2022-2023学年云南省昭通市高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年云南省昭通市高一下学期3月月考数学试题
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终
xOy αO x 边过点，则
的值为（ ）()4,3P tan 4πα⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭A ．B ．C ．1D ．7
7-1
7
-
【答案】D
【分析】由终边经过点的坐标可求，再利用两角和的正切公式即可求解.tan α【详解】由终边过点
，可得
，
()
4,3P 3tan 4α=
所以.
3tan tan
1
44tan 7341tan tan 144π
απαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝
⎭--故选：D
2．在中，，为边的中点，则（ ）ABC ()
310AE AB AC
=+
D BC A ．B ．C ．D ．
37AE ED = 73AE ED = 23AE ED = 32AE ED = 【答案】C
【分析】利用向量加法的平行四边形法则可得，从而可得，即求.
2AB AC AD += 35AE AD
=
【详解】因为为边的中点，所以，
D BC 2AB AC AD +=
因为，所以，
()
310AE AB AC
=+
35AE AD = 则．
23AE ED = 故选：C 3．设(为虚数单位）
，其中是实数，则等于
()()()2i 3i 35i x y +-=+
+i ,x
y i x y +A ．5B C ．D ．2
【答案】A 【详解】由
，得，
()()()2i 3i 35i x y +-=++()()632i 35i x x y ++-=++
∴，解得，∴．故选A ．
63
325x x y +=⎧⎨-=+⎩34x y =-⎧⎨=⎩i 34i 5x y +=-+=4．我国航天技术的迅猛发展与先进的运载火箭技术密不可分.据了解，在不考虑空气阻力和地球引
力的理想状态下，可以用公式
计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速0ln
M
v v m =()m/s v ()0m/s v 度，是火箭（除推进剂外）的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”.
()kg m ()kg M M
m 已知甲型火箭的总质比为，经过材料更新和技术改进后，甲型火箭的总质比变为原来的，喷
4001
8流相对速度提高了，最大速度增加了（），则甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相
2
3900m/s 对速度为（ ）（参考数据：，）ln 20.7≈ln 5 1.6≈A ．B ．C ．D ．1200m/s 1500m/s
1800m/s
2100m/s
【答案】C
【分析】根据题意列出改进前的等量关系式以及改进后的等量关系式，联立即可解得答案.【详解】设甲型火箭在材料更新和技术改进前的喷流相对速度为
，最大速度为，
0v v 则
，00ln400219001ln 40038v v v v =⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫+=+⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩故()()
09002700
5
52ln 5ln 232ln 54ln 2ln 50ln 4003
v ==
+-+-，
27002700
180)
0(4ln 57ln 24 1.670.7m/s =
≈=-⨯-⨯故选：C.
5．已知集合
，，则（ ）2{|log (5)}M x y x ==-1|,0N y y x x x ⎧⎫
==+>⎨⎬
⎩⎭M N ⋃=A ．B ．，C ．，D ．(,5)-∞[2)
∞+[25)(5,)
+∞【答案】B
【分析】化简集合，，然后进行并集的运算即可．M N 【详解】由
有意义可得，得，所以，
2log (5)y x =
-50x ->5x >{}|5M x x =>由，可得
，当且仅当时，等号成立，所以，
0x >12y x x =+
≥=1x ={|2}N y y = ，．[2M N ∴⋃=)∞+故选：B ．
【点睛】本题考查了对数函数的定义域，基本不等式，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
6．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
y x =sin y x
=3
y x =-12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项进行判断即可.【详解】A.因为是奇函数，又是增函数，故错误y x =B.因为是奇函数，但在定义域上不单调，故错误.sin y x =C.因为是奇函数，又是减函数，故正确.
