(典型题)高中数学选修1-1第三章《变化率与导数》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,
)30
B ．1(0,
)29
C ．1(0,
)28
D ．1(0,
)27
2．已知函数()()x
x a
f x e a R e
=+∈，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
3．已知过点P 作曲线y ＝x 3的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是( )
A ．(0,1)
B ．(0,0)
C ．(1,1)
D ．(－2，－1)
4．设函数()4
cos f x x x =--的导函数为()g x ，则()g x 图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．若曲线2ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，则a =（ ） A ．124 B ．38
C ．
34
D ．
32
6．若函数()(),011,13x e kx e x f x x kx x x
⎧-+<≤⎪
=⎨--<≤⎪⎩，有且仅有3个不同的零点，则实数k 的最大
值为（ ） A ．1712
-
B ．29
-
C ．14
-
D ．0
7．已知函数()0sin cos f x x x =+，()()'10f x f x =，()()'21f x f x =，…，()()'
1n n f x f x +=，
n N ∈，那么()2020f x =（ ）
A ．cos sin x x -
B ．sin cos x x -
C ．sin cos x x +
D ．sin cos x x --
8．已知函数()2b
f x x ax =+的导数()23f x x '=+，则数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
N 的前n
项和是（ ）
A ．1
n
n +
B ．()121n n -+
C ．()
22n n +
D ．
()()12n
n n ++
9．设曲线12
x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，则a
b =（ ）
A ．
1
3 B ．13
-
C ．3
D ．-3
10．已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =⋅的切线有且仅有1条，则实数a 的取值是（ ） A ．0
B ．4
C ．0或-4
D ．0或4
11．已知曲线()cos 3f x x x x =+在点()()
0,0f 处的切线与直线410ax y ++=垂直，则实数a 的值为（ ） A ．-4
B ．-1
C ．1
D ．4
12．已知函数()f x 的导函数为()()()2
,232ln f x f x x xf x ''=-+，则()2f '=（ ） A ．
92
B ．
94
C ．
174
D ．
178
二、填空题
13．在ABC ∆中，已知角A 的正切值为函数2
ln y x x
=-
在1x =处切线的斜率，且
2a b ==，则sin B =__________．
14．已知函数()ln x ax f x x
-=
，若有且仅有一个整数k ，使()()2
0f k f k -⎤⎣⎦>⎡，则实数a 的取值范围是__________．
15．函数()ln 2f x a x ax b =-+，若()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，则
ab =______.
16．在1x =附近,取0.3x ∆=,在四个函数①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x
=中,
平均变化率最大的是__________.
17．曲线224x y e x x =+-在1x =处的切线方程是_____________ 18．曲线()4
ln 1f x x x =--在点()1,0P 处的切线方程是______.
19．曲线ln y a x =有一条切线方程为y kx =（a 、k 为常数，且a ≠0、k ≠0），则a
k
的值为_______.
20．若指数函数x y a =(0a >且1)a ≠与一次函数y x =的图象恰好有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是_________.
三、解答题
21．已知函数32()f x x bx ax d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，f （－1））处的切线方程为670x y -+=，求函数()y f x =的解析式.
22．已知函数32()3f x x x x m =+-+，2()23g x x x -=+，若直线2y x a =-与函数()f x ，()g x 的图象均相切.
（1）求实数,a m 的值；
（2）当0m >时，求()()()F x f x g x =-在[]1,1-上的最值.
23．已知曲线32:32C y x x x =-+，直线:l y kx =，且直线l 与曲线C 相切于点
()()000,0x y x ≠，求直线l 的方程及切点的坐标．
24．已知函数()()()(
)
2
ln ,1f x x x g x x λλ==-为常数.
(1)若函数()y f x =与函数()y g x =在1x =处有相同的切线,求实数λ的值; (2)当1≥x 时, ()()f x g x ≤,求实数λ的取值范围. 25．已知函数，其中
. （Ⅰ）当
时，求曲线
在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证: 当
时，
.
