勾股定理中考难题（有答案详解）

勾股定理中考难题（有答案详解）
勾股定理中考难题
2、如图，在平⾯直⾓坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C
的坐标为（，0
），点P 为斜边OB 上的⼀个动点，则PA+PC 的最⼩值为（）
3、如图，已知直线a ∥b ，且a 与b 之间的距离为4，点A 到直线a 的距离为2，点B 到直线b 的距离为3，AB=．试在直线a 上找⼀点M
，在直线b 上找⼀点N ，满⾜MN ⊥a 且AM+MN+NB 的长度和最短，则此时4、已知：如图在△ABC ，△ADE
中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同⼀条直线上，连接BD ，BE ．以下四个结论：
①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④
BE
2
=2
（
AD 2+AB 2
），
1题 2题 3题 4题 6
题 6、如图，有两颗树，⼀颗⾼10⽶，另⼀颗⾼4⽶，两树相距8⽶．⼀只鸟从⼀颗树的树梢飞到另⼀颗树的树梢，问⼩鸟⾄少飞⾏（） A ．8⽶ B ．10⽶ C ．12⽶ D ．14⽶
7
、如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC ⼤约是(结果精确到0.1m)( ) A ．34.64m B ．34.6m C ．28.3m D ．17.3m
8、如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ．若DE=10，AE=16，则BE 的长度为何？（）
A ．10
B ．11
C ．12
D ．13
9、如图，圆柱形容器中，⾼为1.2m ，底⾯周长为1m ，在容器内壁．．
离容器底部0.3m 的点A
C
B
第7题图
B处有⼀蚊⼦，此时⼀只壁虎正好在容器外壁
．．的点A处，则壁虎捕捉蚊⼦的
．．，离容器上沿0.3m与蚊⼦相对
最短距离为 m（容器厚度忽略不计）.
10、（2013?滨州）在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为．
11、（2013⼭西，1，2分）如图，在矩形纸⽚ABCD中，AB=12，BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对⾓线BD上的点A′处，则AE的长为______.
12、（2013?黄冈）已知△ABC为等边三⾓形，BD为中线，延长BC⾄E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= ．
13、（2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=；⼜过P2作
P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．
14、（2013?包头）如图，点E是正⽅形ABCD内的⼀点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．
15、（2013?巴中）若直⾓三⾓形的两直⾓边长为a、b，且满⾜，则该直⾓三⾓形的斜边长为．
16、（2013?雅安）在平⾯直⾓坐标系中，已知点A（﹣，0），B（，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满⾜条件的所有点C的坐标．
17、（2013哈尔滨）在△ABC中，AB=，BC=1，∠ ABC=450，以AB为⼀边作等腰直⾓三⾓形ABD，使
∠ABD=900，连接CD，则线段CD的长为．
18、（2013哈尔滨）
如图。

在每个⼩正⽅形的边长均为1个单位长度的⽅格纸中,有线段AB和直线
MN，点A、B、M、N均在⼩正⽅形的顶点上．
(1)在⽅格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在⼩正⽅形的顶点上)，使四
边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称
点为点C；
(2)请直接写出四边形ABCD的周长．
19、（2013?湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE 的长；
（2）求△ADB的⾯积．
20、（2013?鄂州）⼩明、⼩华在⼀栋电梯楼前感慨楼房真⾼．⼩明说：“这楼起码20层！”⼩华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”⼩明说：“有本事，你不⽤数也能明⽩！”⼩华想了想说：“没问题！让我们来量⼀量吧！”⼩明、⼩华在楼体两侧各选A、B两点，测量数据如图，其中矩形CDEF表⽰楼体，AB=150⽶，CD=10⽶，∠A=30°，∠B=45°，（A、C、D、B四点在同⼀直线上）问：
（1）楼⾼多少⽶？
（2）若每层楼按3⽶计算，你⽀持⼩明还是⼩华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）
21、（2013达州）通过类⽐联想、引申拓展研究典型题⽬，可达到解⼀题知⼀类的⽬的。

下⾯是⼀个案例，请补充完整。

原题：如图1，点E、F分别在正⽅形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。

（1）思路梳理
∵AB=CD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°⾄△ADG，可使AB与AD重合。

∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线。

根据____________，易证_______，得EF=BE+DF。

（2）类⽐引申
如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF=45°。

若∠B、∠D 都不是直⾓，则当∠B与∠D满⾜等量关系____时，仍有EF=BE+DF。

（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°。

猜想BD、DE、EC 应满⾜的等量关系，并写出推理过程。

×
×
）
AB=OB=2
由三⾓形⾯积公式得：AB=
AM=，
=3
AN=AD=，由勾股定理得：DN=
，
﹣=1
，的最⼩值是
A
AB=2
=，
B=
，
DE=
为斜边时，由勾股定理得，第三边为，专题：应⽤题．
分析：根据“两点之间线段最短”可知：⼩鸟沿着两棵树的树梢进⾏直线飞⾏，所⾏的路程最短，运⽤勾股定理可将两点之间的距离求出．
解答：解：如图，设⼤树⾼为AB=10m ，⼩树⾼为CD=4m ，
过C 点作CE ⊥AB 于E ，则EBDC 是矩形，连接AC ，
∴EB=4m ，EC=8m ，AE=AB ﹣EB=10﹣4=6m ，在Rt △AEC 中，AC==10m ，
故选B ．
点评：本题考查正确运⽤勾股定理．善于观察题⽬的信息是解题以及学好数学的关键．
7、分析：⾸先计算出∠B 的度数，再根据直⾓三⾓形的性质可得AB=40m ，再利⽤勾股定理计算出BC 长即可
解：∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∴AB=2AC ，∵AC=20m ，∴AB=40m ，∴BC=
=
=
=20
≈34.6（m ），故选：B ．
点评：此题主要考查了勾股定理，以及直⾓三⾓形的性质，关键是掌握在直⾓三⾓形中，30°⾓所对的直
⾓边等于斜边的⼀半．在任何⼀个直⾓三⾓形中，两条直⾓边长的平⽅之和⼀定等于斜边长的平⽅
8、考点：勾股定理；直⾓三⾓形斜边上的中线．
分析：根据在直⾓三⾓形中，斜边上的中线等于斜边的⼀半着⼀性质可求出AB 的长，再根据勾股定理即可求出BE 的长．
解答：解：∵BE ⊥AC ，∴△AEB 是直⾓三⾓形，∵D 为AB 中点，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，∴BE==12，
故选C ．
点评：本题考查了勾股定理的运⽤、直⾓三⾓形的性质：直⾓三⾓形中，斜边上的中线等于斜边的⼀半，题⽬的综合性很好，难度不⼤．
9、解析：因为壁虎与蚊⼦在相对的位置，则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线上，如图所⽰，要求壁虎捉蚊⼦的最短距离，实际上是求在EF 上找⼀点P ，使PA+PB 最短，过A 作EF 的对称点A '，连接A B '，则A B '与EF 的交点就是所求的点P ，过B 作BM AA '⊥于点M ，在Rt A MB '?中， 1.2A M '=，1
2
BM =
，
所以 1.3A B '==，因为A B AP PB '=+，所以壁虎捉蚊⼦的最短距离为1.3m.
=2
11、【答案】
3
【解析】由勾股定理求得：BD=13，
DA=D 'A =BC=5，∠D 'A E=∠DAE=90°，设AE=x ，则'A E=x ，BE=12－x ，B 'A =13－5＝8，在Rt △E 'A B 中，2
2
2
(12)8x x -=+，解得：x ＝
103，即AE 的长为103
∠
=，
，
故答案为：
=
；得=
=
，
故答案为：．
解：∵
==5
﹣|=6
本题考查了勾股定理、坐标与图形的性质．解题时，要分类讨论，以防漏解．另外，当点
17、考点：解直⾓三⾓形，钝⾓三⾓形的⾼
分析：双解问题，画等腰直⾓三⾓形ABD，使∠ABD=900，分两种情况，点D与C在AB同侧，D与C在AB 异侧，考虑要全⾯；
解答：当点D与C在AB同侧，BD=AB=,作CE⊥BD于,
ED=,由勾股定理CD=当点D与C在AB异侧，BD=AB=,∠BDC=1350，作DE⊥BC于
E,BE=ED=2,EC=3，由勾股定理
18、考点：轴对称图形；勾股定理；⽹格作图；
分析：（1）根据轴对称图形的性质，利⽤轴对称的作图⽅法来作图，（2）利⽤勾股定理求出AB 、BC、CD、AD四条线段
的长度，然后求和即可最
解答：(1)正确画图(2)
==10
ADB=×
AC=
x+x=150
x=（
﹣
﹣
21、解析：(1)SAS………………………(1分）
△AFE………………………(2分）
(2)∠B+∠D=180°………………………(4分）
(3)解：BD2+EC2=DE2.………………………(5分）∵AB=AC，
∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°⾄△ACG，可使AB与AC重合. ∵△ABC中，∠BAC=90°.∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°,即∠ECG=90°.
∴EC2+CG2=EG2.………………………(7分）
在△AEG与△AED中,
∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°-∠EAD=45°=∠EAD,
⼜∵AD=AG，AE=AE，
∴△AEG≌△AED.
∴DE=EG.⼜∵CG=BD,
∴BD2+EC2=DE2.………………………(9分）。