新人教版九年级数学解直角三角形

当堂反馈
1.如图 ，已知楼房 高为 如图1，已知楼房AB高为 高为50m，铁塔塔基距楼房地 如图 ， 基间的水平距离BD为 基间的水平距离 为100m，塔高 (100 3 + 50) m ，塔高CD为 为 3 则下面结论中正确的是（ ，则下面结论中正确的是（ ） C A．由楼顶望塔顶仰角为 ° ．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为 ° ．由楼顶望塔基俯角为60° C．由楼顶望塔顶仰角为 ° ．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为 ° ．由楼顶望塔基俯角为30°
10m
F
4 3m
D
1.5m
A
0.9m
E C
利用解直角三角形的知识解决实际问题的 利用解直角三角形的知识解决实际问题的 解直角三角形的知识解决实际问题 一般过程是: 一般过程是
1.将实际问题抽象为数学问题 将实际问题抽象为数学问题; 将实际问题抽象为数学问题 (画出平面图形 转化为解直角三角形的问题 画出平面图形,转化为解直角三角形的问题 画出平面图形 转化为解直角三角形的问题) 2.根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形 根据条件的特点 适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; 3.得到数学问题的答案 得到数学问题的答案; 得到数学问题的答案 4.得到实际问题的答案 得到实际问题的答案. 得到实际问题的答案
2. 两座建筑 及CD，其 两座建筑AB及 ， 地面距离 距离AC为 米 地面距离 为50.4米，从 AB的顶点 测得 的顶点B测得 的顶点 测得CD的顶 的顶 部 D的 仰角 β ＝ 25 0 , 测得 的 其底部C的俯角a＝500, 求两座建筑物AB及 求两座建筑物 及 CD的 的 高.（精确到 米） （精确到0.1米
图1
2.如图 ，在离铁塔 如图2，在离铁塔BE 120m的A处， 如图 的 处 用测角仪测量塔顶的仰角为30° 用测角仪测量塔顶的仰角为 °， 已知测角仪高AD=1.5m，则塔高 已知测角仪高 ， BE= (40 3 + 1.5)m（根号保留）． _________ 根号保留）．
图2
当堂反馈
3.如图 ，从地面上的 ，D两点测得树顶 仰角分别是 如图3，从地面上的C， 两点测得树顶 两点测得树顶A仰角分别是 如图 45°和30°，已知 ° ° 已知CD=200m，点C在BD上，则树高 ， 在 上 AB等于 100( 3 + 1)m （根号保留）． 根号保留） 等于
25 5
A
濠 河
55° ° 40° °
B
C 50m D
1.如图，某飞机于空中 如图， 如图 A处探测到目标 ，此 处探测到目标C， 处探测到目标 时飞行高度AC=1200米， 时飞行高度 米 从飞机上看地平面控制 点B的俯角 的俯角α=16031`，求 飞机A到控制点 到控制点B的距 飞机 到控制点 的距 精确到1米 离.(精确到 米） 精确到
新人教版九年级数学
1.解直角三角形 解直角三角形
在直角三角形中,除直角外 由已知 必有一边) 在直角三角形中 除直角外,由已知两元素 (必有一边 除直角外 由已知两 必有一边 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 求其余未知元素的过程叫解直角三角形
2.解直角三角形的依据 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系 三边之间的关系: 三边之间的关系 a2＋b2＝c2（勾股定理）； 勾股定理）； c
A
α
B
C
课本P 课本 92 例4
（第 2 题）
3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋1wk.baidu.com0海里 海洋100 3.国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里 国外船只 以内的区域，如图， 是我们的观察站， 以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A 距离为157.73海里 直线，一外国船只在P 点测得∠ 直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同 时在B点测得∠ 时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只 发出警告，令其退出我国海域. 发出警告，令其退出我国海域.
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3.学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学 学生小王帮在测绘局工作的爸爸买了一些仪器后与同学 在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔， 在环西文化广场休息，看到濠河对岸的电视塔，他想用手 中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度.现已 中的测角仪和卷尺不过河测出电视塔空中塔楼的高度 现已 测出∠ 测出∠ADB=40°，由于不能过河，因此无法知道 的长 ° 由于不能过河，因此无法知道BD的长 于是他向前走50米到达 处测得∠ 米到达C处测得 度，于是他向前走 米到达 处测得∠ACB=55°，但他们 ° 在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法， 在计算中碰到了困难，请大家一起想想办法，求出电视塔 21 7 塔楼AB的高 塔楼 的高. tan 40° ≈ , tan 55° ≈ ） 参考数据： （参考数据： 答案：空中塔楼 高 答案：空中塔楼AB高 约为105米 约为 米
A
C
(课本 页) 课本93页 课本
建筑物BC上有一旗杆 由距BC 40m的D处观 建筑物 上有一旗杆AB,由距 上有一旗杆 由距 的 处观 察旗杆顶部A的仰角为 的仰角为50° 观察底部 观察底部B的仰角 察旗杆顶部 的仰角为 °,观察底部 的仰角 求旗杆的高度(精确到 为45°,求旗杆的高度 精确到 ° 求旗杆的高度 精确到0.1m)
O
B
O
B
例2:热气球的探测器 热气球的探测器 显示,从热气球看一栋 显示 从热气球看一栋 高楼顶部的仰角为 30°,看这栋高楼底部 ° 看这栋高楼底部 的俯角为60° 热气球 的俯角为 °,热气球 与高楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 这栋高楼有多 高?
