2019-2020学年人教B版必修第四册 11.2 平面的基本事实与推论 课件(35张)

内,所以O在两平面的交线上,而平面ABD与平面BCD交于直线BD,
所以O在BD上,即EF,GH,BD交于点O.
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11.2 平面的基本事实与推论
探究一 探究二 探究三 探究四
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交线问题
例5如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上一 点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列点、直线的平面与正 方体表面的交线. (1)过点G及直线AC; (2)过三点E,F,D1.
∵A1C⊂平面A1C,而O∈A1C,∴O∈平面A1C.
又A1C∩平面BC1D=O,
∴O∈平面BC1D. ∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上. 又AC∩BD=M,∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C.
又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C,
∴平面A1C∩平面BC1D=C1M, ∴O∈C1M,即C1,O,M三点共线.
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变式训练1用文字语言表示下列符号语言,并画图表示(其中P是 点,a,b,m是直线,α,β是平面): α∩β=m,a⊂α,b⊂β,a∩m=P,b∩m=P.
解:用文字语言表示为:分别在两个相交平面α,β内的两条直线a和b 相交,且交点P在平面α,β的交线m上.图形如图所示(画法不唯一).
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11.2 平面的基本事实与推论
2.
文字语言
图形语言
基本 事实 1
基本 事实 2
基本 事实 3
经过不在一条直线 上的 3 个点,有且只 有一个平面
如果一条直线上的 两个点在一个平面 内,那么这条直线 在这个平面内
如果两个不重合的 平面有一个公共 点,那么它们有且 只有一条过该点的 公共直线
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可确定一个平面.
答案:一或三
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文字、图形、符号三种语言的转化 例1用符号语言和文字语言分别表示下面的图形.
解:符号语言:l⊂α,m∩α=M,M∉l. 文字语言:直线l在平面α内,直线m与平面α相交于点M,点M不在直 线l上.
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证明三线共点问题 例4(1)在空间四边形ABCD的各边AB,BC,CD,DA上依次取点 E,F,G,H,若EH,FG所在直线相交于点P,则 ( ) A.点P必在直线AC上 B.点P必在直线BD上 C.点P必在平面BCD外 D.点P必在平面ABC内
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变式训练2过直线l外一点P,引两条直线PA,PB和直线l分别交于A,B 两点,求证:三条直线PA,PB,l共面.
证明:如图所示,∵PA∩PB=P, ∴过PA,PB确定一个平面α.∴A∈α,B∈α. ∵A∈l,B∈l,∴l⊂α. ∴PA,PB,l共面.
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证明多线共面问题 例2求证:如果两两平行的三条直线a,b,c都与另一条直线l相交,那么 这四条直线共面. 证明:如图所示, 因为a∥b,可知直线a与b确定一个平面, 设为α. 因为l∩a=A,l∩b=B,所以A∈a,B∈b,则A∈α,B∈α. 又因为A∈l,B∈l,所以由基本事实2可知l⊂α. 因为b∥c,所以直线b与c确定一个平面β,同理可知l⊂β. 因为平面α和平面β都包含着直线b与l,且l∩b=B,而由经过两条相交 直线,有且只有一个平面,可知平面α与平面β重合,所以直线a,b,c和l 共面.
答案:B
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(2)如图,在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在
AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=2∶3,求证:EF,GH,BD交于一点.
答案:D
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11.2 平面的基本事实与推论
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三、平面基本事实的推论 1.思考 (1)对于基本事实1及平面基本事实的三个推论你是怎样理解的? 提示:基本事实①和平面基本事实的三个推论可作为确定平面的依 据,还可作为判定两个平面重合的依据.“确定”和“有且只有一个”是 同义词.“有”说明存在性,“只有一个”说明唯一性. (2)经过空间任意两条直线能确定一个平面吗? 提示:不一定.只有经过空间两条相交或平行的直线才能确定一个 平面.
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11.2 平面的基本事实与推论
2.填空
文字语言
图形语言
经过一条直线
推 论
与直线外一点, 有且只有一个
1 平面
推 经过两条相交
论 直线,有且只有
2 一个平面
推 经过两条平行
论 直线,有且只有 3 一个平面
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符号语言
点 A∉直线 BC⇒存在唯一 的平面 α,使 A∈α,直线 BC⊂α 直线 AB∩直线 AC=A⇒存 在唯一的平面 α,使直线 AB⊂α,且直线 AC⊂α l∥m⇒存在唯一的平面 α, 使 l⊂α,且 m⊂α
符号语言 若 A,B,C 三点不共线, 则有且只有一个平面 α,使 A∈α,B∈α,C∈α 如果 A∈α,B∈α,那么 直线 AB⊂α
如果 A∈α,A∈β,则 α∩β=a 且 A∈a
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11.2 平来自百度文库的基本事实与推论
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3.做一做
(1)如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么
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变式训练3如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,体对角线A1C与平面 BDC1交于点O,AC,BD交于点M,求证:C1,O,M三点共线. 证明:由AA1∥CC1,则AA1与CC1确定一个平面A1C.
()
A.l⊂α B.l⊄α C.l∩α=M D.l∩α=N
解析:因为M∈a,N∈b,a⊂α,b⊂α,所以M∈α,N∈α,根据基本事实1可
知l⊂α.故选A.
