2021高考人A通用(理)数学一轮复习讲义：第10章 第6节 几何概型

第六节几何概型
[考纲] 1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.2.了解几何概型的意义．
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的两个根本特点
(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个．
(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
构成事件A的区域长度(面积或体积)
试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)
.
1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．()
(2)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是1
10.()
(3)概率为0的事件一定是不可能事件．()
(4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．()
[答案](1)√(2)×(3)×(4)√
2．(教材改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，假设小球落在阴影局部，那么可中奖，小明要想增加中奖时机，应选择的游戏盘是
()
A [P (A )＝38，P (
B )＝28，P (
C )＝26，P (
D )＝1
3， ∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．]
3．(2021·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．假设一名行人来到该路口遇到红灯，那么至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.7
10 B.58 C.3
8
D.310
B [如图，假设该行人在时间段AB 的某一时刻来到该路口，那么该行人至少等待15秒才出现绿灯．AB 长度为40－15＝25，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
40－1540＝5
8，应选B.]
4．(2021·唐山检测)如图10-6-1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影局部，据此估计阴影局部的面积为________．
图10-6-1
0．18 [由题意知， S 阴S 正＝1801 000
＝0.18. ∵S 正＝1，∴S 阴＝0.18.]
5．设不等式组⎩⎨⎧
0≤x ≤2，
0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个
点，那么此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．
1－π
4 [如下图，区域D 为正方形OABC 及其内部，且区域D 的面积SD 内
到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影局部的面积S
阴
＝4－π，
∴所求事件的概率P＝4－π
4＝1－
π
4.]
与长度(角度)有关的几何概型
(1)(2021·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，那么他等车时间不超过10分钟的概率是()
A.1
3 B.
1
2
C.2
3 D.
3
4
(2)如图10-6-2所示，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内作射线AP，那么射线AP与线段BC有公共点的概率为________．
【导学号：01772400】
图10-6-2
(1)B(2)1
3[(1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明
等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知
所求概率为P＝20
40＝
1
2.应选B.
(2)以A 为圆心，以AD ＝1为半径作圆弧交AC ，AP ，AB 分别为C ′，
P ′，B ′.
依题意，点P ′在上任何位置是等可能的，且射线AP 与线段BC 有公
共点，那么事件“点P ′在
上发生〞．
又在Rt △ABC 中，易求∠BAC ＝∠B ′AC ′＝π
6.
故所求事件的概率P ＝
＝π6·1π2·
1＝13.]
[规律方法] 1.解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围，当考察对象为点，且点的活动范围在线段上时，用“线段长度〞为测度计算概率，求解的核心是确定点的边界位置．
2．(1)第(2)题易出现“以线段BD 为测度〞计算几何概型的概率，导致错求P ＝12.
(2)当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角对应的弧长的大小作为区域度量来计算概率．事实上，当半径一定时，曲线弧长之比等于其所对应的圆心角的弧度数之比．
[变式训练1] (1)(2021·唐山质检)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，那么弦长超过半径2倍的概率是( )
A.34
B.12
C.13
D.35
(2)(2021·山东高考)在[－1,1]上随机地取一个数k ，那么事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交〞发生的概率为________．
(1)B(2)3
4[(1)作等腰直角△AOC和△AMC ，B为圆上任一点，那么当点B
在上运动时，弦长|AB|＞2R，
∴P＝＝1 2.
(2)由直线y＝kx与圆(x－5)2＋y2＝9相交，得|5k|
k2＋1
<3，
即16k2<9，解得－3
4<k<
3
4.
由几何概型的概率计算公式可知P＝3
4－⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
4
2＝
3
4.]
与面积有关的几何概型
☞角度1与随机模拟相关的几何概型
(2021·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，那么用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()
A.4n
m B.
2n
m
C.4m
n D.
2m
n
C[因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如下图．假设两数的平方和小于1，那么对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法
可得S扇形
S正方形＝
m
n，即
π
4＝
m
n，所以π＝
4m
n.]
☞角度2 与线性规划交汇问题
由不等式组⎩⎨⎧
x ≤0，
y ≥0，
y －x －2≤0
确定的平面区域记为Ω1，不等式组
⎩
⎨⎧
x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，那么该点恰好在Ω2内的概率为( )
A.1
8 B.14 C.34
D.78
D [如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠局部就是区域OACD ，
易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，32，S △BCD ＝12×12(2－1)＝14，
S △OAB ＝1
2×2×2＝2， 故P ＝S 四边形OACD S △OAB
＝2－14
2＝78.]
☞角度3 与定积分交汇的几何概型
(2021 ·福建高考)如图10-6-3，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为
(2,4)，函数f (x )＝x 2.假设在矩形ABCD 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的
概率等于________．
图10-6-3
5
12
[由题意知，阴影局部的面积 S ＝⎠⎛1
2(4－x 2)d x ＝
⎪⎪⎪⎝ ⎛
⎭⎪⎫4x －13x 321＝53
， ∴所求概率P ＝S S 矩形ABCD ＝5
31×4
＝5
12.]
[规律方法] 1.与面积有关的平面图形的几何概型，解题的关键是对所求的事件A 构成的平面区域形状的判断及面积的计算，根本方法是数形结合．
2．解题时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解.
与体积有关的几何概型
在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，那么点P 到点O 的距离大于1的概率为( )
A.π
12 B.1－π12 C.π6
D.1－π6
B [设“点P 到点O 的距离大于1〞为事件A .
那么事件A 发生时，点P 位于以点O 为球心，以1为半径的半球的外部．
∴V 正方体＝23＝8，V 半球＝43π·13×12＝2
3π.
∴P (A )＝
23－23π2
3
＝1－π12.]
[规律方法] 对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件求解．
[变式训练2] 如图10-6-4，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，那么使四棱锥M -ABCD 的体积小于16的概率为________.
【导学号：01772401】
图10-6-4
1
2
[设四棱锥M -ABCD 的高为h ，由于V 正方体＝1.
那么13·S ABCD ·h ＜16， 又S ABCD ＝1，∴h ＜12， 即点M 在正方体的下半局部， ∴所求概率P ＝1
2V 正方体V 正方体＝1
2
.]
[思想与方法]
1．古典概型与几何概型的区别在于：前者根本领件的个数有限，后者根本领件的个数无限．
2．判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：假设变量在线
段上移动，那么几何度量是长度；假设变量在平面区域(空间区域)内移动，那么几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域．
[易错与防范]
1．易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．
2．准确把握几何概型的“测度〞是解题关键．
3．几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果．。