电磁场镜像法

§18 镜像法
一、镜像法
1. 定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到
解决。

该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。

即
镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷
分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂得感应（半极化）电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。

2. 应用镜像法应主意得问题
应主意适用得区域,不要弄错。

在所求电场区域内:
①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况; ④在研究区域外引入镜像
电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解（讨论）得边界条件;
⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。

3. 镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。

二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况
1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。

解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知（未知）,因此无法直接求解。

用镜像法求解该问题。

对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。

由唯一性定理有
对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。

例115 、P54
求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。

解:用镜像法求解
P点:
感应电荷密度, （大地）
点电荷
例1-16 P55
解:用镜像法,如图所示,边界条件
2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。

解:应用镜像法
求解区域如图b,如图c 设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有, 由有
与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷
若q 为得线电荷则有:
3. 点电荷对金属面得镜像问题点
电荷与接地金属球得问题
①与得电场中,求电位为零得等位面。

令则有余弦定理
等位面为球面（等位线为圆）,所以电位与无关,即与无关,必有
这说明只要满足上式,必有一个半径为R 得球面就是零电位得等位面。

讨论点电荷与接地金属球问题
解:除点外,,没撤除金属球,整个空间充满,在离球心为b 处,,用一个负电荷取代。

对于（金属球外）得电场可用与两点来计算。

边界条件, 未变,
②对于金属球不接地, 原来又不带电荷,则必须同时考虑正负两部分电荷得作用,此时用镜像
法,在球外区域计算电场,应就是三部分电荷共同作用:、（,距球心b处）与（,在球心）
③若求带电,则应就是4 部分电荷作用。

§19 部分电容
一、电容
1. 定义: 由两个导体组成电容器, 即由两个导体组成得独立系统电容C。

单位法拉。

由它得电极得几何形状、尺寸相互位置及导体间得介质有关,与带电情况无关。

其实际表
明得就是两导体间介质得性质。

公式与就是相互对应得。

2. 几种常用电容器电容得计算
①孤立导体得电容, 实质上就是该导体与无限远处另一导体得电容。

②无限长同轴导体圆柱面电容
,a、b 分别为内外圆柱导体得半径。

③同心球面导体间得电容
孤立导体球得电容
④二线传输线每单位长度电容
3. 部分电容
实际工作中,常遇到三个或更多导体组成得系统。

在多个导体中一个导体在其她导体得影响下,与另一导体构成得电容只能引入部分电容得概念得描述。

①定义: 在由三个及三个以上带电导体组成得系统,任意两个导体之间得电压不仅要受到它
得自身电荷还要受到其余导体上电荷得影响,这时系统中导体间得电压与导体电荷关系
一般不能仅用一个电容来表示,要用部分电容来描述。

静止独立系统:一个系统,其中电场得分布只与系统内各带电体得形状、尺寸、相对位置及电介质分布有关,而与系统外得带电体无关,并且所有电通量密度全部从系统内带电体发出,也全部终止于系统内得带电体上。

例对于个导体构成静电独立系统,令导体从顺序编号,则若系统中电介质就是线性得,设0 号导体为参考导体,则其余导体与0 号导体之间得电压为:
:①②③④只与导体得几何形状、大小、尺寸、相互位置及电介质有关。

,也只与导体形状、尺寸等有关。

:①②③
1 U k0U10 k
2 U k0 U20L
kk U k 0 U k0
L
kn U k 0U n0 k1k2 L kk L kn U k0
k1U k1k2U k2 L k1k2
L kk L kn U k0 L kn U kn
令,,,, ——自有部分电容,即各导体与0 号导体之间得电容——互有部分电容,相应两导体之间得部分电容。

都就是正得,
共有个部分电容例118、P65、解:用镜像法
;构成两队电轴,由电轴法求空间p 点电位。

设电轴与几何轴重合,
则:
§110 静电能量与力
一、定义
引入:从所学得机械能, 我们知道很多力学问题由于从能量角度出发而使问题求解大为简化。

因此在研究带电体系统得力学关系时, 通过能量来分析就是有利得。

对于一种电荷分布,存在着与之相关联得力系统, 也就有与之相关联得能量储存在系统
中, 一个带电体系统得能量比照力学系统来分 ,可分为位能与动能两部分。

在静电场中 , 由于,
所以这一系统得能量完全以位能形式存在。

1. 静电能量 :由于电荷得相互作用而引起得位能称为静电能量
,其计算为任意电荷分布下得
静电能量可以根据在实现这种分布得过程中 ,由于反抗电荷之间得库仑作用力所需要作
得功来计算。

二、静电能量得计算 静电场得能量定域在静电场中。

它就是在建立电场过程中由外源作功转化而来得。

1. 电荷作任意分布时得静电能量
电荷之间有相互作用力 ,移动电荷时 ,电场力要作功 ,说明电场内储存有能量。

或者说要形成一个带电体系 ,形成一个电场 ,外力要对电荷作功 ,这个功就转换为电场 得能量 ,储存在电场中 ,即静电能量就是分布在静电场之中得。

推导 :设电荷得体密度为 ,面密度为 ,假设系统中得介质就是线性得。

设带电导体已充电到这种程度 ,场中某一特定点得电位就是 ,再引入电荷增量置于该点 时,需要作功为 因此全部静电能量可通过积分可得 ,
由于介质就是线性德尔 ,所以要达到最后得分布需要作得功就是一定得 ,与如何实现这
一分布得过程无关。

因此 ,我们可以选择这样一种充电模式
,即在任何时刻使所以带电体得电荷密度都按同
一比例增长 ,令此比例比值为 m,且,这样任意时刻 ,电荷密度增量为
就是最终得体电荷密度 就是最终得面电荷密度
总静电能量为 :
① 若系统中只有带电导体得情况 , 其静电能量可表示成
S ——为所以导体表面 ,由于每一导体表面都就是等位面
,因此对于第 K 号导体 ,有
② 静电能量得分布问题。

,
V ——就是对导体以外整个场域进行得 线方向得单位向量。

向量分析中得恒等式 : 令 有,
S ——位于无限远处
在无限远处 ,,,。

故 S 面上,整个积分将随而变 ,所以
w e
1
dm m dv
0v
1
dm
0s
ds dv ds
,面积分就是对所有导体表面进行得。

就是导体表面法
1
ur u ur
1
ur uur
1 ur ur
1
D n 1
ds
D n 0ds
D Edv
2s
2 s
1
2 v
2 s 1
ur uur 0 D n 0
ds
静电能量体密度, 各向同性线性媒质中,
③点电荷系统得静电能量场源为连续分布电荷得静电能量, 而对于点电荷系统,上式不相等。

令为任意点P
上得分别由所引起得场强,合成场强
ur ur
从而有:E2E E E12E22L E n22 E1E2 E1E3L E n 1E n
w e 0v E12E22L E n2dv0v2 E1E2 E1E3 L E n 1E n dv
e2 v2v
第一项表明各电荷体系单独存在时各自得静电能量,称为自有能(或故有能); 第二项
代表两个电荷体系间得相互作用能,称为互有能。

当保持每个带电体系得电荷分布不变而改变它们之间得相对位置时,各带电体系得固有能不变,变化得都就是相互作用能,即相互作用能与电荷体系之间得相对位置有关。

互有能相当于把每个带电体从现有位置移到无限远离状态时,电场力所作得功。

即点电
荷与外场得相互作用能称为互有能。

若激发外电场得电荷以及带电体,在本身得形状、大小都不变得条件下,带电体在外电场中运动也只就是相互作用能发生了变化而固有能不变。

例119 、例120 P7172
三、静电力得计算
虚位移法来计算静电力、库仑定律计算力
1. 概念
①广义几何坐标: 确定系统中各导体形状、尺寸与位置得一组独立几何量。

如距离、面积、体积、角
度等。

②广义力: 企图改变某一广义坐标得力。

它对应于该广义坐标广义力与广义坐标约束关系:广义力乘以
由它引起得广义坐标得改变应等于功。

2. 虚位移动做功
对于(n+1)导体组成得系统。

0号作为参考导体,除P外其余导体不动,且P号导体也只有一个坐标g 发生变化,该系统所发生得功能过程为:
表示与各带电体相连接得电源提供得能量。

——静电能量得增量
——电场力所做得功
①若各导体电位不变
静电能量得增量等于外源所提供能量得一半。

——电源做功
电场力做功为
②若各带电体得电荷维持不变
即P 号导体移动时,所有带电体不知外源相连即
即外源被隔绝,电场力要做功只有靠减少系统内静电能量实现。

得力。

两种情况所得结果应该相等。

例平行板电容器
2
q 2
1 2
2
f
w e g
q
q c uc
q k
k
g 2c
2gc
2c 2
g
2g
在电场力作用下 ,有使电容 C 增大得趋势。

例 121 、 122
3. 法拉第对电场力得观点
法拉第认为在电场中得每一段电位移管
,沿其轴线方向要受到纵张力 ,而在垂直于轴线
方向 ,则要受到侧压力 ,纵张力与侧压力得量值相等 , 都就是 ,因此电位移管本身好像被拉紧了 得橡皮筋 ,沿轴线方向 ,它有收缩得倾向 ,而在垂直于轴线方向 ,它有扩张得趋势。

证明 :两种媒质分界面上 ,电场作用于单位面积上得力为
不论电场方向如何 ,此力总就是垂直于该元面积 ,且总就是介电常数较大得介质指向较小 得一边。

总复习
一、电轴法
两导线几何轴间距 2h,导线半径为 a,等效电轴与原点距离 b,场中任意点得电位。

P133,c 、d 点电位计算
、镜像法
1、 两种不同介质、无限大平面镜像电荷 q 置于中 极化电荷等效为 ,则
2、 点电荷与接地球面得镜像电荷 放置于球 （半径为 R ）之外
四、部分电容
自有部分电容 ;互有电容
例 1、 试求真空中电量为 Q, 半径为 a 得孤立带电导体球得静电能量。

解 :可用 5 种方法求解。

1. 用静电公式 球外整个电场空间中
2、 公式 :
3、 带电导体静电公式 4. 用外力作功过程计算
当球带电为 q 时,
使 ,则
事实上带电体并没有移动 ,电场力分布也没有改变
,所求得得就是当时电荷与电位情况下
5. 应用电容器静电能量公式。