2025届宁夏银川市金凤区六盘山高级中学高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2025届宁夏银川市金凤区六盘山高级中学高三第二次诊断性检测数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下图为一个正四面体的侧面展开图，G 为BF 的中点，则在原正四面体中，直线EG 与直线BC 所成角的余弦值为（ ）
A ．
33
B ．
63
C ．
36
D ．
336
2．已知函数()(2)3,(ln 2)
()32,(ln 2)x
x x e x f x x x ⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩
，当[,)x m ∈+∞时，()f x 的取值范围为(,2]e -∞+，则实数m 的
取值范围是（ ） A ．1,
2
e -⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
B ．(,1]-∞
C ．1,12e -⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．[ln 2,1]
3．已知函数3ln ()3ln x a x
f x a x x
=-+-在区间()1,+∞上恰有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,3)(3,)e +∞ B ．[)0,e
C ．(
)
2
,e +∞
D ．(,){3}e -∞
4．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )
A ．
B ．2
C ．3
D ．6
5．已知函数()f x 的定义域为[]
0,2，则函数()()282x g x f x =- ）
A ．0,1
B ．[]
0,2 C ．[]1,2
D ．[]1,3
6．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）
A ．2014年我国入境游客万人次最少
B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势
C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次
D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差 7．已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫
=+
∈> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π,为了得到函数()cos g x x ω=的图象,只要将()y f x =的图象( )
A ．向左平移
8
π
个单位长度 B ．向右平移
8
π
个单位长度 C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）
A ．(722+π
B ．(1022+π
C ．(1042+π
D ．(1142+π
9．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ） A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩
若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,1
C ．()0,∞+
D ．10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
11．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（ ）cm 3
A ．243
π+
B ．342
π+
C ．263
π+
D ．362
π+
12．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）
A ．7
B ．5
C ．3
D ．2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．利用等面积法可以推导出在边长为a 3a
，类比上述结论，利用等体积法进行推导，在棱长为a 的正四面体内任意一点到四个面的距离之和也为定值，则这个定值是______ 14．函数2
1
4y x x
=+
的单调增区间为__________. 15．双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点为()12,0F -，
点(5A ，点P 为双曲线右支上的动点，且1APF ∆周长的最小值为8，则双曲线的实轴长为________，离心率为________.
16．已知椭圆22
143
x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过椭圆的右焦点2F 作一条直线l 交椭圆于点P 、Q .则1F PQ
内切圆面积的最大值是_________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知椭圆C 2222:1(0)x y b a a b +=<<的离心率为3
.2
且经过点3(1,
)2 （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点(0，2)的直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 在椭圆C 上，求直线l 的方程.
18．（12分）如图（1）五边形ABCDE 中，,//,2,ED EA AB CD CD AB ==
150EDC ∠=,将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -，如图（2），点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD .
（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）若直线PC AB 与所成角的正切值为
1
2
，求直线BM 与平面PDB 所成角的正弦值.
19．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的*
()n n N ∈个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为
1
2
，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种． （1）当n 取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？ （2）当4n =时，用X 表示要补播种的坑的个数，求X 的分布列与数学期望．
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为222x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=. （1）求l 的普通方程和1C 的直角坐标方程；
（2）把曲线1C 向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线2C （纵坐标不变），设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
21．（123(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin 2
A C
b A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.
22．（10分）已知函数2
2
()|||23|,()3f x x a x a g x x ax =-+-+=++. （1）当1a =时，解关于x 的不等式()6f x ≤；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体，,,A D F 三点重合，记作D ，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，EGH ∠即为EG 与直线BC 所成的角，表示出三角形EGH 的三条边长，用余弦定理即可求得cos EGH ∠. 【详解】
将展开的正四面体折叠，可得原正四面体如下图所示，其中,,A D F 三点重合，记作D ：
则G 为BD 中点，取DC 中点H ，连接,,EG EH GH ，设正四面体的棱长均为a ， 由中位线定理可得//GH BC 且11
22
GH BC a =
=，
所以EGH
∠即为EG与直线BC所成的角，
EG EH
===，
由余弦定理可得
222 cos
2
EG GH EH EGH
EG GH
+-
∠=
⋅
222
313
a a a
+-
==
所以直线EG与直线BC
故选：C.
