第七章 二阶电路

u (0+ ) c 由 始 件 du + 初 条 c dt (0 )
可推广应用于一般二阶电路
定常数
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例1.
20Ω
iL
+ u - c 100 μF
+ 0.5H
50V 10Ω
电路如图， 时打开开关 时打开开关。 电路如图，t=0时打开开关。 并画出其变化曲线。 求uc,并画出其变化曲线。 并画出其变化曲线
duC dt
(0+ )
→P A + P A = 0 1 1 2 2
P Awenku.baidu.com2 U = 1 P −P 0 2 1 1 A = − P U0 2 P −P 2 1
U0 P1t − PeP2t ) uC = (P e 2 1 P −P 2 1
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U0 P1t P2t u = (P e − Pe ) c 2 1 P −P 2 1
uc 356 25 0
uc = 356e
−25t
sin 139t +176 )V (
0
ωt
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例2
R C R
i 2 A 左图为RC振荡电路， 左图为 振荡电路， 振荡电路 讨论k取不同值时u2的 零输入响应。 零输入响应。
i
1 u 1 i 3 ku 1 u 2
C
对节点A列写 对节点 列写KCL有： 列写 有
t=2 tm时 uL 最大
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di −U0 pt p t uL = L = (Pe 1 − P e 2 ) 1 2 dt (P − P ) 2 1
iC=i为极值时的 m即uL=0时的 t,计算如下 计算如下: 为极值时的t 时的 计算如下
1 P eP tm 2 = Pt P e 2m 1
R 令 δ= ： (衰 系 ) 减 数 2L 1 (谐 角 率 振 频 ) ω0 = LC
uc的解答形式： 的解答形式： 经常写为： 经常写为：
p1t p2t
(固 振 角 率 有 荡 频 )
P = −δ ± jω
−δ (t )
uc = Ae + A2e = e 1
−δ t
(Ae + A2e 1
jωt
5Ω
） 解 （1） uc(0－)=25V
iL(0－)=5A
（2）开关打开为 ）开关打开为RLC串 串 联电路，方程为： 联电路，方程为：
10Ω
d2uc duc L C + RC + uc = 0 dt dt 特征方程为： 特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P = −25± j139
uc = Ae−25t sin 139t + β) (
3− k 1 δ , ω0 = 令 = 2RC RC
2 P 则 = −δ ± δ 2 −ω0
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(1)δ < ω 时 征 为 对 轭 数 特 根 一 共 复
2
3− k 2 1 2 ( ) <( ) 2RC RC
−δ t
2 0
|3 - k| < 2 ,1 < k < 5为振荡情况
u = Ae sin(ωt + β ) 1 衰减振荡 1< k < 3 δ > 0
k=3 δ=0
等幅振荡 增幅振荡
3< k < 5 δ < 0
2 (2)δ 2≥ω 0 时 征 为 个 实 特 根 两 负 根
3− k ≥ 2 即 k ≤ 1 和 ≥ 5 为 振 情 k 时 非 荡 况
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7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应
1. 零状态响应
i
uc(0－)=0 ,iL(0－)=0
ω，ω０，δ间的关系 间的关系: 间的关系
ω ， = arctg β δ
ω0
ω β δ
ω0 −δ t u = U0e sin(ωt + β ) c ω
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ω sinβ = ω0
ω0 A= U0 ω
ω0 u 是 振 以± U0为 线 指 衰 的 弦 数 其 幅 包 依 数 减 正 函 。 c ω
−δ t
u (0+ ) =U0 → A =U0 1 c 由 始 件 du + 初 条 c 1 2 dt (0 ) = 0 →A (−δ ) + A = 0
解出： 解出：
A =U0 1 A =U0δ 2
u =U0e (1+δ t) c du U0 −δ t c ic = −c = te 振 放 非 荡 电 dt L di uL = L =U0e−δ t (1−δ t) dt
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以电容电压为变量时的初始条件 以电容电压为变量时的初始条件： duC +)=U +)=0 uc(0 i(0 =0 0 dt t=0+ 以电感电流为变量时的初始条件 以电感电流为变量时的初始条件： i(0+)=0
+
uc(0+)=U0
+
di uC (0 ) = uL(0 ) = L = U0 dt t=0+
t=0时 uc=U0 时
uc U0
ω0 u = U0e−δ t sin(ωt + β) c ω
ω0 U0e−δt ω
π-β β π 2π-β 2π πβ π
uc零点：ωt = π-β，2π-β ... nπ-β 零点： β πβ πβ
0
t
ω0 − U0e−δt ω
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uc U0 ic β 0 β π-β π
u du 1 i1 = +c 1 R dt
u du 1 u du 1 1 1 R( +C ) + ∫ ( +C 1 )dt = u2 − u KVL有： 有 1 R dt C R dt d2u u 3− k du 1 1 两边微分整理得： 两边微分整理得： ) +( + 21 2 = 0 dt 2 RC dt R C
2
U0 di = dt t=0+ L
d uC duC 电路方程： 电路方程： LC + RC + uC = 0 dt dt
特征方程： 特征方程：
LCP2 + RCP+1 = 0
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R R 2 1 − R± R2 −4L/ C 特征根： 特征根： P = =− ± ( ) − 2L 2L LC 2L
1. 二阶电路的零输入响应 + - C i uc
已知： 已知：
R L
uc(0+)=U0
i(0+)=0
列电路方程： 列电路方程：
Ri + uL − uC = 0
di uL = L dt
duC i = −C dt
2
若以电容电压为变量： 若以电容电压为变量： 若以电感电流为变量： 若以电感电流为变量：
d uC duC LC + RC + uC = 0 dt dt 2 di di LC + RC + i = 0 dt dt
