2018学年高一数学人教A版必修四课件：第一章 三角函数1.2.2 精品
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③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2α＋cos2 α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
3．化简下列各式：
(1)12－sin22cαos－2α1；
(2)
（1－tan θ）·cos2θ＋1＋tan1 θ·sin2θ.
解析：
2sin2α－1 (1)1－2cos2α
＝2sicno2sα2α－＋（sicno2sα2α－＋2csions22αα）＝ssiinn22αα－ －ccooss22αα＝1.
解析： (1)因为 α∈π，3π 2 ，sin α＝－35，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－45，
所以 tan
α＝sin
cos
αα＝34.
(2)∵cos α＝－35<0， ∴α是第二、三象限角．
若 α 是第二象限角，则 sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝
tan
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解析：
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
αα＝24ttaann
αα－－39＝24× ×22－ －39
＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝4sin2α－3ssinin2αα＋ccooss2αα－5cos2α
α）＝1－sincosαα，
∴左边＝右边，原等式成立．
[归纳升华] 简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
4．证明：1＋co2ss2θin －θscino2sθθ＝11＋ －ttaann
θ θ
113300°°＝1.
(2)原式＝tan α 1－sinsi2nα2α＝tan α
csions22αα＝csions αα×||csions αα||，
因为 α 是第二象限角，所以 sin α＞0，cos α＜0，
所以原式＝sin cos
αα×||csions
α| α|
＝sin cos
αα×－sicnosαα＝－1.
(2)原式＝
cos
θ－sin cos θ
θ·cos2θ＋sin
θ＋cos sin θ
θ·sin2θ
＝ cos2θ－sin θcos θ＋sin2θ＋sin θcos θ
＝ cos2θ＋sin2θ＝1.
证明简单的三角恒等式 多维探究型
求证：tatannαα－sisninαα＝tatnanαα＋sisninαα.
(2)若角 α 是第二象限角，化简：tan α sin12α－1.
[边听边记] (1)原式＝
sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130° sin 130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°| 130°|
＝sin sin
130°－cos 130°－cos
化切求值 多维探究型
已知 tan α＝3，求下列各式的值．
4sin (1)3sin
α－cos α＋5cos
α α；
(2)sin2α－24sicnosα2a－·3csoisn2αa －cos2α；
(3)34sin2α＋12cos2α.
解析： (1)原式＝43ttaann αα－ ＋15＝43× ×33－ ＋15＝1114； (2)原式＝tan2α4－－32ttaann2αα－1＝9－4－2×3×3－32 1＝－223； (3)原式＝34ssiinn22αα＋ ＋12cocos2sα2α＝34ttaann22αα＋＋112
α＝sin
cos
αα＝－43；
1－－352＝45，
若 α 是第三象限角，则 sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－
tan
α＝sin
cos
αα＝43.
答案：
3 (1)4
1－－352＝－45，
[归纳升华]
由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类
(1)依据：cos α＝± 1－sin2α或 sin α＝± 1－cos2α，要根据角 α 所在的
α＝tatannαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝ tan
tan αsin α α－tan αcos
α＝1－sincosαα，
右边＝tan
α＋tan αcos tan αsin α
α＝1＋sincosαα＝
sin
1－cos2α α（1－cos
α）＝sin
sin2α α（1－cos
象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用
tan
α＝csions
α α时，不存在符号的
选取问题．
(2)分类： ①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数 值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解； ③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进 行讨论.
π D．－sin 5 cos2π5 ＝cosπ5 .
答案： A
2．若 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α等于( )
1 A.5
B．－15
5 C.13
D．－153
解析： ∵α 是第四象限角，tan α＝－152，
∴sin cos
αα＝－152.
又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝－153. 答案： D
3．已知 tan α＝－12，则s2isni2nαα－ccooss2αα的值是________．
解析： 答案：
s2isni2nαα－ccooss2αα＝ta2nta2αn －α1＝2－×12－2－121＝43.