【点睛】
本题考查了空间几何体中异面直线的夹角，将展开图折叠成空间几何体，余弦定理解三角形的应用，属于中档题. 2、C
【解析】
求导分析函数在ln2
x≥时的单调性、极值，可得ln2
x≥时，()
f x满足题意，再在ln2
x<时，求解()2
f x e
≤+的x的范围，综合可得结果.
【详解】
当ln2
x≥时，()()()
'12
x
f x x e
=---，
令()
'0
f x>，则ln21
x
<<；()
'0
f x<，则1
x>，
∴函数()
f x在()
ln2,1单调递增，在()
1,+∞单调递减.
∴函数()
f x在1
x=处取得极大值为()12
f e
=+，
∴ln2
x≥时，()
f x的取值范围为(]
,2
e
-∞+，
∴ln2m1
≤≤
又当ln2
x<时，令()322
f x x e
=-≤+，则
1
2
e
x
-
≥，即
1
x ln2
2
e
-
≤<，
∴
1e
2
2
m ln
-
≤<
综上所述，m的取值范围为
1
,1
2
e
-
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
.
故选C.
本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题. 3、A 【解析】 函数3ln ()3ln x a x f x a x x =
-+-的零点就是方程3ln 30ln x a x a x x
-+-=的解，设()ln x g x x =，方程可化为
(()3)(())0g x g x a --=，即()3g x =或()g x a =，求出()g x 的导数()g x '，利用导数得出函数的单调性和最值，由
此可根据方程解的个数得出a 的范围． 【详解】 由题意得
3ln 30ln x a x a x x
-+-=有四个大于1的不等实根，记()ln x
g x x =，则上述方程转化为
3(()3)10()g x a g x ⎛⎫
-+-= ⎪⎝⎭
，
即(()3)(())0g x g x a --=，所以()3g x =或()g x a =．
因为2ln 1
()(ln )
x g x x '
-=
，当()1,x e ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增；
所以()g x 在x e =处取得最小值，最小值为()g e e =．因为3e >，所以()3g x =有两个符合条件的实数解，故
3ln ()3ln x a x f x a x x
=
-+-在区间()1,+∞上恰有四个不相等的零点，需a e >且3a ≠． 故选：A ． 【点睛】
本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力． 4、A 【解析】
由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】
双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆心坐标为(3,0)．由题意知，圆心到渐近线的距离等于圆的半径r ，即r ＝
.
答案：A
本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系，属于基础题. 5、A 【解析】
试题分析：由题意，得022
{820
x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ．
考点：函数的定义域． 6、D 【解析】
ABD 可通过统计图直接分析得出结论，C 可通过计算中位数判断选项是否正确. 【详解】
A ．由统计图可知：2014年入境游客万人次最少，故正确；
B ．由统计图可知：后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势，故正确；
C ．入境游客万人次的中位数应为13340.13与13604.33的平均数，大于13340万次，故正确；
D ．由统计图可知：前3年的入境游客万人次相比于后3年的波动更大，所以对应的方差更大，故错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查统计图表信息的读取以及对中位数和方差的理解，难度较易.处理问题的关键是能通过所给统计图，分析出对应的信息，对学生分析问题的能力有一定要求. 7、A 【解析】
由()f x 的最小正周期是π，得2ω=， 即()sin(2)4
f x x π
=+
cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
cos 24x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
cos 2()8
x π
=-， 因此它的图象向左平移
8
π
个单位可得到()cos2g x x =的图象．故选A ． 考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．
【名师点睛】
三角函数图象变换方法：
8、C 【解析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可， 【详解】
由题意可知几何体的直观图如图：
上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥, 几何体的表面积为：1
442223(1042)2
ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】
本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键. 9、A 【解析】
由A C B ⋃=可确定集合C 中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案. 【详解】
由A C B ⋃=可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{}{}{}{}2,2,0,2,1,2,0,1，共4种情况，所以选A 项. 【点睛】
考查集合并集运算，属于简单题. 10、B 【解析】
考虑当0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解，令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 有两个不同的零点，利用导数和零点存在定理可得实数k 的取值范围. 【详解】
因为()f x 的图象上关于原点对称的点有2对， 所以0x >时，1ln kx x -=有两个不同的实数解.
