2016-2017年辽宁省实验中学分校高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（理
科）
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）
A．B．C．D．
2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
4．（5分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）
A．B．C．D．
6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）
A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣3
7．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．
8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）
A．若向量，向量（xy≠0），则
B．若四边形ABCD为菱形，则
C．点G是△ABC的重心，则
D．△ABC中，和的夹角等于A
9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．
B．
C．
D．
10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）
A．1B．2C．D．3
11．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）
A．2468B．3501C．4032D．5739
12．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）
A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是．
14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是．15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则
的最大值是．
16．（5分）在下列结论中：
①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象的一条对称轴为π；
④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．
其中正确结论的序号为（把所有正确结论的序号都填上）．
三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．
18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．
（1）求与的夹角；
（2）求|2+|．
19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．
求：
（1）角C大小；
（2）a+b的值．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．
21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；
（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．
22．已知向量，把函数f（x）＝
化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：
（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
求
2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）sin（﹣225°）的值是（）
A．B．C．D．
【考点】GO：运用诱导公式化简求值．
【解答】解：sin（﹣225°）
＝﹣sin225°
＝﹣sin（180°+45°）
＝﹣（﹣sin45°）
＝sin45°
＝．
故选：A．
2．（5分）在△ABC中，，，则＝（）A．（3，7）B．（3，5）C．（1，1）D．（1，﹣1）
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【解答】解：＝﹣＝（2，4）﹣（1，3）＝（1，1），
故选：C．
3．（5分）为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需把函数y＝sin（2x+）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解答】解：y＝sin（2x+）＝sin2（x+），y＝sin（2x﹣）＝sin2（x﹣），
所以将y＝sin（2x+）的图象向右平移个长度单位得到y＝sin（2x﹣）的图象，故选：B．
4．（5分）已知，则的值为（）
A．B．C．D．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：∵已知，则＝cos[﹣（α+）]＝sin（α+
）＝，
故选：B．
5．（5分）如图，在△ABC中，＝（）
A．B．C．D．
【考点】9H：平面向量的基本定理．
【解答】解：由于，
由于BD＝DC，
故，，
又因为，
故，
所以．
故选：B．
6．（5分）若f（x）＝2cos（ωx+φ）+k的图象关于直线对称，且，则实数k的值等于（）（）
A．﹣3或1B．1C．﹣1或3D．﹣3
【考点】H7：余弦函数的图象．
【解答】解：函数f（x）＝2cos（ωx+φ）+k，
其图象关于直线对称，
∴cos（ω+φ）＝1或﹣1；
又，
∴2cos（ω+φ）+k＝﹣1，
