串联谐振
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= =
I0 R R ω0CR (4) 电路谐振时阻抗最大，得到的谐振电压也最大；而在 非谐振时，则电路端电压较小。这种特性也具有选频作 用，且Q越大选频作用越强。
IC或I1与总电流I0的比值为并联谐振电路的品质因 数 I1 2πf0L ω0L 1
Q= =
并联谐振的特点 & I 同相。 ♣ U 、& 同相。
节目， 应配多大？ e1 节目，C 应配多大？
RL2 L2
已知： 已知：
e1 e2 e3
C=
C
L2 = 250µH、 RL2 = 20Ω f 1 = 820 kHz 1 解：f 1 = 2π L 2 C 1 C = 2 (2 π f ) L 2
(2π × 820 × 10 )
1
3 2
⋅ 250 × 10 − 6
C 1 = 150 pF
f1 = 820 kHz X L = XC = ω L = 2π f 1 = 1290
R2 = 0.5 µ A
I = E1
UC1 = IXC = 645 µ V
例 +
_ + _ + _
u1 u2
R L C
一接收器的电路参数为： 一接收器的电路参数为： L=250µH, R=20Ω, C=150pF(调好 µ 调好), Ω, 调好 U1=U2= U3 =10µV, ω0=5.5×106 rad/s, µ × f0=820 kHz.
3-10 串联谐振
谐振概念： 谐振概念：
含有电感和电容的电路， 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全 补偿，使电路的功率因数等于 ， 同相， 补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、 i 同相， 便称此电路处于谐振状态。 便称此电路处于谐振状态。 串联谐振： 串联谐振：L 与 C 串联时 并联谐振： 并联谐振：L 与 C 并联时
二. 并联谐振
& I
& 电容器与线圈的并联电路， 电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为 U 1 (R + jωL) R + jωL jωC = Z= 1 1+ jωRC − ω2LC + (R + jωL) jωC 通常要求电阻很小，谐振时一般有ω 通常要求电阻很小，谐振时一般有ωL>>R，则上式 ， 为 jωL 1 Z≈ = 2 1+ jωRC − ω LC RC + j(ωC − 1 ) L ωL 上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为 上式分母中虚部为零时产生谐振， 1 1 ω0C − ≈ 0 或 ω0 ≈ ω0L LC 1 即 f = f0 ≈ 与串联谐振频率近似相等。 与串联谐振频率近似相等。 2π LC
∴
U L UC ω0 L 1 Q= = = = U U R ω 0 RC
在谐振状态下, 在谐振状态下,若 R>XL、R>XC ，Q 则体现了电 容或电感上电压比电源电压高出的倍数。 容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振应用举例 收音机接收电路
L1
C
L1 :
接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
L 2 L3
L3 : 将选择的信号送
接收电路
L1
C
RL2 L2
L 2 L3
的电动势信号； 的电动势信号；
e1 e2 e3
C
为来自3个不同电台 不同频率） 个不同电台（ e1、e2、e3 为来自 个不同电台（不同频率） 选出所需的电台。 L 2 - C 组成谐振电路 ，选出所需的电台。
问题（一）：如果要收听
I0 2
I0
∆f = f2 − f1 通频带
f1 f0 f2
f
I
谐振选频的说明：
L L1 L C e1 e2 e3 收音机的调谐接收电路 f1 f2 f3 等效电路 C
I0 0.707I0
0
f1
f2 f3 Q大
f
I
Q小 f