4 3
教案·课堂探究
已知一个三角函数值求另两个三角函数值 自主练透型
(1)若 sin α＝－35，且 α∈π，3π2 ，则 tan α＝____________； (2)已知 cos α＝－35，求 sin α及 tan α的值．
＝34×9＋9＋1 12＝2490.
[归纳升华]
化切求值的方法技巧
(1)已知 tan
α＝m，可以求acssiinn
α＋bcos α＋dcos
α α或
asin2α＋bsin αcos dsin2α＋esinαcos
αα＋＋fcccooss2α2α的值，将分子分母同除以
cos
α或 cos2α，
化成关于 tan α的式子，从而达到求值的目的．
1．已知 tan α＝－2，求 sin α，cos α的值．
解析： ∵tan α＝－2，∴α 是第二、四象限角，
又由 tan α＝－2 得 sin α＝－2cos α.
(1)当 α 为第二象限角时，ssiinn2αα＋＝c－os22αcos＝α1 ，⇒5cos2α＝1，
∴cos
α＝－
55，sin
α＝－2×－
1．2.2 同角三角函数的基本关系
学案·新知自解
1．理解同角三角函数的基本关系． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
同角三角函数的基本关系式
[化解疑难] 正确理解同角三角函数的基本关系 (1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数
有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝
[归纳升华] 化简三角函数式的一般要求及化简技巧
(1)一般要求： ①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求值；⑤尽量 使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式． (2)化简技巧：
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的．
证明：∵左边＝（cossinθ2θ＋＋sicnosθ2θ）＋（2csoins
θcos θ θ－sin θ）
＝（cos
（sin θ＋cos θ）2 θ＋sin θ）（cos θ－sin
θ）
cos θ＋sin θ
＝cos cos
θ＋sin θ－sin
θ θ＝cos
cos θ θ－sin
θ＝11＋ －ttaann
证明：法一：∵右边
＝（tan
tan2α－sin2α α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2α－tan2αcos2α α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2α（1－cos2α） α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2αsin2α α－sin α）tan
αsin
1 等． (2)注意公式成立的条件． (3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(4)在应用平方关系式求 sin α或 cos α时，其正负号是由角 α 所在的象限决
定，不可凭空想象.
π 1．化简 1－sin2 5 的结果是( )
π A．cos 5
π B．－cos 5
π C．sin 5 解析：
1－sin2π5 ＝
(2)对于 asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是 1，利用 1＝
sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以 cos2α，得到关于 tan α的式子，从
而可以求值．
2．已知 tan α＝2，求下列各式的值：
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
α α；
θ θ
cos θ
＝右边，
∴原等式成立．
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55＝2
5
5 .
(2)当 α 为第四象限角时，ssiinn2αα＋＝c－os22αcos＝α1 ，⇒5cos2α＝1， ∵cos α>0，∴cos α＝ 55，sin α＝－2× 55＝－255；
综合(1)(2)知：
当α为第二象限角时，cos α＝－ 55，sin α＝255， 当 α 为第四象限角时，cos α＝ 55，sin α＝－255.
这时分子和分母均为关于 sin α，cos α的二次齐次式． 因为 cos2α≠0，所以分子和分母同除以 cos2α， 则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4tan2αta－n2α3ta＋n1α－5
＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
三角函数式的化简 多维探究型 (1)化简：sin 11－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ02°sin＋1301°－csoins1213300°°；
3．化简下列各式：
(1)12－sin22cαos－2α1；
(2)
（1－tan θ）·cos2θ＋1＋tan1 θ·sin2θ.
解析：
2sin2α－1 (1)1－2cos2α
＝2sicno2sα2α－＋（sicno2sα2α－＋2csions22αα）＝ssiinn22αα－ －ccooss22αα＝1.
解析： (1)因为 α∈π，3π 2 ，sin α＝－35，
所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－45，
所以 tan
α＝sin
cos
αα＝34.
