高级计量经济学 第8章 系统回归模型

生变量Y）,那么结构式模型的一般矩阵形式为：
11Y1 1GYG 11Z1 1K ZK u1
G1Y1 GGYG G1Z1 GK ZK uG
Eui 0
V
arui
2 i
E uiu j 0, j i
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联立方程组模型的矩阵形式
内生变量的结构参数矩阵必须是可逆的。 模型中的截距项可以被看作是一个恒等于1的变量
如果K-kigi-1（或miG-1）且A的秩为G-1，则该方程
是过度识别的； 如果K-ki=gi-1（或mi=G-1）且A的秩为G-1，则该方程
是恰好识别的；
如果K-kigi-1（或miG-1）且A的秩小于G-1，则该方
程是不足以识别的；
如果K-kigi-1（或miG-1），则该方程是不足以识别的。
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判断方程可识别性的步骤
阶条件G-1≤mi 是否成立？
联立方程组模型的结构形式反映了模型所依据的经济 学理论。
结构形式是用完整的方程系统描述经济变量之间的关 系结构。
在结构形式模型中，每个内生变量都表示成其它内生 变量、前定变量和随机误差项的函数。
结构形式模型的参数有直观的经济意义，它们反映了 各方程中的自变量对因变量产生的直接影响。
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联立方程组模型的形式
在完整的系统模型中，内生变量的个数必须等于 方程的个数。
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系统模型的一般形式
系统回归模型的一般形式：
Y1 X11 e1 Y2 X 22 e2
YM X M M eM
式不同中方的程每的个解Xi均释是变一量个可矩以阵不，同每。个i均是一个向量。
不同方程的某些系数可以相同，或服从某种函数
总数（即零约束的个数）。
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识别的阶条件
（Order condition）
第i个方程可识别的阶条件：
如果未包括在方程i中的前定变量个数大于或等于该方 程中包括的内生变量个数减1，则该方程是可以识别的，
即K-kigi-1。
另一种表达方法是，如果方程i结构式中约束条件的个 数（未包括在该方程中的变量个数）大于或等于系统 中方程（内生变量）个数减1，则该方程是可以识别的，
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模型识别的定义
如果模型的第i个结构方程同模型中其它任何一个 方程以及任意线性组合方程包含的内生变量或者 前定变量不完全相同，那么称第i个结构方程具有 唯一的统计形式；相反，如果模型的第i个结构方 程同模型某个方程或线性组合方程具有相同的内 生变量和前定变量，那么就称第i个结构方程的统 计形式不唯一。
因此，模型识别应当在模型设定阶段解决。 识别问题与抽样方法或样本大小无关。
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模型识别的定义
对模型的识别应逐个考虑每一个方程； 若联立方程模型中所有的方程都可以被识别，则
称该模型是可识别的； 识别是针对需要估计系数的方程而言的，因而只
需要识别随机方程，对定义方程和均衡方程不存 在识别问题； 识别的对象是结构式方程； 对模型截距项的处理不影响识别结果。
证明：将第一个方程代入第二个方程，整理得到：
Y1i 0 1 0 1Y1i 2 X i u2i 2 X i u1i
1 1 Y1i 0 10 12 2 X i u1i 1u2i
Y1i
0 10 1 1
12 2 1 1
Xi
u1i 1u2i 1 1
VarY1i
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回归系统模型的特点
系统回归模型由两个以上的方程组成； 模型的主要部分是随机行为方程，也可以包括确
定性的恒等式关系； 方程之间可能存在系数约束或误差项相关等情况； 对方程组中任何一个方程的参数做估计时，都必
须考虑其它方程提供的信息，即所有系数是同时 估计得出的。
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系统回归模型中的变量分类
第i个方程可识别的秩条件：在一个包括G个内生变量的方 程组中，如果所有其它方程对应于第i个方程中未包括 （内生和前定）变量的系数至少构成一个(G-1)(G-1)非零 行列式，即R(A)=G-1，或说A的列数不小于行数或A为满 秩矩阵，那么方程i是可以识别的。
秩条件为方程可以被识别的充分必要条件。
关系。