无线电信号经天线接受，由L1耦合 0 f1 f2 f3 到L上。LC经谐振选择使某个电波 信号与谐振频率f0相同进行选择。 当谐振曲线比较尖锐(Q大)时，被选择信号比其 相邻的信号相对大得多；而Q小则选择性差。
♣ 电路的总阻抗最大。 电路的总阻抗最大。 定性分析: 定性分析 Z
& IC
& U
& I
& U
& IL
& IC
& IL
理想情况下 谐振时： 谐振时：
& I = 0 ⇒ Z = Z max = ∞
并联谐振 电路总阻抗： 电路总阻抗：
Z 0 = Z max
L = RC
当
R → 0时
Z0 → ∞
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。 所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
& I RL
& IC
并联谐振的特征
(1) 由阻抗公式
jωL 1 = 1+ jωRC − ω2LC RC + j(ωC − 1 ) L ωL 谐振时电路的阻抗为 Z≈
RC L 达到最大值，比非谐振时要大。 Z0 =1 ( )= L RC 在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。 即 RC U I = I0 = U ( )= L Z0 (2) 电路的总电压与电流相位相同(ϕ = 0)，呈现电阻性。 (3)各并联支路电流为 U U U I1 = ≈ IC = 及 2 2 2πf0L 1 2πf0C R + (2πf0L)
= 150 pF
结论： 结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到
的节目。 e1 的节目。
RL2 L2
问题（二）：
e1 信号在电路中产生的电流 有多
C
已知： 已知：
产生的电压是多少？ 大？在 C 上 产生的电压是多少？
e1 e2 e3
解答： 解答：
E1 = 10μ V
RL2 = 20 Ω
L 2 = 250μ H
u3 北京台 820 1290 1290 0 I0=0.5 中央台 640 1000 1660 – 660 I1=0.0152 北京经济台 1026 1611 1034 577 I2=0.0173
f (kHz) ωL
1 ωC
X I=U/|Z| (µA) µ
I=U/|Z| (µA) µ I(f )
I0=0.5
2πf0L (2πf0L)2 (ω0L)2 L 而 Z0 = = ≈ = RC R(2πf0C) R R
且当 2πf0L >> R 时， (2πf0L)2 (ω0L)2 1 2πf0L ≈ << = 2πf0C R R
于是，
I1 ≈ IC >> I0
因此，并联谐振也称电流谐振 并联谐振也称电流谐振。 并联谐振也称电流谐振
消除噪声
r
& ES & EN
已知： 已知： 谐振 滤波器
接 收 网 络
& 信号源 E（--噪声源 E （ ω ） 噪声源
N N
令滤波器工作在噪声频率下， 令滤波器工作在噪声频率下， 即可消除噪声。 即可消除噪声。
1 f0 = f N = 2π LC
提取信号
r
& ES
UC 、UL将大于 电源电压U 电源电压
UL = I0 XL = UC = I0 XC 〉〉 U = I0R
U 、 谐振时： 谐振时：I 0 = XL = XC R
U XL U L = I0 X L = X L = U R R XC U UC = I0 X C = X C = U R R
当
& UL
& U L1
& U L1
& I L2
& & 若在 f S 下 U C + U L 1 = 0 则信号全部降落在接收网络上。 则信号全部降落在接收网络上。
I1=0.0152
I2=0.0173
I2 I1 = 3.46% 小得多 = 3.04% I0 I0
的节目。 ∴收到北京台820kHz的节目。 收到北京台 的节目
0
640 820
1200 f (kHz)
串联谐振特性曲线
U I0 = R
谐振电流 谐振频率 下限截止频率 上限截止频率
I
f0 :
f1 f2
& U
& U
并联谐振应用举例
+VCC
RC
RL
& U0
RC
& Ui
& U O β (RC // RL ) & A= = Ui rbe