B
α=30° ° 120 D β=60° °
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中 由题意得， △ 与 △ 中
∠PAO = 30°, ∠PBO = 45° PO PO Q = tan 30 °, = tan 45 ° P OA OB
α
β
∴ OA =
450 = 450 3, 450米 米 tan 30°
450 OB = = 450 tan 45°
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方 如图，直升飞机在跨江大桥 的上方P 的上方 点处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、 点处，此时飞机离地面的高度 米 、 B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角 三点在一条直线上， 、 三点在一条直线上 分别为α=30°，β=45°，求大桥的长AB . 分别为 ° ° 求大桥的长
45° °
O
B
合作与探究
米的大楼AB上 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼 上 如图，直升飞机在高为 米的大楼 点处， 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 点处 角为30° 角为 °和45°，求飞机的高度 ° 求飞机的高度PO .
P
30° °
A
200米 米
45° °
O
B
C
合作与探究
变题2 如图，直升飞机在高为 米的大楼AB 变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼 米的大楼 左侧P点处 测得大楼的顶部仰角为45° 测得 点处， 左侧 点处，测得大楼的顶部仰角为 °,测得 大楼底部俯角为30° 大楼底部俯角为 °，求飞机与大楼之间的水 A 平距离. 平距离
P
A
B
4、如图，为了测量高速公路的保护石堡坎与地面 、如图， 的倾斜角∠ 是否符合建筑标准， 的倾斜角∠BDC是否符合建筑标准，用一根长为 是否符合建筑标准 10m的铁管 斜靠在石堡坎 处，在铁管 上量 的铁管AB斜靠在石堡坎 的铁管 斜靠在石堡坎B处 在铁管AB上量 长为1.5m，F点离地面的距离为 点离地面的距离为0.9m，又量 得AF长为 长为 ， 点离地面的距离为 ， 出石堡坎顶部B到底部 到底部D的距离为 m ，这样能计 出石堡坎顶部 到底部 的距离为 算出∠BDC吗？若能，请计算出∠BDC的度数，若 算出∠ 吗 若能，请计算出∠ 的度数， 的度数 不能，请说明理由。 不能，请说明理由。 B
图3
图4
4.如图 ，将宽为 如图4，将宽为1cm的纸条沿 折叠，使∠CAB=45° 的纸条沿BC折叠 如图 的纸条沿 折叠， ° ，则折叠后重叠部分的面积为
2 2 cm 根号保留）． （根号保留）． 2
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必做题： 必做题： 书本P96/4、P97/7题． 书本 、 题 选做题： 选做题： 1.一架直升机从某塔顶Ａ测得地面 、D两点的俯 一架直升机从某塔顶 测得地面C、 两点的俯 角分别为30° 角分别为 °、 45°，若C、D与塔底Ｂ共线，CD ° 、 与塔底 共线， ＝200米，求塔高 ？ 米 求塔高AB？ 2.有一块三形场地 有一块三形场地ABC，测得其中 边长为 米， 边长为60米 有一块三形场地 ，测得其中AB边长为 AC边长 米，∠ABC=30°，试求出这个三角形场 边长50米 边长 ° 地的面积． 地的面积．
P
答案: 答案: (200 3 + 200) 米
45° ° 30° °
O
B
400米 米
A
合作与探究
米的大楼AB上 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼 上 如图，直升飞机在高为 米的大楼 点处， 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 点处 角为30° 角为 °和45°，求飞机的高度 ° 求飞机的高度PO .
Ｂ
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3)边角之间的关系 边角之间的关系: 边角之间的关系 a sinA＝ ＝ c b cosA＝ c a tanA＝ ＝ b
Ａ
a
b
Ｃ
温故而知新
如图， △ 如图，Rt△ABC中，∠C=90°， 中 ° （1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3 ） ° ， （2）若∠B=60°，AC=3，则BC= ） ° ，
A
B
D
40
C
思想与方法
1．数形结合思想. 数形结合思想. 2．方程思想. 方程思想. 3．转化（化归）思想. 转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 转化成解直角三角形问题 如果示意图不是直角三角形， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形. 助线，构造出直角三角形.
P C
30° °
A
200米 米
45° °
O
B
合作与探究
米的大楼AB上 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼 上 如图，直升飞机在高为 米的大楼 点处， 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 点处 角为30° 角为 °和45°，求飞机的高度 ° 求飞机的高度PO .
P
30° °
C
A
200米 米
P
30° °
A
200米 米
答案: 答案: (100 3 + 300) 米
O
45° °
B
L U D
合作与探究
米的大楼AB上 例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼 上 如图，直升飞机在高为 米的大楼 点处， 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 点处 角为30° 角为 °和45°，求飞机的高度 ° 求飞机的高度PO .
3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3 tan α ） ° ，
m 4） A=α° BC=m， （4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan α
B
A
┌ C
仰角和俯角
在进行测量时， 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角 仰角； 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角 俯角. 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
∴ AB = OA − OB = (450 3 − 450)(m) O 大桥的长AB为 答：大桥的长 为 (450 3 − 450)m.
B
A
合作与探究
变题1 如图，直升飞机在长 变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 米的跨江大桥 AB的上方 点处，且A、B、O三点在一条直线 的上方P点处 的上方 点处， 、 、 三点在一条直线 在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 ° 求飞机的高度PO . 和45 °，求飞机的高度
P
45° ° 30° °
200米 米 D
答案: 答案: (300 − 100 3 ) 米
O B
P α
450
归纳与提高
β
450 45° ° 30° ° 30° ° 45° °
P
O P
B C
30° °
60° °
A
B
O
A
A
P
45° ° 45° ° 30° ° 30° °
200 米 200米
D
45° °
45° 200米 ° 200米