第十一章习题精选题目

+ y2 = 1
下半圆周。 8 计算曲线积分 I = ∫L y ds, 其中 L 为右半个单位圆。 9 计算曲线积分 I = ∫L (3 xy + sin x)dx + ( x 2 − ye y )dy 的值。其中 L 是以曲线 y = x 2 − 2 x 上以 O(0, 0) 为始点， A(4, 8) 为终点的曲线。
3
∫ (x
L
( 2, 3)
2
4
∫
( −1, 2 ) (1, 2 )
xdy + ydx 。
5
∫
( 2 ,1)
ydx − xdy x2
沿着不与 oy 轴相交的路径。
6
∫xy dy − x
L L
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2
ydx ，其中 L 为圆周 x 2 + y 2 = 1 ，依逆时针方向。
2
7
∫ (cos y + y cos x)dx + (− x sin y + sin x)dy ，设 L 是按逆时针方向绕行的 x
2 2 2 2
15
∫ ∫ ( xdydz + ydxdz + zdxdy) ，其中 Σ 为 x
Σ 2 2 2 Σ
2
+ y 2 + z 2 = 1 的外表面。
16
∫ ∫ ( x dydz + y dxdz + z dxdy) ，其中 Σ 为立方体 0 < x < a ， 0 < y < a ， 0 < z < a 的
, 0) 12 设 f ( x) 是可微函数， 求 f ( x) ， 使积分 I = ∫((π2π ( x + xy sin x)dx + ,1)
2
f ( xy ) y
dx +
x y2
[ y 2 f ( xy ) − 1]dy ，
f ( x) x
dy 与路径无
关，其中 f ( π 并计算此曲线积分。 2 ) = 0, 13
dx − ( x − y ) dy 10 计算： ∫L ( x + y )x ，中 L 是： 2 + y2
（1）不包围也不通过原点的任意闭曲线； （2）以原点为中心， R 为半径的正向圆周； （3）包围原点的任意正向闭曲线，但挖掉原点： （4）以 (1, 0) 为始点， (2, 2) 为终点的任意有向线段。 11 设 f ( x) 在 (−∞,+∞) 内有连续的导数，试计算 I = ∫L 1+ y 其中 L 为从点 A(3, 2 到点 B(1, 2) 的直线段。 3)
第十一章 曲线积分与曲面积分
1
∫ (x
L
2
其中 L 为曲线 x = a(cos t + t sin t ) ， y = a (sin t − t cos t ) （ 0 ≤ t ≤ 2π ） + y 2 )ds ，
4 2 2 2
2
∫ (x
L
4 3
+ y 3 )ds ，其中 L 为内摆线 x 3 + y 3 = a 3 的弧。 + y 2 )dx + ( x 2 − y 2 )dy 其中 L 为曲线 y = 1 − 1 − x （ 0 ≤ x ≤ 2 ）
2 2
18 计算 ∫ ∫ x 2 dydz + y 2 dydz + zdxdy ，中 Σ 是旋转抛物面 z = 1 − x 2 − y 2 ( z ≥ 0 )的上侧。
Σ
边界的外表面。 17 计算曲面积分 I = ∫ ∫ ( y 2 zdxdy + xzdydz + x 2 ydydz ) ，其中 Σ 是由旋转抛物面
Σ
Σ1 : z = x + y ，圆柱面 Σ 2 : x 2 + y 2 = 1 和坐标平面 Σ 3 : x = 0, Σ 4 : y = 0, Σ 5 : z = 0 所围成的曲面外侧。
∫ ∫ (x
Σ
2
+ y 2 )dS ，其中 Σ 为立体 x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 的边界。
14 计算曲面积分 I = ∫ ∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )dS ，其中 Σ 是由 Σ1 : x = 0 ， Σ 2 : y = 0 及
Σ
Σ 3 : x + y + z = R ( x ≥ 0, y ≥ 0) 所围成的闭曲面。