全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题七选修4系列第2讲不等式选讲练习理

第2讲　不等式选讲
「考情研析」 不等式选讲主要考查平均值不等式的应用，绝对值三角不等式的理解及应用、含绝对值不等式的解法、含参不等式解法和恒成立问题以及不等式的证明方法(比较法、综合法、分析法、放缩法)及它们的应用．其中绝对值不等式的解法及证明方法的应用是重点．难度不大，分值10分，一般会出现在选考部分第二题的位置.
核心知识回顾
1.绝对值的三角不等式
定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．
□01 定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )
□02 ≥0时，等号成立．
2．|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法
(1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c .
□01 (2)|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .
□02 3．|x －a |＋|x －b |≥c (c >0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．
(2)利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．
(3)通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．
4．证明不等式的基本方法
(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；
□01 □02 □03 (4)反证法；(5)放缩法．
□04 □05 5．二维形式的柯西不等式
若a ，b ，c ，d
都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，
□01 □02 等号成立．
热点考向探究
考向1 绝对值不等式的解法及应用
角度1　绝对值不等式的解法
例1　(2019·乌鲁木齐高三第二次质量检测)已知函数f (x )＝2|x ＋1|－|x －a |，a ∈R .
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )<x 有实数解，求实数a 的取值范围．
解　(1)当a ＝1时，f (x )＝2|x ＋1|－|x －1|，
当x ＜－1时，由f (x )＜0得－2(x ＋1)＋(x －1)＜0，即－x －3＜0，得x ＞－3，此时－3＜x ＜－1，
当－1≤x ≤1，由f (x )＜0得2(x ＋1)＋(x －1)＜0，
即3x ＋1＜0，得x ＜－，此时－1≤x ＜－，
1313当x ＞1时，由f (x )＜0得2(x ＋1)－(x －1)＜0，
即x ＋3＜0，得x ＜－3，此时无解，
综上，不等式的解集为Error!.
(2)∵f (x )＜x ⇔2|x ＋2|－x ＜|x －a |有解，等价于函数y ＝2|x ＋2|－x 的图象上存在点在函数y ＝|x －a |的图象下方，
由函数y ＝2|x ＋2|－x 与函数y ＝|x －a |的图象可知，a ＞0或a ＜－4.
解绝对值不等式的步骤和方法
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点．
②划区间、去绝对值号．③分别解去掉绝对值的不等式．
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法求解不等式
用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(3)用绝对值不等式的几何意义求解．
(1)解关于x 的不等式x |x ＋4|＋3<0；
(2)关于x 的不等式|x |＋2|x －9|<a 有解，求实数a 的取值范围．
解　(1)原不等式等价于Error!或
Error!解得x <－2－或－3<x <－1，
7所以原不等式的解集是(－∞，－2－)∪(－3，－1)．
7(2)令f (x )＝|x |＋2|x －9|，则关于x 的不等式
|x |＋2|x －9|<a 有解等价于a >f (x )min .
f (x )＝Error!所以f (x )的最小值为9.
所以a >9，即实数a 的取值范围为(9，＋∞)．
角度2　绝对值不等式恒成立(或存在性)问题
例2　(2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数f (x )＝|x －a |－|x ＋2|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤－x 的解集；
(2)若f (x )≤a 2＋1恒成立，求a 的取值范围．
解　(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|－|x ＋2|，
即f (x )＝Error!不等式f (x )≤－x 即为Error!或Error!或Error!
即有x ≤－3或－1≤x ＜1或1≤x ≤3，得x ≤－3或－1≤x ≤3，
所以不等式的解集为{x |x ≤－3或－1≤x ≤3}．
(2)因为|x －a |－|x ＋2|≤|x －a －x －2|＝|a ＋2|，
所以f (x )≤|a ＋2|，
若f (x )≤a 2＋1恒成立，则|a ＋2|≤a 2＋1，
即Error!或Error!
解得a ≤或a ≥，
1－521＋52
解答含参数的绝对值不等式应熟记的几个转化
f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ；f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ；f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ；f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ；f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .
(2019·宣城市高三第二次调研)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝2x ＋1.
(1)解关于x 的不等式g (x )≥|x －1|；
(2)如果对∀x ∈R ，不等式|g (x )|－c ≥|x －1|恒成立，求实数c 的取值范围．
解　(1)由题意可得，g (x )＝2x －1，
所以g (x )≥|x －1|即2x －1≥|x －1|.