26．已知函数()x f x e =，1
()ln 22
g x x x =-
+. （Ⅰ）求过原点O ，且与函数()f x 图象相切的切线方程； （Ⅱ）求证：当(0,)x ∈+∞时，()()f x g x >.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
首先设过点P 的切线方程():1l y k x t =-+，切点()00,x y ，利用导数的几何意义列式，
转化为32
0001254t x x x +=-+有三个解，通过设函数()32
254g x x x x =-+，问题转化
为1y t =+与()y g x =有三个交点，求t 的取值范围. 【详解】
设过点P 的直线为():1l y k x t =-+，
()2341f x x x '=-+-，设切点为()00,x y ，
则()2
0032
0000
34112x x k k x t x x x ⎧-+-=⎪⎨-+=-+-⎪⎩ ，得32
0001254t x x x +=-+有三个解， 令()3
2
254g x x x x =-+，()()()2
61042132g x x x x x '=-+=--，
当()0g x '>，得1x >或2
5x <，()0g x '<，得213
x <<， 所以()g x 在2,
3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭，()1,+∞单调递增，2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减， 又228
327
g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11g =，()1g x t =+有三个解， 得28
1127t <+<，即1027
t <<
. 故选：D 【点睛】
方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.
2．C
解析：C 【分析】
由函数()f x 为奇函数，解得1a =-，得到1
()x
x f x e e
=-
，求得(0)f '，得到切线的斜率，进而可求解切线的方程. 【详解】
由题意，因为函数()()x
x
a f x e a R e =+
∈为奇函数，则()
000a f e e =+=，解得1a =-，
即1()x
x f x e e =-
，则1()x x f x e e +'=，所以
1(0)2f e e '=+=，即2k =， 且当0x =时，0
1
(0)0f e e =-
=，即切点的坐标为(0,0)， 所以切线的方程为2y x =，故选C. 【点睛】
本题主要考查了利用导数求解在某点处的切线方程，其中熟记导数的几何意义求解切线的斜率，再利用直线的点斜式求解切线的方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．C
解析：C 【分析】
求出函数的导数，设切点为3(,)m m ，求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论． 【详解】
3y x =的导数为23y x '=，
设切点为3
(,)m m ，可得切线的斜率为23m ，
切线的方程为32
3y m m x m -=-（），
若(0,0)P ，则3
2
30)(m m m -=-，解得0m =，只有一解；
若(01)P ，
，则32130)(m m m -=-，可得3
1
2
m =-，只有一解； 若(1,1)P ，则32
131m m m -=-（）
，可得322310m m -+=， 即为2
(1)20(1)m m -+=，解得1m =或1
2
-，有两解； 若(2,1)P --，则3
2
132)m m m --=-(-， 可得322610m m +-=，
由322
()261()612f m m m f m m m '=-=++，，
当20m -<<时，()f m 递减；当0m >或2m <-时，()f m 递增． 可得(0)1f =-为极小值，(2)7f -=为极大值， 则322610m m +-=有3个不等实数解． 故选：C ． 【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．
4．D
解析：D 【分析】
求出导函数()g x ，然后研究()g x 的性质，用排除法确定正确选项． 【详解】
因为()4
cos f x x x =--，所以()3
'sin 4f x x x =-，所以()3
sin 4g x x x =-，
所以函数()g x 是奇函数，其图象关于原点成中心对称，而函数()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以选项B ，C 错误；又因为其图象过原点O ，所以选项A 错误. 故选：D. 【点睛】
本题考查导数的运算，考查由函数解析式选择函数图象，解题时可根据解析式确定函数的性质，利用排除法得出正确选项．
5．B
解析：B 【分析】
先求得2a y x x '=+≥=，根据曲线切线的倾斜角的取值范围是,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，
得到k ≥.
【详解】
由题意，函数2
ln (0)y a x x a =+>
，可得2a y x x '=+≥= 当且仅当
2a x x
=
时，即x =时，等号成立，
又由曲线2
ln (0)y a x x a =+>的切线的倾斜角的取值范围是,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
可得切线的斜率的取值范围是k ≥
=，解得3
8
a =.