(2)∵cos α＝－35<0， ∴α是第二、三象限角．
若 α 是第二象限角，则 sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝
tan
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α.
解析：
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
αα＝24ttaann
αα－－39＝24× ×22－ －39
＝－1.
(2)4sin2α－3sin αcos α－5cos2α
＝4sin2α－3ssinin2αα＋ccooss2αα－5cos2α
α）＝1－sincosαα，
∴左边＝右边，原等式成立．
[归纳升华] 简单的三角恒等式的证明思路
(1)从一边开始，证明它等于另一边； (2)证明左、右两边等于同一个式子； (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简.
4．证明：1＋co2ss2θin －θscino2sθθ＝11＋ －ttaann
θ θ
113300°°＝1.
(2)原式＝tan α 1－sinsi2nα2α＝tan α
csions22αα＝csions αα×||csions αα||，
因为 α 是第二象限角，所以 sin α＞0，cos α＜0，
所以原式＝sin cos
αα×||csions
α| α|
＝sin cos
αα×－sicnosαα＝－1.
(2)原式＝
cos
θ－sin cos θ
θ·cos2θ＋sin
θ＋cos sin θ
θ·sin2θ
＝ cos2θ－sin θcos θ＋sin2θ＋sin θcos θ
＝ cos2θ＋sin2θ＝1.
证明简单的三角恒等式 多维探究型
求证：tatannαα－sisninαα＝tatnanαα＋sisninαα.
(2)若角 α 是第二象限角，化简：tan α sin12α－1.
[边听边记] (1)原式＝
sin2130°－2sin 130°cos 130°＋cos2130° sin 130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss
130°| 130°|
＝sin sin
130°－cos 130°－cos
化切求值 多维探究型
已知 tan α＝3，求下列各式的值．
4sin (1)3sin
α－cos α＋5cos
α α；
(2)sin2α－24sicnosα2a－·3csoisn2αa －cos2α；
(3)34sin2α＋12cos2α.
解析： (1)原式＝43ttaann αα－ ＋15＝43× ×33－ ＋15＝1114； (2)原式＝tan2α4－－32ttaann2αα－1＝9－4－2×3×3－32 1＝－223； (3)原式＝34ssiinn22αα＋ ＋12cocos2sα2α＝34ttaann22αα＋＋112
α＝sin
cos
αα＝－43；
1－－352＝45，
若 α 是第三象限角，则 sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－
tan
α＝sin
cos
αα＝43.
答案：
3 (1)4
1－－352＝－45，
[归纳升华]
由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类
(1)依据：cos α＝± 1－sin2α或 sin α＝± 1－cos2α，要根据角 α 所在的
α＝tatannαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
法二：∵左边＝ tan
tan αsin α α－tan αcos
α＝1－sincosαα，
右边＝tan
α＋tan αcos tan αsin α
α＝1＋sincosαα＝
sin
1－cos2α α（1－cos
α）＝sin
sin2α α（1－cos
象限，恰当选定根号前面的正负号，而在使用
tan
α＝csions
α α时，不存在符号的
选取问题．
(2)分类： ①如果已知三角函数的值，且角的象限已被指定时，则只有一组解； ②如果已知三角函数的值，但没有指定角在哪个象限，那么由已知三角函数 值确定角可能在的象限，然后再求解，这种情况一般有两组解； ③如果所给的三角函数值含字母，且没有指定角在哪个象限，那么就需要进 行讨论.
π D．－sin 5 cos2π5 ＝cosπ5 .
答案： A
2．若 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α等于( )
1 A.5
B．－15
5 C.13
D．－153
解析： ∵α 是第四象限角，tan α＝－152，
∴sin cos
αα＝－152.
