时，满足直线BC 解析式y =2x -12， ∴11421222m m m ⎛⎫-+=+- ⎪⎝
⎭， ∴165m =，此时2412,55G ⎛⎫- ⎪⎝
⎭； 【小问3详解】
B （4，-4），
C （6，0），11,422G m m m ⎛⎫+
-+ ⎪⎝⎭， ∴()()222640420BC =-++=,
2222
2313144442222BG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222
23131604642222CG m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 要使以B ，G ，C 和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，
需满足：
当△BGC 是直角三角形时，222BG CG BC +=， 22223131464202222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 解得，1245m =
，22m =， 此时G 368,5
5⎛⎫- ⎪⎝⎭或（3，-3）； 当△BCG 为直角三角形时，222BC CG BG +=，
2222
3131206442222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 为
解得，285
m =， 此时G 426,5
5⎛⎫- ⎪⎝⎭； 当△CBG 为直角三角形时，222BC BG CG +=，
22223131204642222m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得，85
m =， 此时G 1216,55⎛⎫- ⎪⎝
⎭； 综上所述：点G 坐标为368,55⎛⎫-
⎪⎝⎭或（3，-3）1216,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或426,55⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式、等腰直角三角形的性质和判定，动点运动问题，存在矩形问题，利用数形结合，注意分情况讨论是解题的关键。