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系统模型的一般形式
由于造成系统回归模型估计问题的根源不 同，因而相应的处理方法也不同。
现有的计量经济学软件提供了多种解决问 题的办法，从事应用研究的人员需要了解 各种方法所针对的问题，从而有能力选择 适当的技术，并对其做出正确的解释。
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联立方程组模型的形式
结构形式(Structural form)
1vt 1ut 1 1
Pt
0 0 1 1
2 1
1
Yt
2 1 1
Pt 1
vt ut
1 1
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结构形式与简化形式的比较
简化形式参数是结构形式参数的函数，简化形式误差项是 结构形式误差项的函数。
简化形式参数考虑了内生变量之间的相互依存性，可以度 量前定变量的变化对内生变量的综合影响，包括直接和间 接影响。结构形式参数只表示单一自变量变化的直接影响。
简化形式本身是模型解的表达式，根据已知的外生变量值 和内生变量滞后值，可以由简化形式直接计算出内生变量 的值。
简化形式可以直接用于做政策分析和预测，但是结果的含 义不同于用结构模型做的预测。
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联立方程组模型的矩阵形式
设模型包含G个内生变量Y1，Y2，…，YG，K个前 定变量Z1，Z2，…，ZK（包括外生变量X和滞后内
的系数，也可以通过转变为离差形式将其消去。 必要时可以用βjj去除第j个方程两端，使该方程中
内生变量的系数为1（标准化）。 未包含在方程中的内生变量和前定变量的参数为0，
即等于施加了零约束。
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联立方程组模型产生的问题
在联立方程的结构式中，解释变量不仅包含前定 变量，而且包含内生变量，因而产生下列问题：
系统回归模型由一组相互联系的方程所组成，每个方程描 述经济系统的一个侧面，共同解释经济系统的运行特征。
从经济学教科书中可知，几乎所有经济问题都适宜于用一 组相互联系的方程来表示：
生产者供给行为和投入需求行为 消费者消费行为 市场均衡 宏观经济均衡
在实际生活中，经济变量之间的因果关系常常不是单一方 向，而是相互依赖。
即K-ki+G-gi＝miG-1
阶条件是方程可被识别的必要条件。阶条件成立不能 断定第i个方程可以被识别；但阶条件不成立则可以断 定第i个方程不可被识别。
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识别的秩条件
（Rank condition）
在结构参数矩阵内划掉第i行，同时划掉第i行上非零元素 所在列，剩下的元素按原来的排列组成矩阵A，A是G-1行 mi列矩阵。
用作解释变量的内生变量与方程误差项出现相关； 此时用OLS得到的结构参数估计量是有偏的，并且是不
一致的； 方程间的误差项可能出现相关。
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联立方程组模型产生的问题
下面用一个简单的联立方程模型来证明上述结论。
考虑由两个方程组成的方程组模型
Y1i 0 1Y2i 2 X i u1i
Y2i 0 1Y1i 2 X i u2i
E uji
0,Var u ji
2 j
,
Cov
u1i u2i
0
从逻辑关系可以看出，方程1的误差影响Y1，Y1又可以将 影响传递到Y2，从而影响到第二个方程的误差项，导致内 生的解释变量与误差项出现相关，即：
Cov Y1iu2i 0,Cov Y2iu1i 0
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联立方程组模型产生的问题
2
1 1 3 可以识别
3
1 1 3 可以识别
4
2 2 3 可以识别
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例：模型识别
秩条件：
0
方程1 A 0
1
22 32
0
0 0 0
43
100
方程2 A 31 0 0 0
41 1 43
不足以识别 不足以识别
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模型识别
模型中方程i的结构式参数可以识别的一般准则：
如果第i个结构方程具有唯一的统计形式，那么它 是能够被识别的；如果其统计形式不是唯一的， 那么它是不可识别的。
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模型识别的条件
设：