令()ln 1h x x kx =-+，则()h x 在()0,∞+有两个不同的零点. 又()1kx
h x x
-'=
， 当0k ≤时，()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上为增函数，
()h x 在()0,∞+上至多一个零点，舍.
当0k >时，
若10,⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
x k ，则()0h x '>，()h x 在10,k ⎛⎫
⎪⎝⎭上为增函数； 若1,⎛⎫∈+∞
⎪⎝⎭
x k ，则()0h x '<，()h x 在1,k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭上为减函数；
故()max 11ln h x h k k ⎛⎫
== ⎪
⎝⎭
， 因为()h x 有两个不同的零点，所以1
ln 0k
>，解得01k <<. 又当01k <<时，
11e k <且10k h e e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭，故()h x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在一个零点.
又22
ln +122ln e e e h t et k k k ⎛⎫
=-=+- ⎪⎝⎭
，其中11t k =>. 令()22ln g t t et =+-，则()2et
g t t
-'=
， 当1t >时，()0g t '<，故()g t 为()1,+∞减函数， 所以()()120g t g e <=-<即20e h k ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
.
因为
2211e k k k >>，所以()h x 在1,k ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上也存在一个零点. 综上，当01k <<时，()h x 有两个不同的零点. 故选：B. 【点睛】
本题考查函数的零点，一般地，较为复杂的函数的零点，必须先利用导数研究函数的单调性，再结合零点存在定理说明零点的存在性，本题属于难题. 11、D 【解析】
解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，
结合图中数据，计算它的体积为： V=V 三棱柱+V 半圆柱=×2×2×1+1
2
•π•12×1=（6+1.5π）cm 1． 故答案为6+1.5π．
点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可． 12、B 【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】
画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，表示的可行域，如图，
由20 2390x y x y +-=⎧⎨
--=⎩可得3
1
x y =⎧⎨=-⎩，
将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，
由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.
【点睛】
本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
、
3
a 【解析】
计算正四面体的高，并计算该正四面体的体积，利用等体积法，可得结果. 【详解】
作PO ⊥平面ABC ，O 为ABC ∆的重心 如图
3sin sin 602
AD AB ABD a =⋅∠=⋅=
则2333
AO AD a =
=， 所以226
3
PO AP AO a =
-=
设正四面体内任意一点到四个面的距离之和为x 则11633ABC ABC S x S PO x ∆∆⋅⋅=
⋅⋅⇒= 6 【点睛】
本题考查类比推理的应用，还考查等体积法，考验理解能力以及计算能力，属基础题. 14、1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
【解析】
先求出导数，再在定义域上考虑导数的符号为正时对应的x 的集合，从而可得函数的单调增区间. 【详解】
函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞.
322
181
8x y x x x -'=-=
，
令0y '>，则12x >
，故函数的单调增区间为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. 故答案为：1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查导数在函数单调性中的应用，注意先考虑函数的定义域，再考虑导数在定义域上的符号，本题属于基础题. 15、2 2 【解析】
设双曲线的右焦点为()22,0F ，根据1APF ∆周长为11223PF PA AF AF a ++≤++，计算得到答案. 【详解】
设双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的右焦点为()22,0F .
1APF ∆周长为：11222323628PF PA AF PF a PA AF a a ++=+++≤++=+=.