替代后， 替代后，在谐振 频率下放大倍数 将提高。 将提高。该种频 率的信号得到较 好的放大， 好的放大，起到 选频作用。 选频作用。
利用谐振进行选频、 （三）谐振滤波器： 利用谐振进行选频、滤波
1 ω0 = LC
1 ω0L = ω0C
1 f0 = 2π LC
串联谐振的特点
♣ X
L
= XC
min
Z = Z
♣
=
R + (X L − X C ) = R
2 2
♣ U、I 同相 、
U 当电源电压一定时：I = I0 = Imax = 当电源电压一定时： R X −X
ϕ = tg
−1 L C
R
=0
♣ 当 X L = X C 〉〉 R 时
& UL
X L − XC ∠tg R
−1
若令： 若令： 则：
& U
L C
& & ϕ = 0 ⇒ U、I 同相
X L = XC
& UC
⇒ 谐振
∴
串联谐振的条件是： 串联谐振的条件是：
X L = XC
谐振频率： 谐振频率：
fo
1 1 = XC = ω C 2πfC
X L = ω L = 2π fL
X L = XC
& & UR =U
& I
XL > R、XC > R
时，
U L = UC > U
注：串联谐振也被称为电压谐振 串联谐振也被称为电压谐振
& UC
品质因素 --- Q 值
定义：电路处于串联谐振时， 定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的 电压和总电压之比。 电压和总电压之比。 谐振时: 谐振时
ω0L XL UL = U = U R R XC 1 UC = U = U R ω 0 CR
谐振
u、 i u、 i
同相 同相
谐振电路在无线电工程、 谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应 用非常广泛。 用非常广泛。
串联谐振： 串联谐振： 串联谐振的条件 串联谐振电路
& I
R
Z = R + j( X L − XC ) = Z ∠ϕ = R + ( X L − XC )
2 2
& UR
& EN
已知： 已知：
谐振 滤波器
接 收 网 络
& 信号源 E（ ω s ) ---信号源 S & ---噪声源 E （ ω ） 噪声源
N N
频率下， 令滤波器工作在 fS 频率下， 信号即可顺利地到达接收网 络。
1 f0 = fS = 2π LC
消除噪声 提取信号
L1
C
& ES & E
N
谐振 滤波器
L2
接 收 网 络
分析（ ）：抑制噪声 分析（一）：抑制噪声
& I
& IC
令：
f0 =
1 = fN L2C
信号被滤掉了
& I L2
& EN
分析（ 分析（二）： 提取信号
& EN
I& L 1
& ES
L1
C
谐振 滤波器
L2
接 收 网 络
I&C
& UC
& IC
fS > f N
& I L1
I& L 2
& UC
I0 R R ω0CR (4) 电路谐振时阻抗最大，得到的谐振电压也最大；而在 非谐振时，则电路端电压较小。这种特性也具有选频作 用，且Q越大选频作用越强。
IC或I1与总电流I0的比值为并联谐振电路的品质因 数 I1 2πf0L ω0L 1
Q= =
并联谐振的特点 & I 同相。 ♣ U 、& 同相。
节目， 应配多大？ e1 节目，C 应配多大？
RL2 L2
已知： 已知：
e1 e2 e3
C=
C
L2 = 250µH、 RL2 = 20Ω f 1 = 820 kHz 1 解：f 1 = 2π L 2 C 1 C = 2 (2 π f ) L 2
(2π × 820 × 10 )
1
3 2
⋅ 250 × 10 − 6
C 1 = 150 pF
f1 = 820 kHz X L = XC = ω L = 2π f 1 = 1290
R2 = 0.5 µ A
I = E1
UC1 = IXC = 645 µ V
例 +
_ + _ + _
u1 u2
R L C
一接收器的电路参数为： 一接收器的电路参数为： L=250µH, R=20Ω, C=150pF(调好 µ 调好), Ω, 调好 U1=U2= U3 =10µV, ω0=5.5×106 rad/s, µ × f0=820 kHz.