答案:A
(2)若两个不重合的平面有公共点,则公共点有( )
A.1个
B.2个
C.1个或无数个 D.无数个且在同一条直线上
解析:利用基本事实3可知若两个平面有一个公共点,则它们就一定
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延伸探究(1)例4(2)中将证明EF,GH,BD交于一点改为判断E,F,G,H
四点是否共面并证明.
(2)例4(2)中如果将条件改为在AB,BC,CD,DA上分别取点G,E,F,H并
且满足GH与EF相交于一点O,结论如何?
点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上.
∴P,Q,R三点共线.
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反思感悟证明:点线共面的常用方法 (1)归一法:先由部分元素确定一个平面,再证其余元素也在这个平 面内,其中第一步要应用基本事实1,第二步要应用基本事实2. (2)重合法:应用基本事实2,先由部分元素分别确定平面,然后应用 基本事1证明这几个平面重合.
图形语言
直线 l 不在平面 α 内
直线 l 和直线 m 相交于点 A
平面 α 与平面 β 相交于直线 a
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符号语言 l⊄α l∩m=A α∩β=a
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11.2 平面的基本事实与推论
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3.做一做 如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填 写:
有一条交线,而线是由无数个点构成的,所以这两个平面有无数个
在同一直线上的交点.
答案:D -9-
11.2 平面的基本事实与推论
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(3)已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( ) A.P∉α,Q∈α B.P∈α,Q∉α C.P∉α,Q∉α D.Q∈α
解析:∵Q∈m,m⊂α,∴Q∈α. ∵P∉m,∴有可能P∈α,也可能有P∉α.
文字语言图形语言符号语言基本事实1经过不在一条直线上的3个点有且只有一个平面若abc三点不共线则有且只有一个平面使abc基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内那么这条直线在这个平面内如果ab那么直线ab?基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点那么它们有且只有一条过该点的公共直线如果aa则a且aa9112平面的基本事实与推论课堂篇探究学习课前篇自主预习3
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反思感悟证明:三线共点的常用方法 先说明两条直线共面且交于一点,再说明这个点在两个平面内.于 是该点在这两个平面的交线上,从而得到三线共点.
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11.2 平面的基本事实与推论
解:如图可知,平面ABD∩平面BCD=BD. 易知 FH∥AC 且 FH=25AC,GE∥AC 且 GE=12AC, 所以FH∥GE且GH,EF交于点O. 因为GH⊂平面ABD,O∈GH.
所以O∈平面ABD.
因为EF⊂平面BCD,O∈EF,
所以O∈平面BCD.所以O∈BD.所以EF,GH,BD交于一点. -22-
11.2 平面的基本事实与推论
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11.2 平面的基本事实与推论
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课标阐释
思维脉络
1.理解:平面的三个基本事实与三个 推论,会运用三种语言表示事实和推 论. 2.能进行文字语言、图形语言、符号 语言之间的互相转化.
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11.2 平面的基本事实与推论
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(1)A∈α,B∈α,E∈α,C∉α,D∉α. (2)α∩β=AB. (3)A∈β,B∈β,C∈β,D∈β,E∉β,F∉β. (4)AB⊂α,AB⊂β,CD⊄α,CD⊂β,BF⊂α,BF⊄β.
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11.2 平面的基本事实与推论
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二、平面的基本事实 1.思考 (1)经过空间中的三点,能作出几个平面? 提示:当三点共线时,能作出无数个平面,当三点不共线时,只能过这 三点作出唯一的一个平面. (2)两个平面的交线可能是一条线段吗? 提示:不可能.由基本事实3知,两个平面若相交,则它们的交线有且 只有一条.
一、点、线、面之间的位置关系及表示 1.思考 (1)“直线l不在平面α内”就是说“直线l与平面α平行”对吗? 提示:不对,直线l不在平面α内说明直线l与平面α平行或者直线l与平 面α相交. (2)若A∈a,a⊂α,是否可以推出A∈α? 提示:根据直线在平面内定义可知,若A∈a,a⊂α,则A∈α.
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11.2 平面的基本事实与推论
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3.做一做
(1)三点可确定平面的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.1或无数个
解析:当这三点共线时,可确定无数个平面;当这三点不共线时,可确
定一个平面.
答案:D
(2)三条直线两两相交,可确定平面的是
个.
解析:当三条直线共点时可确定三个或一个,当三条直线不共点时
11.2 平面的基本事实与推论
2.填空 文字语言 点 A 在直线 l 上 点 A 不在直线 l 上
点 A 在平面 α 内
图形语言
点 A 不在平面 α 内 直线 l 在平面 α 内
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符号语言 A∈l A∉l A∈α A∉α l⊂α
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11.2 平面的基本事实与推论
文字语言
解:(1)因为DF∶FC=DH∶HA=2∶3,
所以FH∥AC且FH=
2
5AC,
因为点E,G分别为BC,AB的中点,
所以GE∥AC且GE=
1 2
AC,故GE∥HF且GE≠HF,
所以E,F,G,H四点共面且组成梯形.
(2)EF,GH,BD交于点O.
证明:因为GH与EF相交于一点O,GH在平面ABD内,EF在平面BCD
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11.2 平面的基本事实与推论
探究一 探究二 探究三 探究四
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证明多点共线问题 例3已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图.求 证:P,Q,R三点共线.
证明:∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知: