2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷(附解答)

2019-2020学年八年级上学期期中考试数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
2．下列计算结果为x6的是（）
A．x3•x2B．x2+x4C．（x4）2D．x7÷x
3．如图，已知△ADC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
4．下列计算正确的是（）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（2m2）3＝6m6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
5．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等
C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
6．如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠3的度数（）
A．42°B．52°C．62°D．72°
7．（x+p）（x+5）＝x2+rx﹣10，则p，r的值分别是（）
A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣3
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝50，S△AED＝38，则△DEF的面积为（）
A．6 B．12 C．4 D．8
9．如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（）
A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．24
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN ＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
二．填空题（共6小题）
11．2x2y3•（﹣7x3y）＝．
12．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．
13．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，∠EDF＝78°，则∠A的度数为．
15．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x ＞5，则该等腰三角形的周长为（用含x的式子表示）
16．计算：40372﹣8072×2019＝．
三．解答题（共9小题）
17．计算：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷2y
18．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．
19．如图AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，点E，F在直线1上，且BF＝DE，AE＝CF．求证：AE∥CF．
20．如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC．
21．如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABD的周长为14，求△ABC的周长．
22．长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米．（1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？
（2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值．
23．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次
数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是，余式是；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．
24．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．
（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．
25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），点C的坐标为．（2）如图2，若OA平分∠BAC，BC与x轴交于点E，若点C纵坐标为m，求AE的长．（3）如图3，在（2）的条件下，点F在射线DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于点H，试探究BF、HF
DF的数量关系．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．下列计算结果为x6的是（）
A．x3•x2B．x2+x4C．（x4）2D．x7÷x
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．x3•x2＝x5，故本选项不合题意；
B．x2与x4不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；
C．（x4）3＝x8，故本选项不合题意；
D．x7÷x＝x6，故本选项符合题意．
故选：D．
3．如图，已知△ADC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C 【分析】证明△ADB≌△ADC即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
故B，C，D正确，
故选：A．
4．下列计算正确的是（）
A．（x+y）2＝x2+y2B．（2m2）3＝6m6
C．（x﹣2）2＝x2﹣4 D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
【分析】各项化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝x2+2xy+y2，不符合题意；
B、原式＝8m6，不符合题意；
C、原式＝x2﹣4x+4，不符合题意；
D、原式＝x2﹣1，符合题意，
故选：D．
5．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）
A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD＝∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD＝BC
【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．
【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；
B、∵△ABD≌△CDB，
∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；
C、∵△ABD≌△CDB，
∴∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，
∴∠A+∠ABD＝∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；
D、∵△ABD≌△CDB，
∴AD＝BC，∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC，故本选项错误；
故选：C．
6．如图所示，AD＝AE，AB＝AC，∠BAC＝∠DAE，B、D、E在同一直线上，∠1＝22°，∠2＝30°，求∠3的度数（）
A．42°B．52°C．62°D．72°
【分析】由“SAS”可证△ABD≌△ACE，可得∠ABD＝∠2＝30°，由三角形外角性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠1＝∠CAE，且AD＝AE，AB＝AC，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠ABD＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠2+∠ABD＝52°，
故选：B．
7．（x+p）（x+5）＝x2+rx﹣10，则p，r的值分别是（）
A．2，﹣3 B．2，3 C．﹣2，3 D．﹣2，﹣3
【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p，r
【解答】解：∵（x+p）（x+5）＝x2+（p+5）x+5p＝x2+rx﹣10，
∴p+5＝r，5p＝﹣10，
解得：p＝﹣2，r＝3．
故选：C．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于点F，且DE＝DG，S△ADG＝50，S△AED＝38，则△DEF的面积为（）
A．6 B．12 C．4 D．8
【分析】过点D作DH⊥AC于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF＝DH，然后利用“HL”证明Rt△DEF和Rt△DGH全等，根据全等三角形的面积相等可得S△EDF＝S△GDH，设面积为S，然后根据S△ADF＝S△ADH列出方程求解即可．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，
∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，
∴DF＝DH，
在Rt△DEF和Rt△DGH中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），
∴S△EDF＝S△GDH，设面积为S，
同理Rt△ADF≌Rt△ADH，
∴S△ADF＝S△ADH，
即38+S＝50﹣S，
故选：A．
9．如图，两个正方形边长分別为a，b，如果a+b＝9，ab＝12，则阴影部分的面积为（）
A．21.5 B．22.5 C．23.5 D．24
【分析】根据正方形和三角形的面积的和差即可求解．
【解答】解：根据题意，得
∵a+b＝9，ab＝12，
∴（a+b）2＝92
∴a2+2ab+b2＝81，
∴a2+b2＝81﹣24＝57，
∴阴影部分的面积为：
a2﹣b（a﹣b）
＝（a2﹣ab+b2）
＝（57﹣12）
＝22.5．
故选：B．
10．如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M、N，使∠MBN＝30°．若AM＝m，MN ＝x，CN＝n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．随x，m，n的值而定
【分析】将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．想办法证明∠HCN＝120°
HN＝MN＝x即可解决问题；
【解答】解：将△ABM绕点B顺时针旋转60°得到△CBH．连接HN．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵∠MON＝30°，
∴∠ABM+∠CBN＝30°，
∴∠NBH＝∠CBH+∠CBN＝30°，
∴∠NBM＝∠NBH，
∵BM＝BH，BN＝BN，
∴△NBM≌△NBH，
∴MN＝NH＝x，
∵∠BCH＝∠A＝60°，CH＝AM＝n，
∴∠NCH＝120°，
∴x，m，n为边长的三角形△NCH是钝角三角形，
故选：C．
二．填空题（共6小题）
11．2x2y3•（﹣7x3y）＝﹣14x5y4．
【分析】原式利用单项式乘以单项式法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣14x5y4，
故答案为：﹣14x5y4
12．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．
【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，
﹣4）．
13．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，点Q是射线OB上一个动点，若PD＝2，则PQ的取值范围为PQ≥2 ．
【分析】根据垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PQ＝PD．
【解答】解：由垂线段最短可得PQ⊥OB时，PQ最短，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，
∴PQ＝PD＝2，
即线段PQ的最小值是2．
∴PQ的取值范围为PQ≥2，
故答案为PQ≥2．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，∠EDF＝78°，则∠A的度数为24°．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，由“SAS”可证△BED≌△CDF，可得∠CDF ＝∠BED，由三角形外角的性质可得∠EDF＝∠B＝70°，即可求∠A的度数．
【解答】解：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C，
又∵BE＝CD，BD＝CF
∴△BED≌△CDF（SAS）
∴∠CDF＝∠BED
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠CDF+∠EDF
∴∠EDF＝∠B＝78°
∴∠C＝∠B＝78°
∴∠A＝180°﹣78°﹣78°＝24°
故答案为：24°．
15．等腰三角形的其中两边长分别为（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，已知这两边不相等，且x ＞5，则该等腰三角形的周长为5x2﹣4x﹣19 （用含x的式子表示）
【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2时，②当三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当等腰三角形的腰为（x+2）（2x﹣5）时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，
此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是：
（x+2）（2x﹣5）+（x+2）（2x﹣5）+（x﹣1）2
＝2x2﹣x﹣10+2x2﹣x﹣10+x2﹣2x+1
＝5x2﹣4x﹣19；
②当等腰三角形的腰为（x﹣1）2时，
三角形的三边是（x+2）（2x﹣5），（x﹣1）2，（x﹣1）2时，
∵（x﹣1）2+（x﹣1）2＝2x2﹣4x+2，（x+2）（2x﹣5）＝2x2﹣x﹣10，x＞5，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2﹣（x+2）（2x﹣5）＝（2x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣x﹣10）＝﹣3x+12＜0，
∴（x﹣1）2+（x﹣1）2＜（x+2）（2x﹣5），
∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形．
故答案为：5x2﹣4x﹣19．
16．计算：40372﹣8072×2019＝ 1 ．
【分析】把8072×2019变为4038×4036，再套用平方差公式计算得结果．
【解答】解：原式＝40372﹣2×4036×2019
＝40372﹣4036×4038
＝40372﹣（4037﹣1）（4037+1）
＝40372﹣（40372﹣1）
＝1
故答案为：1
三．解答题（共9小题）
17．计算：[（x+2y）2﹣（x﹣2y）（x+2y）]÷2y
【分析】直接利用乘法公式进而化简，再利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝[x2+4y2+4xy﹣（x2﹣4y2）]÷2y
＝（8y2+4xy）÷2y
＝4y+2x．
18．已知如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC．
【分析】延长AO交BC于点D，先证出△ABO≌△ACO，得出∠BAO＝∠CAO，再根据三线合一的性质得出AO⊥BC即可．
【解答】证明：延长AO交BC于点D，
在△ABO和△ACO中，
，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAO＝∠CAO，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC．
19．如图AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，点E，F在直线1上，且BF＝DE，AE＝CF．求证：AE∥CF．