故选：B. 【点睛】
本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟练利用导数的几何意义求得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
6．B
解析：B 【分析】
由题意结合函数零点的概念可得(),0111,13x e e x g x x x
⎧-<≤⎪
=⎨-<≤⎪⎩与y kx =的图象有且仅有3个不
同的公共点，作出函数的图象，求出直线y kx =与()1
1g x x
=
-相切时的斜率及经过点23,3B ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭时的斜率，即可得解.
【详解】
当01x <≤时，令()0f x =得x e e kx -=； 当13x <≤时，令()0f x =得
1x
kx x -=即11kx x
-=，
设()
,01 1
1,13
x
e e x
g x
x
x
⎧-<≤
⎪
=⎨
-<≤
⎪⎩
，在同一坐标系中作出()
y g x
=与y kx
=的图象，如图所示：函数()
f x有且仅有3个不同的零点等价于函数()
y g x
=的图象与y kx
=的图象有且仅有3个不同的公共点，
当直线y kx
=与()
1
1
g x
x
=-相切时，两图象恰有两个公共点，设切点为
1
,1
A x
x
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
，由()2
1
g x
x
'=-可得此时直线y kx
=的斜率()02
1
k g x
x
'
==-，
所以0
2
00
1
1
1
x
x x
-
=-，解得0
2
x=，
1
4
k=-；
当直线y kx
=经过点
2
3,
3
B
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
时，此时
2
2
3
39
k
-
==-.
所以实数k的最大值为
2
9
-.
故选：B.
【点睛】
本题考查了函数零点、函数与方程相关问题的求解及导数的应用，考查了转化化归思想与数形结合思想，属于中档题.
7．C
解析：C
【分析】
由题意，依次求出1234
(),(),(),()
f x f x f x f x，观察所求的结果，归纳出周期性规律，求解即可
【详解】
由题意得，()
sin cos
f x x x
=+，
()
10
'()cos sin
f x f x x x
==-，
()21'()sin cos f x f x x x ==--， ()32'()cos sin f x f x x x ==-+， ()43()sin cos f x f x x x ==+，
以此类推，可得()4()n n f x f x +=， 所以()20200()sin cos f x f x x x ==+， 故选：C. 【点睛】
此题考查三角函数的导数，关键是通过求导计算分析其变化的规律，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
利用导数求得a 、b 的值，然后利用裂项求和法可求得数列()()
*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭N 的前n 项
和. 【详解】
()2b
f x x ax =+，()21
223b f x bx a x -'∴=+=+，则223b a =⎧⎨=⎩，得31a b =⎧⎨=⎩
，
()23f x x x ∴=+，()()()211111
2321212
f n n n n n n n ∴===-+++++++，
因此，数列()()*
12n f n ⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬+⎪⎪⎩⎭
N 的前n 项和
1111
112334
12n S n n =-+-+
+-++()
112222n n n =-=
++. 故选：C. 【点睛】
本题考查利用导数求参数，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于中等题
9．B
解析：B 【分析】 求得曲线1
2x y x +=-在点()1,2-处的切线的斜率，根据切线与直线0ax by c 垂直列方程，由此求得a
b
的值. 【详解】
依题意()
()
()
'
2
2
213
22x x y x x --+-=
=
--，'
1|3x y ==-，由于曲线1
2
x y x +=
-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c 垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫
-⋅-=-=- ⎪⎝⎭
.