①当x ≥1时，2x －1≥x －1，解得x ≥0，所以x ≥1；
②当x <1时，2x －1≥1－x ，解得x ≥，所以≤x <1.
2323
考向2 绝对值不等式的证明
例3　已知a >0，b >0，函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |.
(1)当a ＝1，b ＝1时，解关于x 的不等式f (x )>1；
(2)若函数f (x )的最大值为2，求证：＋≥2.
1a 1b 解　(1)当a ＝1，b ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|＝Error!
①当x ≥1时，f (x )＝2>1，不等式恒成立，
此时不等式的解集为{x |x ≥1}；
②当－1≤x <1时，f (x )＝2x >1，所以x >，
12此时不等式的解集为Error!；
③当x <－1时，f (x )＝－2>1，不等式不成立，此时无解．
综上所述，不等式f (x )>1的解集为Error!.
(2)证法一：由绝对值三角不等式可得
|x ＋a |－|x －b |≤|a ＋b |，a >0，b >0，∴a ＋b ＝2，
∴＋＝(a ＋b )＝≥2，1a 1b 12(1a ＋1b )12(2＋b a ＋a b )
当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．
证法二：∵a >0，b >0，∴－a <0<b ，
∴函数f (x )＝|x ＋a |－|x －b |
＝|x －(－a )|－|x －b |＝Error!
结合图象易得函数f (x )的最大值为a ＋b ，∴a ＋b ＝2.
∴＋＝(a ＋b )＝≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立．1a 1b 12(1a ＋1b )12(2＋b a ＋a b )
不等式证明的常用方法
(1)不等式的证明常利用综合法、分析法、基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法．
(2)证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法：
①利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．
②利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明．③转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
(2019·延安市高考模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .
(1)解不等式f (x )<|x |＋1；
(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤，|2y ＋1|≤，求证：f (x )≤.
131656解　(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，
即Error!或Error!或Error!
解得≤x <2或0<x <或∅.
1212所以不等式的解集为{x |0<x <2}．
(2)证明：因为|x －y －1|≤，|2y ＋1|≤，
1316所以f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|≤2×＋＝.131656考向3 柯西不等式的应用
例4　已知a ，b ，c >0，a ＋b ＋c ＝1.求证：(1)＋＋≤ ；
a b c 3(2)＋＋≥.
13a ＋113b ＋113c ＋13
2证明　(1)由柯西不等式得(＋＋)2＝(1·＋1·＋1·)2≤(12＋12＋12)[()
a b c a b c a 2＋()2＋()2]＝3，当且仅当＝＝，即a ＝b ＝c ＝时等号成立，∴＋＋≤ b c 1a 1b 1c 1
3a b c .
3(2)证法一：∵＋(3a ＋1)
4
3a ＋1≥2＝4，
43a ＋1·(3a ＋1)(当且仅当3a ＋1＝43a ＋1时取等号)∴≥3－3a .同理得≥3－3b ，≥3－3c ，
43a ＋143b ＋14
3c ＋1以上三式相加得，4≥9－3(a ＋b ＋c )＝6(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)
，
(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)∴＋＋≥.
13a ＋113b ＋113c ＋132证法二：由柯西不等式得
[(3a ＋1)＋(3b ＋1)＋(3c ＋1)]≥Error!＋·＋
(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)3b ＋113b ＋1·Error!2＝9，
3c ＋1(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)又a ＋b ＋c ＝1，∴6≥9，
(13a ＋1＋13b ＋1＋13c ＋1)
∴＋＋≥.13a ＋113b ＋113c ＋13
2
柯西不等式的应用方法
(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明．
(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(a ＋a ＋…＋a )2
122n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意(1a 21＋1a 2＋…＋1a 2n )等号成立的条件．
(2019·南通市高三下学期模拟)已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋2b ＋4c ＝3，求＋1
a ＋1＋的最小值，并指出取得最小值时a ，
b ，
c 的值．
1b ＋11
c ＋1解　因为a ＋2b ＋4c ＝3，所以(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)＝10，
因为a ，b ，c 为正数，所以由柯西不等式得，[(a ＋1)＋2(b ＋1)＋4(c ＋1)]·＋1
a ＋1＋≥(1＋＋2)2，
1b ＋11
c ＋12当且仅当(a ＋1)2＝2(b ＋1)2＝4(c ＋1)2等式成立，
所以＋＋≥，
1a ＋11b ＋11
c ＋111＋6210所以＋＋的最小值是，
1a ＋11b ＋11
c ＋111＋6210此时a ＝，b ＝，c ＝.
