2020年北京海淀区空中课堂高二数学-正态分布 学案

正态分布
一、学习目标
1. 了解正态曲线的特点和函数表达式．
2. 结合实例，理解正态分布的3σ原则，会用正态分布解决一些实际问题．
3. 结合实例，在理解3σ原则的过程中，体会统计思想．
二、导学方案
1. 阅读教材第65页至66页第10行，回答下列问题：
（1）什么是概率密度曲线？概率密度曲线有什么特点？
（2）_______型随机变量X的概率密度曲线反映变化规律所起的作用和_______型随机变量的________的作用是相同的；要计算X落在区间(a,b)内的概率，只需要计算________________即可。

2. 阅读教材第66页第11行至第17行，回答下列问题：
（1）表示什么样随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布？
（2）举几个你认为可能满足正态分布的随机现象的例子。

3. 阅读教材第66页第18行至67页第4行，回答下列问题：
（1）写出正态变量概率密度曲线的函数表达式：
f(x)=
其中参数μ,σ满足__________________，这里μ代表_______，σ代表_______。

期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作___________。

（2）请分析函数f(x)的单调性和对称性，并解释这两个函数性质在函数作图时的应用。

（3）正态曲线的性质：
①曲线在x轴的上方，并且关于直线x=μ对称，可以说μ确定正态曲线的_______；
②曲线在x=μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状；
③σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”，可以说σ确定正态曲线的_______。

4. 阅读教材第67页第5行至结束，回答下列问题：
（1）正态变量在区间(μ−σ,μ+σ),(μ−2σ,μ+2σ),(μ−3σ,μ+3σ)内，取值的概率分别是________，________，________。

（2）叙述正态分布的3σ原则。

（3）正态分布的3σ原则有什么用？
（4）是否可以通过计算，提出正态分布的“2.5σ原则”或“3.5σ原则”？你如何看待这两个“新原则”？
三、参考练习题
（1）某糖厂用自动打包机打包，每包重量X(kg)服从正态分布N(100,1.22).一公司从该糖厂进货1500包，试估计重量在下列范围内的糖包数量：
①(100−1.2,100+1.2)；
②(100−3·1.2,100).
（2）某种直尺的标准长度（单位：dm）近似服从正态分布N(1.7,0.012)，为检测一批该种直尺是否符合标准，质检员从中随机抽取了10把，长度如下：1.713,1.741,1.669,1.732,1.699,1.703,1.729,1.695,1.687,1.687.你认为这批尺子符合标准吗？
四、扩展资源
1. 正态分布的3σ原则
服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X的概率密度函数为
f(x)=
1
√2π·σ
−
(x−μ)2
2σ2,x∈R
利用微积分的知识可以知道，
P (a <X <b )=∫
√2π·σ
−
(x−μ)2
2σ2dx b
a
对于一般的a,b ，这个概率的数值是很难计算的，常需要使用数学计算软件，如Matlab ，Mathematics 等，这是很不方便的。

而对于普通的定量统计分析，正态分布在(μ−σ,μ+σ),(μ−2σ,μ+2σ),(μ−3σ,μ+3σ)这三个区间内取值的概率已经够用、好用，这正是正态分布3σ原则对应的区间概率流行的原因之一。

2. 正态分布的本质
正态分布另一个重要的性质是普适性，测量的误差，人的身高、体重，工厂产品的
尺寸，大型考试的成绩等等都近似服从正态分布，这是为什么呢？
事实上，这是因为有著名的中心极限定理： 定理(Levy-Lindeberg 中心极限定理)：
设{X n }是相互独立、同分布的随机变量序列，且有有限的数学期望μ与方差σ2，则
对任意的实数a,b(a <b)，有
P (a <
∑X k n k=1−nμ
σ·√n
<b)⟶∫
1√2π
−
x 2
2dx b
a
(n
→+∞)
这个定理表明，当n 很大时，1n ∑X k n k=1近似服从正态分布N(μ,σ2
n
)，这就是教材中关
于正态分布的叙述的来源：
“由一些互相独立的偶然因素所引起的，而每一个这种偶然因素在总体变化中都只是起着均匀、微小的作用。

” 利用这个定理，请尝试推理“二项分布的极限分布是正态分布”，也就是：
如果{X n }是相互独立、同分布的随机变量序列，且均服从两点分布B(1,p)，则有：
P (a <
∑k n k=1np(1−p)
<b)⟶∫
√2π
−
x 2
2dx b
a
(n
→+∞)
这就能解释，为什么随着n 的变大，∑X k n k=1的频率分布直方图向“钟形曲线”靠近的原因。