故选：B 【点睛】
本小题主要考查利用导数求切线的斜率，考查两条直线垂直的条件，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
求出导函数，转化求解切线方程，通过方程2
000x ax a --=有两个相等的解，推出结果即
可． 【详解】
设切点为000(,)x
x x e ，且函数x y x e =⋅的导数(1)x
y x e '=+⋅，
所以000|(1)x
x x y x e ='=+⋅，则切线方程为0
0000(1)()x x y x e x e x x -=+⋅-，
切线过点(,0)A a ，代入得0
0000(1)()x x x e
x e a x -=+⋅-，
所以2001
x a x =+，即方程2
000x ax a --=有两个相等的解，
则有240a a ∆=+=，解得0a =或4a =， 故选C ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
11．C
解析：C 【分析】
先求出()f x 在点()()
0,0f 处的切线斜率，然后利用两直线垂直的条件可求出a 的值. 【详解】
由题意，()cos sin 3f x x x x '=-+，()0cos034f '=+=，则曲线()f x 在点
()()0,0f 处的切线斜率为4，由于切线与直线410ax y ++=垂直，则414
a -⨯=-，解得1a =. 故选C. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了两直线垂直的性质，考查了计算能力，属于基础题.
12．D
解析：D 【分析】
求导数，将2x =代入导函数解得()2f ' 【详解】
()()()()21232ln '432f x x xf x f x x f x
''=-+⇒=-+
将2x =代入导函数
()()()117'2832'228
f f f '=-+
⇒= 故答案选D 【点睛】
本题考查了导数的计算，把握函数里面()2f '是一个常数是解题的关键.
二、填空题
13．【解析】∵∴则∵为三角形内角∴由正弦定理得：得故答案为
解析：3
5
【解析】 ∵2ln y x x =-
，∴22122
x y x x x
='+=+ ，则1tan |3x A k y ='===，
∵A 为三角形内角，tan 0A >，∴02
A π
<<
，sin A =
，
2
sin B =
，得3sin 5
B =，故答案为35.
14．【解析】因故由题设问题转化为有且仅有一个整数使得或因为所以当时函数单调递增；当时函数单调递减即函数在处取最大值由于因此由题设可知解之得应填答案点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件有且仅有一个整数
解析：11
ln 21ln 3123
a -≤<-
【解析】 因ln ()x
f x a x
=
-，故由题设问题转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．因为2
1ln ()x
f x x
-'=
，所以当0x e <<时，()0f x '>，函数
ln ()x f x a x =
-单调递增；当x e >时，()0f x '<，函数ln ()x
f x a x
=-单调递减，即函数ln ()x
f x a x =-在x e =处取最大值，由于23e <<，因此由题设可知(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩
，解之
得
11ln21ln3123a -≤<-，应填答案11
ln21ln3123
a -≤<-． 点睛：解答本题的关键是准确理解题设中条件“有且仅有一个整数k ，使
()()2
0f k f k ⎡⎤->⎣⎦”．求解时先将问题进行等价转化为“有且仅有一个整数k 使得()1f k >或()0f k <”．进而将问题转化为断定函数图像的形状问题，然后先对函数进行
求导，依据导数与函数的单调性之间的关系推断出该函数在在x e =处取最大值，从而借
助题设条件得到不等式组(2)1(3)1f f ≤⎧⎨>⎩
，通过解不等式组使得问题获解．
15．【分析】由函数在处的切线方程为得出即可求解【详解】由题意函数则因为函数在处的切线方程为所以即解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方 解析：2
【分析】
由函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程为21y x =+，得出()(1)2
13f f '=⎧⎨=⎩
，即可求解.
【详解】
由题意，函数()ln 2f x a x ax b =-+，则()2a
f x a x
'=-，
因为函数()f x 在()()
1,1f 处的切线方程为21y x =+，
所以()(1)212113f f =⎧⎨=⨯+='⎩
，即2223a a a b -=⎧⎨-+=⎩，解得21a b =-⎧⎨=-⎩，所以2ab =.