uc = E + Ae 1
u = E + Ae c 1
p1t
+ Ae 2
p2t
−δ t
( p1 ≠ p2 )
( P = P = −δ ) 1 2
−δ t
+ A te 2
u = E + A −δ t sin(ωt + β) (P、 = −δ ± jω) e c 12
u (0+ ) c 由 值du + 确 二 常 初 定 个 数 c dt (0 )
... nπ ，为 uc极值点 π
uc 能量转换关系： 能量转换关系： U0 ic β 0 β π-β π 2π-β 2π πβ π t
0 < ωt < β
+ - C
β< ωt < π-β β
+
π-β < ωt < π β
+
R L
R L
R L
- C
- C
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特例： 特例：R=0时 时
2. 零状态响应的三种情况
L R> 2 > C L R= 2 = C L R< 2 < C
个 等 实 二 不 负 根 过阻尼 个 等 实 二 相 负 根 临界阻尼 个 轭 根 二 共 复
欠阻尼
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L (1) R> 2 > C
+
uc = Ae + A e 1 2
p1t
p2t
u (0 ) =U0 →A + A =U0 c 1 2
uc
U0
设|P2|>|P1|
P U0 P t 2 e1 P −P 2 1
t
− PU0 P2t 1 e P −P 2 1
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U0
uc ic tm 2tm uL
U0 uc = (P eP1t − PeP2t ) 1 P −P 2 2 1
t t=0+ ic=0 , t=∞ i c=0 ic>0 t = tm 时ic 最大 0< t < tm i增加 uL>0 增加, 增加
微分方程为： 微分方程为： +
L R
L
Eε( ) t
C -
u C
d2u du c LC + RC c + u = E c dt dt
求通解的特征方程为； 求通解的特征方程为；
LCP2 + RCP +1 = 0
uc = u +u
' c
" c
特解: 特解 特解
u =E
" c
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通解
uc解答形式为： 解答形式为：
uc ic 2tm uL t
0 < t < tm uc减小 ，i 增加。 增加。
+ -
t > tm uc减小 ，i 减小 减小.
+
R C L
R L
- C
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L (2) R< 2 < C
R R 2 1 P=− ± ( ) − 2L 2L LC
特征根为一对共轭复根
2 则 ω = ω0 −δ 2
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d2u 3− k du 1 1 1 ) +( + 2 2 =0 2 dt RC dt R C 3− k 1 2 P+ 2 2 =0 特征方程为： 特征方程为： P + RC RC
3− k 3− k 2 1 2 特征根为： 特征根为： P = − ± ( ) −( ) 2RC 2RC RC
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(3)
uc = Ae−25t sin 139t + β) ( uc (0+ ) = 25 Asinβ = 25 A 139cos β − 25sinβ) = −5 duc ( C 5 −4 + =− dt 0 10 A= 356 ， = 1760 β
du U0 −δ t ic = −C c = e sinωt dt ωL
2π-β 2π πβ π t
di ω0 uL = L = − U0e−δ t sin(ωt − β) dt ω
uL零点：ωt = β ，π+β，2π+β ... nπ+β 零点： β π β π β
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ic零点：ωt =0，π，2π 零点： =0， π ic极值点为 L零点。 极值点为u 零点。
− jωt
)
uc = Ae
sin(ωt + β )
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A ，β为待定常数
+ uc(0 ) = U0 → Asinβ = U0 由 始 件 du + 初 条 c ( dt (0 ) = 0 → A −δ )sinβ + Aωcos β = 0
U0 A= sinβ
−δ t
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小结： 小结：
L R> 2 > 过 尼 非 荡 电 阻 ， 振 放 C
u = Ae c 1
p1t
+ Ae 2
p2t
−δ t −δ t L R= 2 = 临 阻 ， 振 放 界 尼 非 荡 电 u = Ae + A te c 1 2 C L u = Ae−δ t sin(ωt + β) c R< 2 < 欠 尼 振 放 阻 ， 荡 电 C
1 π 则 = 0 ， = ω0 = δ ω ，= β LC 2
u = U0 sin(ωt +90 ) = uL c
0
U0 i= sinωt ωL
+ - C t
等幅振荡
L
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L (3) R= 2 = C
R P = P = − = −δ 1 2 2L
u = Ae c 1
−δ t
+ A te 2
du −U0 p1t p2t c ic = −C (e − e ) = dt L(P − P ) 2 1
di −U0 p1t p2t uL = L = (Pe − P e ) t > t i 减小 u <0 2 减小, L m dt (P − P ) 1 2 1
t = 0, uL = U0 t = ∞,uL = 0
第7章
重点： 重点：
二阶电路
用经典法分析二阶电路的过渡过程； 1. 用经典法分析二阶电路的过渡过程； 二阶电路的零输入响应、 2. 二阶电路的零输入响应、零状 态响应、全响应的概念； 态响应、全响应的概念； 阶跃响应和冲激响应的概念; 3. 阶跃响应和冲激响应的概念;
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7.1 二阶电路的零输入响应
(P 1
p1t e
−P 2
p2t e )=0
p2 ln p1 tm = p1 − p2
/dt可确定 可确定u 由duL/dt可确定uL为极小时的 t .
(P e
2 p1t 1
−P e ) =0
2 p2t 2
t = 2tm
p2 2ln p 1 t = p − p2 1
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能量转换关系
U0 tm