又 sin2α＋cos2α＝1，∴sin α＝－153. 答案： D
3．已知 tan α＝－12，则s2isni2nαα－ccooss2αα的值是________．
解析： 答案：
s2isni2nαα－ccooss2αα＝ta2nta2αn －α1＝2－×12－2－121＝43.
4 3
教案·课堂探究
已知一个三角函数值求另两个三角函数值 自主练透型
(1)若 sin α＝－35，且 α∈π，3π2 ，则 tan α＝____________； (2)已知 cos α＝－35，求 sin α及 tan α的值．
＝34×9＋9＋1 12＝2490.
[归纳升华]
化切求值的方法技巧
(1)已知 tan
α＝m，可以求acssiinn
α＋bcos α＋dcos
α α或
asin2α＋bsin αcos dsin2α＋esinαcos
αα＋＋fcccooss2α2α的值，将分子分母同除以
cos
α或 cos2α，
化成关于 tan α的式子，从而达到求值的目的．
1．已知 tan α＝－2，求 sin α，cos α的值．
解析： ∵tan α＝－2，∴α 是第二、四象限角，
又由 tan α＝－2 得 sin α＝－2cos α.
(1)当 α 为第二象限角时，ssiinn2αα＋＝c－os22αcos＝α1 ，⇒5cos2α＝1，
∴cos
α＝－
55，sin
α＝－2×－
1．2.2 同角三角函数的基本关系
学案·新知自解
1．理解同角三角函数的基本关系． 2．能正确运用同角三角函数的基本关系式进行求值、化简和证明．
同角三角函数的基本关系式
[化解疑难] 正确理解同角三角函数的基本关系 (1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数
有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝
[归纳升华] 化简三角函数式的一般要求及化简技巧
(1)一般要求： ①函数种类最少；②项数最少；③函数次数最低；④能求值的求值；⑤尽量 使分母不含三角函数；⑥尽量使分母不含根式． (2)化简技巧：
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的．
证明：∵左边＝（cossinθ2θ＋＋sicnosθ2θ）＋（2csoins
θcos θ θ－sin θ）
＝（cos
（sin θ＋cos θ）2 θ＋sin θ）（cos θ－sin
θ）
cos θ＋sin θ
＝cos cos
θ＋sin θ－sin
θ θ＝cos
cos θ θ－sin
θ＝11＋ －ttaann
证明：法一：∵右边
＝（tan
tan2α－sin2α α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2α－tan2αcos2α α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2α（1－cos2α） α－sin α）tan αsin
α
＝（tan
tan2αsin2α α－sin α）tan
αsin
1 等． (2)注意公式成立的条件． (3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．
(4)在应用平方关系式求 sin α或 cos α时，其正负号是由角 α 所在的象限决
定，不可凭空想象.
π 1．化简 1－sin2 5 的结果是( )
π A．cos 5
π B．－cos 5
π C．sin 5 解析：
1－sin2π5 ＝
(2)对于 asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的求值，可看成分母是 1，利用 1＝
sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以 cos2α，得到关于 tan α的式子，从
而可以求值．
2．已知 tan α＝2，求下列各式的值：
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
α α；
θ θ
cos θ
＝右边，
∴原等式成立．
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55＝2
5
5 .
(2)当 α 为第四象限角时，ssiinn2αα＋＝c－os22αcos＝α1 ，⇒5cos2α＝1， ∵cos α>0，∴cos α＝ 55，sin α＝－2× 55＝－255；
综合(1)(2)知：
当α为第二象限角时，cos α＝－ 55，sin α＝255， 当 α 为第四象限角时，cos α＝ 55，sin α＝－255.
这时分子和分母均为关于 sin α，cos α的二次齐次式． 因为 cos2α≠0，所以分子和分母同除以 cos2α， 则 4sin2α－3sin αcos α－5cos2α＝4tan2αta－n2α3ta＋n1α－5
＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
三角函数式的化简 多维探究型 (1)化简：sin 11－ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ02°sin＋1301°－csoins1213300°°；