23－1027152－1778－52
7真题
押题『真题模拟』
1．(2019·哈尔滨市第六中学高三第二次模拟)设函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|－a .
(1)当a ＝4时，求不等式f (x )>0的解集；
(2)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围．
解　(1)当a ＝4时，f (x )＞0为|2x －1|＋2|x ＋1|>4，
当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4⇒x <－；
5
4当－1<x <时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；
1
2当x ≥时，2x －1＋2x ＋2>4⇒x >.
123
4
综上，f (x )>0的解集为（－∞，－）∪（，＋∞）.
5434(2)由题意得|2x －1|＋2|x ＋1|>a 恒成立，a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .
|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，∴a <3.
2．(2019·赤峰市高三模拟)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，g (x )＝x 2－2x －1.
(1)若m ，n ∈R ，不等式f (m )≥g (n )恒成立，求实数n 的取值范围；
(2)设a >0，b >0，且a ＋b ＝2，求证：＋≤2.
a ＋1
b ＋1f (x )解　(1)由f (m )＝|m －1|＋|m ＋1|≥|(m －1)－(m ＋1)|＝2，
∴f (m )min ＝2，∴n 2－2n －1≤2，∴－1≤n ≤3，所以n 的取值范围是[－1,3]．
(2)证明：由(1)可知，2≥2，
f (x )2∴(＋)2＝a ＋b ＋2＋2≤4＋(a ＋1)＋(b ＋1)＝8，∴＋a ＋1b ＋1(a ＋1)(b ＋1)a ＋1≤2，
b ＋12当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，
∴＋≤2.
a ＋1
b ＋1f (x )3．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，
c 为正数，且满足abc ＝1.
证明：(1)＋＋≤a 2＋b 2＋c 2；
1a 1b 1
c (2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.
证明　(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝＝＋＋.
ab ＋bc ＋ca abc 1a 1b 1c 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．
所以＋＋≤a 2＋b 2＋c 2.
1a 1b 1
c (2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，
故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3
≥3＝3(a ＋b )(b ＋c )(c ＋a )3(a ＋b )3(b ＋c )3(c ＋a )3≥3×(2)×(2)×(2)＝24.
ab bc ca 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．
所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.
『金版押题』
(1)若不等式f (x )≤a 的解集是空集，求实数a 的取值范围；
(2)若存在x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立，求实数t 的取值范围．
解　(1)f (x )＝|2x －3|－|x ＋1|
＝Error!
y ＝f (x )的图象如图所示，
易得f (x )min ＝－.
52∵不等式f (x )≤a 的解集是空集，
∴a 的取值范围为.(－∞，－52)
(2)∃x 0∈R ，使得2f (x 0)≤－t 2＋4|t |成立，
即2f (x )min ≤－t 2＋4|t |，由(1)知f (x )min ＝－，
52∴t 2－4|t |－5≤0，解得－5≤t ≤5，∴t 的取值范围为[－5,5]．
配套作业
1．(2019·西安八校高三联考)已知a ，b 均为实数，且|3a ＋4b |＝10.
(1)求a 2＋b 2的最小值；
(2)若|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围．
解　(1)因为102＝(3a ＋4b )2≤(32＋42)(a 2＋b 2)＝25(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2≥4，当且仅当＝，
a b 34即Error!或Error!时取等号，即a 2＋b 2的最小值为4.
(2)由(1)知|x ＋3|－|x －2|≤a 2＋b 2对任意的a ，b ∈R 恒成立
⇔|x ＋3|－|x －2|≤4⇔Error!或Error!或Error!⇔x <－3或－3≤x ≤⇔x ≤，所以实数x 的取
3232值范围为（－∞，].
32
(1)当a ＝3时，求不等式f (x )≥2的解集；
(2)若f (x )≥5－x 对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．解　(1)当a ＝3时，即求解|2x －3|＋|x －1|≥2，
①当x ≥时，2x －3＋x －1≥2，∴x ≥2；
32②当1<x <时，3－2x ＋x －1≥2,2－x ≥2，x ≤0，无解；
32③当x ≤1时，3－2x ＋1－x ≥2，∴3x ≤2，∴x ≤.
23综上，解集为Error!.
(2)f (x )≥5－x 恒成立，即|2x －a |≥5－x －|x －1|恒成立，令g (x )＝5－x －|x －1|＝Error!
