专题2.8绝对值函数和绝对值不等式的解法(原卷版)

2.8 绝对值函数和绝对值不等式的解法
a,a0定义：我们把数轴上表示一个数的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，即a0,a0 ．
a, a0 1．绝对值函数
常有的绝对值函数是： y x x, x
0 ，其图象是
x, x0
绝对值函数学习时，要抓重点点，这里的重点点是x 0 ．思虑怎样画y x a的图象？
【例我们知道，
1】画出y
x 表示 x 轴上的点
x 1 的图像
x 到原点的距离；x a的几何意义是表示x 轴上的点x 到点 a 的距离．
变式 1.（ 1）画出 y x 2 的图像；（2）画出y 2 x 的图像
对于绝对值函数，我们常常用到的一种方法是去绝对值，一般采纳零点分段法，零点分段法的一般步
骤：
①找零点→ ②分区间→ ③定符号→④去绝对值符号．
【例 2】阅读以下资料并解决有关问题：
x x0
我们知道 x0x0，利用这一结论能够化简含有绝对值的代数式，如化简代数式 y x 1 x 2 x x0
时，可令 x 10 和 x20，分别求得 x1，x 2 （称 1，2 分别为 x 1 与 x 2的零点），在有理数范
围内，零点值x1和 x 2 可将全体有理数分红不重复且不易遗漏的以下3种状况：
⑴当x1时，原式x 1x 22x 1 ；
⑵当 1 x 2 时，原式x1x2 3 ；
⑶当 x≥ 2 时，原式x1x22x1.
2x 1 x1
综上所述， y x 1x231x 2 ．
2 x 1 x2
经过阅读上边的文字，请你解决以下的问题：
（ 1）化简代数式 y x1 2 x2；（ 2）画出 y x 1 2 x 2 的图象
【例 3】画出以下函数的图象
（ 1） y x2 2 x 3（2）y x23x 2
2．绝对值不等式的解法
到了高中，绝对值不等式需要重申的有两点：一是由定义引出的绝对值的几何意义的应用；二是代数意义上的分类议论，此中几何意义的应用主要波及到有关绝对值不等式的解法，而分类议论的思想就表现为去绝对值、画绝对值函数图象、解绝对值不等式．
【例 4】解不等式x 1．
变式 1．解不等式：（1）x 3 ；（2）x3（3）x2
结论：（ 1）
（ 2）
x a( a 0)的解集是 { x | a
x a} ，如图 ．
1
x
a( a 0) 的解集是 { x | x
a 或 x a} ，如图 2．
【例 5】解不等式
x 2 1．
结论：（ 1） ax
b c(
c 0) c ax b c ．
（ 2） ax
b
c(c 0)
ax b c 或 ax
b c
变式 1：解不等式：（1） x
10 3； （ 2）
2x 5
2 ；
（ 3） 3 2 x 5 ；
2 x 4 0
变式 2：解不等式组
1 3x ．
5
2
变式 3：解不等式 1
2x 1 5 ．
【例 6】解不等式：
4x 3 2 x 1
结论：（ 1） ax b f ( x) f ( x) ax b
f ( x) ．
变式（ 2）ax b
4：解不等式：
f (x)
4x 3
ax b
x 1．
f (x) 或ax b f ( x) ．
【例 7】解不等式：x 2 x 15
说明：选择题和填空题中，利用绝对值的几何意义解含有两个绝对值不等式优势显然．
变式 1．解不等式：
（ 1）x 2 x 1 7（2）x 3 x 2 4（3）2x 3 2x 28【例 8】解不等式：x 1 x 2 x3
【例 9】解对于x的不等式 2 x 3 1a
1.已知a 6 ，化简6a2得 ()
A. 6 a
B.a6
C. a 6
D. a 6
2.不等式x2 3 的解是，不等式1 1 x 1 的解是______________.
2
3．化简 x1x2，并画出 y x 1 x 2的图象
4.画出y x22x3 的图像
5.解不等式3x29
6.解不等式x 1 x 24
7.解以下对于x 的不等式：12x 35
8.解不等式3x 4 1 2x
9．解不等式：x 1 x 2 x2
1．已知f x x 1ax 1 .
（ I）当a 1 时，求不等式f x1的解集；
（ II ）若x0,1时不等式f x x 建立，求a的取值范围.
2．已知函数 f (x) = |x + a| + |x-2|.
（Ⅰ）当 a = -3 时，求不等式 f (x)≥ 的3解集；
3．已知函数 f x x 1 x 2 ．
（ 1）求不等式 f x 1 的解集；（2）若不等式 f x x2–x m 的解集非空，求m 的取值范围．
4．设函数f (x)x a3x ，此中 a0 ．
（ 1）当a 1时，求不等式 f ( x)3x 2的解集；
（ 2）若不等式 f (x)0的解集为x | x 1 ，求a的值．
5．已知函数 f x2x a a .
(1)当 a= 2时，求不等式 f x 6 的解集；
(2)设函数g x2x1. 当x R 时， f x g x 3 ，求 a 的取值范围．。