3-10 串联谐振
谐振概念： 谐振概念：
含有电感和电容的电路， 含有电感和电容的电路，如果无功功率得到完全 补偿，使电路的功率因数等于 ， 同相， 补偿，使电路的功率因数等于1，即：u、 i 同相， 便称此电路处于谐振状态。 便称此电路处于谐振状态。 串联谐振： 串联谐振：L 与 C 串联时 并联谐振： 并联谐振：L 与 C 并联时
二. 并联谐振
& I
& 电容器与线圈的并联电路， 电容器与线圈的并联电路，其等效阻抗为 U 1 (R + jωL) R + jωL jωC = Z= 1 1+ jωRC − ω2LC + (R + jωL) jωC 通常要求电阻很小，谐振时一般有ω 通常要求电阻很小，谐振时一般有ωL>>R，则上式 ， 为 jωL 1 Z≈ = 2 1+ jωRC − ω LC RC + j(ωC − 1 ) L ωL 上式分母中虚部为零时产生谐振，可得谐振频率为 上式分母中虚部为零时产生谐振， 1 1 ω0C − ≈ 0 或 ω0 ≈ ω0L LC 1 即 f = f0 ≈ 与串联谐振频率近似相等。 与串联谐振频率近似相等。 2π LC
∴
U L UC ω0 L 1 Q= = = = U U R ω 0 RC
在谐振状态下, 在谐振状态下,若 R>XL、R>XC ，Q 则体现了电 容或电感上电压比电源电压高出的倍数。 容或电感上电压比电源电压高出的倍数。
串联谐振应用举例 收音机接收电路
L1
C
L1 :
接收天线
L2 与 C ：组成谐振电路
L 2 L3
L3 : 将选择的信号送
接收电路
L1
C
RL2 L2
L 2 L3
的电动势信号； 的电动势信号；
e1 e2 e3
C
为来自3个不同电台 不同频率） 个不同电台（ e1、e2、e3 为来自 个不同电台（不同频率） 选出所需的电台。 L 2 - C 组成谐振电路 ，选出所需的电台。
问题（一）：如果要收听
I0 2
I0
∆f = f2 − f1 通频带
f1 f0 f2
f
I
谐振选频的说明：
L L1 L C e1 e2 e3 收音机的调谐接收电路 f1 f2 f3 等效电路 C
I0 0.707I0
0
f1
f2 f3 Q大
f
I
Q小 f
无线电信号经天线接受，由L1耦合 0 f1 f2 f3 到L上。LC经谐振选择使某个电波 信号与谐振频率f0相同进行选择。 当谐振曲线比较尖锐(Q大)时，被选择信号比其 相邻的信号相对大得多；而Q小则选择性差。
♣ 电路的总阻抗最大。 电路的总阻抗最大。 定性分析: 定性分析 Z
& IC
& U
& I
& U
& IL
& IC
& IL
理想情况下 谐振时： 谐振时：
& I = 0 ⇒ Z = Z max = ∞
并联谐振 电路总阻抗： 电路总阻抗：
Z 0 = Z max
L = RC
当
R → 0时
Z0 → ∞
所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。 所以，纯电感和纯电容并联谐振时，相当于断路。
& I RL
& IC
并联谐振的特征
(1) 由阻抗公式
jωL 1 = 1+ jωRC − ω2LC RC + j(ωC − 1 ) L ωL 谐振时电路的阻抗为 Z≈
RC L 达到最大值，比非谐振时要大。 Z0 =1 ( )= L RC 在电源电压一定的情况下，电路中的谐振电流有最小值。 即 RC U I = I0 = U ( )= L Z0 (2) 电路的总电压与电流相位相同(ϕ = 0)，呈现电阻性。 (3)各并联支路电流为 U U U I1 = ≈ IC = 及 2 2 2πf0L 1 2πf0C R + (2πf0L)
= 150 pF
结论： 结论：当 C 调到 150 pF 时，可收听到
的节目。 e1 的节目。
RL2 L2
问题（二）：
e1 信号在电路中产生的电流 有多
C
已知： 已知：
产生的电压是多少？ 大？在 C 上 产生的电压是多少？
e1 e2 e3
解答： 解答：
E1 = 10μ V
RL2 = 20 Ω
L 2 = 250μ H
u3 北京台 820 1290 1290 0 I0=0.5 中央台 640 1000 1660 – 660 I1=0.0152 北京经济台 1026 1611 1034 577 I2=0.0173
f (kHz) ωL
1 ωC
X I=U/|Z| (µA) µ
I=U/|Z| (µA) µ I(f )
I0=0.5
2πf0L (2πf0L)2 (ω0L)2 L 而 Z0 = = ≈ = RC R(2πf0C) R R
