2019年高考数学一轮复习学案+训练(北师大版理科)： 第5章 数列 第2节 等差数列及其前n项和

第二节 等差数列及其前n 项和
[考纲传真] (教师用书独具)1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
(对应学生用书第82页)
[基础知识填充]
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列．用符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋，d 为常数)． (2)等差中项：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫作a 与b 的等差中项，即A ＝
a ＋b
2
.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋
n (n －1)d 2
＝
n (a 1＋a n )
2
.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N ＋)是公差为md 的等差数列．
4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系
S n ＝d 2
n 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1－d 2n .
5．等差数列的前n 项和的最值
在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值． [知识拓展] {a n }为等差数列，S n 是{a n }前n 项和
(1)若a n ＝m ，a m ＝n ，则a m ＋n ＝0， (2)若S m ＝n ，S n ＝m ，则S m ＋n ＝－(m ＋n )， (3)若S m ＝S k (m ≠k )，则S m ＋k ＝0.
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )
(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N ＋，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×
2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝0，则公差d 等于( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．－2
D [依题意得S 3＝3a 2＝6，即a 2＝2，故d ＝a 3－a 2＝－2，故选D ．] 3．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
B [由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B ．]
4．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2
＝5a 3＝5.]
5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.
180 [由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.]
(对应学生用书第82页)
(1)(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝__________.
【导学号：79140171】
(1)C (2)－72 [(1)设{a n }的公差为d ，则
由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 5＝24，S 6＝48，
得⎩⎪⎨⎪⎧
(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝24，6a 1＋6×5
2d ＝48，解得d ＝4.
故选C ．
(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
由已知，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9×8
2d ＝－9，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝3，
d ＝－1.
所以S 16＝16×3＋16×15
2×(－1)＝－72.]
方程思想：等差数列的基本量为首项n 项和公式列方程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用联系，整体代换即可求解.
利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程[跟踪训练n n 11a 4＝－12，若a m ＝30，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．15
(2)《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，第1天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布，则第2天织布的尺数为( ) A ．16129
B ．16131
C ．8115
D ．8015
(1)B
(2)A
[(1)设等差数列{a n }的公差为
d ，依题意
⎩⎪⎨
⎪⎧
S 11＝11a 1＋11×(11－1)2d ＝22，
a 4＝a 1＋3d ＝－12，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－33，
d ＝7，
∴a m ＝a 1＋(m －1)d ＝7m －40＝30，∴m ＝10.
(2)由条件知该女子每天织布的尺数构成一个等差数列{a n }，且a 1＝5，S 30＝390，设公差为d ，则30×5＋30×292×d ＝390，解得d ＝1629，则a 2＝a 1＋d ＝161
29
，故选A ．]
n n 23(1)求{a n }的通项公式；
(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列． [解] (1)设{a n }的公比为q .由题设可得
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1(1＋q )＝2，
a 1(1＋q ＋q 2
)＝－6.
解得q ＝－2，a 1＝－2.
故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n
. (2)由(1)可得
S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋1
3
.
由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43
＋(－1)
n 2n ＋3
－2n ＋2
3
＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2
3＋(－1)n ·2n ＋1
3＝2S n ，
故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列． 定义法：d 是常数⇔{等差中项法：＝a n ＋a 2n ∈N ＋⇔通项公式：q
p ，为常数⇔{前An 2
＋Bn
A ，为常数⇔{[跟踪训练] (1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2
(n ∈N ＋)，则该数列的通项
为( ) A ．a n ＝1
n
B ．a n ＝
2n ＋1
C ．a n ＝
2n ＋2
D ．a n ＝3
n
(2)已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，数列{b n }满足b n ＝1
a n －1
(n ∈N
＋
)．
①求证：数列{b n }是等差数列． ②求数列{a n }中的通项公式a n . (1)A [由已知式2
a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2
可得
1
a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1
，知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以
1
a n
＝n ，即a n ＝1
n
.]
(2)①证明：因为a n ＝2－
1
a n －1
(n ≥2，n ∈N ＋)，
b n ＝1
a n －1
. 所以n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1a n －1－1
＝
1⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2－1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1
a n －1－1＝1.
又b 1＝
1a 1－1＝－5
2
， 所以数列{b n }是以－5
2为首项，1为公差的等差数列．
②由(1)知，b n ＝n －7
2，
则a n ＝1＋1b n ＝1＋2
2n －7.
(1)(2018·东北三省三校二联)等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝39，a 5＋a 7＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项的和S 9等于( ) A ．66 B ．99 C ．144
D ．297
(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，前n 项和为S n ，若S 9＝S 12，则S n 取得最大值时，
n ＝________，S n 的最大值为________.
【导学号：79140172】
(1)B (2)10或11 55 [(1)根据等差数列的性质知a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝39，可得a 3＝13.由a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝27，可得a 7＝9，故S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 3＋a 7)
2
＝99，故选B ．
(2)法一：因为a 1＝10，S 9＝S 12， 所以9×10＋9×82d ＝12×10＋12×11
2d ，
所以d ＝－1. 所以a n ＝－n ＋11.
所以a 11＝0，即当n ≤10时，a n ＞0， 当n ≥12时，a n ＜0，
所以当n ＝10或11时，S n 取得最大值，且最大值为S 10＝S 11＝10×10＋10×9
2×(－1)＝
55.
法二：同法一求得d ＝－1. 所以S n ＝10n ＋
n (n －1)
2·(－1)＝－12n 2＋21
2
n
＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋441
8
.
因为n ∈N ＋，所以当n ＝10或11时，S n 有最大值，且最大值为S 10＝S 11＝55. 法三：同法一求得d ＝－1. 又由S 9＝S 12得a 10＋a 11＋a 12＝0. 所以3a 11＝0，即a 11＝0.
所以当n ＝10或11时，S n 有最大值． 且最大值为S 10＝S 11＝55.] 项的性质：在等差数列＝m －d ⇔m ≠，其几何意义
是点n ，，
m ，m 所在直线的斜率等于等差数列的公差和的性质：在等差数列{为其前n 项和，则①S 2n ＝n a 1＋a 2n ＝…＝n a n ＋②S 2n －1＝
n －
a n .
求等差数列前n 项和最值的两种方法
函数法：利用等差数列前次函数最值的方法求解邻项变号法①当a 1>0
[跟踪训练] (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若6a 5＝11，则11
S 9
＝( )
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．1
2
(2)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________. (1)A (2)200 [S 11S 9＝11(a 1＋a 11)
29(a 1＋a 9)2
＝11a 69a 5＝119×9
11
＝1.
(2)依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89
＝200.]。