热工基础第二版张学学
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12
傅里叶定律的适用条件：
（1）傅里叶定律只适用于各
向同性物体。对于各向异性物体， 热流密度矢量的方向不仅与温度
qy
梯度有关,还与热导率的方向性
有关, 因此热流密度矢量与温度 y y
梯度不一定在同一条直线上。
n
qx
q
x
x
（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和 非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问 题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, 如 大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态 加热等, 傅里叶定律不再适用。
5
当等温线图上每两条相邻 等温线间的温度间隔相等时， 等温线的疏密可直观地反映 出不同区域导热热流密度的 相对大小。
6
（3）温度梯度(temperature gradient)
在温度场中，温度沿x方
向的变化率(即偏导数)
t lim t
x
x
x 0
很明显, 等温面法线方向
的温度变化率最大，温度变化
是导热分析的主要任务。 11
对于一维稳态导热，可直接利用傅 里叶定律积分求解；对于多维稳态导 热、一维及多维非稳态导热，不能直 接利用傅里叶定律积分求解（原因是 没有揭示温度场内各点温度之间的关 系、温度与时间的关系），这就需要 用导热微分方程。根据傅里叶定律和 能量守恒方程，得到导热微分方程式, 将在后面的章节中另行分析。
t f x, y, z,
非稳态温度场 ：温度随时间变化的温度场， 其中的导热称为非稳态导热。
稳态温度场 ：温度不随时间变化的温度场， 其中的导热称为稳态导热。
t f x, y, z
一维温度场 t f x,
t f x
二维温度场 t f x, y, t f x, y
三维温度场 t f x, y, z, t f x, y, z 4
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或 面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交, 就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。
等温面与等温线的特征：
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能 相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线） 或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于 物体的边界，不可能在物体中中断。
15
温度对热导率的影响：
一般地说, 所有物质的热 导率都是温度的函数,不同 物质的热导率随温度的变化 规律不同。
纯金属的热导率随温度的 升高而减小。
一般合金和非金属的热导 率随温度的升高而增大。
大多数液体（水和甘油除 外）的热导率随温度的升高 而减小。
气体的热导率随温度升高
而增大。
2
9-1 导热理论基础
主要内容
（1）与导热有关的基本概念； （2）导热基本定律 ； （3）导热现象的数学描述方法。 为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。
Βιβλιοθήκη Baidu1. 导热的基本概念
（1） 温度场(temperature field)
在 时刻，物体内所有各点的温度分布称
为该物体在该时刻的温度场。
3
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直 角坐标系中，温度场可表示为
(4)纯金属的热导率大于它的合金 ；
(5)对于各向异性物体, 热导率的数值与方向有关 ；
(6)对于同一种物质, 晶体的热导率要大于非定形态物 体的热导率。
热导率数值的影响因素较多, 主要取决于物质的 种类、物质结构与物理状态, 此外温度、密度、湿度 等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率 的影响尤为重要。
13
3. 热导率（导热系数）
热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定
律表达式
q
gradt
绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
14
物质的热导率在数值上具有下述特点:
(1) 对于同一种物质, 固态的热导率值最大,气态的热 导率值最小； (2)一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；
(3)导电性能好的金属, 其导热性能也好 ；
傅里叶（ Fourier）于1822年提出了著名的导热基本 定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度 梯度之间的关系。
对于各向同性物体, 傅里叶定律表达式为
q gradt t n
n
傅里叶定律表明, 导热热流密度的大小与温度梯度的 绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
9
傅里叶定律的本质：在有温度差的 物系内部，热流总是朝着温度降低的 方向。
第九章 导 热
主要内容
本章首先阐述导热的基本概念、基本定律、 导热问题的数学描述方法，为进一步求解导 热问题奠定必要的理论基础，然后讨论几种 简单的稳态导热、非稳态导热的分析解法。
1
研究方法
从连续介质的假设出发，从宏观的角度来 讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响 因素之间的关系。
连续介质
一般情况下，绝大多数固体、液体及气 体都可以看作连续介质。但是当分子的平均 自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时， 如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能 认为是连续介质。
（4）热流密度 (heat flux)
q d
dA
热流密度的大小和方向可以 用热流密度矢量q 表示
nt
dA q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
8
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 导热的基本定律
最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
gradt t n n
温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。