故答案为：2. 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记利用导数研究曲线在某点处的切线方程的方法，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
16．③【分析】先根据平均变化率的定义求得再分别计算各选项对应的平均变化率即可求解【详解】根据平均变化率的计算公式可得所以在附近取则平均变化率的公式为则要比较平均变化率的大小只需比较的大小下面逐项判定：①
解析：③ 【分析】
先根据平均变化率的定义，求得
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆，再分别计算各选项对应的平均
变化率，即可求解． 【详解】
根据平均变化率的计算公式，可得
00()()f x x f x y x x
+∆-∆=∆∆， 所以在1x =附近取0.3x ∆=，则平均变化率的公式为(1.3)(1)
0.3
y f f x ∆-=∆， 则要比较平均变化率的大小，只需比较(1.3)(1)y f f ∆=-的大小，
下面逐项判定：
①中，函数y x =，则(1.3)(1)0.3y f f ∆=-=； ②中，函数2y
x ，则(1.3)(1)0.69y f f ∆=-=；
③中，函数3y x =，则(1.3)(1) 1.197y f f ∆=-=； ④中，函数1
y x
=
中, 则(1.3)(1)0.23y f f ∆=-≈， 所以，平均变化率最大的是③． 【点睛】
本题主要考查了平均变化率的应用，其中解答中熟记平均变化率的计算公式，正准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
17．【分析】求导函数确定曲线在处的切线斜率从而可求切线方程【详解】求导函数可得y 当时y ∴曲线在点处的切线方程为即答案为【点睛】本题考查导数的几何意义考查切线方程属于基础题 解析：20ex y --=
【分析】
求导函数，确定曲线2
y 24x
e x x =+-在1x =处的切线斜率，从而可求切线方程． 【详解】
求导函数可得y '44x e x =+-， 当1x =时，y 'e =，
∴曲线2y 24x e x x =+-在点12e -（，）
处的切线方程为()()21,20.y e e x ex y --=-∴--=
即答案为20ex y --=． 【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查切线方程，属于基础题．
18．【分析】求得的导数由导数的几何意义可得切线的斜率再由点斜式方程可得所求切线的方程【详解】在点处的切线方程即故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及切线的方程的求法考查方程思想和运算能力属于基
解析：.330x y --= 【分析】
求得()4
ln 1f x x x =--的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可
得所求切线的方程. 【详解】
()4ln 1f x x x =--,
31()4f x x x
'∴=-
, (1)3k f '∴==,
()4ln 1f x x x ∴=--在点()1,0P 处的切线方程03(1)y x -=-,
即330x y --=， 故答案为：330x y --= 【点睛】
本题主要考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题.
19．e 【分析】设切点坐标对求导后表示出切线方程即可计算出结果【详解】设切点为由可得则则曲线在切点处的切线方程为把代入可得则则切点为即故答案为：【点睛】本题主要考查了运用导数求切线方程根据题意即可得到结果
解析：e
【分析】
设切点坐标，对ln y a x =求导后表示出切线方程，即可计算出结果. 【详解】
设切点为()00,ln x a x ，由ln y a x =可得a y x
'= 则0
x x a y x ='
=
则曲线ln y a x =在切点处的切线方程为()000
ln a
y a x x x x -=- 把()0,0代入可得0ln a x a -=-，则0x e = 则切点为(),e a ，,a k e =即a e k
= 故答案为：e 【点睛】
本题主要考查了运用导数求切线方程，根据题意即可得到结果，本题较为基础.
20．【分析】根据题意可判断利用函数的导数转化求解的最大值从而求出的取值范围【详解】由题意当时函数且的图象与一次函数的图象没有交点设当时指数函数且的图象与一次函数的图象恰好有两个不同的交点则设且与相切于则
解析：1(1,)e
e
【分析】
根据题意可判断1a >，利用函数的导数，转化求解a 的最大值，从而求出a 的取值范围. 【详解】
由题意，当0x ≤时，函数(0x
y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象没有交
点，
设当0x >时，指数函数(0x y a a =>且)1a ≠的图象与一次函数y x =的图象恰好有两个
不同的交点，则1a >， 设(0x
y a
a =>且)1a ≠与y x =相切于(),A m m ，则m a m =，ln x y a a '=，
所以，ln 1m a a =，解得m e =，此时1
e a e =.