∴k＝﹣1﹣2cos（ω+φ）；
当cos（ω+φ）＝1时，k＝﹣1﹣2×1＝﹣3；
当cos（ω+φ）＝﹣1时，k＝﹣1﹣2×（﹣1）＝1；
综上，实数k的值等于﹣3或1．
故选：A．
7．（5分）已知3cos2θ＝tanθ+3，且θ≠kπ（k∈Z），则sin2θ等于（）A．B．C．D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【解答】解：∵3cos2θ＝3×＝tanθ+3，整理可得：tanθ（1+tan2θ+3tanθ）＝0，∵θ≠kπ（k∈Z），tanθ≠0，∴1+tan2θ＝﹣3tanθ，
∴sin2θ＝2sinθcosθ＝＝＝＝﹣，
故选：D．
8．（5分）在以下关于向量的命题中，不正确的是（）
A．若向量，向量（xy≠0），则
B．若四边形ABCD为菱形，则
C．点G是△ABC的重心，则
D．△ABC中，和的夹角等于A
【考点】9A：向量的三角形法则；9B：向量加减混合运算．
【解答】解：对于A，若向量＝（x，y），向量＝（﹣y，x），则＝0，则⊥，故A 正确；
对于B，由菱形是邻边相等的平行四边形，故四边形ABCD是菱形的充要条件是，
且||＝||，故B正确；
对于C，由重心的性质，可得⇔G是△ABC的重心，故C正确；
对于D，在△ABC中，和的夹角等于角A的补角，故D不正确．
∴关于向量的命题中，不正确的是D．
故选：D．
9．（5分）函数y＝cos x|tan x|（0≤x＜且x≠）的图象是下图中的（）A．
B．
C．
D．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；H2：正弦函数的图象．
【解答】解：当0时，y＝cos x tan x≥0，排除B，D．
当时，y＝﹣cos x tan x＜0，排除A．
故选：C．
10．（5分）已知在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，点E满足＝，点F在边CD 上，若•＝1，则•＝（）
A．1B．2C．D．3
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，
由题意可知A（0，0），B（0，），E（1，），
D（3，0），设F（3，a），
则＝（1，），＝（0，），＝（3，a），
＝（3，a﹣），
∵＝a＝1，即a＝，
∴＝（3，﹣）．
∴＝3﹣1＝2．
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）的值为（）
A．2468B．3501C．4032D．5739
【考点】H1：三角函数的周期性．
【解答】解：∵函数f（x）＝A cos2（ωx+φ）+1＝A•+1
＝cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，
∴+1+＝3，可求：A＝2．
∵函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即：＝4，
∴解得：ω＝．
又∵f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得：cos（2φ）+1+1＝2，
∴cos2φ＝0，2φ＝，解得：φ＝．
∴函数的解析式为：f（x）＝cos（x+）+2＝﹣sin x+2，
∴f（1）+f（2）+…+f（2016）＝﹣（sin+sin+sin+…+sin）+2×2016＝504×0+4032＝4032．
故选：C．
12．（5分）如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”（如图1）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若，则x+y的取值范围是（）
A．[﹣4，4]B．C．[﹣5，5]D．[﹣6，6]
【考点】9H：平面向量的基本定理．
【解答】解：设＝，＝，求x+y的最大值，只需考虑右图中6个顶点的向量即可，讨论如下；
（1）∵＝，∴（x，y）＝（1，0）；
（2）∵＝+＝+3，∴（x，y）＝（3，1）；
（3）∵＝+＝+2，∴（x，y）＝（2，1）；
（4）∵＝++＝++（+2）＝3+3，∴（x，y）＝（3，2）；
（5）∵＝+＝+，∴（x，y）＝（1，1）；
（6）∵＝，∴（x，y）＝（0，1）﹒
∴x+y的最大值为3+2＝5﹒
根据其对称性，可知x+y的最小值为﹣5﹒
故x+y的取值范围是[﹣5，5]，
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）函数y＝sin（x﹣）的单调递增区间是[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．【考点】H2：正弦函数的图象．
【解答】解：对于函数y＝sin（x﹣），令2kπ﹣≤x﹣≤2kπ+，求得2kπ﹣≤x≤2kπ+，
可得函数的增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，
故答案为：[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z．
14．（5分）已知向量＝（3，2），＝（x，4），且∥，则x的值是6．
【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．
【解答】解：根据题意，向量＝（3，2），＝（x，4），
若∥，则有2x﹣12＝0，解得x＝6；
故答案为：6．
15．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足a sin B＝b cos A，则
的最大值是1．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．