当2APF 共线时等号成立，故1a =，即实轴长为22a =，2c
e a
==. 故答案为：2；2. 【点睛】
本题考查双曲线周长的最值问题，离心率，实轴长，意在考查学生的计算能力和转化能力. 16、
9π16
【解析】
令直线l ：1x my =+，与椭圆方程联立消去x 得()22
34690m y my ++-=，可设()()1122,,,P x y Q x y ，则
122634m y y m +=-+，1229
34
y y m =-+．可知
112121
2
F PQ
S
F F y y =-==又()
(
)
22
22
21
1
1
1
1634916
1
m m m m +=
≤
+++++，故13F PQ
S
≤．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角
形面积的二倍，则内切圆半径123
8
4
F PQ
S
r =
≤
，其面积最大值为9π16．故本题应填9π16．
点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）2214x y +=（2
）2y x =+
【解析】
（1）根据椭圆的离心率、椭圆上点的坐标以及222a c b -=列方程，由此求得2
2
,a b ，进而求得椭圆的方程. （2）设出直线l 的方程，联立直线l 的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.根据平行四边形的性质以及向量加法的几何意义得到OM OA OB =+，由此求得M 点的坐标，将,,A B M 的坐标代入椭圆方程，化简后可求得直线l 的斜率，由此求得直线l 的方程. 【详解】
（1
在椭圆上，所以221314c a a b =+=，且222a c b -=
解得2
2
4,1a b ==，所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=．
（2）显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为2y kx =+，设
()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，由2
2142x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
消去y 得22
(14)16120k x kx +++=，
所以1212
22
1612
,1414k x x x x k k +=-
=++， 由已知得OM OA OB =+，所以012
12x x x y y y =+⎧⎨=+⎩，由于点A B M 、、都在椭圆上，
所以22
22
22
2
20121212012(1,
1,1,()14
4
4
)4
x x x x x y y y y y ++=+=+=++=， 展开有22
22
121212121212()()21,240442
x x x x y y y y x x y y +++++=++=，
又2
2
121212122
44(2)(2)2()414k y y kx kx k x x k x x k
-=++=+++=+，
所以22
22
1244240154,14142
k k k k k -++⨯=⇒=∴=±++， 经检验满足2
2
2
(16)4(14)1264480k k k ∆=-+⨯=->，
故直线l 的方程为15
22
y x =±+. 【点睛】
本小题主要考查根据椭圆的离心率和椭圆上一点的坐标求椭圆方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题. 18、（1）见解析（2）27
7
【解析】
试题分析: （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面PDB 的法向量,根据线面角公式代入坐标求得结果. 试题解析:（1）证明：取PD 的中点N ，连接,AN MN ，则1
//,2
MN CD MN CD =， 又1
//,2
AB CD AB CD =
，所以//,MN AB MN AB =，则四边形ABMN 为平行四边形，所以//AN BM ， 又BM ⊥平面PCD ， ∴AN ⊥平面PCD ， ∴,AN PD AN CD ⊥⊥.
由ED EA =即PD PA =及N 为PD 的中点，可得PAD ∆为等边三角形， ∴060PDA ∠=，
又0150EDC ∠=，∴090CDA ∠=，∴CD AD ⊥， ∴CD ⊥平面,PAD CD ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）解：
//AB CD ，∴PCD ∠为直线PC 与AB 所成的角，
由（1）可得090PDC ∠=，∴1
tan 2
PD PCD CD ∠=
=，∴2CD PD =， 设1PD =，则2,1CD PA AD AB ====， 取AD 的中点O ，连接PO ，过O 作AB 的平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，
则111,0,0,,1,0,,2,0,222D B C P ⎛
⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
∴14
M ⎛-
⎝⎭， 所以(
)1331,1,0,,1,,224DB PB BM ⎛⎫⎛==-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭
，
设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则·0
{·0
n DB
n PB ==，即0
{102x y x y z
+=+=， 取3x =，则(3,3,n =-为平面PBD 的一个法向量，
∵
·cos ,21n BM n BM
n BM
〈〉=
=
=，
则直线BM 与平面PDB . 点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 19、（1）当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为5
16
； （2）见解析. 【解析】
（1）将有3个坑需要补种表示成n 的函数，考查函数随n 的变化情况，即可得到n 为何值时有3个坑要补播种的概率最大．（2）n ＝1时，X 的所有可能的取值为0，1，2，3，1．分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可． 【详解】
（1）对一个坑而言，要补播种的概率33
01111P C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪
，
有3个坑要补播种的概率为312n
n
C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 欲使312n
n C ⎛⎫ ⎪⎝⎭最大，只需1
3311
33111221122n
n n n n n n n C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫
≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎝⎭⎩， 解得56n ≤≤，因为*n N ∈，所以5,6,n =
当5n =时，5
3515216C ⎛⎫= ⎪
⎝⎭； 当6n =时，6
36
15216
C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；
所以当5n =或6n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516
. （2）由已知，X 的可能取值为0，1，2，3，1.14,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭
， 所以X 的分布列为
X 的数学期望422
EX =⨯
=. 【点睛】
本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题． 20、（1）:20l x y +-=，()2
2:11C x y +-=；（2）5
. 【解析】
（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线1C 的极坐标方程两边同时乘以ρ得
22sin ρρθ=，进而可化简得出曲线1C 的直角坐标方程；
（2）根据变换得出2C 的普通方程为2214
x
y +=，可设点P 的坐标为()2cos ,sin θθ，利用点到直线的距离公式结合
正弦函数的有界性可得出结果.