即(0x y a a =>且)1a ≠与y x =恰好有两个不同的交点时实数a 的取值范围为11,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为：11,e
e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了指数函数的性质，函数的导数的应用，切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
三、解答题
21．32()33 2.f x x x x =--+
【分析】
由3
2
()f x x bx ax d =+++在点M （－1，f （－1））处的切线方程为670x y -+=，可得(1)671,'(1)6-=-+=-=f f ，再由()f x 的图象经过P （0，2），可列出关于a ,b ,d 的方程，解方程组即可得出解析式. 【详解】
由()f x 的图象经过P （0，2），知d =2，所以32
()2,=+++f x x bx ax
2()32=+'+f x x bx a 在M （－1，f （－1））处的切线方程是670x y -+=，
知(1)671,'(1)6-=-+=-=f f
326121b a b a -+=⎧∴⎨-+-+=⎩解得33b a =-⎧⎨=-⎩
故所求的解析式是3
2
()33 2.f x x x x =--+ 【点睛】
本题考查了导数的几何意义，考查了运算求解能力和逻辑能力，属于基础题目.
22．（1）1a =，2m =或20227m =-；（2）min ()19F x =--，max ()19
F x =-. 【分析】
（1）由直线与二次函数相切，可由直线方程与二次函数关系式组成的方程组只有一个解，然后由判别式等于零可求出a 的值，再设出直线与函数3
2
()3f x x x x m =+-+图像的切
点坐标，由切点处的导函数值等于切线的斜率可求出切点坐标，从而可求出m 的值； （2）对函数()()()F x f x g x =-求导，使导函数为零，求出极值点，然后比较极值和端点处的函数值大小，可求出函数的最值. 【详解】
（1）联立2
223
y x a
y x x =-⎧⎨=-+⎩可得2430x x a -++=，164(3)0a ∆=-+=，1a
设直线与()f x 的图象相切于点00(,)x y ，则2
000()3232f x x x '=+-=，01x ∴=或
05=3
x -
当01x =时，01y =，11312m m ∴+-+=⇒= 当05=3x -
时，0133y =-，1252513202
5279327
m m ∴-
+++=-⇒=- 2m ∴=或202
27
m =-
（2）由（1）2m =，3()1F x x x ∴=--，2
()31F x x '∴=-
令()0F x '≥则x -≤≤11x ≤≤；令()0F x '<则x <<
()F x ∴在1,3⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭和3⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在33⎡-⎢⎣⎦，上单调递减
又(1)(1)1F F -==-，(1F -，1⎝⎭
min ()139F x F ∴==--，max ()(139
F x F =-=- 【点睛】
此题考查导数的几何意义，利用导数求最值，属于基础题. 23．14y x =-,33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
【分析】
切点（x 0，y 0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率，构造方程，求解即可. 【详解】
∵直线过原点，∴()0
00
0y k x x =
≠． 由点()00,x y 在曲线C 上，得32
000032y x x x =-+，∴
2
0000
32y x x x =-+． 又∵2
362y x x =-+'，
∴在点()00,x y 处曲线C 的切线的斜率()2
000362k f x x x =-'=+，
∴22
000032362x x x x -+=-+，
整理得2
00230x x -=，解得()003
02
x x =
≠． 这时，038y =-，14
k =-
． 因此，直线l 的方程为14y x =-，切点的坐标是33,28⎛⎫- ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、求函数的导数；“已知”曲线的切点时，包含以下三方面信息：①切点在切线上，②切点在曲线上，③切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 24．（1）1
2
λ=. （2）12
λ≥. 【分析】
（1）根据题意，求出f （x ）与g （x ）的导数，由导数的几何意义可得f'（1）=g'（1），则2λ=1，解可得λ的值，即可得答案；
（2）根据题意，设h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=xlnx ﹣λ（x 2﹣1），则原问题可以转化为h （x ）≤0对∀x ∈[1，+∞）恒成立，求出h （x ）的导数，利用导数与函数单调性的关系，分析可得答案． 【详解】 (1)由题意得,
又
,且函数
与
在
处有相同的切线,
,则
,即
.
(2)设
,则
对
恒成立.
,且
,即
.
另一方面,当
时,记
,则
.
当时,在内为减函数, 当时,,即
在
内为减函数,
当时,
恒成立,符合题意.