【解答】解：由a sin B＝b cos A以及正弦定理可知sin A sin B＝sin B cos A，⇒A＝，
∴＝＝＝sin（B+），
∴的最大值为：1．
故答案为：1．
16．（5分）在下列结论中：
①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z）为奇函数；
②函数的图象关于点对称；
③函数的图象的一条对称轴为π；
④若tan（π﹣x）＝2，则cos2x＝．
其中正确结论的序号为①③④（把所有正确结论的序号都填上）．
【考点】HB：余弦函数的对称性；HH：正切函数的奇偶性与对称性．
【解答】解：对于①函数y＝sin（kπ﹣x）（k∈Z），当k为奇数时，函数即y＝sin x，为奇函数．
当k为偶数时，函数即y＝﹣sin x，为奇函数．故①正确．
对于②，当x＝时，函数y＝tan＝≠0，故y＝tan（2x+）的图象不关于点（，0）对称，故②不正确．
对于③，当x＝时，函数y＝cos（2x+）＝cos（﹣π）＝﹣1，是函数y的最小值，故③的图象关于直线x＝对称．
对于④，若tan（π﹣x）＝2，则tan x＝2，tan2x＝4，cos2x＝，，故④正确．故答案为：①③④．
三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知tan（α+）＝﹣3，求的值．
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【解答】解：∵tan（α+）＝﹣3＝，tanα＝2，
∴＝＝
＝＝．
18．（12分）若平面向量，满足||＝，||＝2，（﹣）⊥．
（1）求与的夹角；
（2）求|2+|．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：（1）设向量，的夹角为θ，
且||＝，||＝2，（﹣）⊥，
∴（﹣）•＝﹣•＝2﹣×2×cosθ＝0，
解得cosθ＝，
又θ∈[0，π]，
∴与的夹角为；
（2）∵＝4+4•+
＝4×2+4××2×cos+4
＝20
∴|2+|＝＝2．
19．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，又△ABC的面积为．
求：
（1）角C大小；
（2）a+b的值．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
（1）∵在△ABC中，角A、B、C所对的三边分别为a、b、c，，【解答】解：
∴2﹣2cos2C＝3cos C，解方程求得cos C＝﹣2（舍去），或cos C＝，∴C＝．
（2）由△ABC的面积为可得ab•sin＝，∴ab＝6．
再由余弦定理可得c2＝7＝a2+b2﹣2ab•cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝（a+b）2﹣18，解得（a+b）2＝25，∴a+b＝5．
20．（12分）已知函数．
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（C）＝2，a+b＝4，且△ABC 的面积为，求△ABC外接圆的半径．
【考点】H1：三角函数的周期性；H5：正弦函数的单调性；HR：余弦定理．
【解答】解：（1）函数
，
故最小正周期；
令，解得：，k∈Z．
故函数的单调递减区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）由f（C）＝2，可得，
又0＜C＜π，
所以，
所以，从而．
由S＝＝ab sin，ab＝，
由余弦定理有：c2＝（a+b）2﹣2ab﹣2ab cos C＝（a+b）2﹣3ab＝12，
∴，由正弦定理有：．
21．（12分）如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1．（Ⅰ）若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；
（Ⅱ）若△BCD的面积为，求边AB的长．
【考点】HP：正弦定理．
【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，
由正弦定理得到：，
解得sin∠BDC＝＝，
则∠BDC＝或．△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝．
又由DA＝DC，则∠A＝．
（Ⅱ）由于B＝，BC＝1，△BCD面积为，
则•BC•BD•sin＝，解得BD＝．
再由余弦定理得到CD2＝BC2+BD2﹣2BC•BD•cos
＝1+﹣2××＝，
故CD＝，
又由AB＝AD+BD＝CD+BD＝，
故边AB的长为：．
22．已知向量，把函数f（x）＝
化简为f（x）＝A sin（ωx+ϕ）+B的形式后，利用“五点法”画y＝f（x）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表所示：
（1）请直接写出①处应填的值，并求t的值及函数y＝f（x）在区间上的单增区间、单减区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
求
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；GL：三角函数中的恒等变换应用．
【解答】解：（1）f（x）＝+＝sin tx cos tx﹣cos2tx+＝sin2tx﹣＝sin（2tx ﹣）．
∵当x＝时，2tx﹣＝0，∴t＝1，
∴当2x﹣＝时，x＝，
∴①处应填的值为．
单减区间，单增区间．
（2）∵f（+）＝1，即sin（A+）＝1，
∴A+＝，即A＝，
由正弦定理得：，∴sin C＝＝，
∵c＜a，∴C＜，
∴cos C＝．
∴cos B＝﹣cos（A+C）＝sin A sin C﹣cos A cos C＝．
∴＝ac cos B＝2××＝1．。