且当 2πf0L >> R 时， (2πf0L)2 (ω0L)2 1 2πf0L ≈ << = 2πf0C R R
于是，
I1 ≈ IC >> I0
因此，并联谐振也称电流谐振 并联谐振也称电流谐振。 并联谐振也称电流谐振
消除噪声
r
& ES & EN
已知： 已知： 谐振 滤波器
接 收 网 络
& 信号源 E（--噪声源 E （ ω ） 噪声源
N N
令滤波器工作在噪声频率下， 令滤波器工作在噪声频率下， 即可消除噪声。 即可消除噪声。
1 f0 = f N = 2π LC
提取信号
r
& ES
UC 、UL将大于 电源电压U 电源电压
UL = I0 XL = UC = I0 XC 〉〉 U = I0R
U 、 谐振时： 谐振时：I 0 = XL = XC R
U XL U L = I0 X L = X L = U R R XC U UC = I0 X C = X C = U R R
当
& UL
& U L1
& U L1
& I L2
& & 若在 f S 下 U C + U L 1 = 0 则信号全部降落在接收网络上。 则信号全部降落在接收网络上。
I1=0.0152
I2=0.0173
I2 I1 = 3.46% 小得多 = 3.04% I0 I0
的节目。 ∴收到北京台820kHz的节目。 收到北京台 的节目
0
640 820
1200 f (kHz)
串联谐振特性曲线
U I0 = R
谐振电流 谐振频率 下限截止频率 上限截止频率
I
f0 :
f1 f2
& U
& U
并联谐振应用举例
+VCC
RC
RL
& U0
RC
& Ui
& U O β (RC // RL ) & A= = Ui rbe
替代后， 替代后，在谐振 频率下放大倍数 将提高。 将提高。该种频 率的信号得到较 好的放大， 好的放大，起到 选频作用。 选频作用。
利用谐振进行选频、 （三）谐振滤波器： 利用谐振进行选频、滤波
1 ω0 = LC
1 ω0L = ω0C
1 f0 = 2π LC
串联谐振的特点
♣ X
L
= XC
min
Z = Z
♣
=
R + (X L − X C ) = R
2 2
♣ U、I 同相 、
U 当电源电压一定时：I = I0 = Imax = 当电源电压一定时： R X −X
ϕ = tg
−1 L C
R
=0
♣ 当 X L = X C 〉〉 R 时
& UL
X L − XC ∠tg R
−1
若令： 若令： 则：
& U
L C
& & ϕ = 0 ⇒ U、I 同相
X L = XC
& UC
⇒ 谐振
∴
串联谐振的条件是： 串联谐振的条件是：
X L = XC
谐振频率： 谐振频率：
fo
1 1 = XC = ω C 2πfC
X L = ω L = 2π fL
X L = XC
& & UR =U
& I
XL > R、XC > R
时，
U L = UC > U
注：串联谐振也被称为电压谐振 串联谐振也被称为电压谐振
& UC
品质因素 --- Q 值
定义：电路处于串联谐振时， 定义：电路处于串联谐振时，电感或电容上的 电压和总电压之比。 电压和总电压之比。 谐振时: 谐振时
ω0L XL UL = U = U R R XC 1 UC = U = U R ω 0 CR
谐振
u、 i u、 i
同相 同相
谐振电路在无线电工程、 谐振电路在无线电工程、电子测量技术等许多电路中应 用非常广泛。 用非常广泛。
串联谐振： 串联谐振： 串联谐振的条件 串联谐振电路
& I
R
Z = R + j( X L − XC ) = Z ∠ϕ = R + ( X L − XC )
2 2
& UR
& EN
已知： 已知：
谐振 滤波器
接 收 网 络
& 信号源 E（ ω s ) ---信号源 S & ---噪声源 E （ ω ） 噪声源
N N
频率下， 令滤波器工作在 fS 频率下， 信号即可顺利地到达接收网 络。
1 f0 = fS = 2π LC
消除噪声 提取信号
L1
C
& ES & E
N
谐振 滤波器
L2
接 收 网 络
分析（ ）：抑制噪声 分析（一）：抑制噪声
& I
& IC
令：
f0 =
1 = fN L2C
信号被滤掉了
& I L2
& EN
分析（ 分析（二）： 提取信号
& EN
I& L 1
& ES
L1
C
谐振 滤波器
L2
接 收 网 络
I&C
& UC
& IC
fS > f N
& I L1
I& L 2
& UC