n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 7
在直角坐标系中，温度梯度可表示为
gradt t i t j t k x y z
t 、t 、t 分别为x、y、z 方向的偏导数; i、j、k 分 x y z 别为x、y、z 方向的单位矢量。
10
标量形式的傅里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的热导率相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q
t x
i
t y
j
t z
k
qx
t x
qy
t y
qz
t z
由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道
材料的热导率, 还必须知道温度场。所以,求解温度场
傅里叶定律的适用条件：
（1）傅里叶定律只适用于各
向同性物体。对于各向异性物体， 热流密度矢量的方向不仅与温度
qy
梯度有关,还与热导率的方向性
有关, 因此热流密度矢量与温度 y y
梯度不一定在同一条直线上。
n
qx
q
x
x
（2）傅里叶定律适用于工程技术中的一般稳态和 非稳态导热问题，对于极低温（接近于0K）的导热问 题和极短时间产生极大热流密度的瞬态导热过程, 如 大功率、短脉冲(脉冲宽度可达10-12～10-15s)激光瞬态 加热等, 傅里叶定律不再适用。
5
当等温线图上每两条相邻 等温线间的温度间隔相等时， 等温线的疏密可直观地反映 出不同区域导热热流密度的 相对大小。
6
（3）温度梯度(temperature gradient)
在温度场中，温度沿x方
向的变化率(即偏导数)
t lim t
x
x
x 0
很明显, 等温面法线方向
的温度变化率最大，温度变化
是导热分析的主要任务。 11
对于一维稳态导热，可直接利用傅 里叶定律积分求解；对于多维稳态导 热、一维及多维非稳态导热，不能直 接利用傅里叶定律积分求解（原因是 没有揭示温度场内各点温度之间的关 系、温度与时间的关系），这就需要 用导热微分方程。根据傅里叶定律和 能量守恒方程，得到导热微分方程式, 将在后面的章节中另行分析。
t f x, y, z,
非稳态温度场 ：温度随时间变化的温度场， 其中的导热称为非稳态导热。
稳态温度场 ：温度不随时间变化的温度场， 其中的导热称为稳态导热。
t f x, y, z
一维温度场 t f x,
t f x
二维温度场 t f x, y, t f x, y
三维温度场 t f x, y, z, t f x, y, z 4
（2）等温面与等温线
在同一时刻，温度场中温度相同的点连成的线或 面称为等温线或等温面。
等温面上任何一条线都是 等温线。如果用一个平面和一组 等温面相交, 就会得到一组等温 线。温度场可以用一组等温面或 等温线表示。
等温面与等温线的特征：
同一时刻，物体中温度不同的等温面或等温线不能 相交；在连续介质的假设条件下，等温面（或等温线） 或者在物体中构成封闭的曲面（或曲线），或者终止于 物体的边界，不可能在物体中中断。
15
温度对热导率的影响：
一般地说, 所有物质的热 导率都是温度的函数,不同 物质的热导率随温度的变化 规律不同。
纯金属的热导率随温度的 升高而减小。
一般合金和非金属的热导 率随温度的升高而增大。
大多数液体（水和甘油除 外）的热导率随温度的升高 而减小。
气体的热导率随温度升高
而增大。
2
9-1 导热理论基础
主要内容
（1）与导热有关的基本概念； （2）导热基本定律 ； （3）导热现象的数学描述方法。 为进一步求解导热问题奠定必要的理论基础。
Βιβλιοθήκη Baidu1. 导热的基本概念
（1） 温度场(temperature field)
在 时刻，物体内所有各点的温度分布称
为该物体在该时刻的温度场。
3
一般温度场是空间坐标和时间的函数，在直 角坐标系中，温度场可表示为
(4)纯金属的热导率大于它的合金 ；
(5)对于各向异性物体, 热导率的数值与方向有关 ；
(6)对于同一种物质, 晶体的热导率要大于非定形态物 体的热导率。
热导率数值的影响因素较多, 主要取决于物质的 种类、物质结构与物理状态, 此外温度、密度、湿度 等因素对热导率也有较大的影响。其中温度对热导率 的影响尤为重要。
13
3. 热导率（导热系数）
热导率表明物质导热能力的大小。根据傅里叶定
律表达式
q
gradt
绝大多数材料的热导率值都可以通过实验测得。
14
物质的热导率在数值上具有下述特点:
(1) 对于同一种物质, 固态的热导率值最大,气态的热 导率值最小； (2)一般金属的热导率大于非金属的热导率 ；
(3)导电性能好的金属, 其导热性能也好 ；
傅里叶（ Fourier）于1822年提出了著名的导热基本 定律，即傅里叶定律，指出了导热热流密度矢量与温度 梯度之间的关系。
对于各向同性物体, 傅里叶定律表达式为
q gradt t n
n
傅里叶定律表明, 导热热流密度的大小与温度梯度的 绝对值成正比，其方向与温度梯度的方向相反。
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傅里叶定律的本质：在有温度差的 物系内部，热流总是朝着温度降低的 方向。
第九章 导 热
主要内容
本章首先阐述导热的基本概念、基本定律、 导热问题的数学描述方法，为进一步求解导 热问题奠定必要的理论基础，然后讨论几种 简单的稳态导热、非稳态导热的分析解法。
1
研究方法
从连续介质的假设出发，从宏观的角度来 讨论导热热流量与物体温度分布及其他影响 因素之间的关系。
连续介质
一般情况下，绝大多数固体、液体及气 体都可以看作连续介质。但是当分子的平均 自由行程与物体的宏观尺寸相比不能忽略时， 如压力降低到一定程度的稀薄气体，就不能 认为是连续介质。
（4）热流密度 (heat flux)
q d
dA
热流密度的大小和方向可以 用热流密度矢量q 表示
nt
dA q
d
q d n
dA
热流密度矢量的方向指向温度降低的方向。
8
在直角坐标系中，热流密度矢量可表示为
q qxi qy j qzk
qx、qy、qz分别表示q在三个坐标方向的分量的大小。
2. 导热的基本定律
最剧烈。
温度梯度：等温面法线方向的温度变化率矢量：
gradt t n n
温度梯度是矢量，指 向温度增加的方向。
n—等温面法线方向的单位矢量，指向温度增加的方向。 7
在直角坐标系中，温度梯度可表示为
gradt t i t j t k x y z
t 、t 、t 分别为x、y、z 方向的偏导数; i、j、k 分 x y z 别为x、y、z 方向的单位矢量。
10
标量形式的傅里叶定律表达式为
q t
n
对于各向同性材料, 各方向上的热导率相等,
q qxi qy j qzk
gradt t i t j t k x y z
q
t x
i
t y
j
t z
k
qx
t x
qy
t y
qz
t z
由傅里叶定律可知, 要计算导热热流量, 需要知道
材料的热导率, 还必须知道温度场。所以,求解温度场