3
y x =-D.因为非奇非偶，是减函数，故错误.12x
y ⎛⎫
= ⎪
⎝⎭故选：C
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
7．已知下表为函数部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值
3
()f x ax cx d =++非整数值时，取值精确到0.01．x
3.27 1.570.61
-0.59
-0.260.420.35
-0.56-0y
101.63-10.04-0.27
0.26
0.21
0.20
0.22
-0.03
-0
下列关于函数的叙述不正确的是（ ）A ．为奇函数B ．在上没有零点
()f x ()f x ()f x [0.55,0.6]C ．在上单调递减D ．()f x (,0.35]-∞-a<0
【答案】B
【分析】根据函数解析式，判断奇偶性后确定相应函数值的正负，得零点区间，然后(0)0f d ==结合各函数值得变化趋势，确定的正负．
a 【详解】由，则，故，
(0)0f =0d =3
()f x ax cx =+所以
且定义域为R ，故为奇函数，A 正确；3
()()f x ax cx f x -=--=-()f x 又，，(0.56)0.030f =>(0.59)0.260f =-<所以在上必有零点，B 错误；
()f x [0.56,0.59]
根据已知表格数据：的情况下，越大，函数值越小，由三次函数的性质：，D 正确，
0.35x >x a<0所以在上单调递减，C 正确．(,0.35]-∞-故选：B ．
8．已知函数，现给出下列四个结论，其中正确
()()
cos 22sin cos R 344f x x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的是（ ）A ．函数的最小正周期为()f x 2π
B ．函数
的最大值为2
()
f x C ．函数在上单调递增()f x ,66ππ⎡⎤
-⎢
⎥
⎣⎦D ．将函数的图象向右平移个单位长度；所得图象对应的解析式为
()
f x 12π
()sin 2g x x
=【答案】C
【分析】首先利用三角恒等变换化简函数，再根据函数的性质依次判断选项
【详解】对于A 和B ，
()cos 22sin cos 344f x x x x πππ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=--++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，1cos 2sin 2cos 22cos 2322x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭12cos 2sin 226x x x π⎛
⎫=-=- ⎪
⎝
⎭所以的最小正周期为，的最大值为1，故A 错误，B 错误，
()f x 22π
π=()f x 对于C ，当
时，，,66x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦2,626x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥
⎣⎦因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，故C 正确；
sin y x =,26ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦()f x ,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦对于D ，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像对应的函数解析式为
()f x 12π
，故D 不正确，πππ()sin 2=sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫=--- ⎪ ⎪
⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）A ．若则B ．若则,a b c d >>，a c b d
+>+,a b c d >>，ac bd
>C ．若则D ．若则
a b >，22ac bc
>0,0,a b c <<<c c
a b <
【答案】AD
【分析】根据不等式的性质逐项检验即可求解.
【详解】对于，因为所以成立，故选项正确；
A ,a b c d >>，a c b d +>+A 对于，因为若，，则，故选项错误；
B ,a b c d >>，4,2a b ==-1,3c d =-=-46ac bd =-<=B 对于，因为若，则，故选项错误；
C a b >，0c =22
ac bc =C 对于，因为，所以，因为，则，故选项正确，
D 0,0a b c <<<110b a <<0c <c c
a b <
D 故选：.AD
10．已知函数
的零点构成一个公差为的等差数列，把的
()()
2cos 20f x x x ωωω=+>2π
()f x 图象沿轴向右平移个单位得到函数的图象，则（ ）
x 3π
()g x A ．在
上单调递增B ．是的一个对称中心()g x ,42ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦,04π⎛⎫
⎪⎝⎭()g x C ．
是奇函数
D ．在区间上的值域为
()
g x ()g x 2,63ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦[]0,2【答案】AB
【分析】首先利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的零点依次构成一个公差为的等差数列，2π
即可得到函数的最小正周期，从而求出，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后
ω()
g x 根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】解：因为
，所以
()()
2cos 20f x x x ωωω=+>
，因为函数的
()12cos 22sin 226f x x x x πωωω⎫⎛
⎫=2+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()()2cos 20f x x x ωωω=+>零点依次构成一个公差为的等差数列，
2π
，，所以
，把函数的图象沿轴向右平移个单位，∴12222ππω⋅=
1ω∴=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x x 3π得到，即，所以为偶函数，故
2sin 22cos 236()2sin 22g x
x x x πππ⎡⎤⎛
⎫=-=- ⎪⎢⎥⎝⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎭⎣⎦()2cos 2g x x =-()g x C 错误；
对于A ：当时，因为在上单调递减，所以在上
,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦cos y x =,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x ,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，故A 正确；
对于B ：，故是的一个对称中心，故B 正确；
2cos 22cos 0442g πππ⎛⎫⎛⎫
=-⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x 对于
D ：因为，所以
，所以，所以，故D 错误；2,63x ππ⎡⎤
∈⎢⎥
⎣⎦
42,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥
⎣⎦1cos 21,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()[]1,2g x ∈-故选：AB
11．已知，，，则（ ）
0a >0b >2
1a b +=A ．
B ．C
D
54
a b +
<
1
a b ->-12
b ≤
≥【答案】BCD
【分析】先根据已知条件判断出的取值范围，然后逐项通过等量代换、不等式性质、不等式证,a b 明判断出各选项的对错.