（1
）由2x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）
2=-
，化简得20x y +-=， 故直线l
的普通方程为20x y +-=.
由2sin ρθ=，得22sin ρρθ=，又222
x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=.
所以1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=；
（2）由（1）得曲线1C 的直角坐标方程为()2
211x y +-=，向下平移1个单位得到22
1x y +=，
纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线2C 的方程为2
214
x y +=，
所以曲线2C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ=⎧⎨=⎩
（θ为参数）.
故点P 到直线l
的距离为d ==
当4
π
θ=
时，d
最小为
5
. 【点睛】
本题考查曲线的参数方程、极坐标方程与普通方程的相互转化，同时也考查了利用椭圆的参数方程解决点到直线的距离最值的求解，考查计算能力，属于中等题. 21
【解析】
无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sin sin()A B C =+，展开后，可求得B 角，再由余弦定理
2222cos b a c ac B =+-求得ac ，从而易求得三角形面积．
【详解】
在横线上填写
cos )sin b C a c B -=”.
cos sin )sin sin B C A C B -=. 由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，
得sin sin sin B C C B =.
所以sin B B =.
又cos 0B ≠（若cos 0B =，则sin 0,B =22sin cos 0B B +=这与22sin cos 1B B +=矛盾），
所以tan B =又0B π<<，得23
B π
=
.
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+-， 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入，解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =
△1422
=⨯⨯=在横线上填写“22cos a c b C +=”. 解：由22cos a c b C +=及正弦定理，得
2sin sin 2sin cos A C B C ++=.
又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+， 所以有2cos sin sin 0B C C +=. 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠. 从而有1
cos 2
B =-.又(0,)B π∈， 所以23
B π=
由余弦定理及b =
得222
22cos
3
a c ac π=+- 即2
12()a c ac =+-.将4a c +=代入， 解得4ac =.
所以11sin 422ABC
S
ac B =
=⨯=
在横线上填写“sin sin
2
A C
b A +=”
解：由正弦定理，得sin sin sin 2
B
B A A π-=.
所以sin 2
B B =
由二倍角公式，得2sin
cos 222B B B =.
由022B π<<，得cos 02B ≠，所以sin 22
B =. 所以23
B π=，即23B π=.
由余弦定理及b =
得22222cos
3a c ac π=+-. 即212()a c ac =+-.将4a c +=代入，
解得4ac =.
所以1sin 2ABC S ac B =△142=⨯=【点睛】
本题考查三角形面积公式，考查正弦定理、余弦定理，两角和的正弦公式等，正弦定理进行边角转换，求三角形面积时，
①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积；
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
22、（1）{|33}x x -≤≤；（2）()8,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
【解析】
（1）分类讨论去绝对值号，然后解不等式即可.
（2）因为对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >，min ()f x 根据绝对值不等式易求，min ()g x 根据二次函数易求，
然后解不等式即可.
【详解】
解：（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =-++，则2,1,()2,11,2, 1.x x f x x x x -<-⎧⎪=-<⎨⎪⎩
当1x <-时，由()6f x 得，26x -，解得31x -<-；
当11x -<时，()6f x 恒成立；
当1x 时，由()6f x 得，26x ，解得13x .
所以()6f x 的解集为{|33}x x -≤≤
（2）对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，得12()()f x g x >成立，等价于min min ()()f x g x >.
因为2223(1)20a a a -+=-+>，所以223a a >-，
且|222|23|()(23)23x a x a x a x a a a -+-+---+=-+
223a a =-+，①
当223a x a -时，①式等号成立，即2min ()23f x a a =-+. 又因为222
23()33244a a a x ax x ++=++--，② 当2a x =-时，②式等号成立，即2
min ()34
a g x =-. 所以2
2
2334a a a -+>-，即2580a a -> 即a 的取值范围为：()8,0,5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.
【点睛】
知识：考查含两个绝对值号的不等式的解法；恒成立问题和存在性问题求参变数的范围问题；能力：分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；中档题.。