则函数图象如图．∴≥3，∴a ≥6.
a 2
3．已知函数f (x )＝|x －5|－|x －2|.
(1)若∃x ∈R ，使得f (x )≤m 成立，求m 的范围；
(2)求不等式x 2－8x ＋15＋f (x )≤0的解集．
解　(1)f (x )＝|x －5|－|x －2|＝Error!其对应图象如图所示．易知f (x )min ＝－3，
∴m ≥－3，即m 的取值范围为[－3，＋∞)．
(2)x 2－8x ＋15＋f (x )＝Error!
①x ≤2，x 2－8x ＋18≤0，解集为∅.
②2<x <5，x 2－10x ＋22≤0,5－≤x <5.
3③x ≥5，x 2－8x ＋12≤0,5≤x ≤6.
综上所述，不等式的解集为{x |5－≤x ≤6}．
34．(1)解不等式：|2x －1|－|x |<1；
(2)设f (x )＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．解　(1)当x <0时，原不等式可化为－2x ＋x <0，
解得x >0，所以x 不存在；
当0≤x <时，原不等式可化为－2x －x <0，
12解得x >0，所以0<x <；
12当≤x 时，原不等式可化为2x －1－x <1，
12解得x <2，所以≤x <2.
12综上，原不等式的解集为{x |0<x <2}．
(2)证明：因为|f (x )－f (a )
|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)，
所以|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．
5．(2019·益阳市高三4月模拟)已知f (x )＝|2x ＋1|－|ax －1|.
(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≤2的解集；
(2)当x ∈(－，0)时，不等式f (x )>2x 成立，求a 的取值范围．
12解　(1)当a ＝1时，
f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝Error!
由f (x )≤2，得Error!或Error!或Error!
解得x ∈∅或－≤x ≤或－4≤x <－，
122312
6．已知函数f (x )＝|x －m |，m <0.
(1)当m ＝－1时，解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ；
(2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围．
解　(1)当m ＝－1时，f (x )＋f (－x )＝|x ＋1|＋|x －1|，
设F (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝Error!
当x <－1时，－2x ≥2－x ，解得x ≤－2；
当－1≤x <1时，2≥2－x ，解得0≤x <1；
当x ≥1时，2x ≥2－x ，解得x ≥1.
综上，原不等式的解集为{x |x ≤－2或x ≥0}．
(2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0.
设g (x )＝f (x )＋f (2x )，
当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ；
当m <x <时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－<g (x )<－m ；
m 2m 2当x ≥时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－.
m 2m 2则g (x )的值域为，[－m 2，＋∞)
由题知不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，则1>－，解得m >－2，由于m <0，故m 的取m 2值范围是(－2，0)．
7．(2019·宝鸡市高考模拟)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋3|.
(1)求不等式f (x )≤2的解集；
(2)若不等式f (x )<a 2＋6a 的解集非空，求实数a 的取值范围．
解　(1)由f (x )＝|x －2|－|x ＋3|≤2可化为：
Error!或Error!
或Error!
解得x ∈∅或－≤x ≤2或x >2，
32
(2)因为|f (x )|＝||x －2|－|x ＋3||≤|x －2－x －3|＝5，
所以－5≤f (x )≤5，即f (x )min ＝－5；
要使不等式f (x )<a 2＋6a 解集非空，需f (x )min <a 2＋6a ，
从而a 2＋6a ＋5>0，解得a <－5或a >－1，
所以a 的取值范围为(－∞，－5)∪(－1，＋∞)．
8．(2019·太原市高三模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|.
(1)求不等式f (x )≤5的解集；
(2)若存在实数x 0，使得f (x 0)≤5＋m －m 2成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足a 3＋b 3＝M ，证明：0<a ＋b ≤2.
解　(1)∵f (x )＝|2x －1|＋2|x ＋1|≤5，
∴x －＋|x ＋1|≤，
1252由绝对值的几何意义可得x ＝－和x ＝1时上述不等式中的等号成立，32
∴3≤5＋m －m 2，∴－1≤m ≤2，∴M ＝2，∴a 3＋b 3＝2，
∵2＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)，a 2－ab ＋b 2≥0，
∴a ＋b >0，
∵2ab ≤a 2＋b 2，∴4ab ≤(a ＋b )2，∴ab ≤，
(a ＋b )24∵2＝a 3＋b 3＝(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b )[(a ＋b )2－3ab ]≥(a ＋b )143，∴a ＋b ≤2，∴0<a ＋b ≤2.。