(人教版)高中数学选修2-1课件：第3章空间向量与立体几何3.1.1

一进行判断：
①(A→B＋B→C)＋C→C1＝A→C＋C→C1＝A→C1； ②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1＝A→D1＋D→1C1＝A→C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1； ④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1＝A→B1＋B→1C1＝A→C1. 所以 4 个式子的运算结果都是A→C1. 答案： 4
• (3)注意零向量的书写，必须是0这种情势． • (4)两个向量不能比较大小．
空间向量的加减法与运算律
空间向 量的加 减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算 (如图)：
O→B ＝O→A ＋A→B ＝_a_＋__b___； C→A ＝O→A －O→C ＝_a_－__b___
加法运 (1)交换律：a＋b＝b＋a；
◎在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，化简D→A－D→B＋B→1C－
B→1B＋A→1B1－A→1B. 【错解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B
＝A→B＋C→B＋B→1B＝D→C＋D→A＋B→1B＝D→B＋D→1D＝D→1B.
【错因】 对向量减法的三角形法则理解、记忆错误，
中，老师从学校大门口回到住地方产生的总位 移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是
不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移 呢？
• [问题1] • [提示1] • [问题2] 吗？
• [提示2]
老师的位移是空间向量吗？ 是． 空间向量的加法与平面向量类似
类似．
空间向量
定义
长度 几何表 示法
在空间，把具有大___小__和_方__向__的量叫做空间向量 向量的_大__小__叫做向量的长度或_模__
6分
(3)在线段 CC1 上取中点 M，则有C→M＝12C→C1， 则有：A→B＋A→D＋12C→C1＝A→B＋B→C＋C→M＝A→M. 9 分 (4)由(2)知13(A→B＋A→D＋A→A1)＝13A→C1，在线段 AC1 上取点 G，使得 AG＝13AC1，即：13(A→B＋A→D＋A→A1)＝A→G. 12 分
• 3．两向量共线是两向量相等的________条 件．
• 解析： 两向量共线就是两向量同向或反 向，包含相等的情况．
• 答案： 必要不充分
4．已知平行六面体 ABCD－A′B′C′D′，化简下列 表达式：
(1)A→B＋BB→′－D→A′＋D′ →D－B→C； (2)AC→′－A→C＋A→D－AA→′. 解析： 根据平行六面体的性质． (1)原式＝A→B＋A′→D′＋D′ →D＋C→B＝A→B＋A′→D＋C→B ＝D→C＋D→A＋A′→D＝D→B＋A′→D＝A→′B； (2)原式＝CC→′＋A′→D＝AA→′＋A′→D＝A→D.
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空间向量的有关概念
判断下列命题的真假． (1)空间向量就是空间中的一条有向线段； (2)不相等的两个空间向量的模必不相等； (3)两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； (4)向量B→A与向量A→B的长度相等．
• 思路点拨： 空间向量的概念与平面向量 的概念相类似，平面向量的其他有关概念，如 向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、 单位向量等都可以扩大为空间向量的相应概 念．
1．给出下列命题：
①若空间向量 a，b，满足|a|＝|b|，则 a＝b；
②在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，必有A→C＝A→1C1； ③若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；
④空间中任意两个单位向量必相等．
其中不正确的命题的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析： 根据向量相等的定义，不仅模相等，而且方向 相同，故①错；
1．在四棱柱 ABCD－A′B′C′D′中，能与向量A→A′
相等的向量有( )
A．0 个
B．3 个
C．6 个
D．9 个
解析： B→B′＝C→C′＝D→D′＝A→A′.
答案： B
• 2．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1 所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有 ()
• A．1个 B．2个 • C．3个 D．4个 • 解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1.
差向量的方法没有确定准确． 【正解】 D→A－D→B＋B→1C－B→1B＋A→1B1－A→1B ＝B→A＋B→C＋B→B1＝B→D＋B→B1 ＝B→D＋D→D1＝B→D1.
谢谢观看！
•
(1)熟练掌握好空间向量的概念，
零向量，单位向量，相等向量，相反律是解决
问题的关键；只要两个向量的方向相同、模相
等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应
相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等
的充分不必要条件．
• (2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的 两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可， 相互制约．
(1)假命题，有向线段只是空间向量的一种 表示形式，但不能把二者完全等同起来．(2)假命题，不相等 的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即 可．(3)假命题，当两个向量的起点相同，终点也相同时，这 两个向量必相等，但两个向量相等却不一定有相同的起点和 终点．(4)真命题，B→A与A→B仅是方向相反，它们的长度是相 等的．
2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，已知下列各式： ①(A→B＋B→C)＋C→C1；②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1； ③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1. 其中运算的结果为向量A→C1的有________个．
解析： 根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐
空间向量用有__向__线___段__表示
表 示
字母表 法
示法
用一个字母表示，如图，此向量的起点是 A，终点
→
→
是 B，可记作 a，也可记作 A B ，其模记为|a|或|AB|
特殊向量
• 理解特殊向量应注意的几个问题
• (1)零向量和单位向量均是从向量模的角度 进行定义的，|0|＝0，单位向量e的模|e|＝1. • (2)零向量不是没有方向，它的方向是任意 的．
第 三 章 空间向量与立体几何
•3.1 空间向量及其运算
•3.1.1 空间向量及其加减运算
自主学习 新知突破
• 1．经历向量及其运算由平面向空间推广的 过程，了解空间向量的概念．
• 2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及 其表示．
• 3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算 律．
• 老师下班回家，先从学校大门口骑自行 车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最 后乘电梯上升15 m到5楼的住处，在这个过程
(1)A→B＋B→C；(2)A→B＋A→D＋A→A1；
(3)A→B＋A→D＋12C→C1；(4)13(A→B＋A→D＋A→A1)． 思路点拨： 利用空间向量加减法运算的平行四边形法
则和三角形法则化简表达式，并给出合理的标注．
(1)A→B＋B→C＝A→C.
2分
(2)A→B＋A→D＋A→A1＝A→B＋B→C＋C→C1＝A→C1.
根据正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，向量A→C与A→1C1的方向 相同，模也相等，应有A→C＝A→1C1，故②正确；
命题③显然正确； 空间中任意两个单位向量模均为 1，但方向不一定相同， 故不一定相等，故④错．
• 答案： B
空间向量的加减运算
•
已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，化简
下列各向量表达式，并标出化简结果的向量．
算律 (2)结合律：(a＋b)＋c＝(a＋c)＋b
• 空间向量与平面向量的加减运算的联系
• (1)空间任意两个向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减 法运算类似于平面向量的加、减法运算．
• (2)向量加法的平行四边形法则在空间仍成 立，在运用三角形法则或平行四边形法则求两 个向量的和或差向量时要注意起点和终点；a －b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向 量．
•
(1)计算两个空间向量的和或差
时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角
形法则和平行四边形法则是关键．
• (2)计算三个或多个空间向量的和或差时， 要注意以下几点：
• ①三角形法则和平行四边形法则；
• ②正确使用运算律；
• ③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即 表示这有限个向量的和向量．