当时, ①若
,则
对
恒成立,
在内为增函数,当时,
恒成立,不符合题意.
②若
,令
,则
在内为增函数,当时,,即
在内为增函数,当时,,不符合题意,
综上所述.
【点睛】
导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为
min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;
（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >. 25．(Ⅰ)y=2e (Ⅱ)见证明 【解析】 【分析】
（Ⅰ）求出导函数，求出切点坐标，切线的斜率，然后求解曲线y ＝f （x ）在（﹣1，f （﹣1））处的切线方程； （Ⅱ）法一：
，令f '（x ）＝0，求出极值点，判断导函数的符号，得到
函数的单调性，求出函数的最小值，只需证明
，
，
，设
，其中x ＞2，利用导函数转化求解即可；
法二：设
，其中x ＞0，
，推出F （x ）在区间（0，2）
上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，所以函数F （x ）在x ＝2时取得最小值
，而，推出结果即可；
法三：因为“对任意的x＞0，”等价于“对任意的x＞0，”，只需证
“x＞0时，2e x+e（a﹣x2）＞0”，设g（x）＝2e x+e（a﹣x2），其中x≥0，g'（x）＝2e x﹣2ex，设h（x）＝g'（x），h'（x）＝2e x﹣2e，求出函数的极小值，通过g（x）在（0，+∞）上单调递增，得g（x）＞g（0），转化证明即可．
【详解】
（Ⅰ）因为
所以
当时，
所以，而
曲线在处的切线方程为
（Ⅱ）法一：
因为，令
得
显然当时，
所以，，在区间上的变化情况如下表:
极小值
所以在上的最小值为，所以只需证明
因为，所以
设，其中
所以
当时，，所以在区间单调递增，
因为，所以，问题得证
法二：
因为，所以当时，
设，其中
所以
所以，，的变化情况如下表:
所以在区间上单调递减，在上单调递增，
所以函数在时取得最小值，而
所以时
所以，问题得证
法三：
因为“对任意的，”等价于“对任意的，”
即“，”，故只需证“时，”
设，其中
所以
设，,
令，得
所以，，的变化情况如下表:
极小值
所以
所以时，，所以在上单调递增，得
而，所以问题得证
【点睛】
本题考查导数的应用，切线方程的求法以及函数的导数判断函数的单调性，构造法的应
用，转化思想以及计算能力． 26．(Ⅰ)y ex =；(Ⅱ)证明见解析. 【解析】
分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得
()f x ex ≥，再证()ex g x >即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，
求得最值大于0即可. 详解：
（Ⅰ）设切点()00,P x y ，则00x
y e =，()/
x f
x e =，()0
/0x
f x e =，
切线方程为：()()/
000y y f
x x x -=-，
即：()0
0x x
y e e x x -=-，将原点()0,0O 带入得： ()00
000x x e e x -=-，01x =，
切线方程为：y ex =.
（Ⅱ）设()()x
h x f x ex e ex =-=-，()0,x ∈+∞，()/
,x
h x e e =- ()/
0h x =，则
1x =.
当()0,1x ∈时，()/
0h x <，当()1,x ∈+∞时，()/
0h x >，则()()min 10h x h ==，
所以()0h x ≥，即：()0,x ∈+∞当时，()f x ex ≥. 设()()11ln 2ln 222v x ex g x ex x x e x x ⎛
⎫=-=--+
=+-- ⎪⎝
⎭，()0,x ∈+∞， ()/112v x e x
=+-，()/0v x =，1
12
x e =
+，
当10,12x e ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪
+⎝
⎭时，，当1,12x e ⎛⎫
⎪∈+∞ ⎪ ⎪
+⎝⎭
时，
，
则()min
1111ln 21112222v x v e e e e ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎛⎫==+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝
⎭ 11ln 21ln 202e e ⎛
⎫=++->+-= ⎪⎝
⎭，
所以()0v x >，即：()0,x ∈+∞当时，()ex g x >， 所以()()()0,,x f x g x ∈+∞>当时.
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数()()()h x f x g x =-.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.。