【详解】因为
，所以，所以；2
,100a b b =>>-01b <<01a <<A ．因为
，取等号时满足，故A 错误；2
2
1551244a b b b b ⎛⎫+=-+=--+≤ ⎪⎝⎭31,42a b ==
B ．因为，故B 正确；
22
2
1515
111
2424a b b b
b ⎛⎫⎛⎫
-=--=-
++>-++=
- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．因为
，取等号时
C 正确；
12b ==≤1,2a b ==
D ．因为，只需证，20b -<≥()21
32a b ≤-()232a b ≤-即证
，即证，即证，
()()
2
2312b b -≤-2
4410b
b -+≥()
2
210
b -≥显然成立，且时取等号，故D 正确；()2
210b -≥31,42a b ==故选：BCD.
【点睛】方法点睛：本题中D 选项的判断除了可以通过分析法证明的方式进行判断，还可以通过三角换元的方法进行分析判断：设
，然后分析形如的式子的2sin ,cos ,0,2a b πθθθ⎛⎫==∈ ⎪
⎝⎭sin cos a b θθ--
几何意义去进行求解并判断.12．函数
（其中，，
）的部分图象如图所示，则下列说法正
()()
sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>ϕπ
<确的是（ ）
A ．
23
πϕ=-
B ．函数
图象的对称轴为直线
()
f x ()7212
k x k ππ=
+∈Z C ．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数
的图象()f x 3π
()2sin 23g x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭
D ．若在区间上的值域为，则实数的取值范围为()f x 2,3a π⎡⎤⎢⎥⎣
⎦A ⎡-⎣a 133,122ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦【答案】ABD
【解析】利用函数图象求出函数
的解析式，可判断A 选项的正误；解方程
()
f x 可判断B 选项的正误；利用三角函数图象的平移规律可判断C 选项的正误；
()2232x k k ππ
π-
=+∈Z 由
求出的取值范围，结合题意求出的取值范围，可判断D 选项的正误.2,3x a π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦223x π-a 【详解】对于A 选项，由图可知，
2A =设函数的最小正周期为，则，，，则
()f x T 73312644T πππ⎛⎫--== ⎪⎝⎭T π∴=22T πω∴==，
()()
2sin 2f x x ϕ=+由得，解得，
772sin 2126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()7262k k ππϕπ+=+∈Z ()223k k πϕπ=-+∈Z 又，，
，A 正确；
ϕπ<23πϕ∴=-()22sin 23f x x π
⎛⎫
∴=- ⎪
⎝⎭
对于B 选项，由
，得，B 正确；()2232x k k πππ-
=+∈Z ()7212k x k ππ=+∈Z 对于C 选项，将函数
的图象向左平移个单位长度，
()
f x 3π
得的图象，C 错误；()22sin 22sin 2333g x f x x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于D 选项，由
得，2,3x a π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦2222,2333x a πππ⎡⎤-∈-
⎢⎣⎦由的图象可知，要使函数在区间
上的值域为，2sin y t =()f x 2,3a π⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦⎡-⎣则，解得，D 正确.32722
33a πππ≤-≤133122a ππ
≤≤
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：根据三角函数
的部分图象求函数解析式的步骤如下：
()()sin f x A x b
ωϕ=++（1）求、
，
；
A ()()max min
:2
f x f x b A -=
()()max min
2
f x f x b +=
（2）求出函数的最小正周期，进而得出
；
T 2T πω=
（3）取特殊点代入函数可求得的值.
ϕ三、填空题
13．若，则__________．
π2sin()45α-=-cos()4πα+=【答案】##-0.4
2
5-
【分析】根据诱导公式进行求解.
【详解】.ππππ2cos sin sin 42445ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=-+=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故答案为：.
2
5-
14．函数的图象经过函数的图象在轴右边的第一个对称点，
()
1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭tan y x =y 则______.
ϕ=【答案】34
π
【分析】根据过点，代值即可求得参数.()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪
⎝⎭【详解】由题可知，过点，()1sin 02y x ϕϕπ⎛⎫
=+<< ⎪⎝⎭,02π⎛⎫ ⎪
⎝⎭故可得，解得，
sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,4k k Z
πϕπ+=∈解得
；又因为
，
,4
k k Z
π
ϕπ=-∈()
0,ϕπ∈故可得
.34πϕ=
故答案为：.
