初中数学提高题专题复习全等三角形双等腰旋转练习题及答案

初中数学提高题专题复习全等三角形双等腰旋转练习题及答案

一、全等三角形双等腰旋转

1．如图1，在等腰ABC 中，AB AC =，BAC a ∠=，点P 是线段AB 的中点，将线段PC 绕点P 顺时针旋转α得到PD ，连接BD ．

（1）如图2，若60α=︒，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD 和BC 之间的数量关系______（直接写结论，不必说明理由）

（2）如图3，若90α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系，并说明理由．

（3）如图4，若120α=︒，其他条件不变，探究线段BP 、BD 和BC 之间的等量关系为______．

答案：（1）图形见详解，BC=AB=2BD ；（2）BC=BD+BP ，理由见详解；（3）BC =BD+BP

【分析】

（1）先补全图形，再连接CD ，可得是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可

解析：（1）图形见详解，BC =AB =2BD ；（2）BC =BD 2BP ，理由见详解；（3）BC =BD 3BP

【分析】

（1）先补全图形，再连接CD ，可得CPD △是等边三角形，从而推出BC 是PD 的垂直平分线，进而即可得到结论；

（2）取BC 的中点F ，连接PF ，推出BPF △是等腰直角三角形，从而得BF 2BP ，再证

≌，进而即可求解；

明BDP FCP

≌，可得BD=CF，从而得3PF=3BP=BF，进而即可得到结论．（3）由BDP FCP

【详解】

解：（1）补全图形如下：

BC=2BD，理由如下：

连接CD，

∵线段PC绕点P顺时针旋转 =60°得到PD，

∴CP=DP，∠CPD=60°，

∴CPD

△是等边三角形，

∴∠CDP=∠DCP=60°，

∵点P是线段AB的中点，∠A=60°，AB=AC，

∠ACB=30°，

∴ABC是等边三角形，CP⊥AB，∠BCP=1

2

∴∠BCD=60°-30°=30°，

∴BC平分∠PCD，

∴BC是PD的垂直平分线，

∴BD=PB，即：BC=AB=2BD；

（2）取BC的中点F，连接PF，

∵∠A=90°，AB=AC，

∴ABC是等腰直角三角形，

∵P是AB的中点，F是BC的中点，

∴PF是ABC的中位线，

∴PF∥AC，

∴∠PFB=∠ACB=45°，∠BPF=∠A=90°，

△是等腰直角三角形，

∴BPF

∴BF2BP，BP=PF，

∵∠DPC=∠BPF=90°，

∴∠BPD=∠FPC，

又∵PD =PC ，

∴

BDP FCP ≌，

∴BD =CF ，

∵BC =BF +FC ， ∴BC =BD +2BP ；

（3）由第（2）题可知：BDP FCP ≌，

∴BD =CF ，

∵∠BAC =∠DPC =120°，PF ∥AC ，PF =

12AC ， 又∵BP =

12AB ，AB =AC ， ∴3PF =3BP =BF ，

∴BC =BF +CF =BD +3BP ．

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．

2．（1）如图①，在直角ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 边上一动点（与点B 不重合），连接AD ，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △，那么

,CE BD 之间的位置关系为__________，数量关系为__________；

（2）如图②，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，且45DAE ∠=︒．求证：222BD CE DE +=．

（3）如图③，在ABC 中，120CAB ∠=︒，AB AC =，60DAE ∠=︒，

33BC =+，D ，E （点D ，E 不与点B ，C 重合）为BC 上两动点，若以,,BD DE EC 为边长的三角形是以BD 为斜边的直角三角形时，求BE 的长．

答案：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）．

【分析】

（1）根据，AD=AE ，运用SAS 证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；

（2）把绕点

解析：（1）CE ⊥BD ；CE=BD ；（2）见解析；（3）BE 23=+ 【分析】

（1）根据D CAE BA ∠=∠，AD=AE ，运用SAS 证明ABD ACE ≅，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE 、BD 之间的关系；

（2）把ACE 绕点A 顺时针旋转90︒，得到 ABG ，连接DG ，由SAS 得到ADG ADE ≅，可得DE=DG ，即可把EF 、BE 、FC 放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明；

（3）把AEC 绕点A 顺时针旋转120︒，得到AFB ，可得AF=AE ，ABF ACB ∠=∠，EC=BF ，EAF 120∠=︒，由SAS 可证ADE ADF ≅，可得DF=DE ，由以BD 、DE 、EC 为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解．

【详解】

解：（1）CE 与BD 位置关系是CE ⊥BD ，数量关系是CE=BD

∵ABD △绕点A 逆时针旋转90︒，得到ACE △

∴DAE 90BAC ∠=∠=︒

∴D 90DAC BA ∠=︒-∠，CAE 90DAC ∠=︒-∠

∴D CAE BA ∠=∠

∵BA=CA ，AD=AE

∴ABD ACE ≅

∴ACE 45B ∠=∠=︒且CE=BD

∵ACB 45B ∠=∠=︒

∴ECB=4545=90∠︒+︒︒，即CE ⊥BD