【分析】证明△ABE≌△CDF（HL），推出∠AEB＝∠CFD可得结论．
【解答】证明：∵AB⊥l于点B，CD⊥1于点D，
∴∠ABE＝∠CDF＝90°，
∵BF＝DE，
∴DF＝BE，
∵AE＝CF，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），
∴∠AEB＝∠CFD，
∴AE∥CF．
20．如图△ABC，请用尺规作出它的外角∠BAE的平分线AD，若AD∥BC，证明：AB＝AC．
【分析】用尺规作外角∠BAE的平分线AD，再进行证明即可．
【解答】解：如图所示：
AD即为所求作的图形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠C，∠DAB＝∠B，
∵AD平分∠BAE，
∴∠DAE＝∠DAB，
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
21．如图在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5，△ABD的周长为14，求△ABC的周长．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝5，而AB+BDAD＝14，从而得到△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝CE＝5，
而△ABD的周长是14，即AB+BD+AD＝14，
∴AB+BC+AC＝AB+BD+CD+AC＝14+10＝24，
即△ABC的周长是24．
22．长方形的长和宽分别是a厘米、b厘米，如果长方形的长和宽各减少2厘米．（1）新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少平方厘米？
（2）如果减少的面积恰好等于原面积的，试确定（a﹣6）（b﹣6）的值．
【分析】（1）根据题意表示出原来长方形与新长方形的面积，相减即可得到结果；
（2）根据题意列出等式，化简即可求出．
【解答】解：（1）ab﹣（a﹣2）（b﹣2）
＝ab﹣（ab﹣2a﹣2b+4）
＝ab﹣ab+2a+2b﹣4
＝2a+2b﹣4，
∴新长方形的面积比原长方形的面积减少了（2a+2b﹣4）平方厘米；
（2）由题意知2a+2b﹣4＝ab，
∴ab＝6a+6b﹣12，
（a﹣6）（b﹣6）
＝ab﹣6a﹣6b+36
＝6a+6b﹣12﹣6a﹣6b+36
＝24．
23．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：
①把被除式、除式按某个字母作降幂接列，井把所块的项用零补齐；
②用除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；
③用商式的一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；
④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次
数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．
例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：
所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2﹣2x﹣1，余式为0．
根据阅读材料，请回答下列问题：
（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是x2﹣2x+3 ，余式是 1 ；
（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．
【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，这个进行进行计算即可；
（2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值．
【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3 (1)
故答案为：x2﹣2x+3，1．
（2）由题意得：
∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，
∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，
即：a＝﹣4，b＝﹣6．
24．等边三角形△ABC，直线1过点C且垂直AC．
（1）请在直线1上作出点D，使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，求证，AD＝2BD．
【分析】（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′交直线1于点D，此时使得△ABD的周长最小．
（2）在（1）的条件下，连接AD，BD，根据对称性和30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明AD＝2BD．
【解答】解：（1）如图所示：
作点A关于直线l的对称点A′，连接AA′，与直线l交于点D，
则点D即为所求作的点．
（2）根据对称性可知：
AC＝A′C，AD＝A′D，
∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝BC＝AB，∠ACB＝60°＝∠BAC，
∴A′C＝BC，
∴∠A′＝∠A′BC＝30°，∠A′＝∠DAA′＝30°，
∴∠ABD＝90°，
∴AD＝2BD．
25．已知，△ABC是等腰直角三角形，BC＝AB，A点在x负半轴上，直角顶点B在y轴上，点C在x轴上方．
（1）如图1所示，若A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），点C的坐标为（﹣1，4）．
（2）如图2，若OA平分∠BAC，BC与x轴交于点E，若点C纵坐标为m，求AE的长．（3）如图3，在（2）的条件下，点F在射线DM上，且∠ABF＝∠ADF，AH⊥BF于点H，试探究BF、HF
DF的数量关系．
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，如图1，易得OA＝3，OB＝1根据等腰直角三角形的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠CBH＝∠BAO，则可根据“AAS”
证明△ABO≌△BCH，得到OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，所以C（﹣1，4）；
（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，由“ASA”可证△AFC≌△AFH，可得CF＝FH＝m，由“AAS”可证△ABE≌△CBH，可得AE＝CH＝2m；
（3）如图3，过点A作AN⊥DF于点N，由“AAS”可证△ABH≌△ADN，可得AN＝AH，BH ＝DN，由“HL”可证Rt△ANF≌Rt△AHF，可得NF＝FH，即可得结论．
【解答】解：（1）作CH⊥y轴于H，如图1，
∵点A的坐标是（﹣3，0），点B的坐标是（0，1），∴OA＝3，OB＝1，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBH＝∠BAO，
在△ABO和△BCH中
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴OB＝CH＝1，OA＝BH＝3，
∴OH＝OB+BH＝1+3＝4，
∴C（﹣1，4），
故答案为：（﹣1，4）；
（2）如图2，过点C作CF⊥AO，交AB的延长线于H，
∴∠CBH＝90°，
∵CF⊥AO，
∴∠BCH+∠H＝90°，
而∠HAF+∠H＝90°，
∴∠BCH＝∠HAF，且∠ABC＝∠CBH＝90°，AB＝CB，∴△ABE≌△CBH（AAS），
∴AE＝CH，
∵AO平分∠BAC，
∴∠CAF＝∠HAF，且AF＝AF，∠AFH＝∠AFC，
∴△AFC≌△AFH（ASA）
∴CF＝FH＝m，
∴AE＝CH＝2m；
（3）BF＝2FH+DF，
理由如下：如图3，过点A作AN⊥DF于点N，
∵∠CAE＝∠BAE，∠AOB＝∠AOD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，且∠ADF＝∠ABF，∠AHB＝∠AND＝90°，∴△ABH≌△ADN（AAS）
∴AN＝AH，BH＝DN，
∵在Rt△ANF和Rt△AHF中，AN＝AH，AF＝AF，
∴Rt△ANF≌Rt△AHF（HL）
∴NF＝FH，
∵BF＝BH+FH＝DN+FH
∴BF＝DF+NF+FH＝2FH+DF．。