34π
【点睛】本题考查正切函数的对称点，以及由正弦型函数过一点求参数值，属综合基础题.15．若，则___________．sin cos 1
sin cos 2αααα+=
-tan 2α【答案】3
4
【分析】只需对分子分母同时除以，将原式转化成关于的表达式，最后利用方程思想求cos αtan α出．再利用二倍角的正切公式，即可求得结论．tan α【详解】解：
sin cos 1
sin cos 2αααα+=
-，
∴sin 1
1cos sin 2
1cos α
αα
α+=
-即
，tan 1tan 11
2αα-+=
tan 3
α∴=-2
2tan 63
tan 21tan 194
ααα-∴=
==--故答案为：3
4
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查二倍角的正切公式，正确运用公式是关键，属于基础题．
16．如图，设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，且
ABC cos cos sin a C c A b B +=若点D 是外一点，，，则当四边形ABCD 面积最大值时，
.
6CAB π
∠=
ABC 2DC =3DA =____．
sin D =
【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B ∈（0，π），可求B 的值．
2sin()sin sin 1.
2A C B B B π
+=⇒=∴=
由余弦定理可得AC 2=13﹣12cosD ，由△ABC 为直角三角形，可求，
,
2ABC S AC S △BDC =3sinD ，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为
C 值.()+3sin
D D D φ=-详解： ，由正弦定理得到
cosC cos sin a c A b B +=2sin()sin sin 1.
2A C
B B B π
+=⇒
=∴=
在三角形ACD
中由余弦定理得到，三角形ABC 的面积为
2
13
12cos AC D =-
21
2
AC AC AC D =
=()
+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，
sin()1,sin cos D D φφ-===
=点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
四、解答题
17．如图，，，为山脚两侧共线的三点，在山顶处观测三点的俯角分别为，，.现测
A B C P αβγ得，，，
，，.计划沿直线开通一条穿山
15α=
45β= 30γ=
5
km 2AD =
1km
2EB =1km BC =AC
隧道，试求出隧道的长度.
DE
【答案】 【分析】在中，利用正弦定理可得
，在中，利用正弦定理可得
PBC 1
2sin15PB =
PAB
的长度
3AB =+DE 【详解】在中，，，.
PBC 30C γ∠==
15CPB βγ∠=-= 1BC =由正弦定理，
sin sin BC PB
CPB C =
∠∠即，所以
.1sin15sin30PB
=
12sin15PB = 在中，因为，，PAB 15A α∠==
45ABP β∠== 所以.
180120APB A ABP ∠=-∠-∠=
由正弦定理，
sin sin BP AB
A AP
B =
∠∠所以，
2sin1202sin 15AB =
3==+所以
DE AB AD EB =--51
3
22=+-=所以隧道的长度为.
DE 18．已知函数
的部分图像如图所示.()()sin 0,
2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪
⎝⎭（Ⅰ）求函数
的解析式，并写出
的单调减区间；
()
f x ()
f x （Ⅱ）已知的内角分别是，为锐角，且的值.
ABC ∆,,A B C A 1
4,cos sin 21225A f B C
π⎛⎫-== ⎪⎝⎭，求
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱπ()sin(26f x x =+π2π
[π,π],.
63k k k ++∈Z 【详解】试题分析：（1）根据函数的图象确定得到
π
()sin(26f x x =+结合图象可得的单调递减区间为π2π
[π,π],.
63k k k ++∈Z （2）由（1）可知
,
1
sin 2A =
根据角为锐角,得到
.
A π6A =
进一步应用三角函数诱导公式、同角公式、两角和差的三角函数公式即可得解.
（1）由周期得 12πππ,2362T =-=2ππ,T ω==所以当
时，
，可得
π
6x =
π
sin(2) 1.
6ϕ⋅+=因为
所以故 π,
2ϕ<π
.
6ϕ=π()sin(26f x x =+由图象可得的单调递减区间为
π2π
[π,π.
63k k k ++∈Z （2）由（1）可知，, 即
,ππsin(2()12126A -+=1sin 2A =又角为锐角,∴
.
A π
6A =
，
.
0πB <<
.
【解析】三角函数式的图象和性质，三角函数的同角公式、诱导公式、两角和差的三角函数公式.19．的内角的对边分别为，，.
