高中数学课时跟踪检测(三)三个正数的算术—几何平均不等式(含解析)新人教A版选修45

高中数学课时跟踪检测（三）三个正数的算术—几何平均不等式（含解析）新人教A 版选修45 1．设x >0，则y ＝x ＋4x 2的最小值为( ) A ．2
B ．2 2
C ．3 2
D ．3 解析：选D y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4
x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3， 当且仅当x 2＝4x
2，即x ＝2时取“＝”号． 2．设x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝6，则lg x ＋lg y ＋lg z 的取值范围是( )
A ．(－∞，lg 6]
B ．(－∞，3lg 2]
C ．[lg 6，＋∞)
D ．[3lg 2，＋∞)
解析：选B ∵lg x ＋lg y ＋lg z ＝lg(xyz )，
而xyz ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y ＋z 33，∴lg(xyz )≤lg 8＝3lg 2， 当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立． 3．若实数x ，y 满足xy >0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 解析：选C xy ＋x 2＝12xy ＋12
xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3 314
x 2y 2＝3，当且仅当12xy ＝x 2，x 2y ＝2， 即x ＝1，y ＝2时取“＝”号．
故xy ＋x 2的最小值为3.
4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝
a ＋
b ＋
c 3，y ＝3abc ，z ＝ a 2＋b 2＋c 23，则x ，y ，z 的大小关系是( )
A ．x ≤y ≤z
B ．y ≤x ≤z
C ．y ≤z ≤x
D ．z ≤y ≤x 解析：选B ∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c
3≥3abc ，
∴x ≥y ，又x 2＝
a 2＋
b 2＋
c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac 9， z 2＝3a 2＋3b 2
＋3c 29
， ∵a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2
≥2ac ，
三式相加得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，
∴3a 2＋3b 2＋3c 2≥(a ＋b ＋c )2，
∴z 2≥x 2，∴z ≥x ，即y ≤x ≤z .
5．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________.
解析：∵0<x <1，∴1－x >0.
故32x 1－x 1－x ≤2x ＋1－x ＋1－x 3＝23. ∴x (1－x )2≤427，当且仅当x ＝13
时取等号． 答案：427
6．设x ，y ，z 均大于0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3
z 的最大值为________． 解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2
＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z . ∴x 2y 3z ≤1，当且仅当 x
2
＝y ＝4z 时取“＝”号． ∴x 2z 3z 的最大值为1.
答案：1
7．设三角形三边长为3,4,5，P 是三角形内的一点，则P 到该三角形三边距离乘积的最大值是________．
解析：设P 到长度为3,4,5的三角形三边的距离分别是x ，y ，z ，三角形的面积为S .
则S ＝12
(3x ＋4y ＋5z )，又∵32＋42＝52， ∴这个直角三角形的面积S ＝12
×3×4＝6. ∴3x ＋4y ＋5z ＝2×6＝12.
∴333x ·4y ·5z ≤3x ＋4y ＋5z ＝12.
∴(xyz )max ＝1615
. 当且仅当x ＝43，y ＝1，z ＝45时等号成立．
答案：1615 8．设a ，b ，c ∈R ＋，求证：
(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92
. 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，
∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥
33a ＋b b ＋c c ＋a >0.
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c ＞0， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92
. 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． 9．若θ为锐角，求y ＝sin θ·cos 2θ的最大值．
解：y 2＝sin 2θ·cos 2θ·cos 2
θ
＝12
·2sin 2θ(1－sin 2θ)·(1－sin 2θ) ≤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝427. 当且仅当2sin 2θ＝1－sin 2θ，
即sin θ＝33时取等号． 此时y max ＝239
. 10．已知某轮船速度为每小时10千米时，燃料费为每小时30元，其余费用(不随速度变化)为每小时480元，设轮船的燃料费用与其速度的立方成正比，问轮船航行的速度为每小时多少千米时，每千米航行费用总和最小．
解：设船速为v 千米/小时，燃料费为A 元/小时．
则依题意有A ＝k ·v 3，且有30＝k ·103，
∴k ＝3100.∴A ＝3100
v 3. 设每千米的航行费用为R ，则需时间为1v
小时， ∴R ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫3100v 3＋480＝3100
v 2＋480v ＝3100v 2＋240v ＋240v ≥333100v 2·240v ·240v ＝36.
当且仅当3100v 2＝240v
， 即v ＝20时取最小值．
∴轮船航行速度为20千米/小时时，每千米航行费用总和最小．。