G=模型中内生变量（方程）的个数 K=模型中前定变量的个数； Gi=第i个方程中内生变量的个数； ki=第i个方程中前定变量的个数； Mi=第i个方程中未包括的内生变量、前定变量
第八章
系统回归模型
(Systems of regression equations)
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本章内容
系统回归模型概述 建立系统回归模型的主要理由 联立方程组的表达形式 联立方程组模型系数识别 联立方程组模型估计方法 联立方程组模型评价指标 利用联立方程组模型进行预测或政策分析
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系统回归模型
4
联立方程组模型
例1：凯恩斯宏观经济学模型
Ct 0 1It 2Yt 3Ct1 4 Rt u1t It 0 2Yt 4 Rt u2t
Yt Ct It Gt
式中：C=宏观消费，I=总投资，Y=GDP，G=政府支出， R=利率。
例2：简化的市场均衡模型
Dt 0 1 Pt 2Yt ut St 0 1 Pt 2 Pt1 vt
变量分类是根据理论和经验做出的假定。 在非联立的消费系统模型中，所有解释变量(Y和P)
通常均被看作是外生变量。 在前述反映商品市场的联立方程组模型中：
内生变量(Endogenous variable)：Dt，St和Pt 前定变量(Pre-determined variable)
外生变量(exogenous variable)：Yt 滞后内生变量(lagged endogenous variable)：Pt-1
Dt St
式中：P=价格，Y=收入。
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建立系统回归模型的理由
上述案例中出现以下情况：
方程间误差项相关 方程间的系数约束 解释变量与误差项相关。
这些情况使得OLS方法依据的某些古典假定不再 成立，单方程估计方法无法保证所得到的参数具 有BLUE性质。
为了解决这些问题，我们需要采用系统回归模型 来描述现实世界，并采用适合的估计方法。
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获得联立方程组模型简化形式的 方法
以市场均衡模型为例
方法1：直接写出模型的简化形式
Qt 0* 1*Yt 2* Pt1 ut*
Pt 0* 1*Yt 2* Pt1 vt*
方法2：由模型的结构形式推导得出简化形式
Qt
10 01 1 1
2 1 1 1
Yt
12 1 1
Pt 1
简化形式(Reduced form)
在联立方程组模型的简化形式中，每个内生变 量都表示为前定变量和误差项的函数，其特点 是每个方程左端是一个内生变量，右端只包含 前定变量和误差项，即简化形式中每个方程只 有一个内生变量。
简化形式参数反映自变量变化引起的调整过程 充分完成后对内生变量产生的综合影响。
Y＝f(X)，同时X＝g(Y)
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非联立的系统模型
例1：厂商投资行为模型Ii=f(EPi, CRi)
虽然每个厂商都根据如预期利润和需更新资本的数量 等因素独立制定投资决策，但由于受到共同的政策和 市场环境的影响，误差项可以出现相关。
例2：消费系统模型Qij=f(Yj, Pij)
消费者的预算是一定的，因而在某个商品上多支出必 然意味着在其他商品上少支出，因而存在需求方程之 间的误差相关。
不足以识别(Underidentified) 恰好识别(Exactly identified) 过度识别(Overidentified)
整个系统可以只有部分方程可以识别(Partially identified)， 此时只能估计那些可以识别的方程。
只有在模型中任何一个结构方程都是可以识别的条件下， 才能考虑系统估计问题。
Var
u1i 1u2i 1 1
2 1
1
12
1 2
2 2
Cov Y1iu2i
12
2 2
1 12
0
所以采用OLS方法直接估计结构式参数得到的结果将是有
偏的和不一致的。
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联立方程模型的识别问题
对估计前联立方程模型前需要确定模型是否可以识别。 模型识别指能否利用样本数据得出模型参数的估计结果。 就系统中的某个方程而言可能出现以下三种情况：
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例：模型识别
10 Y1
12Y2 13Y3
11X1
u1
20
Y2
23Y3
21X1 22 X 2
Fra Baidu bibliotek
u2
30 31Y1
Y3
31X1 32 X 2
u3
40 41Y1 42Y2
Y4
43 X 3 u4
阶条件：
方程 1
K-ki gi-1 mi 结论 2 2 3 可以识别