ABC ,,A B C ,,a b c 2a b =1cos 3C =
(1)求；
tan B
(2)为边上一点，，的面积.M AB 2AM MB =CM =ABC
【答案】
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合由两角和的正弦公式展开，将
sin sin()A B C =+代入，由即可求解；
1cos 3C =
sin tan cos B
B B =
（2）由同角三角函数基本关系求出，的值，再由正弦定理结合可得，
sin B cos B 2a
b =
c =
在中由余弦定理得的值，进而可得的值，再由三角形面积公式即可求解.CMB a b 【详解】（1）因为，由正弦定理化边为角可得：，2a b =sin 2sin A B =因为，所以sin sin()A B C =+sin()2sin sin cos cos sin B C B B C B C
+==+由
，得
1cos C 3=
sin C
==所以，即
12sin sin 3B B B
=sin
tan cos B B B ==（2）由
，可得
，
22sin tan cos sin cos 1B B B B B ⎧=
=⎪⎨⎪+=
⎩
sin B =
cos B =在中，由正弦定理得，且ABC
sin sin c b
C B =
=
2a b
=所以
，
sin sin b C c B =
==在中，由余弦定理得：，
CMB 222
2cos 59MB BC
MB BC B CM +-
⋅==
，
2
2
2112cos 5933c a c a B CM ⎛⎫+-⨯⋅⋅== ⎪
⎝⎭所以
，
2
2
259a a ⎫
+-⋅
=⎪⎪
⎭所以，可得
2
5959108a =a =b =
11sin 22ABC S ab C =
=⨯= 20．在锐角中，角的对边分别为．
ABC A B C △△a b c ，，
2sin 0b C -=（1）求角的大小；
B （2）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积．AB
C 条件①；条件②：
．
2b a ==24a A π
==
，
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）
；（2）答案不唯一，具体见解析．
3B π
=
【分析】（1，进而得，再结合锐角三
2sin sin 0C B C -=sin B 角形即可得答案；
（2）条件①，结合（1）和余弦定理得，解方程得，进而根据三角形面
2
2230--=c c 1=+c 积公式计算即可；
条件②，结合（1）与正弦定理得，再结合内角和定理和正弦的和角公式得b sin C =
进而根据三角形的面积公式求解.
【详解】解（1．
2sin =0b C -2sin sin 0C B C -=
因为，所以
．0,,sin 02C C π⎛⎫
∈≠ ⎪⎝⎭sin B 因为
，所以．0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3B π=
（2）条件①：；2b a ==
因为，由（1）得
，
2b a ==3B π
=
所以根据余弦定理得，
222
2cos =+-⋅⋅b c a c a B
化简整理为，解得2
2230--=c c 1=+c
所以△的面积ABC 1sin 2S c a B =⋅=
条件②：
24
a A π
==
，由（1）知
，，
π
3B =
4A π=根据正弦定理得，
sin sin b a
B A =
所以sin sin ⋅=
=a B
b A 因为
，
512C A B π
π=--=
所以
5sin sin sin 1246C πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭所以△的面积
ABC 1sin 2=⋅=
S b a C 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角形的面积求解，考查运算求解能力，回归转化能力，
是中档题.本题解题的关键在于利用正弦定理边角互化得
，进而结合锐角三角形即可得
sin B ；此外，第二问选择条件①，需注意余弦定理方程思想的应用.
3B π
=
21．已知函数.
()sin 2+sin(2)
3f x x x π
=-(1)求
的最大值及相应的值；
()
f x x (2)设函数
，如图，点分别是函数图像的零值点、最高点和最低点，
g()(
)
4
x f x π
=,,P M N ()y g
x =求的值.
cos MPN ∠【答案】(1)；
1,Z
12
x k k π
π
=+
∈【分析】（1）整理函数的解析式
，结合三角函数的性质，即可求解；()sin 23f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭（
2）利用题意求得，在直角中，即可求解
.
PM MN PN ===MPN △【详解】（
1）解：由题意，函数
()1
sin2sin22
f x x x x =+
-，1sin2sin 223x x x π⎛
⎫==+ ⎪⎝⎭所以函数
的最大值为
，此时
，即
.
()
f x ()max 1
f x =223
2x k π
π
π+
=+
,Z
12
x k k π
π=+
∈（2）由题意，函数 ，()sin 243g x x π
π⎡⎤⎛⎫=+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin 2
3x ππ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
过作轴于，
D MD x ⊥D
因为 所以，可得，
1PD DM ==90PMN ∠=
PM MN PN ==
在直角中，可得
MPN △cos PM MPN PN ∠=
==22．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.
(1)若a ＝2，b ＝，求cos C 的值；
5
2(2)若sin A cos 2＋sin B ·cos 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝sin C ，求a 和b 的值．
2B 2A 9
2【答案】(1) (2) a ＝3，b ＝3.
1
5-
【详解】( (1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝.
由余弦定理得cos C ＝＝＝－.
(2)由sin A cos 2＋sin B cos 2＝2sin C ，可得sin A ·
＋sin B ·
＝2sin C ，
化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .
因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C .由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又因为a ＋b ＋c ＝8，故a ＋b ＝6.
由于S ＝ab sin C ＝sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，b ＝3.。